§ Основные понятия и теоремы Пункт Деление с остатком

Вид материала

Документы

Содержание Пункт 9. Свойства подходящих дробей.

Подобный материал:

• Элективный курс «Отработка основных методов и приёмов решения уравнений» 10класс. 2010/2011, 51.02kb.
• Календарно-тематическое планирование 10а,б класс, 185.33kb.
• Программа по математике для 5-6 классов преподавание по учебникам, 102.94kb.
• Тематика курсовых работ по методике преподавания математики, 19.38kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру математического факультета, 107.92kb.
• Программа для поступающих в аспирантуру по специальности 05. 13. 18 Математическое, 37.95kb.
• Программа по курсу «Уравнения в частных производных», 25.35kb.
• В. М. Шибков Ведение. Основные положения спектроскопии. Основные квантовые закон, 22.85kb.
• Счисления. Римская нумерация. Арифметические действия над натуральными числами. Степень, 88.12kb.
• Содержание: Введение, 134.15kb.

^

Пункт 9. Свойства подходящих дробей.

Это сложный пункт, в нем будет мало слов крупным шрифтом. Взгляните еще раз на название пункта, и "поехали" (цитата из литературного наследия Ю. Гагарина, точнее, это литературное наследие здесь процитировано полностью).

Свойство 1 . P _s Q _{s -1} - Q _s P _{s -1} = (- 1) ^s , s > 0.

Доказательство. Обозначим h _s = P _s Q _{s -1} - Q _s P _{s -1} .

h ₁ = P ₁ Q ₀ - Q ₁ P ₀ = q ₁ · 0 - 1 · 1 = -1,

h _s = P _s Q _{s -1} - Q _s P _{s -1} =
= ( q _s P _{s -1} + P _{s -2} ) Q _{s -1} - ( q _s Q _{s -1} + Q _{s -2} ) P _{s -1} =
= P _{s -2} Q _{s -1} - Q _{s -2} P _{s -1} = - h _{s -1} .

Значит, h _s = (-1) ^s .



Свойство 2.

s - s -1 =

(-1) s Q s Q s -1

, s > 1.

Доказательство.

s - s -1 =

P s Q s

=

P s -1 Q s -1

=

h s Q s Q s -1

=

(-1) s Q s Q s -1

. 

Свойство 3. Для любого s > 0, дробь P _s / Q _s - несократима.

Доказательство. Ну пусть наибольший общий делитель ( P _s , Q _s ) равен d и d > 1. Тогда d делит разность P _s Q _{s -1} - Q _s P _{s -1} , равную (-1) ^s , что невозможно.



Свойство 4.



и равенство достигается только при q ₁ = q ₂ =...= q _s = 1.

Доказательство. Нам уже известно, что

Q ₀ = 0, Q ₁ = 1, q _i N , Q _s = q _s Q _{s -1} + Q _{s -2} Q _{s -1} + Q _{s -2} .

Наиболее медленный рост знаменателей будет наблюдаться при Q _s = Q _{s -1} + Q _{s -2} , т.е. при q ₁ = q ₂ = ... = q _s = 1. Это рекуррентное соотношение вместе с начальными условиями Q ₀ = 0, Q ₁ = 1 задает последовательность Фибоначчи. Характеристическое уравнение для рекуррентного соотношения Фибоначчи:

x ² = x + 1;

его корни: x 1,2 =

1± 5 2

;

общее решение:



Подстановка начальных условий в общее решение дает



откуда C ₁ = - C ₂ = 1/ 5.

Впрочем, формула s -ого члена последовательности Фибоначчи достаточно общеизвестна, ее вывод можно посмотреть, например, в брошюрах А. И. Маркушевича "Возвратные последовательности" или Н. Н. Воробьева "Числа Фибоначчи" из серии "Популярные лекции по математике", регулярно выходившей для школьников в издательстве "Наука".

Итак, знаменатели подходящих дробей растут не медленнее последовательности Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

