Вадим Юрьевич Кончаловский лекции

Вид материала

Лекции

Содержание Измерительные приборы ОСНОВНАЯ погрешность Δ Дополнительные погрешности. Измерительные преобразователи.

Подобный материал:

• 2011. 04. 12. Йога Триада. Лекция Вадим Запорожцев.  Введение, 323.22kb.
• Название лекции: 2011. 06. 07. Йога Триада. Лекция Автор: Вадим Запорожцев, 248.26kb.
• Название лекции: 2011. 05. 03. Йога Триада. Лекция Автор: Вадим Запорожцев, 307.78kb.
• Таланин Владимир Юрьевич (RU) (72) Автор(ы): Таланин Юрий Васильевич (RU), Таланин, 19.46kb.
• Сидоров Алексей Юрьевич. Каф 44. ауд. 314 Восновном все лекции, 261.18kb.
• Конспект урока лекции «Михаил Юрьевич Лермонтов», 144.74kb.
• А. Н. Островский последняя жертва, 774.58kb.
• Тунгусский феномен (инсценированный рассказ) Действующие лица и исполнители: Вадим, 78.51kb.
• «Русская политическая культура. Взгляд из утопии». В этой работе Владислав Юрьевич, 1137.21kb.
• Кухто Дмитрий Юрьевич Москва 2011г пояснительная записка, 179.89kb.

1.3. Основные характеристики средств измерений


Измерительные приборы


1.3.1. Диапазон измерения


Вольтметр с четырьмя поддиапазонами измерения.

Верхние пределы:

7,5; 15; 30 и 60 В

Нижние пределы:

1; 2; 4 и 8 В

Пределы ограничены жирными точками.

Поддиапазоны показаний:

0 – 7,75; 0 – 15,5;

0 – 31 и 0 – 62 В.

Характеристики гарантируются в пределах диапазона измерений.

У приборов с равномерной шкалой диапазоны измерений и показаний совпадают.

Существуют приборы с двусторонними шкалами, например:

– 5 мА ÷ 0 ÷ 5 мА, с безнулевыми шкалами, например: 49 ÷ 50 ÷ 51 Гц.

Верхний предел диапазона показаний может быть бесконечность:


Обратная, существенно неравномерная шкала.


1.3.2. Цена деления шкалы и значение единицы младшего разряда.

Цена деления шкалы – это у аналоговых приборов.

В нашем вольтметре на 1^м поддиапазоне с₁ = 7,5 / 150 = 0,05 В / дел, а на последнем с₄ = 60 / 150 = 0,4 В / дел.

Зачем это нужно? Можно сделать отсчёт в делениях и для получения результата умножить на цену деления: U(В) = α (дел) × с (В/дел). Конечно, в таких простых случаях всё это можно проделывать в уме. Но вот ещё пример – ваттметр (обозначение на циферблате – W). У ваттметра две пары зажимов: для тока и для напряжения. В каждой паре один зажим помечен звёздочкой, а около другого указано номинальное значение тока и напряжения соответственно. При этих значениях стрелка отклониться «на всю шкалу».


Мы видим, что показание прибора в делениях α = 61 дел. Но сколько это ватт? В данном случае обязательно нужно определить цену деления. Шкала содержит 75 делений. Мощность, соответствующая отклонению стрелки «на всю шкалу» – это произведение номинальных значений тока I = 5 А и напряжения U = 150 В. Следовательно, цена деления с = (5×150)/75 = 10 Вт /дел и показание в ваттах Р = 61×10 = 610 Вт.

Кстати: а как правильно подключить ваттметр? Непременное правило: «звёздочка к звёздочке». Если его нарушить, стрелка будет пытаться отклониться влево от нуля. Следовательно, включаем так:




Н
٭
о есть и второй вариант:



5 А


W

٭


~




нагрузка


150 В






Как же лучше?

Почва для размышления!


Значение единицы младшего разряда у цифровых измерительных приборов:





В лучших моделях цифровых вольтметров на первом (самом чувствительном) поддиапазоне значение единицы младшего разряда может быть 10 нВ.


1.3.3. Точность


Количественная характеристика точности – погрешность. Чем меньше погрешность, тем выше точность.

Прежде всего, существуют два понятия:

• погрешность измерения;
  
• погрешность измерительного прибора.
  

Это не одно и то же. Можно взять дорогой, очень точный прибор, но получить при неграмотном использовании очень плохой результат. Попробуйте сами привести пример такой ситуации.


Существует три формы выражения погрешностей:

• абсолютная Δ;
  
• относительная δ:
  
• приведённая γ.
  

Погрешность измерения может быть выражена в форме Δ или δ, а погрешность измерительного прибора – в любой из трёх форм.


Абсолютная погрешность измерительного прибора:


Δ = Х – Х_ист ≈ Х – Х_д, (6)


где Х – показание прибора; Х_ист – истинное значение измеряемой величины;

Х_д – её действительное значение.


Относительная погрешность измерительного прибора:


δ = δ (%) = 100 (7)


Приведённая погрешность измерительного прибора:


γ = γ (%) = 100· (8)


где Х_н – нормирующее значение измеряемой величины.


Что значит «нормирующее значение? Покажу на примерах:

1) У вольтметра с диапазоном измерения от 0 до 15 В нормирующее значение

Х_н = U_н = 15 В.

2) У миллиамперметра с двусторонней шкалой – 5 мА ÷ 0 ÷ 5 мА нормирующее значение

Х_н = I_н = 5 мА (или 10 мА).

3) Частотомер с узким диапазоном измерения 49 Гц ÷ 50 Гц ÷ 51 Гц нормирующее значение

Х_н = f_н = 50 Гц.


Связь относительной погрешности с приведённой:

δ = γ· δ = γ при Х = Х_н ; δ > γ при Х < Х_н !


Основная погрешность и дополнительные погрешности.


Погрешность Δ зависит от влияющих величин ξ:


Δ = f(ξ₁; ξ₂;… ξ_n).


Влияющие величины – это:

а) внешние факторы – температура, напряжение питания (если оно есть у прибора) и др.;

б) неинформативные параметры входного сигнала.

Пример: u(t) = U_msinωt = Usin2πft

– вольтметром измеряют среднее квадратическое значение U синусоидального напряжения u(t); в этом случае частота f этого напряжения – неинформативный параметр входного сигнала, т.е. такой параметр, который не несёт полезной информации о значении U, но влияет на результат измерения U;

– частотомером измеряют частоту f синусоидального напряжения u(t); в этом случае U – неинформативный параметр входного сигнала.


Нормальные условия применения прибора – это такие условия, когда все влияющие величины ξ_i либо имеют нормальные значения [7]


ξ_i = ξ_i,норм,


либо находятся в пределах нормальных областей значений


ξ_{i,норм,min} ≤ ξ_i ≤ ξ_{i,норм,max}.


Примеры:

а) θ = 20 ⁰С – нормальное значение температуры, принятое в нашей стране;

б) относительная влажность воздуха от 30 до 80 % – нормальная область значений.


Примечание. Обеспечить при испытаниях точно 20 ⁰С невозможно, поэтому допускаются отклонения, например, в пределах (20 ± 2) ⁰С. Этот допуск зависит от точности испытуемого прибора; для самых точных он составляет ± 0,5 ⁰С.


ОСНОВНАЯ погрешность Δ_о – это погрешность в нормальных условиях.

Рабочие условия применения прибора – это такие условия, когда влияющие величины ξ_i находятся в пределах рабочих областей значений


ξ_i,раб,min ≤ ξ_i ≤ ξ_i,раб,max.


Пример:

температура в пределах 10 ⁰С ≤ θ ≤ 35 ⁰С (2^я группа средств измерений)

·

·

·

– 50 ⁰С ≤ θ ≤ 60 ⁰С (6^я группа).


ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ погрешность Δ_д – это изменение погрешности, вызванное отклонением одной из влияющих величин ξ_i от её нормального значения ξ_i,норм или выходом за пределы нормальной области значений ξ_{i,норм,min} ÷ ξ_{i,норм,max}.


Систематическая и случайная погрешности.


Систематическая погрешность Δ_с остаётся постоянной или закономерно изменяется в зависимости от времени (или другого аргумента).

Случайная погрешность изменяется случайным образом.

Пусть Х = const. Производятся повторные измерения Х. Если Х₁; Х₂;…Х_n отличаются друг от друга – значит, проявляет себя случайная погрешность. Что при этом принять за результат измерения? Ответ известен: среднее значение:


. (9)

В вероятностном смысле Х_ср ближе к истинному значению Х_ист, чем любое Х_i. Это объясняется тем, что одни Х_i отличаются от Х_ср в одну сторону, другие – в другую. Чем больше n, тем меньше влияние случайной погрешности, но тем дольше процесс измерения.

Такое измерение с повторами и усреднением называют измерением с многократными наблюдениями: Х_i – это наблюдения, а Х_ср – результат измерения.

Таким образом, простой приём – многократные наблюдения – позволяет обнаружить присутствие случайной погрешности, а их усреднение – снизить её влияние.

Заметим, что этот приём не обнаруживает систематическую погрешность и не снижает её.

Для нахождения Δ_с нужен более точный прибор, показание которого можно считать действительным значением Х_д, и тогда


Δ_с = Х – Х_д (10)


или


Δ_с = Х_ср – Х_д, (11)


если выявлено присутствие случайной погрешности и произведены многократные наблюдения.


Если Δ_с найдена, её можно исключить, введя поправку:


η = – Δ_с. (12)


Тогда Х + η – это будет исправленный результат измерения.

Получается, что если погрешность найдена – это уже не погрешность. Погрешность остаётся погрешностью лишь до тех пор, пока в ней есть неопределённость, случайность. После внесения поправки остаются не исключённые остатки Δ_с, но они уже случайны.

Итак, погрешность – в принципе случайная величина.


Случайные величины можно изучать, у них есть определённые законы. Этим занимается одна из отраслей математики – теория вероятностей. Мы будем её использовать.


Мы рассмотрели случай, когда с помощью более точного прибора находят Δ_с и вводят поправку η. Может возникнуть вопрос: если у нас есть этот более точный прибор, почему бы им и не измерять? Дело в том, что поправка вносится в результаты многих измерений, а определяется редко. Для её нахождения используются эталонные средства измерения. Они служат не для измерений, а для поверки и аттестации рабочих средств измерения. Если бы эталонные средства использовались для измерений, они быстро бы перестали быть эталонными.


Но вообще внесение поправки – довольно редкий случай в практике измерений: это точные лабораторные измерения, научные исследования. Большей частью Δ_с есть, но её не выявляют для каждого данного экземпляра средств измерений. На множестве экземпляров данного типа средств измерений она проявляет себя, как случайная величина.


Таким образом, проявляет себя, как случайная величина на множестве многократных наблюдений, если таковые производятся, а Δ_с проявляет себя, как случайная величина даже при одном измерении – на множестве экземпляров приборов данного типа.


Нормирование погрешностей


Нормируют предельно допускаемые значения погрешностей средств измерений, в первую очередь для основной погрешности. Существуют разные формы нормирования:


1) Нормируют предельно допускаемые значения основной приведённой погрешности, например, γ_о,п = ± 0,5 %. Так нормируют погрешности аналоговых вольтметров, амперметров и т.п. Это означает, что – 0,5 % ≤ γ_о ≤ 0,5 %.

Возможно, нам попался экземпляр прибора, у которого γ_о = 0, но мы этого не знаем. Мы знаем, что гарантируется – 0,5 % ≤ γ_о ≤ 0,5 %.


2) Гораздо реже гарантируется предельно допускаемые значения основной относительной погрешности, например, δ_о,п = ± 0,02 %. Так, например, нормируют погрешность измерительных мостов.


3) Нормируют предельно допускаемые значения основной относительной погрешности, но не в виде числа со знаками ±, а в виде формулы:


. (13)


Так нормируют погрешность для цифровых измерительных приборов, например:





Дополнительные погрешности.


Рассмотрим на примерах.


Пример 1.

В документации читаем: «Дополнительная температурная погрешность не более половины основной на каждые 10 ⁰С в рабочем диапазоне». Расшифруем эту фразу. Пусть известно, что для данного прибора:

– рабочий диапазон температур 5 ⁰С ≤ θ ≤ 40 ⁰С;

– предельные значения основной приведённой погрешности γ_о,п = ± 0,5 %.

Это значит, что при 10 и при 30 ⁰С к γ_о добавляется ещё ± 0,25 %. Есть основания считать, что зависимость дополнительной температурной погрешности от температуры близка к линейной. Поэтому, если, например, θ = 35 ⁰С, то предельные значения дополнительной температурной приведённой погрешности будут


.


Здесь – температурный коэффициент дополнительной температурной погрешности.

Если бы вместо «…не более половины основной…» было «…не более основной…», то температурный коэффициент был бы 0,1γ_о,п.


Пример 2.

В документации читаем: «Дополнительная частотная погрешность не более основной». Пусть это относится к аналоговому вольтметру переменного напряжения, у которого нормальная область значений частоты 45 Гц ≤ f_норм ≤ 1 МГц, а рабочая область 20 Гц ≤ f_раб ≤ 5 МГц. На циферблате прибора это обозначается так:


20 Гц…45 Гц…1 МГц…5 МГц




Пусть для этого вольтметра γ_о,п = ± 4 %. Это значит, что в диапазонах от 20 Гц до 45 Гц и от 1МГц до 5 МГц к γ_о добавляется дополнительная частотная погрешность с предельными значениями γ_д,f,п = ± 4 %. В случае частотной погрешности нет оснований считать, что она линейно зависит от частоты. Поэтому, если, например, f = 2 МГц всё равно приходится считать, что при этом γ_д,f,п = ± 4 %.


Это, конечно, плохо, поэтому стандарт [8] предлагает нормировать не дополнительные погрешности, а функции влияния (для линейных функций – коэффициенты влияния).


Классы точности


Класс точности – комплексная характеристика, которая говорит нам и об основной и о дополнительных погрешностях [9].


Обозначение классов точности:

• На циферблате аналогового прибора проставлено число, например, 0,5. Что оно означает? В первую очередь, что γ_о,п = ± 0,5 %.
  

• На лицевой панели прибора проставлено число внутри окружности, например,
  

Это значит, что δ_о,п = ± 0,2 %.

• В документации цифрового измерительного прибора его класс точности обозначен 0,01/0,005. Это значит, что
  

.


Все числа, фигурирующие в обозначениях классов, выбираются из ряда


(1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6)·10^а,


где а = 1; 0; – 1; – 2; …


Кроме основной погрешности класс точности даёт информацию о дополнительных погрешностях, например, так, как это было показано в приведённых выше примерах, но как именно, в частности, «…не более половины основной…» или «…не более основной…» – это надо уточнять по документации на прибор.


1.3.4. Характеристики, отражающие влияние прибора на объект.


Многим со школьных времён известно положение, которое можно выразить фразой: «Хорош тот вольтметр, у которого сопротивление побольше, а амперметр – у которого поменьше». Теперь поставим вопрос: а собственно говоря, почему это так?

Возьмём вольтметр, измеряющий напряжение постоянного тока.


Нас интересует напряжение U' между двумя выделенными точками, которое было на объекте до подключения вольтметра.

После того, как вольтметр подключили, напряжение хотя бы совсем немного, но обязательно уменьшится:






U < U' !


объект

U

V










Почему это так?


Сколь бы ни была сложна схема объекта, но относительно двух выделенных точек его можно представить в виде активного двухполюсника, содержащего последовательно соединённые э.д.с. Е и сопротивление R. Пока вольтметр ещё не подключён, получаем U' = E, а после подключения


, (14)

где R_V – сопротивление вольтметра.

E

R

U'


R

U


Е

R_V



Погрешность от взаимодействия вольтметра с объектом:


Δ_вз = U – U' = . (15)


Эта формула неудобна тем, что э.д.с. Е нам не известна, мы знаем U, а не Е. Но из формулы (15) можно выразить Е:


. (16)


Подставив (16) в (15), получим:


(17)


При R_V → ∞ погрешность взаимодействия Δ_вз → 0. Вот почему хорош тот вольтметр, у которого побольше R_V: у него поменьше Δ_вз.


Заметим, что Δ_вз → 0 также и при R_V → 0 (измерение э.д.с.).


Выразим относительную погрешность взаимодействия:


(18)


Аналогичным путём можно найти погрешность взаимодействия амперметра с объектом. При этом должен получиться такой результат: погрешность взаимодействия Δ_вз → 0 при сопротивлении амперметра R_А → 0. Полезно проделать этот анализ самостоятельно. В данном случае удобнее представить эквивалентную схему объекта не в виде последовательного соединения э.д.с. и сопротивления, а в виде параллельного соединения источника тока и сопротивления.


Таким образом, R_V и R_A влияют на точность: от них зависит Δ_вз. Но она зависит не только от них, а ещё и от сопротивления объекта R. Поэтому Δ_вз или δ_вз нельзя указать заранее для данного вольтметра или амперметра. Характеристикой прибора, отражающей его влияние на объект, является R_V или R_A.


Если измеряется синусоидальное напряжение, то на высоких частотах надо учитывать не только сопротивление R_V, но и ёмкость С_V. Они включены параллельно. Будем считать, что объект характеризуется чисто активным сопротивлением R.





Введём комплексное напряжение и комплексную э.д.с. :




где

.


Тогда





Теперь перейдём к модулям U и Е:


.


Погрешность взаимодействия вольтметра с объектом:


Δ_вз = U – E = E,

где



Поскольку R << R_V,


.


Как и раньше, выразим Е через U:


Е = U


и подставим в формулу для Δ_вз:


Δ_вз = U = U(1 .


Поскольку Δ_вз << U (иначе измерение бессмысленно), << 1, т.е

где ε << 1, значит, пользуясь свойством малых величин, можно написать . Следовательно,


Δ_вз = U = . (19)


При ω = 0 получаем формулу (17). При увеличении ω второе слагаемое быстро растёт !


Мы закончили рассматривать характеристики измерительных приборов. Теперь вкратце о других средствах измерений: мерах и измерительных преобразователях.


Меры.


Первая характеристика меры – её номинальное значение Y_ном, для многозначной меры – множество номинальных значений.

Абсолютная погрешность меры: Δ = Y_ном – Y_ист ≈ Y_ном – Y_д, где Y_ист и Y_д - истинное и действительное значения меры.

Для однозначных мер относительная погрешность δ и приведённая погрешность γ – одно и то же, для многозначных соотношение между ними такое же, как у измерительных приборов.

Для тех и других сохраняются понятия систематической Δ_с и случайной составляющих.


Измерительные преобразователи.


Главная характеристика измерительного преобразователя – номинальная функция преобразования :


Y = f_ном (Х).

Она может быть в виде формулы или таблицы или графика. Частный случай – линейная функция, проходящая через начало координат. Здесь достаточен номинальный коэффициент преобразования:


S_ном = .

Для измерительных преобразователей остаются в силе понятия о трёх формах выражения погрешности – абсолютная Δ, относительная δ и приведённая γ; понятия об основной погрешности Δ_о и о дополнительных погрешностях Δ_д; понятия о систематической Δ_с и случайной составляющих. Но, кроме того, здесь действуют ещё два, которых нет у измерительных приборов и у мер: погрешность на входе Δ_вх и погрешность на выходе Δ_вых.





Синяя линия – номинальная функция преобразования, которой мы располагаем, а красная – реальная, которая, вообще говоря, нам не известна. Сначала обратимся к левому рисунку. Если на выходе преобразователя мы получили, например, измерили некоторое значение выходного сигнала Y_изм, то, пользуясь номинальной функцией, мы «думаем», что на входе действует сигнал со значением Х_ном. На самом же деле его действительное значение Х_д. Абсолютная погрешность на входе («измеренное – в данном случае номинальное – минус действительное»):


Δ_вх = Х_ном – Х_д.

Теперь посмотрим на правый рисунок. Пусть входной сигнал имеет некоторое действительное значение Х_д. На выходе ему соответствует сигнал со значением Y_изм, которое можно измерить. Значение же выходного сигнала Y_ном можно ещё назвать идеальным: оно было бы на выходе, если бы преобразователь был без погрешностей. В некотором смысле оно аналогично действительному, а точнее говоря, истинному значению в случае измерительного прибора: прибор показал бы это значение, если бы он был без погрешностей. Абсолютная погрешность на выходе («измеренное минус действительное – в данном случае номинальное»):


Δ_вых = Y_изм – Y_ном.