^ Глава 2
Электрические цепи однофазного синусоидального тока.
2.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины.
Синусоидальным током называют ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (ссылка скрыта):
Ток i(t) называют мгновенным. Максимальное значение тока называют амплитудой и обозначают  . Период  – это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в секунду  , единица частоты  - герц (Гц).
Угловая частота  , единица угловой частоты рад/с или  . Аргумент синуса, т.е.  , называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания в данный момент времени  .
Начальная фаза тока -  .
Любая синусоидальная функция характеризуется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.
Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот, до нескольких килогерц, получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых и полупроводниковых генераторов, подробно рассматриваемых в разделе – электроника.
^ 2.2. Среднее и действующее значение синусоидальных тока и ЭДС.
Принято среднее значение функции времени определять за период
Для синусоидальной функции среднее значение за период равно нулю.
^ Используется также понятие среднего значения синусоидальной функции за полпериода:
 .
Аналогично, среднее значение ЭДС за полпериода  .
Действующим значением синусоидальной функции называется ее среднеквадратичное значение за период
Большинство измерительных приборов амперметров и вольтметров показывают действующее значение измеряемой величины.
^ 2.3. Сложение синусоидальных функций времени. Векторные диаграммы. Основы символического метода расчета.
Пусть требуется сложить два тока:
 ;
 (1)
Тригонометрическому уравнению (1) можно дать геометрическую интерпретацию, если каждому синусоидальному значению поставить в соответствие вектор на плоскости в координатах  , ссылка скрытаа. Длиной вектора будет амплитуда тока, а фазой – начальная фаза синусоиды  . Совокупность векторов, соответствующая уравнениям для токов или напряжений, называется векторной диаграммой.
^ Уравнению (1) можно поставить в соответствие другое уравнение, в котором каждая синусоида будет представлена в виде комплексного числа.
Ток  можно записать по формуле Эйлера:
 (2)
^ С учетом (2) уравнение (1) примет вид:
 (3)
Уравнение (3) содержит два типа комплексных чисел:
Прямые: 
и сопряженные: 
и может быть записано для каждой группы в отдельности, например,
 (4)
Исключая общие множители  и  , получим:
 (5)
или 
Комплексное число  называется током в комплексной форме или комплексом тока по максимальному значению. Здесь  - модуль комплекса по максимальному значению, а - фаза комплекса.
Если за модуль комплекса принять не амплитудное, а действующее значение, то получим комплекс по действующим значениям  или просто комплекс тока.
^ Уравнение (5) для комплексов тока примет вид:
 или  (6)
Геометрическая интерпретация уравнения (6) на комплексной плоскости приведена на ссылка скрытаб. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на ссылка скрытаa.
Комплекс тока  называют символом мгновенного тока  , а метод составления уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим.
Забегая вперед, отметим, что расчет цепей комплексным методом имеет значительные преимущества перед методом расчета по мгновенным значениям.
^ 2.4. Пассивные элементы электрической цепи.
Резистор  , индуктивность  и емкость  являются пассивными элементами электрической цепи. Резистор или активное сопротивление цепи – это элемент, в котором происходит рассеивание энергии в виде тепла или превращение электрической энергии в другой вид энергии: в световую, химическую или механическую.
Индуктивность и емкость называются реактивными элементами цепи, в них происходят накапливание энергии в виде магнитного или электрического поля. Рассеивание энергии в таких элементах отсутствует. Идеальные элементы , , на схеме обозначаются так, как это показано на ссылка скрытаа.
Реальные катушки индуктивности и конденсаторы рассеивают часть энергии. Этот факт учитывается с помощью добавочных сопротивлений  для катушки и  для конденсаторов, ссылка скрытаб. В проволочных сопротивлениях и катушках индуктивности учитывают также межвитковую емкость  , ссылка скрытаб; в реальном конденсаторе можно учесть паразитную индуктивность подводящих контактов  , ссылка скрытаб.
Рассматривая пассивные элементы цепи , , ответим на следующие вопросы:
^ 1. Каково соотношение между мгновенным значением тока и напряжения на каждом элементе? Каков вид векторов тока и напряжения?
2. Каковы мгновенная мощность  и накопленная энергия магнитного или электрического полей?
^ 3. Каково соотношение тока и напряжения на элементе в комплексной форме, как изображаются вектора тока и напряжения на комплексной плоскости.
Под мгновенным значением мощности понимают произведение мгновенного значения напряжения  на элементе цепи на мгновенное значение протекающего по элементу тока :
 .
^ 2.5. Резистивный элемент.
2.5.1. Пусть ток в резисторе:
 .
Мгновенное значение напряжения на резисторе:
Векторы тока и напряжения на резисторе приведены на ссылка скрытаб. Закон Ома для резистора имеет вид:
 или  .
^ 2.5.2. Мгновенная мощность равна:
Временные диаграммы , , приведены на ссылка скрытав. Мощность имеет постоянную составляющую или среднее значение, называемое активной мощностью  :
Активная мощность измеряется в ваттах (Вт).
2.5.3. В комплексной форме напряжение на резисторе записывается в виде
Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости приведены
на ссылка скрытаг.
^ 2.6. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.
Индуктивный элемент учитывает явления накапливания энергии магнитного поля и характеризуется зависимостью потокосцепления от тока  :
 , измеряется в генри (Гн).
^ 2.6.1. Мгновенное значение напряжения на индуктивности:
Здесь  - ЭДС, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком.
Если принять ток в катушке  , то напряжение запишется в виде:
 .
Векторы тока и напряжения показаны на ссылка скрытаб. Напряжение опережает ток в катушке на угол  . Закон Ома для индуктивности:
 или  ,
где  - индуктивное сопротивление катушки, измеряется в Омах (Ом). Сопротивление  - частотно зависимая величина, увеличивается с ростом частоты, ссылка скрытав.
^ 2.6.2. Мгновенная мощность:
Мощность  называется реактивной и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Временные диаграммы ,  и  для катушки приведены на ссылка скрытаг. Средняя мощность равна нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия магнитного поля катушки равна:
Временная диаграмма  , приведена на ссылка скрытад. Максимальная энергия магнитного поля катушки:
 .
^ 2.6.3. Напряжение на индуктивности в комплексной форме.
Так как напряжение на катушке:
то 
Здесь  - индуктивное сопротивление в комплексной форме.
Оператор  отражает дифференцирование тока в формуле напряжения на индуктивности.
^ Закон Ома в комплексной форме:
 или 
Вектора тока и напряжения на комплексной плоскости приведены
на ссылка скрытае.
^ 2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока.
Емкость отражает явление накапливания энергии электрического поля и характеризуется зависимостью заряда  от напряжения : 
^ 2.7.1. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:
 
Пусть  , тогда напряжение на конденсаторе:
 Это напряжение отстает от тока на угол  .
Векторы тока и напряжения приведены на ссылка скрытаб.
Закон Ома для емкости:
 или  ,
где  - емкостное сопротивление, измеряется в омах (Ом).
Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты. Зависимость  от частоты приведена на ссылка скрыта.в.
^ 2.7.2. Мгновенная мощность на конденсаторе:
 – реактивная мощность конденсатора. Временные диаграммы  ,  ,  приведены на ссылка скрытаг.
Среднее значение мощности равно нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия электрического поля в конденсаторе равна:
График  приведен на ссылка скрытад.
Максимальная энергия электрического поля равна:
^ 2.7.3. Напряжение на емкости в комплексной форме.
Так как
 ,
То
 .
Здесь  - емкостное сопротивление в комплексной форме.
Оператор  отражает интегрирование тока в формуле напряжения на емкости.
Закон Ома в комплексной форме  или  . Векторы  и  приведены на ссылка скрытае.
2.8. Последовательное соединение элементов , , .
Для схемы ссылка скрыта уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:
 (7)
Пусть  , тогда:
 (8)
Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на ссылка скрыта Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на и смещены на  .
^ В комплексной форме уравнение (8) примет вид:
 (9)
Здесь
 - комплексное сопротивление,
 - модуль комплексного сопротивления
 - фаза комплексного сопротивления.
На комплексной плоскости сопротивления ,  ,  ,  - образуют треугольник сопротивления, ссылка скрыта.
Если сопротивления умножить на  , получим диаграмму напряжений, ссылка скрыта.
Сравнивания уравнения (8) и (9), отметим, что дифференциальные уравнения (8) после замены мгновенных значений их комплексными символами переводится в уравнение алгебраическое (9). Это одно из преимуществ комплексного метода расчета.
Введение понятия комплексного сопротивления, позволяет написать закон Ома для всей цепи в комплексной форме  или для модулей комплексов 
^ Таким образом, для целей переменного тока можно составлять уравнения, по структуре сходной с уравнениями для цепей постоянного тока.
В современных условиях контроль за технологическими процессами, потреблением электрической энергии, режимом работы электрооборудования, измерением неэлектрических величин осуществляется с помощью электроизмерительных приборов. Эти приборы измеряют ток, напряжение, мощность, cos(j), частоту, электрическую энергию и т.д.
2.9 Параллельные соединения элементов , , .
Для схемы ссылка скрыта составим уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:
 (10)
Если  , то
 (11)
Здесь
 - активная проводимость,
 - индуктивная проводимость,
 - емкостная проводимость.
Единица измерения проводимостей - сименс (Сим).
Векторная диаграмма токов приведена на ссылка скрыта.
Уравнение (11) в комплексной форме:
 (12)
Здесь
 - комплексная проводимость или комплекс проводимости,
 - модуль комплекса проводимости
 - фаза комплекса проводимости.
Проводимости  образуют треугольник проводимости, ссылка скрыта.
Комплексная векторная диаграмма токов для уравнения (12) приведена на ссылка скрыта.
Пример 1.
Для схемы, приведенной на ссылка скрыта.
Задано:
 ,
  ,   ,   ,
  ,  ,  Определить токи.
Решение.
Воспользуемся комплексным методом расчета. Запишем комплексы сопротивлений для каждой ветви:
 ,
 .
Входное сопротивление цепи:
Входной ток:
  .
Определим токи  и 
Мгновенные значения токов запишем в виде:
Пример 2.
Для схемы ссылка скрыта определить сдвиг по фазе между входным током и напряжением, если  ,  ,  ,  .
Решение:
комплекс тока:
Фаза напряжения принята за ноль, а фаза тока получилась равной  . Сдвиг по фазе между током и напряжением .
^ 2.9.1. Мощность в цепи синусоидального тока. Комплексная мощность.
Пусть в цепи ссылка скрыта ток равен  . Мгновенное напряжение будет сдвинуто по отношению к току на угол , отличный от  и  .Мгновенная мощность для этой цепи примет вид:
 (13)
Выразим сопротивления и  через модуль сопротивления  :
 ,  ,  (14)
Подставим (14) в (13), получим
Временные диаграммы  , , приведены на ссылка скрыта.
Мощность имеет постоянную составляющую, т.е. среднюю мощность, или активную мощность:
и переменную составляющую. Амплитуда переменной составляющей  называется полной мощностью, измеряется в вольт-амперах,  .
Мощности и  связаны по закону треугольника мощностей, ссылка скрыта.
Третья составляющая в этом треугольнике – мощность реактивная  .
Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных, ( ). Полезная мощность измеряется ваттметром.
Пример.
График мгновенной мощности приведен на ссылка скрыта.
Максимальное и минимальное значения мощности соответственно равны  и  . Определить полную активную и реактивную мощности цепи.
Решение:
Размах значений мощности  , амплитудное значение  , это полная мощность . Среднее значение мощности   . Реактивная мощность  .
Отношение активной мощности к полной (ссылка скрыта) равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности
Для лучшего соотношения между мощностью электрической машины и других приборов и их габаритными размерами коэффициент мощности стремятся сделать максимально возможным.
^ Высокий коэффициент мощности желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям.
Чтобы выразить мощность через комплексы токов и напряжений воспользуемся следующим соображением.
Пусть заданы комплексы  и   .
Активная мощность должна быть равна  , где  .
Отсюда следует, что при определении комплекса мощности фаза тока должна быть взята с обратным знаком, т.е. комплекс тока должен быть заменен на сопряженный.
Полная комплексная мощность
^ 2.10. Законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса в комплексной форме.
Первый закон Кирхгофа:
Второй закон Кирхгофа:
^ Уравнение энергетического баланса:
 .
 .
 .
^ 2.11. Резонанс в цепях синусоидального тока.
Реактивные сопротивления и проводимость являются частотно-зависимыми величинами. Следовательно, при последовательном или параллельном соединении элементов и возможна на какой-то частоте полная компенсация реактивных сопротивлений или проводимостей. Режим, при котором наступает компенсация, называют резонансом. При резонансе входное сопротивление цепи становится активным, входное напряжение совпадает по фазе с входным током, а полная мощность будет активной. Угловая частота,  , при которой наступает резонанс, называется резонансной или собственной угловой частотой цепи. Различают две разновидности резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.
^ 2.11.1. Резонанс напряжений.
Может возникнуть в цепи с последовательным соединением и , ссылка скрытаа.
Для этой цепи запишем:
 .
Условие резонанса:
 или  ,
откуда резонансная частота  .
Настройку цепи в резонанс, изменение параметров цепи при частотах, отличных от резонансной можно увидеть, если построить частотные характеристики сопротивлений, тока в цепи и напряжений на ,,.
На ссылка скрытаб,в,г приведены частотные характеристики реактивных сопротивлений  и  ,
суммарного реактивного сопротивления ,
модуля полного сопротивления  , модуля входного тока  , а также амплитудно-частотные характеристики напряжений:
 ,
 ,
 .
По графику  определена резонансная частота  , по графику  можно увидеть, что сопротивление цепи при резонансе минимально и равно активному сопротивлению, по графику  - что ток в цепи при резонансе максимален. Графики  ,  ,  имеют ярко выраженный избирательный характер, т.е. имеют максимальные значения на резонансной частоте или вблизи нее. Можно также отметить, что напряжения  и  при резонансе могут превышать значение входного напряжения. Это хорошо иллюстрируется с помощью векторных диаграмм напряжения приведенных на ссылка скрытад,е,ж при частотах  ,  и  .Обратите также внимание на значения угла  на этих частотах и сопоставьте эти значения с характером реактивных сопротивлений на соответствующих частотах. Так при частотах , реактивное сопротивление носит емкостной характер и  и т.д.
^ 2.11.2. Резонанс токов.
Возможен в цепях с параллельным соединением и элементов, ссылка скрытаа.
Для этой цепи запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:
Компенсация реактивных проводимостей и реактивных токов:
  ,
произойдет на резонансной частоте 
Для анализа явления резонанса токов построим частотные характеристики реактивных проводимостей ссылка скрытаб, модуля полной проводимости  , ссылка скрытав, модуля полного тока  , ссылка скрытаг.
Здесь отмечена резонансная частота, полная проводимость цепи при резонансе минимальна и полный ток минимален. Векторные диаграммы токов, построенные для частот , ,  , ссылка скрытад,е,ж, позволяют убедиться, что токи в катушке и конденсаторе могут значительно превышать полный ток.
^ 2.12. Резонанс напряжений и токов в разветвленных цепях.
Мы рассмотрели резонанс в последовательном и параллельном контурах с идеальными элементами и . Рассмотрим другие более сложные примеры. Для цепи ссылка скрыта запишем условие резонанса, определим резонансную частоту и ток в цепи.
Входные сопротивления цепи:
^ Выделим действительные и мнимые части сопротивлений:
Компенсация реактивных сопротивлений произойдет на частоте  :
^ Входное сопротивление при резонансе минимально и равно:
Входной ток при резонансе максимален и равен  .
Для цепи, приведенной на ссылка скрыта, возможен резонанс токов. Запишем входную проводимость цепи
Выделим действительные и мнимые части проводимостей:
Условие резонанса:
Входной ток:
В разветвленных цепях с и возможны несколько резонансов. Так в цепи ссылка скрыта возможны и резонанс токов в ветвях , и резонанс напряжений для всей цепи.
Пример.
Цепь, ссылка скрыта настроена в резонанс. Определить  и  , если задано:
 ,  , ,  .
Решение:
Входное сопротивление цепи равно:
^ Условие резонанса напряжений:
 
Решая квадратное уравнение относительно  , получим .
^ Ток при резонансе равен:
|
