Система, структура, субстанция

Вид материала

Содержание

Понятия числа, фигуры и множества как примеры математических моделей
Абстракция отождествления
Идеализация и ее роль в математике
Аксиоматический метод в математике

Подобный материал:

1 2 3 4 5

Понятия числа, фигуры и множества как примеры математических моделей

К построению математических моделей явлений, основанному на отвлечении от всех свойств предметов, кроме их количественных отношений и пространственных форм, человечество прибегало с первых шагов развития математики. Одним из первых достижений на этом пути было создание понятия натурального числа. Оно появилось, по-видимому, на довольно позднем этапе возникновения мышления, поскольку предполагает уже развитую способность к созданию абстрактных понятий. В процессе практической деятельности люди пришли к абстрагированию такого общего свойства конечных множеств, каким является их численность. Чтобы усмотреть, что между множеством, состоящим из шести рыб, и множеством, состоящим из шести звезд, есть что-то общее, нужна уже высокая степень умения абстрагироваться от второстепенного, умения выделять главное. Этнографы нашли племена, в языках которых существует много видов числительных — числительные для множеств живых существ отличаются от числительных для множеств плодов, орудий охоты и т. д. Хотя эти племена и подошли к понятию числа, оно не получило у них должной общности.

Процесс создания понятия числа был сложным и длительным. На первом этапе устанавливалась равночисленность различных множеств, а общее свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравниваемых множеств (например, знали, что два рыболова поймали поровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом). На втором этапе численность одних множеств выражается через численности других множества, е. общее свойство равночисленности начинает осознаваться как нечто отличное от конкретной природы самого множества.Однако в качестве эталонов выступают еще различные множества, состоящие из камешков, раковин, пальцев и т. д. На третьем этапе определенное множество (например, множество пальцев на руках и на ногах) начинает выступать в качестве своеобразного единственного эталона количества, что позволяет выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств. На четвертом этапе общее свойство всех эквивалентных множеств абстрагируется (отвлекается, отделяется) от самих множеств и выступает в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натурального числа. Теперь уже в качестве эталона численности выступают сами натуральные числа и говорят не «рука яблок», а «пять яблок» (впрочем, в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти», т. е. о ладони, сравните слово «запястье»). Далее происходит отвлечение от реально существующих ограничений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах, о развертывающемся в бесконечность натуральном ряде чисел. Наконец, возникает абстракция бесконечного множества натуральных чисел. Объектом науки становятся свойства элементов этого множества, в отвлечении от тех предметов, пересчет которых привел к созданию понятия числа. Возникает система чисел с ее свойствами и закономерностями.

Создание такого понятия натурального числа, при котором этих чисел оказалось бесконечно много, носило поистине революционный характер. При этом, возникнув как инструмент в познании мира, понятие натурального числа стало предметом исследований, приведших к выявлению скрытых, но объективных свойств этого понятия (например, бесконечности множества простых чисел, бесконечности множества «пифагоровых троек чисел» и т. д.).

Понятие числа, возникшее как математическая модель операции пересчета предметов, само становится основой для построения новых математических моделей. Хотя свойства чисел раскрываются в отношениях одних чисел к другим, но не в отношениях этих чисел к реальному миру, каждое свойство натуральных чисел допускает конкретную реализацию в виде свойств совокупностей реальных объектов. Это связано с тем, что свойства и отношения в множестве натуральных чисел являются отвлеченными образами свойств и отношений множеств, состоящих из конкретных предметов.

На этом примере хорошо видны этапы конструирования математической модели реального явления: после долгого эмпирического знакомства с явлением возникает сначала его конкретная модель (пальцы рук и ног моделируют численности различных множеств), потом от этой модели переходят к мысленной модели — натуральным числам и, наконец, изучают эту модель и применяют ее для построения других моделей.

Похожий путь прошли в своем развитии и такие геометрические понятия, как «прямая линия», «плоскость», «шар», «цилиндр», «пирамида» и т: д. Сначала люди сталкивались с различными телами, имевшими форму, похожую на те или иные фигуры, и стали классифицировать тела по их форме. Говорили — имеет такую же форму, как натянутая нить или как еловая шишка («конос»), или как столик для еды («трапецион») и т. д. В дальнейшем при изготовлении предметов им старались придать ту или иную форму. Таким образом, сначала придавали форму тем или иным предметам, а лишь потом стали осознавать форму как то, что может быть рассмотрено в отвлечении от материала, из которого изготовлен предмет. Далее, возникли понятия геометрических фигур (конуса, пирамиды и т. д.), отвлеченные от реальных прообразов этих фигур. Они являлись математическими моделями, к изучению которых приводилось изучение реальных тел, мало отличающихся от этих фигур.

Дальнейшее развитие привело к расширению класса тел, используемых для построения таких моделей (параболоиды вращения, эллипсоиды и т. д.), а после создания аналитической геометрии математики получили возможность строить бесконечное множество самых разнообразных моделей тел, используя задание геометрических фигур уравнениями и неравенствами. В свою очередь, геометрические фигуры стали моделями уравнений и неравенств — читателю известно, насколько удобен, например, геометрический язык в линейной алгебре.

Следует иметь в виду, что одно и то же явление, одна и та же сторона материального мира может описываться различными моделями. Например, геометрическая структура материального мира может быть описана как геометрией Евклида, так и геометрией Лобачевского, причем на определенном уровне экспериментальной проверки обе модели дают результаты, одинаково хорошо согласующиеся с действительностью.

Одной из наиболее абстрактных моделей действительного мира, в которой отвлекаются от всех свойств предметов, кроме принадлежности их одному и тому же классу, является понятие множества.

Поразительным фактом, установленным в последние десятилетия, оказалось то, что у такого, казалось бы, наглядного понятия, как «множество», существуют различные математические модели. Это особенно важно потому, что теория множеств дает универсальную систему понятий, охватывающую все математические теории и широко используемую для построения математических моделей.

Абстракция отождествления

Построение любой математической модели начинается с абстрагирования. Процесс абстрагирования в математике имеет свои характеристические особенности, он отличен во многом от аналогичного процесса в других науках, поскольку способы абстрагирования в науке зависят от природы изучаемых объектов, характера и целей их изучения.

Наиболее распространенными видами абстракций в математике являются: абстракция отождествления (обобщающая), идеализация и различные абстракции осуществимости.

Основные особенности абстракции отождествления хорошо видны на описанном выше процессе формирования понятия числа. Такая абстракция начинается с установления отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов. При установлении отношения эквивалентности в каком-нибудь множестве эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.

Так, отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множества, между которыми можно установить биективное соответствие. В результате этого отождествления от множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, присущее всем множествам этого класса и не присущее никаким иным множествам. Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа, выражающего численность множеств данного класса.

Поскольку при абстракции описанного вида множества, предметы • и т. п. отождествляются по определенному свойству или набору свойств, общему для всех объектов, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, такая абстракция получила название абстракции отождествления. Абстракция отождествления применяется не только в математике, но и в других науках при создании общих понятий.

Идеализация и ее роль в математике

Наряду с абстракцией отождествления при построении математических моделей действительности широко используется и такой специфический прием абстрагирования, как идеализация.

Здесь под идеализацией понимается образование новых понятий, которые наделены не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается для того, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечном счете изучение их реальных прообразов. Как уже отмечалось выше, такой метод моделирования применяется и в других науках (например, при замене физического маятника математическим).

Многие исходные понятия различных областей математики представляют собой такие идеальные понятия. Нигде в природе не встречается «геометрическая точка», не имеющая размеров, но попытка построения геометрии, не использующей этого понятия, не приведет к успеху. Точно так же невозможно развивать геометрию без таких идеализированных понятий, как прямая линия, плоскость, шар, параллелограмм и т. д. Все реальные прообразы шара имеют на своей поверхности выбоины и неровности, но если бы геометры стали заниматься такими выбоинами и неровностями, они никогда не смогли бы получить формулу для объема шара. Эта формула в применении к реальным фигурам, похожим на шар, дает некоторую погрешность, но полученный приближенный ответ достаточно точен для практических потребностей.

В геометрии к полученным после идеализации геометрическим фигурам применяют далее абстракцию отождествления. Так, отождествляя все шары, получают общее понятие шара, отождествляя все треугольники, — общее понятие треугольника и т. д.

Связь идеальных объектов математики с действительностью более сложна, чем в естественных науках. Это явилось причиной многочисленных попыток неправильного истолкования предмета математики, отрыва ее от реального мира. Например, некоторые биологи считали применение математических методов в биологических науках «идеалистически-математическим». Развитие науки опровергло эти заблуждения.

Попытки исказить природу математического знания возникали и внутри самой математики. Например, авторы, пишущие под псевдонимом Бурбаки, полагают, что «то, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого...».

Если вспомнить, что основные понятия математики уходят своими корнями в реальный мир, то вряд ли можно удивляться, что они оказываются полезными при исследовании этого мира. И разумная идеализация реальных объектов и процессов — мощный метод познания действительности. В целом можно сказать, что идеализация используется прежде всего там, где сложность реальных явлений или процессов мышления представляет значительные трудности для исследования.

Особым видом идеализации является абстракция потенциальной осуществимости. Например, при построении натуральных чисел абстрагируются от того, что невозможно написать или назвать число, содержащее слишком много (например 10¹⁰⁰⁰) десятичных знаков. Всякий раз, когда мы доходим до некоторого числа п, допускается возможность написания и следующего за ним числа п + 1. Точно так же при изучении геометрии вводится абстракция потенциальной осуществимости безграничного деления геометрических фигур, при которой пренебрегают тем, что реальные тела имеют молекулярную структуру.

Абстракция потенциальной осуществимости приводит к абстракции потенциальной бесконечности. Натуральный ряд чисел мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его построения незавершим, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностями для осуществления следующего шага.

Можно мыслить натуральный ряд чисел и как законченный объект, что соответствует другой абстракции — актуальной бесконечности.

Перечислим важнейшие особенности математической абстракции, отличающие процесс абстрагирования в математике от аналогичного процесса в иных науках:

а) По сравнению с естествознанием процесс абстрагирования в математике идет значительно дальше. В известном смысле слова можно сказать, что там, где естествознание останавливается, математическое исследование только начинается.

б) Абстрагирование в математике чаще всего выступает как многоступенчатый процесс. Поэтому в математике весьма часто встречаются абстракции от абстракций.

в) Во всей истории математики можно выделить три больших этапа в развитии ее абстракций: на первом этапе отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов, на втором стали отвлекаться от конкретных чисел и величин, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретного смысла отношений между ними.

г) В математической абстракции широко используются идеальные объекты.

д) Многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту.

Математические абстракции являются важным моментом в познании действительности. Как уже отмечалось выше, широкое использование в математике абстрактных понятий приводит к использованию для их изучения особых методов познания. Одним из важнейших методов познания в математике является аксиоматический метод.

Аксиоматический метод в математике

Поскольку математика изучает формы и отношения, отвлекаясь от их содержания, все математические доказательства проводятся путем логического рассуждения. Но если теорема А выводится из теоремы В, а теорема В — из теоремы С и т. д., то получается «бесконечное возвращение назад». Такая же ситуация возникает при попытке давать определения новым понятиям, основываясь на ранее введенных понятиях. Чтобы избежать такого «бесконечного возвращения назад», применяют следующий метод: некоторые понятия и связывающие их отношения считают неопределяемыми, исходными, а все дальнейшие понятия и их свойства выводят из исходных путем точных определений и логических рассуждении. Подобный стиль построения научных дисциплин получил название аксиоматического метода. Как уже говорилось выше, первой дошедшей до нас попыткой такого изложения математической дисциплины была книга Евклида «Начала».

В настоящее время аксиоматический метод стал одним из основных при построении математических моделей действительности. Как пишут наиболее верные приверженцы этого метода — группа авторов Н. Бурбаки, «аксиоматический метод берет за точку опоры убеждение в том, что если математика не является нанизыванием силлогизмов в направлении, избранном наугад, то она тем более не является более или менее хитрым искусством, состоящим из произвольных сближений, в котором господствует одна техническая ловкость. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению «неожиданной помощи», которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию». Далее они пишут: «В доказательствах какой-либо теории аксиоматика стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждении; затем, беря каждое из соответствующих положений изолированно и возводя его в общий принцип, она выводит из них следствия; наконец, возвращаясь к изученной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные составные элементы и изучает, как они взаимодействуют между собой».

Такой метод приводит к тому, что свойства и отношения, казавшиеся совершенно различными, оказываются лишь различными формами одних и тех же свойств и отношений, имеющих место в абстрактной системе, воплощениями которой являются данные конкретные системы. Это позволяет получать из каждой теоремы о соответствующей абстрактной системе ряд теорем, касающихся различных моделей этой системы.