1 Формы представления модели
| Вид материала | Документы |
- Урок по географии Тема урока: «Формы и размеры Земли. Географические карты» Учитель, 41.42kb.
- Формы представления исследовательских работ, 476.93kb.
- Формы представления исследовательских работ, 146.72kb.
- Нейронные сети как механизм представления лексико-семантической информации, 376.06kb.
- 2. Лекция: Системы представления знаний, 171.88kb.
- Тема: «Моделирование, как метод познания», 55.31kb.
- Модели, технологии, методики, приемы и формы успешного обучения. Содержания и формы, 336.82kb.
- Проект стандарт Форматы представления сведений из административной модели, 1588.72kb.
- Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 27.07kb.
- Российская академия наук центральный дом учёных, 7.81kb.
1.2. Формы представления модели
Традиционными формами представления моделей являются системы уравнений в нормальной форме Коши и нелинейные дифференциальные уравнения, графы, структурные схемы. Они позволяют описывать не иерархические модели.
1.2.1. Нормальная форма Коши
Единообразное по форме и удобное для использования матричного аппарата математическое описание динамических (обычно «гладких») систем достигается в пространстве состояний с использованием переменных состояния, т. е. уравнений в форме Коши
(1.1)где
–—–векторы переменных состояния, управления и выходов; 
–—–
-мерное евклидово пространство; 
—–гладкие отображения. Предполагается выполнение условия существования решений, а для большинства практических задач–—–их единственности. Условия существования и единственности решений выполняются, если 
принадлежит одному из следующих наиболее часто используемых классов функций: постоянные, кусочно-постоянные, кусочно-непрерывные, кусочно-гладкие, измеримые (локально-ограниченные), а функция 
–—–удовлетворяет условиям Коши-ЛипшицаВ работе [4] приводится классификация форм представления динамических моделей в терминах «вход-состояние-выход», являющихся частными случаями (1.1).
^ Билинейные системы
где
–—–скалярные функции, 
–—–числовые матрицы размеров 
–—–числовая матрица размера 
L-системы
L-системой называется автономная невырожденная система вида
где
, причем
Здесь
является коммутатором алгебры Ли соответствующего векторного поля.Линейные системы
которые приводятся к L-системам
-го порядка вида
Линейно-аналитические системы
Если
–—–полиномы, то система называется полиномиальной [132, 141, 161].Системы с управлением, входящим линейно (правоинвариантные, аффинные) (векторное представление)
^ Системы управления с функциональными коэффициентами при переменных состояния и управления (матричное представление)
В ряде работ [43, 51, 52] принимается следующее описание
в векторно-матричной записи
Переход от векторного к матричному представлению осуществляется с помощью интегрального преобразования [11]
где
–—–матрица Якоби, найденная по 
из (1.12б).Нормальная форма Коши (НФК) удобна для представления модели в алгоритмах явного типа, и позволяет широко применять богатую матричную арифметику современных пакетов программ и библиотек языков программирования [1, 72, 86, 92, 96, 108].
К недостаткам данной формы представления необходимо отнести то, что в ней не сохраняется информации о топологии модели.
^ 1.2.2. Системы нелинейных дифференциальных уравнений различных порядков
Системы нелинейных дифференциальных уравнений (СНДУ) являются широко используемой формой представления нелинейных систем управления для численного исследования. В общем виде модель в форме СНДУ записывается следующим образом:
начальные условия:
где:
- внешние воздействия и их производные, 
- внутренние переменные, включая выходные и их производные. Данная форма представления более характерна пакетам программ, предполагающим значительные преобразования модели, например трансляцию модели в функцию языка программирования и присоединение ее к расчетной части при построении расчетной задачи. Это снимает почти все ограничения на сложность модели, которая по сути дела программируется. В форме СНДУ можно представлять более широкий класс моделей чем в НФК.
Недостатком данной формы представления является, так же как и в случае НФК, отсутствие полной информации о структуре модели, что затрудняет решение многих задач топологического характера. Решение этой проблемы возможно при упорядочивании порядка следования уравнений, так что в i-ом уравнении переменная xi являлась следствием. Такой подход встречается в ряде работ, например первые версии пакета NOCSYD [А2, А3].
1.2.3. Графы
Использование теории графов для описания моделей систем управления со сложной структурой, стало распространенным в последнее время. Теоретико-графовая форма описания модели позволяет эффективно использовать новые возможности языков программирования, такие как указатели, списки, классы, множественное наследие. Представление в форме ориентированного (сигнального) графа, в частности структурной схемы, расширяет информацию о модели, по сравнению с НФК и СНДУ, позволяя вводить причинно-следственные отношения. Знание о направленности связей имеет большое значение для задач анализа и синтеза.
В качестве иллюстрации на рис. 1.1. приведена диаграмма графа модели странного аттрактора Лоренца [93]. Эта форма представления позволяет эффективнее решать задачи выделения путей и контуров, связности, структурной управляемости и многие другие, чем в форме НФК и отчасти СНДУ.
Модель системы представляется ориентированным графом ^ H=
Несмотря на всю компактность и удобство такой записи, на практике чаще используют матрицу смежности R = rij, показывающую наличие дуги между i-ой и j-ой вершинами.
Рис. 1.1. Модель странного аттрактора в форме ориентированного графа
Рис. 1.2. Модель системы в форме графа
Рис. 1.3. Модель системы в форме гиперграфа
Рис. 1.4. Модель странного аттрактора в форме гиперграфа
Другим способом представления топологии является матрица изоморфности D, в строках которой представлены номера входящих (с плюсом) и выходящих (с минусом) дуг.
Для приведенного на рис. 1.2 примера матрицы смежности и изоморфности имеют вид:
Избыточность хранимой информации в матрице смежности (нулевые значения) компенсируются простотой вычислительных алгоритмов и скоростью получения требуемой информации из матрицы. Кроме того, наличие только двух значений 0 или 1, дает возможность использовать для ее представления битовые поля, что дает значительную экономию памяти, и при размерах системы порядка 100 элементов не уступает по затратам ресурсов на хранение матрицы изоморфности, при значительно более простых алгоритмов обработки информации. Использование матриц смежности, инцидентностей, достижимостей и др. имеет большое применение для алгоритмов топологического анализа СС НСУ [107].
Ориентированные графы (структурные схемы) обычно широко используются при описании линейных систем и систем с одновходовыми нелинейностями. Однако возникают некоторые затруднения при описании нелинейных систем, где нелинейные функции могут зависеть от нескольких переменных, например при описании операций умножения и деления.
1.2.4. Гиперграфы
Гиперграф являются теоретико-множественной формой представления дифференциальных уравнений, заданных в общем случае непричинно—следственным способом [53, 54, 56, 73]. По сравнению с графом, представление модели в форме гиперграфа расширяет возможности представления многовходовых элементов, однако при этом теряется информация о направленности связей.
Гиперграф определяется как пара H = < X, E > образующая конечное множество X=x1,...,xn вершин и некоторое семейством E=e1,...,eq ребер - непустых частей Х, удовлетворяющих условию UE=X [67]. Одним из способов задания топологии гиперграфа [53], является матрица
, где 
Гиперграф является вариантом симплециального комплекса или симплециальной схемы. В ряде работ [75], вводится понятие ориентированного гиперграфа. При этом множество E - определяется как множество ориентированных ребер.
Примеры гиперграфов приведены на рис. 1.5 и рис. 1.6. Из диаграмм видно, что гиперграф является способом группирования зависимых переменных, без указания причинно-следственных отношений между ними.
При этом способе внутреннего представления модели в ЭВМ, также возникают проблемы при внешнем представлении Скорее можно предлагать автоматическое построение гиперграфа по введенной системе уравнений.