Geum.ru

Система, структура, субстанция

Вид материалаДокументы

Содержание


Математика и действительность
Математические модели действительности
Подобный материал:
1   2   3   4   5

Математика и действительность


Материальный мир состоит из объектов, обладающих определенными свойствами и находящихся в определенных соотношениях друг с другом. В процессе развития эти объекты взаимодействуют, видоизменяются, утрачивая одни свойства и приобретая другие. Одной из важнейших задач человеческого познания является изучение объектов материального мира, их свойств, взаимоотношений, взаимодействий, путей их видоизменения, с тем чтобы использовать это знание для решения практических задач.

На разных этапах развития математики в ней вырабатывались специфические методы, характеризующие процессы математического осмысления определенных фрагментов разнообразных пространственных форм и количественных отношений материального мира. Использование математических методов в различных науках позволяет вскрыть структурную общность законов, лежащих в основе описания различных явлений и процессов, при всей несхожести областей, в которых действуют эти законы.

Роль математики в естествознании и гуманитарных науках заключается в том, что она предлагает весьма общие и достаточно четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от более расплывчатых качественных моделей, характерных для доматематического этапа развития данной науки.

Изучение сложных проблем современной науки и техники в настоящее время стало невозможным без построения упрощающих, огрубляющих, формализующих, охватывающих лишь одну сторону явления моделей. Появление таких моделей в какой-либо области науки показывает, что система понятий этой отрасли достигла такой стадии, что может быть подвергнута строгому и абстрактному, т. е. математическому, изучению. Если естественнонаучные открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира, то математические открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства рассматриваемых моделей мира и позволяют создать новые модели.

Математические модели действительности


Одним из наиболее плодотворных методов математического познания действительности является построение математических моделей изучаемых явлений. Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Построение математических моделей является мощным методом познания внешнего мира, прогнозирования явлений и управления различными процессами.

Метод моделирования широко применяется в самых разнообразных областях науки. Например, при изучении колебаний физического маятника создается модель явления, в которой пренебрегают сопротивлением воздуха и трением в точке подвеса, гибкостью нити, конечностью размеров самого маятника. Возникающая при этом модель получила название математического маятника. Размеры груза математического маятника считаются нулевыми (изучаются колебания материальной точки), нить считается абсолютно жесткой, сопротивление воздуха и трение в точке подвеса полагаются равными нулю. Это позволяет получить математическую модель явления — написать дифференциальное уравнение, несущее всю информацию о движении такого идеализированного маятника. Разумеется, как сам математический маятник, так и описывающее его движение дифференциальное уравнение являются лишь моделями реально протекающего процесса. Однако эти модели охватывают многие качественные стороны явления, а учет отброшенных сторон явления привносит лишь определенные поправки к полученной качественной картине.

Современный этап математизации таких наук, как экономика, социология, биология, лингвистика и т. д., характеризуется широким использованием математических моделей различной сложности. Следует иметь в виду, однако, что отображение мыслью всякого явления, всякой стороны, всякого момента действительности огрубляет, упрощает его, выхватывая его из общей связи природы. В то же время оно может придать изучаемому явлению дополнительные свойства, отсутствующие у самого явления. Например, идея измерения величины, отправляясь от наблюдаемого факта делимости однородных объектов на равные части, приводит к модели, основанной на идее безграничной делимости величин, что противоречит молекулярному строению вещества.

При построении математических моделей всегда приходится пренебрегать теми или иными сторонами действительности, благодаря чему полученная модель отнюдь не эквивалентна изучаемому явлению. Лишь сравнение с действительностью результатов, полученных путем изучения модели, позволяет судить о качестве этой модели, границах ее применимости. Каждая модель применима лишь в определенных рамках. Например, при измерении малых участков земной поверхности можно использовать модель евклидовой плоскости: эти участки мало отличаются от плоских. При увеличении размеров участков до стран и континентов приходится использовать более точные модели — сначала сферической геометрии, потом геометрии на эллипсоиде вращения, и, наконец, на трехосном эллипсоиде. По мере уточнения модель усложняется, отражая все новые стороны изучаемого явления.

Итак, математика исходит из практики, создавая математические модели явлений, и возвращается к ней, показывая возможность применения результатов, полученных на основе изучения этих моделей.

В последние десятилетия описанная выше схема связи между математикой и другими науками стала меняться в сторону расширения влияния математики не только на решение вопросов конкретных наук, но и на постановку этих вопросов. Например, некоторые понятия квантовой механики или квантовой теории поля невозможно сформулировать, не используя математического языка.