Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... | 43 | Согласно теореме 1 для некоторой четной меры S+(U) J() = sup ek(x, t)d(t).
|x|V 1 U Рассмотрим функцию h(s) = sup ek(sx, t)d(t) = sup k(sx).
|x|V 1 U |x|V 44 А. В. Иванов Покажем, что она непрерывная для s > 0. Пусть 0 < s1 s2 2s1. Если h(s1) = sup k(s1x), то h(s2) = h(s1). Если h(s1) = sup k(s1x), = {x |x|V 2 1 |x|V Rd : 1 |x|V 2}, то согласно (27) 0 h(s1) - h(s2) sup k(s1x) - sup k(s2x) = 1 |x|V 2 1 |x|V = sup (1 + k(s1x)) - sup (1 + k(s2x)) = 1 |x|V 2 1 |x|V = 1 + k(s1x) - 1 + k(s2x) k(s1x) - k(s2x) C() C() C() sup |ek(s1x, t) - ek(s2x, t)|d(t) sup |s1 - s2||x|2 |t|2d(t) |x|V 2 U |x|V 2 U 2 max |x|2 max |t|2|s1 - s2|.
|x|V 1 |t|U Итак, если 0 < s1 s2 2s1, то |h(s1) - h(s2)| 2 max |x|2 max |x|2|s1 - s2|.
|x|V 1 |x|U Непрерывность и даже равномерная непрерывность h(s) на интервале [, ), > 0 доказана.
Пусть 0 <. Так как / S+(U), то по определению (19) при = J() sup ek(x, t)d/ (t) = sup ek x, t d(t) = h.
|x|V 1 U |x|V 1 U Переходя к пределу в этом неравенстве при - 0 и используя непрерывность h(s), получим J( - 0) h(1) = J().
Непрерывность слева установлена.
Непрерывность справа. Наличие непрерывности функции D() справа более понятно и отмечалось многими авторами [2, 24]. Доказательство носит стандартный характер.
Из (13), (14) для любого > и любой функции f L+ (V ) 1,k f(t)dk(t) D() sup (1 - Re ek(x, t))f(t)dk(t). (28) c c V |x|U V Функция v() = sup (1 - Re ek(x, t))f(t)dk(t) = c |x|U V = sup (1 - Re ek(x, t))f(t)dk(t), > c |x|U 1 V Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах непрерывна, так как для любого M > 1, любых 1, 2 > 0 согласно (27) |v(1) - v(2)| sup |ek(1x, t) - ek(2x, t)|f(t)dk(t) c |x|U 1 V max |x|2 max |t|2|1 - 2| + 2 f(t)dk(t).
|x|U 1 |t|V M |t|V M Переходя к пределу в (28) при + 0, получим f(t)dk(t) D( + 0) sup (1 - Re ek(x, t))f(t)dk(t), (29) c c V |x|U V поэтому для D(), как наименьшей константы в (29), выполнено неравенство D() D( + 0). Обратное неравенство вытекает из невозрастания D().
Непрерывность справа и теорема 3 доказаны.
3. Задача Логана для целых функций многих переменных в весовых пространствах Число d,k(V, U) > 0 назовем оптимальной точкой в неравенстве Джексона (10) или точкой Черных, если выполнены два условия:
D(V, U)2,k при d,k(V, U), D(V, U)2,k > при < d,k(V, U).
Из леммы 1 и теоремы d,k(V, U) = min{ > 0 : D(V, U)2,k = }.
Из теоремы d,k(V, U) = min{ > 0 : J(V, U) = 0}.
Согласно (21) d,k(V, U) d,k(V, U) =. (30) d,k(V,U) Действительно, J V, U = J(V, d,k(V, U)U) = 0 и d,k(V, U) d,k(V, U)/. Аналогично, J(V, d,k(V, U)U) = J(V, d,k(V, U)U) = 0 и d,k(V, U) d,k(V, U).
d,+ d Пусть E1,k(U)(E1,k (U)) класс действительных четных целых функций f L1,k(Rd), для которых f(0) = 1, supp fk U и fk(0) 0 (fk(y) 0 на U).
46 А. В. Иванов Напомним, что задача Логана для класса действительных функций M состоит в вычислении величины (M, V ) = inf{(f, V ) : f M, f = 0}, где (f, V ) = sup{|x|V : f(x) > 0}.
d,+ d d Рассмотрим задачу Логана для классов Fk (U), E1,k(U), E1,k (U). Из вложений d,+ d,+ d d E1,k (U) Fk (U), E1,k (U) E1,k(U) и леммы d,+ d d (E1,k(U), V ) (E1,k, V ) = (Fk (U), V ). (31) Лемма 4. Равенство J(V, U) = 0 имеет место тогда и только тогда, d,+ когда (E1,k (U), V ).
Доказательство. Необходимость. Если J(V, U) = 0, то согласно (21) d,+ J(V, U) = 0 и по теоремам 1,2 существует функция f E1,k (U), для которой d,+ (f, V ), поэтому (E1,k (U), V ). Необходимость доказана.
d,+ Достаточность. Если (E1,k (U), V ) =, то для любого > 0 существует d,+ функция f E1,k (U), для которой (f, V ) +, поэтому J(V, ( + )U) = J(( + )V, U) = 0.
Из непрерывности функции J(V, U) по вытекает, что J(V, U) = 0 и J(V, U) = 0 при. Достаточность и лемма 4 в целом доказаны.
Из леммы 4 и (30), (31) вытекает теорема.
Теорема 4. Имеют место следующие равенства:
d,+ d d,k(V, U) = (E1,k (U), V ) = (Fk (U), V ) = d,+ d (E1,k (U), V ) d,k(V, U) (Fk (U), V ) = = =.
Пусть J(x) функция Бесселя порядка, -1/2, q ее наименьший положительный нуль, J(x) j(x) = 2( + 1) x нормированная функция Бесселя, k = d/2 - 1 + k().
R+ В [10] (см. также [25]) получены равенства d,+ d d d d d d d d d d d,k(B2, B2) = (E1,k(B2), B2) = (E1,k (B2), B2) = (Fk (B2), B2) = 2qk, Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах и показано, что экстремальный целой функцией в задачах Логана является радиальная функция jk |x|f(x) =.
|x|2 1 2qk Решить задачу Логана в такой общности для других тел U и V будет очень сложно, поэтому в дальнейшем ограничимся случаем веса d v(x) = |xj|2i+1, = (1,..., d), j -1/2.
j=В этом случае система корней R = {e1,..., ed}, R+ = {e1,..., ed}, e1 = (1, 0,..., 0),..., ed = (0,..., 0, 1), группа отражений G(R) группа диагональных матриц порядка d с элементами 1 на диагонали, инвариантная функция k(ej) = j + 1/2, j = 1,..., d, v(x)dx d(x) =.
21+... +d+d d (i + 1) i=Пространства Lp,k(Rd) будем обозначать Lp,(Rd), преобразование Данкля fk f,,k(V, U),(V, U).
Норма |x|U будет инвариантной относительно группы отражений G(R), если |x|U = |(|x1|,..., |xd|)|U, то есть является четной по каждой координате.
Система обобщенных экспонент имеет вид [] d e(x, y) = ej (xjyj), j=где ej (xj, yj) = jj (xj, yj) - ijj (xkyj), j = 1,..., d.
Введем обозначение d j(x, y) = jj (xjyj).
j=d d Пусть a = (a1,..., ad), aj > 0, a = [-aj, aj], e = [-1, 1], e = j=1 j== (1, 1,..., 1), d F (a) = { : S+(a), четная}, 48 А. В. Иванов d,+ d E1,(a) (E1, (a)) класс действительных четных целых функций f L1,(Rd), для которых f(0) = 1, supp f a и f(0) 0 (f(y) 0 на a).
d,+ d Если = (-1/2,..., -1/2), то будем писать E1(a), E1 (a).
Норма |x|a инвариантная относительно G(R), сопряженная норма d d |x|a = aj|xj|, поэтому как и (26) для функции f E1,(a) и z Cd j=доказывается оценка d aj| Im zj| |f(z)| cf ej=1, cf > 0. (32) Верно и обратное утверждение. Для целой функции f L1,(Rd), для которой выполняется оценка (32), supp f a. Оно вытекает из его справедливости при d = 1 [17,26,27].
d Класс E1,(a) лежит в более широком классе целых функций Ed,a, для которых для любого > 0 выполняется оценка |f(z)| ce(a1+)|z1|+... +(ad+)|zd|, z Cd.
Функции из Ed,a будем называть целыми функциями экспоненциального типа a. В [28] доказано, что если f Ed,a и ее сужение на Rd принадлежит L1,(Rd), то для нее выполняется более сильная оценка (32).
d Для функций из E1,(a) нам понадобится квадратурная формула по нулям функций Бесселя.
Пусть -1/... < q,-2 < q,-1 < q,0 < 0 < q,1 < q,2 <..., q,1-k = -q,k, k N нули функции Бесселя j(x). Для них выполняются следующие неравенства [29,30] |q,k|, |q,k+1 - q,k| min{, q,2 - q,1 : -1/2 1/2} = q0 > 0, |q,k - k| L(). (33) Если f целая функция экспоненциального типа a > 0 и f L1,(R), то для нее справедлива квадратурная формула [31,32] 2q,k f(x)|x|2+1dx = r(k, a)f, (34) a kZ причем ряд в правой части сходится абсолютно, а 22+3|q,k|r(k, a) = > 0.
a2+2(J(q,k))Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах Так как [29] c1() c2() c1() c2() |q,k|, |J(q,k)|, |k| + 1 |k| + |k| + 1 |k| + то |q,k|2+1 |q,k|2+c1() r(k, a) c2(). (35) a2+2 a2+Пусть = (1,..., d), j -1/2, h = (h1,..., hd), hj > 0, k = (k1,..., kd), k k k kj Z, h = (11,..., dd) = (h1q1,k1,..., hdqd,kd).
Согласно (33) из результатов работы [28] вытекает следующая лемма.
емма 5. Пусть = (1,..., d), j -1/2, a = (a1,..., ad), aj > 0, h = (h1,..., hd), hj > 0, f Ed,a.
Если f L1,(Rd), то k k v(h)|f(h)| c(, a, h, d) |f(x)|v(x)dx. (36) Rd kZd Если aj < 1/hj, то f L1,(Rd) и k k |f(x)|v(x)dx c(, a, h, d) v(h)|f(h)|. (37) Rd kZd d 2 Обозначим r(k, a) = rj (kj, aj), ha =,...,. Согласно (35) j=a1 ad d k k c1(, )v(ha) r(k, a) aj c2(, d)v(ha). (38) j=Теорема 5. Если f Ed,a L1,(Rd), то k f(x)v(x)dx = r(k, a)f(ha), (39) Rd kZd причем ряд в правой части сходится абсолютно.
Доказательство. Согласно (36), (38) c2(, d) k k k r(k, a)|f(ha)| v(ha)|f(ha)| d kZd aj kZd j= c(, a, d) |f(x)|v(x)dx <.
Rd 50 А. В. Иванов Остается доказать равенство (39). Применим индукцию по d. При d = 1 (39) совпадает с (34). По теореме Фубини для почти всех xd R существует интеграл |f(x1,..., xd-1, xd)|v(x1,..., xd-1, xd)dx1... dxd-1, Rd-поэтому по индуктивному предположению для почти всех xd d-1 d-kd-k f(x) |xj|2j+1dx1... dxd-1 = rj (kj, aj)f(11,..., d-1, xd), Rd-1 j=kj Z j=1 j d-(40) причем почти для всех xd ряд (40) сходится абсолютно. Предположим, что ряд (40) можно почленно проинтегрировать. Тогда согласно (34) получим (39):
d-kd-k f(x)v(x)dx = rj(kj, aj) f(11,..., d-1, xd)|xd|2d+1dxd = Rd R kj Z j=1 j d-k = r(k, a)f(ha).
kZd Для возможности почленного интегрирования достаточно показать, что функция d-kd-k g(xd) = rj(kj, aj)|f(11,..., d-1, xd)| L1,d(R). (41) kjZ j=Например, можно будет применить теорему Лебега об ограниченной сходимости.
kd-k Функция f(11,..., d-1, xd) имеет тип ad по переменной xd. Если ad < 1/hd, то согласно (37) в одномерном варианте kd-k |f(11,..., d-1, xd)||xd|2d+1dxd R kd-k c(d, ad) |hdqd,kd|2d+1|f(11,..., d-1, hdqd,kd)|. (42) kdZ 2 Если ha =,...,, hd, то из (41), (42) и (35) a1 ad- k k |g(xd)||xd|2d+1dxd c(, a, d) v(ha )|f(ha )|.
kZ Так как f L1,k(Rd), то согласно (36) последний ряд сходится. Теорема доказана.
Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах 21 2d Если = (1,..., d), (0, 1]d, ha, =,...,, f Ed,a L1,(Rd), a1 ad f(x) = f(1x1,..., dxd), то f Ed,a L1,(Rd) и f(x)v(x)dx = f(x)v(x)dx.
2(j+1) d Rd Rd j j=Поэтому справедливо следующее утверждение.
емма 6. Если f Ed,a L1,(Rd), (0, 1]d, то d 2(j+1) k f(x)v(x)dx = j r(k, a)f(a,).
Rd j=kZd Пусть норма |x|V = |(|x1|,..., |xd|)|V инвариантна относительно группы e отражений G(R) для системы корней R = {e1,..., ed}, e = (1,..., 1), ha = 2q1,1 2qd,=,...,. Отметим, что функция |(|x1|,..., |xd|)|V неубывает по a1 ad каждой отдельной переменной |x1|,..., |xd|.
емма 7. Если норма | |V инвариантна относительно группы G(R), R = {e1,..., ed}, то d e (E1,(a), V ) |ha|V.
Доказательство. Предположим противное, что найдутся > 0 и d функция f E1,(a), для которых e f(x) 0, |x|V (1 - )|ha|V. (45) Так как f(0) 0 и для [1 -, 1]d, k Zd 21q1,1 2dqd,k e e |ha,|V |ha,|V =,..., (1 - )|ha|V, a1 ad V то по лемме 6 и (43) d 2(j+1) k 0 f(x)v(x)dx = j r(k, a)f(ha,) 0.
Rd j=kZd 2qd,2q1,e Отсюда f(ha,) = f 1 a1,..., d ad = 0 для 1 - 1 1,..., 1 - d 1. Из аналитичности f по каждой переменной вытекает, что f 0, а это противоречит условию f(0) = 1. Лемма 7 доказана.
d,+ Построим целую функцию из класса E1, (a), которая в ряде случаев d,+ d будет экстремальной в задаче Логана для классов E1, (a), E1,(a), d F (a).
52 А. В. Иванов v(x)dx Пусть -1/2, a > 0, v(x) = |x|2+1, d(x) =, f(x) четная 2+1(+1) на R функция, f(y) = f(x)j(xy)d(x) ее преобразование Данкля (+1) (Ганкеля), c =, (+1/2) t T f(x) = c f( x2 + t2 - 2xt cos ) sin2 d, t R оператор обобщенного сдвига.
Отметим следующие свойства оператора обобщенного сдвига [29]: 1) если t t t f(x) 0, то T f(x) 0; 2) функция T f(x) четная по x и t; 3) (T f)(y) = t = j(ty)f(y); 4) если носитель supp f [-, ], то supp T f [-|t| -, + |t|].
Рассмотрим функцию a j 2q,1 x, |x|, a u(x) = a 0, |x| >.
Пользуясь формулой [29] a a xJ(x)J(x)dx = {J+1(a)J(a) - J(a)J+1(a)}, 2 - находим q,1a2j(q,1) j a x u(x) = - . (44) 23( + 1) 2q,1 - xa Пусть = (1,..., d), j -1/2, a = (a1,..., ad), aj > 0, t = (t1,..., td) Rd, d d t tj u(x) = uj (xj), T u(x) = T uj (xj).
j=1 j=Имеем d t t u(x) = uj (xj), (T u)(x) = j(t, x)u(x), T u(x) 0.
j j=Если |tj| j, = (1,..., d), то t supp T u(x) a/2+. (45) Следуя В.А. Юдину [33], рассмотрим функцию u(t) t g(x) = - T u(x) v(t)d(t), n a/Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах u(t) где производная по направлению внешней нормали к границе a/n параллелепипеда a/2, d(t) элемент площади поверхности на a/2, d(t) d(t) =.
d 2j+1(j + 1) j=Функция g(x1,..., xd) четная по каждой переменной xj. Так как 2qj,u(t) = j(qj,1) ui(ti) 0, (46) n a aj tj= i =j то g(x) 0. Согласно (45) supp g a. Далее u(t) t g(y) = - v(t)(T u)(y)d(t) = n a/u(t) = - j(t, y)v(t)d(t)u(y). (47) n a/ai ai Если j = -,, то согласно (46) a/2 2 i =j u(t) g1(y) = - j(t, y)v(t)d(t) = n a/d qj,aj 1 aj 2j+= -4 jj (qj,1)jj yj aj 2 2j+1(j + 1) j= ui(ti) ji(tiyi) di(ti) = j i =j i =j a/2 i =j d qj,aj 1 aj 2j+= -4 jj (qj,1)jj yj ui(yi) = i aj 2 2j+1(j + 1) j=1 i =j d qj,aj 1 aj 2j+1 = -4u(y) jj (qj,1)j yj.
aj 2 2j+1(j + 1) uj (yj) j=j Подставляя в последнюю сумму выражение для uj (yj) (44), получим j d d 2qj,1 2 2 2qj,1 g1(y) = u(y) - yj = u(y) - |y|2.
aj aj j=1 j=54 А. В. Иванов Отсюда и из (47) d 2qj,1 g(y) = - |y|2 (u(y))2.
aj j=e Если пронормировать g в нуле и вспомнить обозначение ha = 2q1,1 2qd,=,...,, то получим функцию a1 ad ajxj |x|2 d jj F (x) = 1 -.
e |ha|ajxj j=1 2qj,Функция F целая, экспоненциального типа a = (a1,..., ad), F (0) = 1, F (y) 0. Так как [29] jj ajxj c(j, aj), ajxj (1 + |xj|)+5/ 1 - 2qj,то c(, a)(1 + |x|2) c1(, a) |F (x)|v(x), d (1 + |xj|)4 d (1 + |xj|)j=1 j=d,+ поэтому F L1,(Rd). Итак, F E1, (a). Для нее также d e (F, B2) = |ha|2, поэтому d,+ d e (E1, (a), B2) |ha|2. (48) Так как |x|p d1/p-1/2|x|2, 1 p < 2, e e то при |x|p d1/p-1/2|ha|2 будет |x|2 |ha|2, поэтому d e (F, Bp) d1/p-1/2|ha|и d,+ d e (E1, (a), Bp) d1/p-1/2|ha|2, 1 p < 2. (49) С другой стороны, согласно (31), лемме 7 для всех p d,+ e d d d |ha|p (E1,(a), Bp) (E1, (a), Bp).
Отсюда и из (48), (49) d,+ d d d e (E1,(a), B2) = (E1, (a), B2) = |ha|2, Задача Логана и константы Джексона в весовых пространствах q1,1 q2,e e а если |ha|p = d1/p-1/2|ha|2 (это возможно только в случае = = a1 aqd,=... = ), то при 1 p < ad d,+ d d d e (E1,(a), Bp) = (E1, (a), Bp) = |ha|p.
Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 6. Пусть = (1,..., d), j -1/2, a = (a1,..., ad), aj > 0, > 2q1,1 2qd,e ha =,...,.
a1 ad Тогда d,+ d d d d d,(B2, a) = (E1,(a), B2) = (E1, (a), B2) = e |ha|d d = (F (a), B2) =.
q1,1 q2,1 qd,Если 1 p < 2 и = =... =, то a1 a2 ad d,+ d d d d d,(p, a) = (E1,(a), Bp) = (E1, (a), Bp) = e |ha|p 2q1,1d1/p d d = (F (a), Bp) = =.
aЭкстремальная функция в задачах Логана имеет вид ajxj |x|2 d jj F (x) = 1 -.
e |ha|2 ajxj j=1 2qj,Следствие 1. Если = (1,..., 1), 1 -1/2, e = (1,..., 1), 1 p 2, > 0, то d,+ d d d d d,(Bp, e) = (E1,(e), Bp) = (E1, (e), Bp) = 2q1,1d1/p d d = (F (e), Bp) =.
Pages: | 1 | ... | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... | 43 | Книги по разным темам