Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |   ...   | 43 |

1. Гармонический анализ в пространствах со степенным весом Гармонический анализ в пространствах с весом (5) осуществляется с помощью дифференциально-разностных операторов и интегральных преобразований Данкля, определяемых с помощью конечной группы отражений. Такой подход к построению гармонического анализа и соответствующих специальных функций был предложен Ч. Данклем [11Ц14].

Приведем необходимые факты из теории Данкля [9].

Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах Пусть Rd \ {0}, 2(, x) (x) = x - || ортогональное отражение относительно гиперплоскости (, y) = 0.

Конечное множество R Rd \ {0} называется системой корней, если (R) = R и R R = {, -} для всех R. Каждая система корней является объединением двух непересекающихся множеств R+ и R-, разделенных некоторой гиперплоскостью (, y) = 0, R. Множество R+ R называется положительной подсистемой. Множество отражений { : R} порождает группу отражений G(R). Она является конечной подгруппой в группе ортогональных преобразований O(d).

Пусть функция k() : R R+ инвариантна относительно действия группы G(R), т.е. k(g) = k() для всех g G(R) и R. Если e1,..., ed стандартный ортонормированный базис в Rd, то дифференциальноразностные операторы Данкля определяются равенствами f(x) f(x) - f((x)) Djf(x) = + k()(, ej), j = 1,..., d.

xj R+ (, x) Для y Rd система Djf(x) = yjf(x), f(0) = имеет единственное действительно-аналитическое в Rd решение Ek(x, y), которое продолжается до целой в Cd Cd функции. Для обобщенной экспоненты ek(x, y) = Ek(ix, y) выполнены свойства, аналогичные свойствам экспоненты ei(x,y).

Предложение 1 [13,15]. Если g G(R), C, x, y Rd, z Cd, то ek(x, y) = ek(y, x), ek(0, y) = 1, ek(x, y) = ek(x, y), ek(x, y) = ek(-x, y), ek(gx, gy) = ek(x, y), |ek(z, y)| e|y|| Im z|, |ek(x, y)| 1.

Пусть вес vk(x) определен в (5), ck = e-|x| /2vk(x)dx, Rd dk(x) = c-1vk(x)dx, 1 p <, Lp,k(Rd) пространство комплексных k измеримых по Лебегу на Rd функций f с нормой 1/p f = |f(x)|pdk(x) <, p,k Rd Cb(Rd) пространство непрерывных ограниченных на Rd функций, S(Rd) пространство Шварца бесконечно дифференцируемых, быстро убывающих функций.

34 А. В. Иванов Пространство L2,k(Rd) гильбертово со скалярным произведением (f, g)k = f(x)g(x)dk(x).

Rd Обобщенная экспонента позволяет определить преобразование Данкля (Фурье-Данкля). Для f L1,k(Rd) положим fk(x) = f(y)ek(x, y)dk(y).

Rd Обратное преобразование Данкля задается формулой k f (x) = f(y)ek(x, y)d(y) = fk(-x).

Rd Приведем основные свойства преобразований Данкля.

Предложение 2 [14,16]. Для прямого и обратного преобразований Данкля справедливы следующие свойства:

1. Если f, fk L1,k(Rd), то для почти всех x k f(x) = fk (x).

В частности, это верно в каждой точке непрерывности f.

2. Преобразование Данкля имеет единственное продолжение до изометрического изоморфизма пространства L2,k(Rd) так, что в среднеквадратичном для f L2,k(Rd) fk(y) = f(x)ek(x, y)dk(x) L2,k(Rd) Rd и f(x) = fk(y)ek(x, y)dk(y).

Rd Для любых f, g L2,k(Rd) выполнены равенства Планшереля и Парсеваля (f, g)k = (fk, gk)k, f = fk.

2,k 2,k С помощью тела U определим модуль непрерывности функции f L2,k(Rd) 1/(U, f)2,k = sup 2 (1 - Re ek(t, y))|fk(y)|2dk(y), > 0. (6) tU Rd Для функции f S(Rd) 1/t (U, f)2,k = sup (k|f(y) - f(x)|2) y=x dk(x), (7) tU Rd Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах где t kf(x) = ek(t, y)fk(y)ek(x, y)dk(y) (8) Rd оператор обобщенного сдвига.

Оператор (8) является ограниченным оператором из L2,k(Rd) в L2,k(Rd).

Он действует инвариантно в пространстве S(Rd) [9]. Возможность его продолжения до ограниченного оператора из L1,k(Rd) в L1,k(Rd) позволила бы записать модуль непрерывности (6) в форме (7) для любой f L2,k(Rd).

Для выпуклого центрально-симметричного компактного тела V Rd d через E2,k(V ), > 0 обозначим класс функций g L2,k(R), для которых supp gk V. Геометрический вариант теоремы Пэли-Винера означал бы, d что E2,k(V ) совпадает с классом функций g L2,k(Rd), которые являются сужениями на Rd целых в Cd функций g(z), удовлетворяющих оценке |g(z)| cge| Im z|V, cg > 0, где Im z = (Im z1,..., Im zd). В таком общем виде геометрический вариант d теоремы Пэли-Винера не доказан. Он известен для случая, когда V = B2 [17] или когда V инвариантно относительно группы отражений G(R), а функция k() принимает целые значения [17].

d Наилучшим приближением функции f L2,k(Rd) классом E2,k(V ) назовем величину d E(V, f)2,k = inf{ f - g : g E2,k(V )}.

2,k По равенству Парсеваля E2(V, f)2,k = |fk(y)|2dk(y). (9) y V Константу Джексона D(V, U)2,k определим как точную константу в неравенстве Джексона E(V, f)2,k D(U, f)2,k, (10) то есть положим E(V, f)2,k D(V, U)2,k = sup : f L2,k(Rd). (11) (U, f)2,k 2. Некоторые свойства константы Джексона Пусть для множества M Rd Mc = Rd \ M его дополнение. Согласно (6), (9), (11) |fk(y)|2dk(y) (V )c 2D2(V, U)2,k = sup. (12) sup (1 - Re ek(t, y))|fk(y)|2dk(y) fL2,k(Rd) (V )c tU 36 А. В. Иванов Делая в интегралах замену переменной y = r-1x, r > 0 и пользуясь предложением 1, однородностью веса (5), получим |fk(r-1x)|2dk(x) (rV )c 2D2(V, U)2,k = sup = sup (1 - Re ek(r-1t, x))|fk(r-1x)|2dk(x) fL2,k(Rd) (rV )c tU = 2D2(rV, r-1U)2,k.

Итак, для любого r > D(rV, r-1U)2,k = D(V, U)2,k, (13) поэтому функция D(V, U)2,k двух переменных, является функцией одной переменной :

D(V, U)2,k = D(V, U)2,k = D(V, U)2,k.

Пусть L+ (V ) = f L1,k(Rd) : f(x) 0, fdk = 1. (14) 1,k V Тогда равенство (12) может быть переписано так:

2-1D-2(V, U)2,k = inf sup (1 - Re ek(t, x))f(x)dk(x) = fL+ (V ) tU (V )c 1,k = K(V, U). (15) Такая форма записи константы Джексона подсказывает нам, что для дальнейшего изучения ее свойств следует использовать соображения двойственности. Это впервые в задаче о константе Джексона в L2 было сделано В.В. Арестовым [18,19] (см. также [20,21]). Будем следовать его рассуждениям.

Пусть M(U) банахово пространство регулярных борелевских действительных мер (регулярных борелевских действительных счетно аддитивных функций) на U с нормой ||, равной полной вариации на U (см. [22]). Любая мера M(U) равна разности двух неотрицательных мер +, - M(U) и || = +(U) + -(U). Если S(U) = { M(U) : || = 1} единичная сфера в M(U), то подмножество S+(U) неотрицательных мер есть множество вероятностных мер из M(U). Известно [22], что M(U) является сопряженными для пространства C(U) действительных непрерывных на компакте U функций с равномерной нормой.

Множество функций c H(V ) = F (t) = (1 - Re ek(t, x)f(x)dk(x) : f L+ (V )) (16) 1,k V Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах является выпуклым подмножеством в C(U) и величина L(V, U) равна величине наилучшего приближения нуля в C(U) выпуклым множеством H(V ). По теореме двойственности (см. [23]) и в силу неотрицательности функций из H(V ) K(V, U) = sup inf F (t)d(t) = F H(V ) S+(U) U = inf F (t)d(t). (17) F H(V ) U для некоторой меры S+(U).

Покажем, что для любой меры S+(U) inf F (t)d(t) = inf (1 - Re ek(t, x))d(t). (18) F H(V ) x(V )c U U Действительно, для любой F H(V ) согласно (14), (16) F (t)d(t) = f(x)(1 - Re ek(t, x))dk(x)d(t) = U U (V )c = f(x) (1 - Re ek(t, x))d(t)dk(x) (V )c U inf (1 - Re ek(t, x))d(t).

x(V )c U С другой стороны, если B2(x, ) = {y Rd : |x - y|2 }, то для любого x (V )c из непрерывности функции (1 - Re ek(t, x))d(t) U inf F (t)d(t) F H(V ) F H(V ) U inf (1 - Re ek(t, y))d(t)dk(y) 0<(x) k(B2(x, )) B2(x,) U lim (1 - Re ek(t, y))d(t)dk(y) = 0+0 k(B2(x, )) B2(x,) U = (1 - Re ek(t, x))d(t), U поэтому inf F (t)d(t) inf (1 - Re ek(t, x))d(t).

F H(V ) x(V )c U U Равенство (18) доказано.

38 А. В. Иванов Согласно (17), (18) K(V, U) = sup inf (1 - Re ek(t, x))d(t) = x(V )c U S+(U) = sup inf 1 - Re ek(t, x)d(t) = x(V )c U S+( U) = 1 - inf sup Re ek(t, x)d(t), S+(U) x(V )c U K(V, U) = inf (1 - Re ek(t, x))d(t) = x(V )c U = 1 - sup Re ek(t, x)d(t).

x(V )c U Пусть J(V, U) = inf sup Re ek(t, x)d(t). (19) S+(U) x(V )c U Нами установлено следующее утверждение.

Теорема 1. Справедливы следующие равенства:

2D2(V, U)2,k = = K(V, U) =, sup inf (1 - Re ek(t, x))d(t) x(V )c U S+( U) 2D2(V, U)2,k = = 1 - J(V, U) =.

1 - inf sup (1 - Re ek(t, x))d(t) U S+(U) x(V )c Существует экстремальная мера S+(U), для которой 2D2(V, U)2,k = = inf (1 - Re ek(t, x))d(t) x(V )c U =. (20) 1 - sup Re ek(t, x)d(t) U x(V )c Отметим, что из теоремы 1 и (12) для любого r > K(rV, r-1U) = K(V, U), J(rV, r-1U) = J(V, U). (21) Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах Так как для любых, > 0 и некоторых 1, 2, 1, 2 > d d d d 1B2 V 2B2, 2B2 U 1B2, то d d d d D(1B2, 1B2)2,k D(V, U)2,k D(2B2, 2B2)2,k.

В [10] установлено, что для любых, > d d D(B2, B2)2,k <, поэтому справедлива следующая лемма.

емма 1. Для любых, > 0 справедливы неравенства D(V, U)2,k <, 0 < K(V, U) 1, 0 J(V, U) < 1.

Изучим дополнительные свойства экстремальной меры в (21). Для этого введем некоторые определения. Линейный непрерывный функционал L на C(U) назовем четным (нечетным), если для любой нечетной (четной) функции f C(U) L(f) = 0. Справедливо следующее разложение линейного непрерывного функционала:

L(f) = Le(f) + Lo(f), где f(x) + f(-x) f(x) - f(-x) Le(f) = L, Lo(f) = L 2 четная и нечетная составляющие. Очевидно, что Le L, Lo L.

Меру M(U) назовем четной, если линейный непрерывный функционал на C(U) L(f) = f, = fd (22) U является четным. В представлении (22) меру у четного функционала можно считать четной.

Теорема двойственности в (17) выглядит так:

K(V, U) = inf F = C(U) F H(V ) = sup inf L(F ) : L (C(U)), L = 1.

F H(V ) Так как множество H(V ) состоит из четных функций, то K(V, U) = sup inf Le(F ) : L (C(U)), Le 1 = F H(V ) 40 А. В. Иванов = sup inf L(F ) : L (C(U)), L = 1, L четный = F H(V ) = sup inf F, = inf F, .

F H(V ) F H(V ) S+(U) четная Итак, экстремальную вероятностную меру в (17) можно считать четной.

Меру M(U) можно продолжить на -алгебру B борелевских множеств в Rd, полагая для A B (A) = (A U). Носитель supp U. Напомним, что supp U, если для любого A B, A U = будет (A U) = 0.

Пусть меры M(U) k(x) = ek(x, t)d(t) (23) Rd ее преобразование Данкля. Оно является целой функцией.

Для функции ek(x, t) справедливо представление [9] ek(x, t) = ei(x,)dk(), (24) t Rd где k вероятностная борелевская мера, носитель которой лежит в t выпуклой оболочке co({gt : g G(R)}) орбиты t относительно группы G(R).

Если z Cd, то из (24) max |(Im z,gt)| |ek(z, t)| egG(R) e|t|2| Im z|2, поэтому для преобразования Данкля меры M(U) max |t|2| Im z||t|U |k(z)| e e2| Im z|2, (25) а при условии инвариантности U относительно группы G(R) max |(Im z,t)| |t|U |k(z)| r = e| Im z|U. (26) Из (22) вытекает также полезное неравенство |ek(x, t1) - ek(x, t2)| |ei(t1,) - ei(t2,)|dk() x Rd |t1 - t2|2 ||2dk() |x|2|t1 - t2|. (27) x Rd Лемма 2. Если для меры M(U) k(x) 0, то = 0.

Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах Доказательство. Достаточно показать, что для любой f C(U) L(f) = f, = 0. Для этого достаточно показать, что множество функций вида m clek(x, tl) : m N, tl Rd, cl C l=плотно в C(U) относительно равномерной нормы.

В C(U) плотно множество P = {p(x)} многочленов. Так как для r > 1 - e-r|x|2 r|x|2, то в C(U) плотно множество D = {p(x)e-r|x|2 : p P, r > 0}.

Конечные суммы элементов из D образуют алгебру A. Известно [16], что для любой f A будет fk A и для x Rd f(x) = f(t)ek(x, t)dk(t), поэтому Rd в C(U) плотно множество функций вида d g(t)ek(x, t)dk(t) : g C(RB2), R > 0.

d RBm d Пусть для A Rd diam A = sup{|x - y|2 : x, y A}, > 0, RB2 = Al, l=Al As = (l = s), Al B, diam Al, tl Al. В силу (27) для x U m g(t)ek(x, t)dk(t) - k(Al)g(tl)ek(x, tl) = d RBl=m = (g(t)ek(x, t) - g(tl)ek(x, tl))dk(t) Al l=m {|g(t) - g(tl)||ek(x, t)| + |g(tl)||ek(x, t) - ek(x, tl)|}dk(t) Al l=d max |g(t ) - g(t )| + g C(RB2 ) max |x|2 k(RB2) 0 ( 0 + 0).

d |t -t | |x|U Лемма 2 доказана.

Пусть d Fk (U) = {k : S+(U), четная}.

Отметим, что в силу четности меры k(x) = Re ek(x, t)d(t).

U d Функции из Fk (U) являются четными целыми функциями и для них справедливы оценки (25), (26).

42 А. В. Иванов 2 Пусть d = 2 k(), (x) = e-|x|2/2. Известно [9], что k(x) = e-|x|2/R+ и для > 1 x k()(x) = k.

d+d d Лемма 3. Если f Fk (U) и (f, V ) <, то f L1,k(Rd), supp fk U и fk(x) 0.

Доказательство. Пусть S+(U), четная, f(x) = ek(x, t)d(t).

U Для любого > 0 в силу теоремы Фубини f(x)(x)dk(x) = (x)ek(x, t)dk(x)d(t) = Rd U Rd 1 2 = e-|t|2/2 d(t) 0.

d+d U Если (f, V ) =, то 0 < (f(0) = 1) и f(x) 0 при |x|V, поэтому 0 f(x)(x)dk(x) = |f(x)|(x)dk(x)Rd V - |f(x)|(x)dk(x).

(V )c Отсюда и из неравенства |f(x)| |f(x)|(x)dk(x) |f(x)|(x)dk(x) k(V ).

(V )c V Так как для всех x lim (x) = 1, то по лемме Фату f L1,k(Rd). По 0+d d теореме Пэли-Винера согласно оценке (24) suppfk 2B2 (U 2B2) и для всех x f(x) = ek(x, t)fk(t)dk(t).

d 2Bd По лемме 2 мера ( M(2B2)) и мера 1, для которой 1(A) = = fk(t)dk(t), A B, совпадают, поэтому supp fk U и fk(x) 0. Лемма A 3 доказана.

Если D(V, U)2,k = 1/ 2, то для экстремальной меры по теореме k (, V ), поэтому согласно лемме 3 справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если D(V, U)2,k = 1/ 2 и экстремальная мера из теоремы 1, то для нее выполнены следующие свойства:

1) четная, вероятностная, supp U;

Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах 2) d = gdk, g C(Rd), supp g U, g четная, g 0, gk(0) = 1, gk L1,k(Rd).

В случае единичного веса (k() 0) теорема 2 вытекает из результатов работы Е.Е. Бердышевой [2].

Изучим непрерывность константы Джексона D(V, U)2,k (11) как функции, > 0. При d = 1, k() 0 непрерывность константы Джексона доказана в [21]. Мы будем следовать этой работе.

Вначале определим преобразование подобия для меры. Пусть S+(U), > 0, мера, для которой (A) = (-1A), A B. Если A B, A U = =, то -1A U = и = (-1A) = 0, поэтому supp U. Так как (U) = (U) = 1, то S+(U). Если f C(U), то f(t)d(t) = f(x)d(x).

U U m Действительно, если > 0 U = Al, Al B, Al As = l = s, diam Al l=, tl Al, Bl = -1Al, xl = -1tl, то m m f(tl)(Al) = f(xl)(Bl).

l=1 l=Первые суммы при 0 + 0 стремятся к f(t)d(t), а вторые к U f(x)d(x).

U Теорема 3. Для всех > 0, > 0 константа Джексона D(V, U)2,k (11) непрерывна.

Доказательство. Согласно (13), (14), теореме 1 достаточно доказать непрерывность любой из двух функций D() = D(V, U)2,k, J() = J(V, U), > 0.

Непрерывность слева. Покажем, что J() = J( - 0). Так как J() не возрастает, то для этого достаточно доказать неравенство J() J( - 0).

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам