Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 29 | одно", - этот тезис показывает, что раздвоениюпротивостоит
объединение двух в одно. Частным, но принципиальнымслучаем является
объединение противоположностей по Гераклиту, гармониясостоит из
противоположностей (мужское и женское и т. д.)[36].
II. 2. 3. Раздвоение единого. На практике единое всегдаявляется
единым множеством. Действительно, целостную геометрическуюфигуру всегда
можно представить как связное множество точек; понятиехарактеризуется
прежде всего объемом и содержанием, которые тоже являютсямножествами:
первое - множеством объектов данного класса, второе -множеством признаков
класса. Поэтому, когда нужно разделить единое практически,мы всегда имеем
дело с раздвоением множества. Любое реальное множестводопускает большое
число раздвоений. Чтобы уменьшить это число, необходимоввести ограничения,
которые могут сократить число вариантов, оставитьединственное решение или
даже сделать раздвоение невозможным (например, невозможнораздвоить круг
при ограничении принципа повторяемости целого вчастях).
раздвоение целого на диалектические пары тоже может бытьне единственным.
Множество может быть "полидиполюстным". Тогда возможнонесколько
последовательных диалектических дихотомий, причем ихпорядок определяется
задачей. Такие дихотомии множества могут бытьсимметричными и
ассиметричными.
II. 2. 4. Раздвоение математических объектов. Рассмотримболее
конкретное раздвоение множеств, геометрических фигур идругих
математических объектов.
--------Картинка стр. 31-------
Рис. 2. Раздвоение нечеткого множества.
-----------------------
А. Раздвоение множеств. Эта процедура включает в себяследующие способы
реализации:
1. Разбиение множества на два непересекающихсяподмножества (класса) на
основе отношения эквивалентности.
2. Выделение подмножества в множестве на основе отношениявключения,
которое является частным случаем отношенияпорядка.
3. Разбиение множества на непересекающиеся подмножества,когда:
а) исходное множество ограничено и его подмножества такжеограничены;
б) исходное множество неограниченно и его подмножестватакже неограниченны.
4. Раздвоение размытых множеств. Пусть размытое множествоописывается
градусным распределением. Тогда процесс его раздвоенияможно представить
графически (рис. 2). Процесс происходит непрерывно, номожет быть
зафиксирована граница перехода от одного в два.
Б. Раздвоение геометрических фигур. Плоскость можнораздвоить на области
двумя способами. Любая прямая делить плоскость на двеполуплоскости.
Замкнутая линия делит плоскость на ограниченную инеограниченную области
(рис. 3, А). В результате разделения плоскости прямойлинией
получаем две полуплоскости, при втором способе деленияпротивоположность
состоит в ограниченности и неограниченности полученныхчастей.
-----------Картинка стр. 32-------
Рис. 3. Раздвоение геометрических объектов.
А - плоскости; Б - ограниченной области плоскости;В
- прямоугольника; Г - кольца.
---------------------------
Теперь рассмотрим раздвоение ограниченной областиплоскости. Оно может
происходить либо при появлении внутренней границы, либопри
"исчезновении" части части внешней границы, либо путемраздвоения
границы при сохранении целой области (рис. 3, Б). В первомслучае
получаем дискретно-непрерывный объект (ДНО), во втором -дискретный (ДО),
в третьем - непрерывно-дискретный (НДО). В результатеразделения замкнутой
области получены противоположности как внешнего (ДНО и ДО)и внутреннего
(НДО).
Рассмотрим на примерах раздвоения прямоугольника. Возьмемквадрат и
разрежем его пополам по линии, соединяющей серединыпротивоположных его
сторон (рис. 3, В). В результате получаем прямоугольник сотношением
сторон 2 : 1 или 1 : 2. Назовем такое преобразованиераздвоением,
противоположное ему - преобразованием удвоения. Если бы мывзяли не
квадрат, а прямоугольник, то результат указанногопреобразования зависел бы
от того. относительно какой из двух средних линийпрямоугольника
произведено преобразование. Если это существенно, то вопределении
преобразования необходимо внести уточнение.
Однозначно определенное преобразование прямоугольникаможно продолжать. В
результате мы получаем множество прямоугольников. Чтоявляется инвариантом
такого преобразования
Уточним определение преобразования. Будем резатьпрямоугольник по короткой
средней линии. Если исходным прямоугольником был квадрат,то в результате
серии последовательных преобразований мы получим рядпрямоугольников с
такими отношениями сторон: 1 : 1, 1 : 2, 1 : 1, 1 : 2, ит. д.
Определим такие независимые характеристикипрямоугольников, как площадь и
пропорции (отношения сторон). В нашем случае имеемотношение сторон для:
площади: - 1, 1/2, 1/4, 1/8,...
пропорции - 1/1, 1/2, 1/1, 1/2,...
Теперь изменим преобразование - будем делитьпрямоугольники по большей
средней линии. Тогда получим такие ряды чисел отношенийсторон для:
площади - 1, 1/2, 1/4, 1/8,...
пропорции - 1/1, 1/2, 1/4, 1/8,...
Нетрудно видеть, что при данном преобразовании отношениевеличины пропорции
к величине площади постоянно и равно единице. Этоотношение есть инвариант
последнего преобразования.
Проанализируем более подробно преобразование раздвоенияквадрата на две
части. Введем ограничение: пусть требуется разрезатьквадрат на две
равновеликие части одним прямолинейным отрезком так, чтобыэту операцию
можно было повторять сколько угодно раз с получившимисячастями. При таком
определении преобразования возможны его различныеварианты: 1) квадрат
разрезаем на два треугольника - изменяется число вершинфигуры,
нарушающая равенство и параллельность сторон; 2) квадратразделяется на две
трапеции (неправильных четырехугольника) - сохраняетсячисло углов,
нарушается параллельность и равенство сторон; 3) квадратразрезается на два
прямоугольника - сохраняется число вершин и параллельностьсторон,
нарушается равенство сторон и пропорции фигуры.
Замечание 1. При делении квадрата по меньшей среднейлинии
получается ряд прямоугольников с пропорциями 1/1, 2/1,1/1, 2/1,... Если
за исходный взять прямоугольник с пропорциями 4/3, то притом же
преобразовании получаем ряд прямоугольников с пропорциями4/3, 3/2, 4/3,
3/2,... Нетрудно заметить, что произведение двух соседнихчисел в каждом
ряду постоянно и в обоих рядах равно двум. То же самоебудет верно для
юбого исходного прямоугольника. Это не удивительно, таккак преобразование
носит характер раздвоения. Здесь интересно другое:существует
один-единственный прямоугольник, пропорции которого приданном
преобразовании не изменяются прямоугольник остаетсяподобным самому себе.
Отсюда следует, что совмещаются два фундаментальныхпреобразования:
удвоения и подобия. существует удвоение без подобия иподобие без удвоения.
Эти два преобразования объединяются при удвоении исокращении вдвое по
меньшей мере средней линии прямоугольника с пропорциями1/v2.
Замечание 2. Ряды прямоугольников, полученные приданных
преобразованиях, можно рассматривать как временны&еряды, а инварианты
преобразований, как инварианты сохраняющиеся во времени.Можно также
рассматривать множество прямоугольников, появившихся врезультате
преобразований, как одновременно существующие. Тогдаинварианты можно
рассматривать как инварианты, существующие на множестве (впространстве)
многоугольников. В последнем случае это может бытьнеупорядоченное
множество объектов.
Имеются ли другие геометрические фигуры, остающиесяподобными исходной при
последовательном делении на две части Да. При деленииподобную фигуру (обе
половинки) дает равнобедренный прямоугольный треугольник.Приблизительно
такой же результат получается у кольца: изолированные иливложенные
концентрические кольца, соприкасающиеся внутри иликасающиеся извне, либо
ортогонально сцепленные кольца (рис. 3, Г). Любойпрямоугольный
треугольник делится на два подобных, но неравныхпрямоугольника.
В. Раздвоение других математических объектов. Какраздвоение единицы на два
взаимообратных сомножителя можно рассматриватьравенство
1=а(1/а), где а - любое действительное число.Такое
преобразование неоднозначно. Дополнительные ограничениямогут сузить
область допустимых для а значений. При а=*
(*=1,618...) константа золотого отношения1/*=0,618..., т.
е. взаимообратные числа отличаются на единицу(раздваиваемое число).
Аналогично можно раздвоить единичное преобразование на двавзаимо обратных:
Е=АА"-1", где Е - единичное преобразование, переводящееобъект
в самого себя; А - преобразование рассматриваемого классаобъектов.
Примерами могут служить дифференцирование иинтегрирование, левый и правый
повороты, логарифмическая и показательная функции идр.
Подобным же образом произведем раздвоение функции. Вматематике не
существует единичной функции, подобно единичномупреобразованию, но
существуют взаимные функции. Графики взаимообратныхфункций симметричны
относительно биссектрисы первого квадранта в декартовойсистеме
координат. Уравнение этой биссектрисы y=x. Данную функциюи будем
называть единичной. В результате ее "раздвоения" всегдабудут
получаться взаимообратные функции y=f(x) иx=f(y).
Особым случаем раздвоения единого (Е) являет выделение изнего относительно
целой, далее неделимой части (Н) и части, подверженнойдальнейшему
аналогичному делению (Д):
------------Картинка 1 стр. 35--------
---------------------------
Примерами могут служить бинарные ассиметричные систематики(корректирующие
коды. темпераменты и т. д.). Математической моделью такогораздвоения
является, в частности, цепная дробь, с помощью которойпредставляется число
*:
--------------Картинка 2 стр. 35----
--------------------------
II. 2. 5. Раздвоение понятий и множеств понятий. Дихотомия- это
деление объема понятия на два класса. исчерпывающих весьобъем делимого
понятия. Дихотомии строятся по двум схемам: А и не-А иА
- В. Каждому из двух классов соответствуют понятия,которые могут
находится в логических отношениях отрицания илидополнительности. В
реальной действительности отношения между компонентамидиалектической пары
не исчерпываются отношениями отрицания и дополнения, ониносят более
разнообразные и диалектический характер. По определениядихотомическая
пара представляет собой полный набор понятий. Вместе сродовым понятием они
образуют элементарную простейшую иерархию. Здесьпредставляют интерес такие
вопросы:
1. Какие отношения (кроме указанных выше) могутсуществовать между
компонентами дихотомной пары
2. Каков механизм превращения дихотомии вполитомию
3. Каковы механизм и результат объединения двух дихотомийи политомий
Анализируя описанные примеры процесса раздвоения, можновыделить следующие
его особенности: неоднозначность, множественностьвозможностей; различие
видов противоположностей, получающихся в результатераздвоения; различие
отношений между целым и частями; зависимость результата отдополнительных
ограничений.
В практической и познавательной деятельности человекачасто приходится
иметь дело с раздвоением множеств объектов различнойприроды (точек,
геометрических фигур, понятий). При аналогии сдифференциацией стимулов
можно говорить о дифференциации подмножеств в множестве,оценивать
соответствующие дифференциальные пороги, изучать процессдифференциации,
который в зависимости от условий может быть более илименее трудным
субъективно. Процесс осознания наличия двух подмножеств вмножестве,
формулирование диапазона эквивалентности может происходитьпостепенно,
первоначально может складываться представление либо огранице, либо о
центрах подмножеств. Процесс раздвоения еще болеезатрудняется в случае
открытых множеств с переменным составом переменных. Всовременной
психологии процесс дифференциации подмножеств в множествахтолько начинает
изучаться. Работы в этом направлении могут составитьоснову нового раздела
психофизики. Практически их значениенесомненно.
II. 2. 6. Триады. Следующим шагом анализа являетсявыделение триад в
составе объекта. Речь идет о том же объекте, в которомисследовались
противоположности.
Раздвоение приводит к разбиению множества напересекающиеся подмножества.
При их сближении или расширении подмножества могутпересекаться. Область их
пересечения будет третьим компонентом, возникает триада.Третий компонент
по своему гнезду является промежуточным средним. Этоопределяет и его
свойства: он может быть нейтральным (+, 0, -). В качествепримера можно
привести три стадии онтогенеза (см. VI. 2).
Образование третьего компонента почти наличии двухпротивоположных можно
представить как пересечение двух противоположностей.Примером может служить
получение нейтрального, незаряженного элемента врезультате пересечения
положительного и отрицательно зарядов.
Еще один переход от диад к триадам связан с различениемвнутренних и
граничных областей объекта. Так, отрезок, разделенный надве части, имеет
три граничные точки. Триады возникают также в результатепротивополагания
одного компонента объекта трем другим. Например, вквадрате один угол, одна
сторона и противостоят трем другим.
Можно заметить, что независимо от способа образованиятриады обладают полной
общей чертой: третий компонент всегда оказываетсяпромежуточным по
отношению к двум другим. Эта особенность прослеживается намногочисленных
примерах. Наиболее показательны в этом планедиалектические триады:
единичное - особенное - всеобщее, тезис - антитезис -синтез.
Многие триады связаны с первыми тремя числами натуральногоряда. Такова,
например, триада свойств отношений: рефлексивность,симметричность,
транзитивность. Рефлексивность определяется на одном,симметричность -
на двух, транзитивность - на трех элементах множества.Этим свойствам
аналогичны три аксиомы метрического пространства. Вметрическом
пространстве промежуточность третьего компонента,характеризуется термином
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 29 | Книги по разным темам