Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ... | 43 | Теорема 2. Если для последовательности {n} Rd выполнены условия A[], B[], C[, L], функция f Ed,, <, v(n)|f(n)|p < nZd <, 1 p <, то f Lp,(Rd) и выполняется оценка |f(x)|pd(x) c(,,,, L, p, d) v(n)|f(n)|p. (11) Rd nZd Доказательство. Для простоты докажем (11) для случая d = 2. Для d > 2 доказательство аналогично.
76 В. И. Иванов, Юнпин Лю, О. И. Смирнов n1 n2 n1 nПусть f E2,, v(1, 2 )|f(1, 2 )|p <, e = (1, 1), e1 = n1,n2Z = (1, 0), e2 = (0, 1), функции (sz1, sz2), 1(sz1), 2(sz2) из теоремы 1 и s > 0 выбрано так, чтобы 1 + 2s < 1, 2 + 2s < 2.
Используя свойства функций, 1, 2, получим |f(x1, x2)|pv(x1, x2)dx1dx2 c(p,,, s) |f(x1, x2)|pdx1dx2+ R2 |x1| |x2| + |f(x1, x2)(sx1, sx2)|pdx1dx2+ |x1| |x2| + |f(x1, x2)2(sx2)|pdx1dx2+ |x1| |x2| + |f(x1, x2)1(sx1)|pdx1dx2 c(p,, ) |f(x1, x2)|pdx1dx2+ |x1| |x2| R+ |f(x1, x2)(sx1, sx2)|pdx1dx2 + |f(x1, x2)1(sx1)|pdx1dx2+ R2 R+ |f(x1, x2)2(sx2)|pdx1dx2.
RТак как f E2, +2se, f1 E2, +2se1, f2 E2, +2se2, то, применяя лемму 2, условие B[] |f(x1, x2)|pv(x1, x2)dx1dxRp n1 n2 p n1 p n2 n1 n c(,,,, L, p) (1 + (s1, s2 ) + 1(s1 ) + 2(s2 ))|f(1, 2 )|p n1,n2Z p n1 n2 n1 n c1(,,,, L, p) (s1, s2 )|f(1, 2 )|p n1,n2Z n1 n2 n1 n c2(,,,, L, p) v(1, 2 )|f(1, 2 )|p.
n1,n2Z Теорема 2 доказана.
n1 nd n Пусть h = (h1,..., hd), hj > 0, h = (1,..., d ), hjnj, nj = 1, 2,..., nj j = hj(nj - 1), nj = 0, -1,...
n Для последовательности h выполнено условие A h :
nj+1 nj |j - j | hj;
О некоторых классах целых функций экспоненциального типа выполнено условие B h :
nj |j | hj hj;
выполнено условие C,...,, h :
h1 hd nj |j - hjnj| hj.
Из лемм 1, 2, теорем 1, 2 вытекают следующие утверждения.
Теорема 3. Если d N, 1 p <, = (1,..., d), j > 0, h = (h1,...
..., hd), j < /hj, f Ed,, то n n c1(h, p, d, ) |f(h)|p |f(x)|pdx c2(h, p, d, ) |f(h )|p.
Rd nZd nZd Теорема 4. Если d N, 1 p <, = (1,..., d), j -1/2, = = (1,..., d), j > 0, h = (h1,..., hd), j < /hj, f Ed,, то n n c1(h,, p, d, ) v(h)|f(h )|p |f(x)|pd(x) Rd nZd n n c2(h,, p, d, ) v(h)|f(h )|p.
nZd Если f Ed, Lp,(Rd), то в условиях теорем 3, n n n |f(h)|p c(h,, p, d) v(h)|f(h )|p nZd hZd и n |f(x)|pdx c(h, p, d, ) |f(h )|p Rd nZd n n c(h,, p, d, ) v(h )|f(h )|p c1(h,, p, d, ) |f(x)|pd(x).
Rd nZd Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Если d N, = (1,..., d), j -1/2, = (1,..., d), j > > 0, 1 p <, > 0, то d, d, Ep, = Ed, Lp,(Rd), Ep,U = Ed,U Lp,(Rd).
3. Обобщение неравенств Бернштейна и Никольского Пусть = (1,..., d), j Z+, || = 1 +... + d, = (1,..., d), j > d j ||f(x) > 0, = j, Df(x) = 1, 1 p, > 0, e = (1,..., 1).
j=x1... x 78 В. И. Иванов, Юнпин Лю, О. И. Смирнов Хорошо известно [1] неравенство Бернштейна для целых функций f d, Ep :
Df f.
p p,U d,U d,xU Если f Ep, то в силу вложения Ep Ep e при некоторой cU > (cU = max{|x|U : |x1| +... + |xd| 1}) Df c|||| f.
p p u 1, Для целых функций f Ep,, > 0, > -1/2 в [5] доказан следующий аналог неравенства Бернштейна:
f(n) (c())nn f, n N.
p, p, d, Применяя его последовательно к функции f Ep, по каждой переменной, придем к утверждению.
d, Теорема 6. Если f Ep,, Z+d, то Df c(, ) f.
p, p, d, Если f Ep,U, то D c(,, U)|| f.
p, p, С.М. Никольскому [1] принадлежит следующее неравенство разных d, метрик для целых функций f Ep :
1/p-1/q d f 2d j f, 1 p < q.
q p j=d,U Для целых функций f Ep оно примет следующий вид:
f 2d(cU )d(1/p-1/q) f, 1 p < q.
q p 1, В [5] для целых функций f Ep, доказан следующий аналог неравенства Никольского:
f c()2(+1)(1/p-1/q) f, 1 p < q.
q, p, При q = его можно записать так:
|f(x)|p (c())p2(+1) |f(x)|p|x|2+1dx.
d, Применяя его к функции f Ep, последовательно по каждой переменной, получим d 2(j+1) |f(x1,..., xd)|p (c())p j |f(x)|pv(x)dx Rd j=О некоторых классах целых функций экспоненциального типа или 1/p d 2(j+1) f c() j f.
, p, j=Отсюда для q > p 1/p-1/q d 1-p/q p/q 2(j+1) f f f c() j f.
q, p,, p, j=Итак, справедливо следующее утверждение.
d, Теорема 7. Если f Ep,, 1 p < q, то 1/p-1/q d 2(j+1) f c() j f.
q, p, j=d, Если f Ep,U, то f c()(cU )2(1+... +d+d)(1/p-1/q) f.
q, p, Список литературы 1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 c.
2. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 331 c.
3. Plancherel M., Plya G. Fonctions entires et intgrales de Fourier multiples // Comment. Math. Helv. 1937. V.9. P.224Ц248; 1938. V.10. P.110Ц163.
4. Boas R.P. Integrability along a line for a>
Math. Soc. 1952. V.73. P.191Ц197.
5. Ли Йонг Пинг, Су Чун Мей, Иванов В.И. Некоторые задачи теории приближений в пространствах Lp на прямой со степенным весом // Матем.
заметки. 2011. Т.90, №3. С.362Ц6. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения: дис.... д-ра, физ.-мат. наук. Тула. 2006. 200 c.
Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.
ю Юнпин (ypliu@bnu.edu.cn), доктор наук, профессор, факультет математических наук, Пекинский нормальный университет, Пекин, Китай.
Смирнов Олег Игоревич (so.2@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
80 В. И. Иванов, Юнпин Лю, О. И. Смирнов Some inequalities for entire functions of exponential type in Lp(Rd)-spaces with power weight V. I. Ivanov, Yongping Liu, O. I. Smirnov Abstract. Two-sided estimates of norms in Lp,(Rd)-spaces, 1 p <, d = (1,..., d), j -1/2 with power weight v(x) = |xj|2j+1 for multivariate entire functions of exponential type by means of their value sums on some sequences of points in Rd are given. Multivariate weighted analogs of Bernstein and Nikolskiy inequalities are proved.
Keywords: Euclidean Rd-space, entire function of exponential type, power weight, Lp-space with weight, Plancherel-Plya inequality, Boas inequality, Bernstein inequality, Nikolkskiy inequality.
Ivanov Valeriy (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.
Liu Yongping (ypliu@bnu.edu.cn), doctor of sciences, professor, School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing, China.
Smirnov Oleg (so.2@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.
Поступила 23.04.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 81ЦМатематика УДК 517.Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на прямой со степенным весом В. И. Иванов, Д. В. Чертова Аннотация. Точность неравенств Джексона в пространствах Lp,(R+), Lp,(R), 1 p < 2 на полупрямой и прямой со степенным весом |x|2+1, > -1/2, установленных А.В. Московским (случай полупрямой) и вторым автором работы (случай прямой), 2+доказывается для > 0, < p < 2.
2+Ключевые слова: полупрямая, прямая, степенной вес, пространства Lp, целые функции, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона..
Введение В пространствах Lp,(R+), Lp,(R), 1 p < 2 на полупрямой и прямой со степенным весом |x|2+1, > -1/2 А.В. Московским [1] (случай полупрямой) и вторым автором работы [2] (случай прямой) доказаны неравенства Джексона 2t E2R(f)Lp,(R+) 21/p-1, f, R Lp,(R+) 2t E2R(f)Lp,(R) 21/p-1, f R Lp,(R) с той же самой константой 21/p-1, что и в случае единичного веса ( = -1/2) [3]. Здесь в левых частях неравенств стоят величины наилучших приближений четными целыми функциями и целыми функциями экспоненциального типа 2R соответственно, а в правых частях - модули непрерывности, t - наименьший положительный нуль функции Бесселя J(x) порядка. При = -1/2 константа 21/p-1 является точной [1]. Вопрос о ее точности при > -1/2 остается открытым. В работе доказывается * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00564, № 1201-91158-ГФЕН).
82 В. И. Иванов, Д. В. Чертова 2+точность константы 21/p-1 при > 0, < p < 2, что говорит в пользу 2+гипотезы о ее точности при всех > -1/2, 1 p < 2.
Функции из пространства Lp,(R+) можно четным образом продолжить на всю прямую, поэтому Lp,(R+) можно отождествить с подпространством Lp,(R) четных функций и доказывать оценку снизу на этом подпространстве, рассматривая только действительные функции.
x2+Пусть (x) - гамма-функция, -1/2, (x) = - степенной вес 2(+1) на полупрямой R+, d(x) = (x)dx, 1 p, Lp,(R+) - пространство действительных измеримых по Лебегу функций f на R+ с конечной нормой 1/p f = |f(x)|pd(x), 1 p <, p, R+ f = f = vrai sup |f(x)|, p =.
, R+ Пространство L2,(R+) - гильбертово со скалярным произведением (f, g) = f(x)g(x)d(x).
R+ Через Ep,, > 0 обозначим множество функций f Lp,(R+), которые являются сужениями на R+ четных целых в C функций f(z), удовлетворяющих оценке |f(z)| cf e|z|, cf > 0.
Таким образом, Ep, - класс четных целых функций экспоненциального типа из Lp,(R+).
Величину наилучшего приближения функции f Lp,(R+) четными целыми функциями экспоненциального типа R, R > 0 определим равенством R ER(f)p, = inf{ f - g : g Ep,}. (1) p, В пространстве Lp,(R+) действует ограниченный линейный оператор обобщенного сдвига (см. [1,2,4]) t T f(x) = c f(A) sin2 d, (2) где t R+, ( + 1) c =, A = x2 + t2 - 2xt cos, (3) ( + 1/2) позволяющий определить модуль непрерывности (, f)p, = sup{(t, f)p, : 0 t }, > 0, (4) Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 где t p(t, f)p, = T |f(y) - f(x)|p |y=x d(x) = = c |f(A) - f(x)|p sin2 dd(x). (5) R+ Константы Джексона определим равенством ER(f)p, D(R, )p, = sup.
(, f)p, fLp,(R+) Наша цель - доказать следующее утверждение.
2+Теорема. Если > 0, < p < 2, R > 0, > 0, то 2+D(R, )p, 21/p-1. (6) Доказательство будет следовать схеме, предложенной в [5], где получена правильная оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 на торе с периодическим весом Якоби | sin x|2+1, > -1/2. В нашем случае возникают новые трудности, связанные с неограниченностью R+ и сложностью приближающего аппарата.
В дальнейшем запись A B будет обозначать неравенство A cB с константой, возможно, зависящей от, R,, запись A B - B A B.
1. Некоторые вспомогательные результаты Пусть J(x) j(x) = 2( + 1), j(0) = x - нормированная функция Бесселя.
Для функции f L2,(R) справедливо разложение в интеграл ФурьеГанкеля f(x) = f(y)j(xy)d(y), f(y) = f(x)j(xy)d(x). (7) R+ R+ Для функций f, g L2,(R+) справедливо обобщенное равенство Парсеваля (f, g) = (f, g). (8) Приведем некоторые свойства функции j(x) (x, y 0):
|j(x)| 1, |j(x)| 1, (9) x j(x) = - j+1(x), (10) 2( + 1) x2+1(j(yx)) + y2x2+1j(yx) = 0, (11) 84 В. И. Иванов, Д. В. Чертова |j(x)|, (12) (x + 1)+1/t t2+j(yx)d(x) = j+1(yt), (13) 2+1( + 2) t t2+| j(yx)d(x) |. (14) (yt + 1)+3/Свойства (9) - (12) можно найти в [6,7]. Равенство (13) вытекает из (10), (11). Неравенство (14) вытекает из (12), (13).
Отметим некоторые свойства оператора обобщенного сдвига (2) (см.
[1,2,4]) 0 t T f(x) = f(x), T 1 = 1, (15) t если f(x) 0, то T f(x) 0, (16) t t (T f, g) = (f, T g), (17) если f L1,(R+), то t T f(x)d(x) = f(x)d(x), (18) R+ R+ t T j(yx) = j(yt)j(yx). (19) Пусть отрезки 1, 2 [0, b], b > 1, 1, 2 - их характеристические функции, t g1,2(t) = 1(x)T 2(x)d(x), (20) R+ (, f) = sup{|f(x1) - f(x2)| : |x1 - x2| 1} - модуль непрерывности функции f C(R+).
емма 1. Для модуля непрерывности функции (20) справедлива оценка (, g1,2) b2+1 ln 1/.
Доказательство. Согласно (8), (19), (20) g1,2(t) = 1(y) 2(y)j(ty)d(y).
R+ Так как для любого y 0 функция x2+2(yx + 1)--3/2 возрастает, то в силу (14) для i = 1, b2+|i(y)|, (21) (by + 1)+3/поэтому b4+4y2+|g1,2(t)| dy.
(by + 1)2+R+ Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 Последний интеграл сходится, значит, g1,2 C(R+).
Для t1, t2 0, |t1 - t2|, 1 в силу (9) |j(t1y) - j(t2y)| y, поэтому согласно (9), (21) -|g1,2(t1) - g1,2(t2)| y|1(y)||2(y)|d(y)+ +2 |1(y)||2(y)|d(y) --y2+2 y2+b4+4{ dy + dy} (by + 1)2+3 -1 (by + 1)2+b-1 - 1 1 dy b4+4{ y2+2dy + dy + } b2+3 b-1 y b2+3 -1 yb2+1 ln 1/.
емма 1 доказана.
Рассмотрим следующий класс четных целых функций экспоненциального типа R:
WR,M = {f(z) : |f(z)| MeR|Imz|, z C}.
Он является компактным в пространстве C[0, b], b > 1 (см. [8]). Обозначим через n = n(WR,M, C[0, b]) количество элементов в наименьшей -сети для WR,M в C[0, b]. Правильный порядок log2n по можно найти в [9]. Однако он был получен при фиксированных R, b, M. Нам будет важна зависимость n от параметров b и M. Будем следовать рассуждениям из [9].
Функция f WR,M раскладывается в ряд Тейлора f(z) = akz2k, k=который сходится абсолютно для всех z C. По формуле Коши 1 f(z) ak = dz.
2i z2k+|z|=rk 2k Выбирая r0 как угодно маленьким, а rk = при k = 1, 2,..., получим оценки R 2k Re |ak| M, k = 0, 1,... (|a0| M).
2k При построении -сети будем использовать частичные суммы ряда Тейлора порядка 2s - 2, s = [Reb] + 1. Для x [0, b] справедлива оценка s-|f(x) - akx2k| |ak|b2k k=0 k=s 86 В. И. Иванов, Д. В. Чертова 2k Reb 1 M M M /2, 2k 22k 22s-k=s k=s если 2-2Reb /2M. Пусть 2k 2k 2k 8M Reb Re 2M Re -lk = + 1, xk,i = -M + i, i = 1,..., lk.
k 2k lk 2k 2k 2k Re Re Если ak -M, M, k = 0, 1,..., s - 1, то для некоторых 2k 2k xk,ik, ik {1,..., lk - 1} будет s-1 s-1 s-| akx2k - xk,ikx2k| |ak - xk,ik|b2k k=0 k=0 k=s-1 s-2k 2M Reb .
lk 2k 4 22k k=0 k=Значит, многочлены s-p(x) = xk,ikx2k, ik {1,..., lk - 1} k=s-образуют -сеть. Их количество равно (lk - 1), поэтому k=s-2k s 8M Reb 8M (Reb)s(s-1) n =.
s- k kk k=k=Так как Reb s, s-s-(s - 1)2 (s - 1)k ln k x ln xdx = ln(s - 1) -, 2 k=то s 8M ss(s-1) n (s-1) e(s-1) ln(s-1)- s (s-1)8M e(s-1)[s ln s-(s-1) ln(s-1)]+ 2.
Учитывая, что s ln s - (s - 1) ln(s - 1) = (s - 1) ln 1 + + ln s 1 + ln s, s - получим s (s-1)8M +(s-1) ln es n e.
Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 Итак, нами доказано утверждение.
емма 2. Если 0 < 1, b > 1, R > 0, M > 0, 2-2Reb /2M, s = = [Reb] + 1, то s (s-1)8M +(s-1) ln es n(WR,M, C[0, b]) e.
Пусть Zn = {1, 2,..., n}, Sn - множество всех перестановок Zn, n - подмножество перестановок Sn, для которых для всех i Zn, (i) = i.
В [10] доказано следующее утверждение.
Pages: | 1 | ... | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ... | 43 | Книги по разным темам