Geum.ru

3 Виды поверхностеЙ и их проекции

Вид материалаДокументы

Содержание


Поверхность параллельного переноса
Параболоид вращения
Винтовая поверхность
Гиперболический параболоид
Поверхность с образующей переменного вида
Подобный материал:
3.2.2. Виды поверхностеЙ

и их проекции


Ранее были рассмотрены особенности отображения точки, прямой и плоскости на комплексном чертеже. Для изображения прямой необходимо выполнить проекции двух ее точек, плоскости – трех точек. Кривые поверхности отображаются на комплексном чертеже в виде проекций:
  • каркаса;
  • образующей линии, направляющей линии и очерка поверхности;
  • направляющей и плоскости параллелизма;
  • геометрической части определителя поверхности;
  • конечного множества точек, позволяющих аппроксимировать кривую поверхность поверхностью многогранника, вершины которого расположены на поверхности, а гранями являются треугольники, образующие определенную (триангуляционную) сеть.

Каркасом называется множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности в общем случае проходит одна линия каркаса.

Кривая поверхность может быть представлена с помощью математической формулы (например, алгебраические выражения второго порядка), тогда координаты линий ее каркаса вычисляют по формуле, а затем вычерчивают их проекции.

Многообразие поверхностей требует их систематизации на основе классификации. Такая систематизация, впрочем, достаточно условна, так как одни и те же поверхности могут быть классифицированы по разным признакам. Например, коническая поверхность вращения относится к линейчатым и поверхностям вращения. Если выделить главные признаки поверхностей, то классификация будет следующей:
  • по закону движения образующей различают поверхности с поступательным движением образующей, вращательным и винтовым;
  • по виду образующей поверхности бывают линейчатые (с прямолинейной образующей) и нелинейчатые (поверхности с криволинейной образующей);
  • по закону изменения формы образующей – поверхности с образующей постоянного или переменного вида;
  • по признаку развертывания поверхности на плоскость (возможности совмещения всех точек поверхности с плоскостью) различают развертываемые и неразвертываемые поверхности;
  • по дифференциальным свойствам – гладкие и негладкие поверхности.

Рассмотрим некоторые из поверхностей, применяемые в различных областях практической деятельности человека, и способы их отображения на комплексном чертеже.

^ Поверхность параллельного переноса (рисунок 3.30) – это поверхность, каркас которой образуется при поступательном перемещении одной кривой вдоль другой, т. е. параллельным перемещением образующей (m) по направляющей (n). Линия (m), которая при своем движении образует каркас поверхности, называется образующей, линия (n), которая определяет закон движения образующей в пространстве, называется направляющей. Из рисунка видно, что для поверхности параллельного переноса образующая и направляющая линии взаимозаменяемы, т. е. при движении линии m по линии n или, наоборот, линии n по линии m образуется каркас одной и той же поверхности.



Для отображения такой поверхности на комплексном чертеже необходимо выполнить две проекции образующей и направляющей (кривой или прямой), а затем выполнить проекции каркаса поверхности по следующему алгоритму:
  • на направляющей n выбираем ряд точек A, B, C, D,…;
  • строим векторы AB, BC,…;
  • осуществляем параллельный перенос линии т по векторам АB, BС , …(рисунок 3.30).

Поверхность вращения – это поверхность, каркас которой создается при помощи вращения некоторой линии (образующей m) вокруг оси (прямой i, рисунок 3.31).

Проекции каркаса поверхности вращения выполняются на комплексном чертеже двумя проекциями направляющей, образующей и очерка поверхности.







Очерком, или очертанием, поверхности называется проекция линии контура поверхности на плоскость проекций (рисунок 3.32).

Проекции контурных линий поверхности (линии очерка) называют также линиями видимости, так как они отделяют видимую часть поверхности от скрытой, невидимой на определенной плоскости проекции.

Контур 1 (рисунок 3.32) – это граница зоны видимости при проецировании поверхности на плоскость П1. На горизонтальной проекции часть поверхности, находящаяся выше этой линии (точка А), будет видимой, а часть поверхности – ниже этой линии (точка G), будет невидимой. При проецировании на фронтальную плоскость границей зоны видимости будет контур 2, часть поверхности, находящаяся перед этой линией (точка С), будет видимой, а часть поверхности, находящаяся за этой линией (точка F), – невидимой.

Каркас поверхности вращения можно также построить, зная определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже. Различают геометрическую и алгоритмическую части определителя. Геометрическая часть его представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т. п.), а алгоритмическая – содержит перечень операций, позволяющих создать непрерывный каркас проектируемой поверхности с помощью этих геометрических элементов. Например, сфера однозначно определяется заданием координат ее центра и величиной радиуса – это геометрическая часть определителя, а алгоритмическая часть выражается словами: сфера – это множество точек пространства, удаленных от центра на расстояние, равное радиусу.

Для любой поверхности вращения, имея проекции геометрической части определителя: проекции образующей (m) и проекции оси вращения (i), алгоритм построения каркаса поверхности будет следующим (см. рисунок 3.31):
  • на образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …, F;
  • каждую выделенную точку вращают вокруг оси i.

Каркас поверхности представляет собой множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси вращения (i). Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель – горло, наибольшая – экватор.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:
  • плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – по параллели;
  • плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – по меридианам.

Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций, называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Приведем несколько примеров поверхностей вращения.

^ Параболоид вращения – каркас образуется при вращении параболы (m) вокруг своей оси симметрии (i) (рисунок 3.33).

Гиперболоид вращения – различают однополостный (рисунок 3.34) и двухполостный (рису-
нок 3.35) гиперболоиды вращения. Каракас первого получается при вращении вокруг мнимой оси (i), а второго – вращением гиперболы вокруг действительной оси (i).

^ Винтовая поверхность – это поверхность, каркас которой образован винтовым движением некоторой линии. Движение линии называется винтовым, если каждая точка этой линии описывает цилиндрическую винтовую линию. Таким образом, на винтовой поверхности два семейства линий составляют ее сетчатый каркас: семейство образующих и семейство линий хода (винтовых параллелей).

Определитель винтовой поверхности можно представить следующим образом:
  • геометрическая часть такого определителя состоит из двух линий: образующей (m) и оси (j)
    (рисунок 3.36);
  • алгоритмическая часть предполагает последовательность действий:
    1. на образующей (m) выделяют ряд точек
      (А, В, С, …);
    2. строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются обозначенные точки.

Если при своем движении образующая пересекает ось винтового движения, то поверхность называется закрытой, в противном случае – открытой.

Если образующая – прямая линия, то винтовая поверхность называется геликоидом. Он бывает прямым, если образующая перпендикулярна оси винтовой линии, в противном случае – наклонным. Закрытый наклонный геликоид называется архимедовым, так как его сечением плоскостью, перпендикулярной оси винтового движения, является кривая, называемая спиралью Архимеда.

Рассмотрим простейшую винтовую поверхность (рисунок 3.36) – прямой закрытый геликоид (Ф), образованный винтовым движением прямой (l), пересекающей под прямым углом ось (j) винтового движения. Условие перпендикулярности прямой (l) оси (j) эквивалентно условию параллельности образующих плоскости проекций П1, перпендикулярной оси (j). На чертеже фронтальная проекция образующей (l2) параллельна оси ox. Поверхность прямого геликоида на чертеже удобно задавать проекциями направляющей m (m1 и m2). Определитель прямого геликоида записывается так: Ф (j, m, П1). Каркас геликоида состоит из образующих, параллельных плоскости П1, пересекающих ось (j) и винтовую линию (m).

Здесь же (рисунок 3.36) показано построение фронтальной проекции (А2) точки (А), принадлежащей поверхности геликоида (Ф), по заданной ее горизонтальной проекции (А1). Для этого через эту точку (А) проведена образующая (l) данной поверхности (Ф).


















Линейчатая поверхность – это поверхность, каркас которой образован движением прямой линии по заданному закону.

Рассмотрим некоторые из многообразия линейчатых поверхностей

Конические и цилиндрические поверхности. Каркас конической поверхности общего вида образуется движением прямой (образующей l), прохо-
дящей через фиксированную точку S (вершину)
и пересекающей направляющую кривую а (рису-
нок 3.37).

Коническая поверхность с несобственной вершиной S ∞(s) (удаленной в бесконечность) называется цилиндрической (рисунок 3.38). Ее образующие пересекают направляющую а и параллельны направлению проецирования (s).

Поверхности Каталана – линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Каркас поверхности с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых-образующих (a, b, c, d, e, f), параллельных некоторой плоскости параллелизма (α) и пересекающих две направляющие (m, n, рисунок 3.39).

В зависимости от формы направляющих образуются три частных вида простейших линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.

Цилиндроид – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым, при этом образующая (прямая) параллельна плоскости параллелизма во всех ее положениях (рисунок 3.40). Плоскостью параллелизма является в данном случае профильная плоскость проекций; образующей – прямая (l), параллельная плоскости параллелизма; направляющими – плоская кривая (m) и пространственная
кривая (n).

Коноид – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей по двум направляющим: одна из них – кривая, а другая – прямая; при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (рисунок 3.41).

^ Гиперболический параболоид или косая плоскость – поверхность, каркас которой строится движением прямолинейной образующей, параллель-

ной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым (рисунок 3.42).

Циклическая поверхность – это поверхность, каркас которой образован движением окружности постоянного (рисунок 3.43) или переменного (рисунок 3.44) радиуса по произвольной линии. Каркас циклической поверхности определяется законом движения образующей и законом изменения ее радиуса.

Геометрическая часть определителя циклической поверхности может быть задана проекциями трех направляющих (l, m, n) и оси (i), вокруг которой вращаются плоскости (α, β), определяющие положение образующей в каждый из моментов. Алгоритмическая часть определителя описывается так: выделяется плоскость (α); находятся точки (Аα, Вα, Сα), в которых эта плоскость (α) пересекает направляющие (l, m, n); строится окружность, по трем найденным точкам. Затем выделяется следующая плоскость (α) и построение повторяется (см. рисунок 3.43).






^ Поверхность с образующей переменного вида. Рассматриваемые выше поверхности имели каркасы, состоящие из образующих постоянного вида (прямых или кривых). Но существуют поверхности, каркасы которых образуются движением плоских кривых переменной формы, например (рисунок 3.45) труба, образующими которой являются непересекающиеся кривые различного вида, а направляющей – кривая Безье.



а