Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 43 | Следствие 2. Если = (1,..., d), j -1/2, a = (q1,1,..., qd,1), p 2, > 0, то d,+ d d d d d,(Bp, a) = (E1,(a), Bp) = (E1, (a), Bp) = 2d1/p d d = (F (a), Bp) =.
Список литературы 1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 331 c.
56 А. В. Иванов 2. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т.66, №3. С.336Ц350.
3. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1998. Т.5. С.183Ц198.
4. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и Lp,(R+) // Изв.
ТуГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т.4. Вып.1. С.44Ц70.
5. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions I. Eventually positive functions with zero integral functions // SIAM J. Math. Anal. 1983.
V.14, №2. P.249Ц252.
6. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88.
С.71Ц74.
7. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2-approximation of periodic functions by trygonometric polynomials // Approximation and functions spaces: proc. Intern.
conf., GdanТsk, 1979 / Amsterdam: North-Holland, 1981. P.25Ц43.
8. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т.68, №2. С.179Ц187.
9. Rsler M. Dunkl Operators: Theory and Applications. Lecture Notes in Math.
C.1817. Berlin: Springer, 2003. P.93Ц135.
10. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТуГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.26Ц44.
11. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math.
Z. 1988. V.197. P.33Ц60.
12. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans.
Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167Ц183.
13. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math.
1991. V.43. P.1213Ц1227.
14. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflection groups // Contemp.
Math. 1992. V.138. P.123Ц138.
15. Rsler M. Positivity of DunklТs interwining operator // Duke Math. J. 1999. V.98.
P.445Ц463.
16. de Jeu M.F.E. The Dunkl transform // Invent. Math. 1993. V.113. P.147Ц162.
17. de Jeu M.F.E. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform // Trans. Amer.
Math. Soc. 2006. V.358. P.4225Ц4250.
18. Бабенко А.Г. О точной константе Джексона в L2 // Матем. заметки. 1986. Т.39, №5. С.651Ц664.
19. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенства Джексона на сфере в L2 // Изв. вузов.
Матем. 1995. №8. С.13Ц20.
20. Berdysheva E.E. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East J. Approx. 1997. V.3, №4. P.393Ц402.
21. Arestov V.V., Babenko A.G. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with Respect to Argument of Modulus of Continuity // Approx. Theory: a vol. dedic. B. Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P.13Ц23.
22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 c.
23. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.
320 c.
Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах 24. Горбачев Д.В. Приближение в L2 частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТуГУ. Сер.
Математика. Механика. Информатика. 1999. Т.5. Вып.1. С.38Ц50.
25. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16, №4. С.180Ц192.
26. Mouron M.A., Trimche K. Transmutation operators and Paley-Wiener theorem associated with a singular differential-difference operator on the real line // Analysis and Applications. 2003. V.1, №1. P.43Ц70.
27. Белкина Е.С. Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций:
дис.... канд. физ.-мат. наук. Петрозаводск. 2000. 92 c.
28. Иванов В.И., Лю Юнпин, Смирнов О.И. Некоторые неравенства для целых функций экспоненциального типа в пространствах Lp(Rd) со степенным весом // Изв. ТуГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.70Ц80.
29. Ватсон Г.Н. Теория бесседевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.
30. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТуГУ, 2010. 174 с.
31. Frappier C., Oliver P. A quadrature formula involcing zeros of Bessel functions // Math. of Comp. 1993. V.60, №201. P.303Ц316.
32. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formulae with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Comp. 1995. V.64. P.715Ц725.
33. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С.309Ц315.
Иванов Алексей Валерьевич (d_bringer@mail.ru), ассистент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Logan problem for multivariate entire functions and Jackson constants in weighted spaces A. V. Ivanov Abstract. The exact constant D(V, U)2,k in Jackson inequality in L2,k(Rd)space with power weight vk(x) = |(, x)|2k(), defined by positive subsysR+ tem of finite root system R Rd and G(R)-invariant function k() : R R+ is studied. Here V and U are a convex centrally symmetric compact bodies. Body V contain a support of Dunkl transform or spectrum of approximate entire function and U is zero neighborhood in module of continuity. The continuity of Jackson constant as function of and is proved. The relation between optimal argument in module of continuity and Logan problem about smallest radius of ball, defined by body V, outside of which positive definite integrable entire function with U-spectrum is nonpositive, is established. Logan problem is 58 А. В. Иванов d solved, when weight v(x) = |xj|2j+1, j -1/2, V is Euclidean ball and U j=is parallelepiped.
Keywords: reflection group, Dunkl transform, L2(Rd)-space with power weight, entire functions of exponential type, Jackson constant, Logan problem.
Ivanov Alexey (d_bringer@mail.ru), assistant, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 14.06.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59ЦМатематика УДК 517.Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < с периодическим весом Якоби В. И. Иванов, Юнпин Лю Аннотация. Доказывается точность неравенства Джексона в пространствах Lp,(T), 1 p < 2 на одномерном торе T = [-, ) с периодическим весом Якоби | sin x|2+1, > -1/2, установленного Д.В. Чертовой.
Ключевые слова: тор, периодический вес Якоби, пространства Lp, тригонометрические полиномы, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона.
Введение Пусть T = [-, ) одномерный тор, -1/2, v(x) = | sin x|2+ периодический вес Якоби, d(x) = v(x)dx, 1 p <, Lp,(T) пространство 2-периодических комплексных измеримых по Лебегу функций с конечной нормой 1/p f = |f(x)|pd(x) <, p, T (,) Pn (t) ортогональные многочлены Якоби на отрезке [-1, 1] с весом (1 (,) (,) - t2), для которых Pn (1) = 1, tn, наибольший нуль Pn (t), n, = = arccos tn,.
Тригонометрические полиномы (,) 0,(x) = 1, n,(x) = Pn (cos x), (+1,+1) n,(x) = Pn-1 (cos x) sin x, n = 1, 2,...
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00564, № 1201-91158-ГФЕН).
60 В. И. Иванов, Юнпин Лю образуют в пространстве Lp,(T) полную систему, ортогональную относительно скалярного произведения (f, g) = f(x)g(x)d(x) T (см. [1Ц3]).
Пусть n En(f)p, = min f(x) - a00,(x) - (akk,(x) + bkk,(x)) ak,bk k=p, величина наилучшего приближения функции f Lp,(T) тригонометриче скими полиномами порядка n = 0, 1,...
В работе Д.В. Чертовой [4] доказано, что в пространстве Lp,(T) действует ограниченный линейный интегральный оператор обобщенного сдвига ( + 1) t T f(x) = {f(A)(1 + B) + f(-A)(1 - B)} sin2 d, 2 ( + 1/2) где t T, A = arccos (cos x cos t + sin x sin t cos ), sin x cos t - cos x sin t cos B =, sin A и определен модуль непрерывности (, f)p, = sup{(t, f)p, : |t| }, 0 <, где t p(t, f)p, = (T |f(y) - f(x)|p) y=x d(x) = T ( + 1) = {|f(A) - f(x)|p(1 + B)+ 2 ( + 1/2) T +|f(-A) - f(x)|p(1 - B)} sin2 dd(x).
Константы Джексона определяются равенством En(f)p, D(n, )p, = sup. (1) (, f)p, fLp,(T) В случае единичного веса ( = -1/2) известно, что D(n - 1, )2,-1/2 = 2-1/2, /n, (2) D(2n - 2, )p,-1/2 = 21/p-1, 1 p < 2, /n. (3) Равенство (2) доказано Н.И. Черных [5]. Оценка сверху в (3) также доказана Н.И. Черных [6], оценка снизу В.И. Бердышевым [7].
Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp с весом Якоби В [4] установлено, что для > -1/D(n - 1, )2, = 2-1/2, 2n,, (4) D(2n - 2, )p, 21/p-1, 1 p < 2, 2n,. (5) Для четных функций равенство (4) было доказано А.Г. Бабенко [8].
Мы доказываем следующее утверждение.
Теорема 1. Если n N, > -1/2, 1 p < 2, то D(n - 1, )p, 21/p-1. (6) Таким образом, оценка Д.В. Чертовой (5), как и в случае единичного веса, является точной. Теорема 1 была анонсирована в [9].
Оценка (6) будет получена с помощью действительных, четных функций, поэтому нам удобно рассматривать функции на отрезке [0, ] и ввести следующие обозначения. Пусть - ( + 3/2) c = (sin x)2+1dx =, d(x) = c(sin x)2+1dx, ( + 1) 1/p Lp,[0, ] = f : [0, ] R : f = |f(x)|pd(x) <, p, (f, g) = f(x)g(x)d(x), (7) n En(f)p = min f(x) - akk,(x). (8) ak k=p, Для четных функций на отрезке [0, ] оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности и константы Джексона примут следующий вид:
t T f(x) = f(A)d-1/2(), (9) (, f)p, = sup{(t, f)p, : 0 t }, En(f)p, De(n, )p, = sup, (, f)p, fLp,[0,] где t p(t, f)p, = (T |f(y) - f(x)|p) y=x d(x) = = |f(A) - f(x)|pd-1/2()d(x), (10) 0 A = arccos (cos x cos t + sin x sin t cos ).
Очевидно, что D(n, )p, De(n, )p,.
62 В. И. Иванов, Юнпин Лю Теорема 1 будет вытекать из следующего утверждения.
Теорема 2. Если n N, > -1/2, 1 p < 2, то De(n - 1, )p, 21/p-1.
В дальнейшем параметры и n (порядок полинома наилучшего приближения) будут фиксированными и нам будет не важна зависимость от них констант в неравенствах, поэтому вместо неравенства A c,nB будем писать A B. Запись A B будет означать B A B.
1. Некоторые вспомогательные результаты Вначале приведем некоторые свойства полиномов k,(x):
|k,(x)| 1, | k,(x)| k, (11) k(k + 2 + 1) k,(x) = - sin xk-1,+1(x), (12) 2( + 1) ((sin x)2+1 k,(x)) + k(k + 2 + 1)(sin x)2+1k,(x) = 0, (13) (2 + 2)(k + 1) (0,, 0,) = 1, (k,, k,) =, (14) (2k + 2 + 1)(k + 2 + 1) k2+|k,(x)|, (15) (k| sin x| + 1)+1/t c k,(x)d(x) = (sin t)2+2k-1,+1(t), (16) 2( + 1) t k,(x)d(x). (17) k+3/Свойства (11)Ц(14) можно найти в [1, 2, 10]. Второе неравенство в (11) вытекает из первого неравенства и неравенства Бернштейна для производной тригонометрического полинома [11]. Порядковое равенство в (14) вытекает из поведения гамма-функции [10]:
(k + ) k-.
(k + ) Оценка полиномов k, в форме (15) предложена В.М. Бадковым [12].
Равенство (16) вытекает из (12) и (13). Неравенство (17) вытекает из (15) и (16).
t Отметим некоторые свойства оператора обобщенного сдвига T (см. [4, 8]):
0 t T f(x) = f(x), T 1 = 1, (18) t если f(x) 0, то T f(x) 0, (19) t t (T f, g) = (f, T g), (20) Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp с весом Якоби t T f(x)d(x) = f(x)d(x), (21) 0 t T k(x) = k(t)k(x). (22) Пусть отрезки 1, 2 [0, ], 1, 2 их характеристические функции, t g1,2(t) = 1(x)T 2(x)d(x), (23) (, f) = sup{|f(x1) - f(x2)| : |x1 - x2| } модуль непрерывности функции f C[0, ].
емма 1. Для модуля непрерывности функции (23) справедлива оценка (, g1,2) ln 1/.
Доказательство. Разложим функции i, i = 1, 2 в ряд Фурье по системе {k,} :
k= i(x) = (i)kk,(x), k=где (i, k,) (i)k =.
(k,, k,) Согласно (22) t T 2(x) = (2)kk,(t)k,(x).
k=Применяя равенство Парсеваля, получим (1, k,)(2, k,) g1,2(t) = k,(t) = akk,(t).
(k,, k,) k=0 k=Согласно (14), (17) |(1, k,)(2, k,)| |ak| = (k,, k,) kи, в частности, g1,2(t) C[0, ]. Так как для t1, t2 [0, ], |t1 - t2| в силу (11) |k,(t2) - k,(t1)| = | k,()||t2 - t1| k, то |g1,2(t2) - g1,2(t1)| |ak|k + 2 |ak| 1 k 1/ k>1/ 1 + 2 ln 1/.
k k1 k 1/ k>1/ 64 В. И. Иванов, Юнпин Лю Лемма 1 доказана.
Нам понадобятся оценки сумм независимых случайных величин. Оценку Хефдинга [13] запишем в нужных нам формах:
2xP(X1 +... + XN -x) exp -, (24) NB2xP(|X1 +... + XN | x) 2 exp -, (25) NBгде x > 0, Xk независимые случайные величины, для которых ak Xk bk, bk - ak B и математические ожидания E(Xk) = 0.
Пусть ZN = {1, 2,..., N}, SN множество всех перестановок ZN, N подмножество перестановок, для которых для всех i ZN (i) = i.
В [14] доказано следующее утверждение.
емма 2. Для любой перестановки N последовательность пар (i, (i))N можно разбить на три набора так, что в каждом наборе все i=элементы пар будут различными.
Напомним, что квадратная матрица A = (aij)NN называется дважды стохастической, если для всех i, j = 1,..., N, ai,j 0 и N N aij = aij = 1.
j=1 i=Дважды стохастическая матрица называется крайней или матрицей перестановок, если у нее в каждой строке и в каждом столбце ровно одна единица, а остальные элементы нули. Теорема Биркгофа [15] утверждает, что любая дважды стохастическая матрица является выпуклой линейной комбинацией крайних матриц. Сформулируем её более точно.
Теорема Биркгофа. Для любой дважды стохастической матрицы A Nпорядка N существуют набор неотрицательных чисел 1,..., N2, s = s== 1 и набор крайних дважды стохастических матриц A1,..., AN2, для которых NA = sAs. (26) s=На самом деле Биркгоф не подсчитывал число крайних матриц в представлении (26). Это было сделано в более поздних доказательствах.
Наименьшее число крайних матриц, достаточное для представления любой дважды стохастической матрицы, равно N2 - 2N + 2 [15].
Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp с весом Якоби 2. Доказательство теоремы Пусть N N, отрезки 1,..., N [0, ], (i) = d(x) = 1/N, i N i = [0, ], c(i) {-1, 1}, i=fN (x) = c(i), x i, i = 1,..., N. (27) Константы c(i) будем считать независимыми случайными величинами, принимающими значения 1 с одинаковыми вероятностями P(c(i) = 1) = P(c(i) = -1) = 1/2, так что E(c(i)) = 0.
Так как |fN (x)| = 1, то в силу (10), (18), (21) t p(t, fN )p, = (T |fN (y) - fN (x)|p) y=x d(x) = t = 2p-2 (T |fN (y) - fN (x)|2) y=x d(x) = t t = 2p-1 (T 1 - fN (x)T fN (x))d(x) = t = 2p-1 1 - fN (x)T fN(x)d(x) = 2p-1{1 - GN (t)}. (28) Используя обозначение (23), получим N GN (t) = c(i)c(j)gi,j (t).
Pages: | 1 | ... | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | 43 | Книги по разным темам