Тема 20. Свойства вейвлет-преобразования Изложение вопроса будет неполным, пока в той или иной форме мы не оговорим всех условий

Вид материала

Содержание

2.1. Базисные функции вейвлет-преобразования /1, 3/.
2.2. Свойства вейвлет-преобразования /3, 1/.
2.3. Вейвлет-преобразование простых сигналов.

Подобный материал:

ВЕЙВЛЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

Тема 20. СВОЙСТВА ВЕЙВЛЕТ-преобразования

Изложение вопроса будет неполным, пока в той или иной форме мы не оговорим всех условий.

Джон Стюарт Милль. Английский философ, XIX в.

Оговорить можно, но увлекаться не стоит. Можно такой забор нагородить, что за ним и смысл самого вопроса не рассмотришь.

Игорь Широков. Московский геофизик Уральской школы, XX в.

Содержание

Введение.

1. Базисные функции вейвлет-преобразования. Определение вейвлета. Свойства вейвлета. Отображение преобразования. Вейвлетные функции.

2. Свойства вейвлет-преобразования.

3. Вейвлет-преобразование простых сигналов.

Введение.

Аналитика вейвлетных преобразований сигналов определяются математической базой разложения сигналов, которая аналогична преобразованиям Фурье. Основной отличительной особенностью вейвлет-преобразований является новый базис разложения сигналов - вейвлетные функции. Свойства вейвлетов принципиально важны как для самой возможности разложения сигналов по единичным вейвлетным функциям, так и для целенаправленных действий над вейвлетными спектрами сигналов, в том числе с последующей реконструкцией сигналов по обработанным вейвлетным спектрам.

Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Вейвлетные функции могут быть симметричными, асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой, а также иметь различную степень гладкости. Некоторые функции имеют аналитическое выражение, другие – быстрый алгоритм вычисления вейвлет-преобразования. Для практики желательно было бы иметь ортогональные симметричные и асимметричные вейвлеты, но таких идеальных вейвлетов не существует. Наибольшее применение находят биортогональные вейвлеты.

2.1. Базисные функции вейвлет-преобразования /1, 3/.

Базисными функциями вейвлет-преобразований могут быть самые различные функции с компактным носителем - модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т.п. Они обеспечивает хорошее отображение и анализ сигналов с локальными особенностями, в том числе со скачками, разрывами и перепадами значений с большой крутизной.

Следует различать вейвлеты по целевым задачам вейвлетных преобразований с позиций декомпозиции – реконструкции сигналов. Было бы желательно иметь такое вейвлет-преобразование сигналов, которое обеспечивало бы полную информационную эквивалентность вейвлетного спектра сигналов временному (динамическому, координатному) представлению, и, соответственно, однозначность как декомпозиции сигналов, так и их реконструкции из вейвлетных спектров. Однако это возможно только при использовании ортогональных и биортогональных вейвлетов. Этим вейвлетам и будет уделено основное внимание. Для качественного анализа сигналов и локальных особенностей в сигналах может применяться более обширная номенклатура вейвлетных функций, которые хотя и не обеспечивают реконструкцию сигналов, но позволяют оценить информационное содержание сигналов и динамику изменения этой информации.

Определение вейвлета. К вейвлетам относятся локализованные функции, которые конструируются из одного материнского вейвлета (t) (или по любой другой независимой переменной) путем операций сдвига по аргументу (b) и масштабного изменения (а):

_ab(t) = (1/) ((t-b)/a), (a, b)R, (t)L²(R).

где множитель (1/) обеспечивает независимость нормы функций от масштабного числа 'a'.

Непрерывное вейвлет-преобразование сигнала s(t)L²(R), которое применяется для качественного частотно-временного анализа, по смыслу соответствует преобразованию Фурье с заменой гармонического базиса exp(-jt) на вейвлетный ((t-b)/a):

С(a, b) = s(t), _ab(t) = (1/)s(t)((t-b)/a) dt, (a, b)R, a0.

Рис. 2.1.1. Вейвлеты Mhat и Wave.
Вейвлетный масштабно-временной спектр С(a,b) в отличие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: масштаба вейвлета 'а' (в единицах, обратных частоте), и временного смещения вейвлета по сигналу 'b' (в единицах времени), при этом параметры 'а' и 'b' могут принимать любые значения в пределах областей их определения.

На рис. 2.1.1 приведены примеры простейших неортогональных вейвлетов четного (Mhat) и нечетного (Wave) типов.

Для количественных методов анализа (декомпозиция сигналов с возможностью последующей линейной реконструкции сигналов из обработанных вейвлет-спектров) в качестве вейвлетных базисов можно использовать любые локализованные функции (t), если для них существуют функции-двойники ^#(t), такие, что семейства {_ab(t)} и {^_ab(t)} могут образовывать парные базисы функционального пространства L²(R). Вейвлеты, определенные таким образом, позволяют представить любую произвольную функцию в пространстве L²(R) в виде ряда:

s(t) = С(a,b)^_ab(t), (a, b)I,

где коэффициенты С(a,b) – проекции сигнала на вейвлетный базис пространства, которые определяются скалярным произведением

С(a,b) = s(t), _ab(t) =s(t)_ab(t) dt.

Если вейвлет (t) обладает свойством ортогональности, то ^(t) ≡ (t) и вейвлетный базис ортогонален. Вейвлет может быть неортогональным, однако если он имеет двойника, и пара ((t),^(t)) дает возможность сформировать семейства {_mk(t)} и {^_zp(t)}, удовлетворяющие условию биортогональности на целых числах I:

_mk(t),^_zp(t) = _mz·_kp, m,k,z,p Î I,

то возможно разложение сигналов на вейвлетные ряды с обратной формулой реконструкции.

Свойства вейвлета,

Локализация. Вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространстве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его "средняя" частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным – сужение вейвлета вдвое должно повышать его "среднюю" частоту и ширину спектра также вдвое.

Вейвлетную функцию можно считать хорошо локализованной при выполнении условий:

(t) ≤ C/(1+|t|)¹⁺^, (f) ≤ C/(1+|f|)¹⁺^, С=const, при  > 0.

Нулевое среднее значение, т.е. выполнение условия для нулевого момента:

(t) dt = 0,

что обеспечивает выделение локальных особенностей сигналов в пределах вейвлетного носителя на уровне региональных изменений и тренда, нулевое усиление постоянной составляющей сигналов, нулевое значение частотного спектра вейвлета при =0, и локализацию спектра вейвлета в виде полосового фильтра с центром на определенной (доминирующей) частоте ₀. Для анализа мелкомасштабных флюктуаций и особенностей высокого порядка, как правило, требуются и нулевые значения определенного количества последующих моментов:

t^m(t) dt = 0.

Такие вейвлеты называются вейвлетами m-го порядка.

Ограниченность. Необходимое и достаточное условие:

||(t)||² =|(t)|² dt < 

Оценка ограниченности и локализации может выполняться с использованием выражений:

|(t)| < 1/(1+|t|ⁿ), или |(ω)| < 1/(1+|ω_o|ⁿ),

где _o – средняя частота вейвлета. Число n должно быть как можно больше.

Автомодельность базиса или самоподобие. Форма всех базисных вейвлетов _ab(t) должна быть подобна материнскому вейвлету (t), т.е. должна оставаться одной и той же при сдвигах и масштабировании (растяжении/сжатии), иметь одно и то же число осцилляций.

Отображение преобразования. Результатом вейвлет-преобразования одномерного числового ряда (сигнала) является двумерный массив значений коэффициентов С(a,b). Распределение этих значений в пространстве (a,b) - временной масштаб, временная локализация, дает информацию об изменении во времени относительного вклада в сигнале вейвлетных компонент разного масштаба и называется спектром коэффициентов вейвлет-преобразования, масштабно-временным (частотно-временным) спектром или просто вейвлет-спектром (wavelet spectrum).

Спектр C(a,b) одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Способы визуализации спектра могут быть самыми различными. Наиболее распространенный способ – проекция на плоскость ab с изолиниями (изоуровнями), что позволяет проследить изменения коэффициентов на разных масштабах во времени, а также выявить картину локальных экстремумов этих поверхностей ("холмов" и "впадин"), так называемый "скелет" (skeleton) структуры анализируемого процесса. При широком диапазоне масштабов применяются логарифмические координаты (log a, b). Пример вейвлетного спектра простейшего сигнала при его разложении вейвлетом Mhat приведен на рис. 2.1.2.

Рис. 2.1.2. Сигнал, вейвлетный Mhat - спектр и масштабные сечения спектра.

По вертикальным сечениям (сечениям сдвига b) вейвлет-спектр отражает компонентный состав сигнала (из данного комплекта вейвлетов) в каждый текущий момент. По смыслу преобразования, как скалярного произведения сигнала с вейвлетом, ясно, что значения коэффициентов в каждой текущей временной точке по масштабным сечениям тем больше, чем сильнее корреляция между вейвлетом данного масштаба и поведением сигнала в окрестностях этой точки. Соответственно, сечения по параметру 'а' демонстрируют изменения в сигнале компоненты данного масштаба 'a' со временем.

Вейвлетные составляющие сигнала в сечениях его спектра не имеют ничего общего с синусоидами, и представлены, как правило, сигналами достаточно сложной и не всегда понятной формы, что может затруднять их наглядное представление и понимание.

Вейвлетные функции. Выбор анализирующего вейвлета определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. С учетом характерных особенностей различных вейвлетов во временном и в частотном пространстве, можно выявлять в анализируемых сигналах те или иные свойства и особенности, которые незаметны на графиках сигналов, особенно в присутствии шумов. При этом задача реконструкции сигнала может и не ставится, что расширяет семейство используемых регулярных вейвлетных функций, в том числе неортогональных. Более того, вейвлет может конструироваться непосредственно под ту локальную особенность в сигнале, которая подлежит выделению или обнаружению, если ее форма априорно известна.

При анализе сигналов вейвлетами четного типа (симметричными или близкими к симметричным) гармоническим сигналам обычно соответствуют яркие горизонтальные полосы вейвлетных пиков и впадин на доминирующих частотах вейвлетов, совпадающих с частотой гармоник сигналов. Нарушения гладкости сигналов фиксируются вертикальными полосами, пики в сигналах выделяются максимумами, а впадины – минимумами вейвлетных коэффициентов. Напротив, вейвлеты нечетного типа более резко реагируют на скачки и быстрые изменения в сигналах, отмечая их максимумами или минимумами в зависимости от знака дифференциалов. Чем резче выражены особенности сигналов, тем сильнее они выделяются на спектрограммах.

Для конструирования таких вейвлетов часто используются производные функции Гаусса, которые имеют наилучшую локализацию как во временной, так и в частотной областях. В общей форме уравнение базового вейвлета:

_n(x) = (-1)ⁿ⁺¹ dⁿ[exp(-x²/2)]/dxⁿ, n ≥ 1, (2.1.1)

Уравнения базовых вейвлетов для первых четырех производных:

₁(x) = -x exp(-x²/2), ₂(x) = (1-x²) exp(-x²/2),

₃(x) = (3x-x³) exp(-x²/2), ₄(x) = (-4x⁴+6x²-3) exp(-x²/2),

Уравнения нормированных базисов для временных сигналов:

(t, a, b) = (K_n/) _n(x), x=(t-b)/a, K₁=1.062, K₂=0.867, K₃ =0.548, K₄=0.293.

Для сужения базовой формы вейвлетов применяется также упрощенная форма:

_n(x) = (-1)ⁿ⁺¹ dⁿ[exp(-x²)]/dxⁿ, n ≥ 1, (2.1.1')

WАVE-вейвлет вычисляется по первой производной (n=1) и приведен на рис. 2.1.3 во временной и частотной области для трех значений масштабных коэффициентов 'а'. Форма вейвлета относится к нечетным функциям и, соответственно, спектр вейвлета является мнимым. Уравнение вейвлета по (2.1.1') с единичной нормой:

. (2.1.2)

Рис. 2.1.3. Вейвлет Wave.
На рис. 2.1.4 приведен пример применения вейвлета для анализа двух однотипных сигналов, один из которых осложнен шумами с мощностью на уровне мощности самого сигнала. Как следует из рисунка, контурная масштабно-временная картина вейвлетных коэффициентов, а равно и ее сечения на больших значениях масштабных коэффициентов 'а' (малых доминирующих частотах вейвлетов) очень точно и уверенно фиксирует положение вершины информационного сигнала сменой знака коэффициентов С(a,b).

Рис. 2.1.4.

МНАТ-вейвлет (Mexican hat – мексиканская шляпа) вычисляется по второй производной (n=2) и приведен на рис. 2.1.5. Вейвлет симметричен, спектр вейвлета представлен только действительной частью и хорошо локализован по частоте, нулевой и первый моменты вейвлета равны нулю. Применяется для анализа сложных сигналов. Уравнение вейвлета по (2.1.1'):

. (2.1.3)

Рис. 2.1.5. Вейвлет MHAT.

На рис. 2.1.6 приведен пример использования вейвлета для анализа сложного сигнала y(t). Модель сигнала образована суммой сигналов разной структуры. Сигналы у1-у2 представляют собой функции Гаусса разного масштабного уровня, сигнал у3 - прямоугольный импульс, сигнал у4 задан в виде тренда с постоянным значением дифференциала. На контурном графике вейвлет-коэффициентов можно видеть выделение всех трех основных структур сигнала при полном исключении тренда. Особенно четко выделяются границы скачков прямоугольной структуры. Справа на рисунке приведена полная трехмерная картина вейвлет-преобразования.

Рис. 2.1.6.

Вейвлет широко используется в двумерном варианте для анализа изотропных полей. На его основе возможно также построение двумерного неизотропного базиса с хорошей угловой избирательностью при добавлении к сдвигам и масштабированию вейвлета его вращения.

Рис. 2.1.7.
При повышении номера производной функции (2.1.1) временная область определения вейвлета несколько увеличивается при существенном повышении доминирующей частоты вейвлета и степени его локализации в частотной области. Вейвлеты n-го порядка позволяют анализировать более тонкие высокочастотные структуры сигналов, подавляя низкочастотные компоненты. Пример вейвлета по восьмой производной приведен на рис. 2.1.7.

Рис. 2.1.8.

Практическое следствие повышения степени локализации вейвлетов в частотной области наглядно видно на рис. 2.1.8 на примере преобразования той же функции, что и на рис. 2.1.6. Сравнение рисунков показывает существенное повышение чувствительности вейвлета к высокочастотным составляющим сигнала на малых масштабных коэффициентах.

2.2. Свойства вейвлет-преобразования /3, 1/.

Результаты вейвлет-преобразования, как скалярного произведения вейвлета и сигнальной функции, содержат комбинированную информацию об анализируемом сигнале и самом вейвлете. Получение объективной информации о сигнале базируется на свойствах вейвлет-преобразования, общих для вейвлетов всех типов. Рассмотрим основные из этих свойств. Для обозначения операции вейвлет-преобразования произвольных функций s(t) будем применять индекс TW[s(t)].

Линейность.

TW[·s₁(t)+·s₂(t)] = ·TW[s₁(t)]+·TW[s₂(t)]. (2.2.1)

Для векторных функций из этого следует, что TW векторной функции есть вектор с компонентами TW каждой из компонент анализируемого вектора в отдельности.

Инвариантность относительно сдвига. Сдвиг сигнала во времени на t₀ приводит к сдвигу вейвлет-спектра также на t₀:

TW[s(t-t_o)] = C(a, b-t_o). (2.2.2)

Инвариантность относительно масштабирования. Растяжение (сжатие) сигнала приводит к сжатию (растяжению) вейвлет-спектра сигнала:

TW[s(t/а_o)] = (1/а_о)·C(a/а_о,b/а_o). (2.2.3)

Дифференцирование.

dⁿ{TW[s(t)]}/dtⁿ = TW[dⁿ(s(t))/dtⁿ]. (2.2.4)

TW[dⁿ(s(t))/dtⁿ] = (-1)ⁿs(t) [dⁿ((t))/dtⁿ] dt. (2.2.5)

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или анализирующий вейвлет. Если анализирующий вейвлет задан формулой, то это может быть очень полезным для анализа сигналов. Проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала s(t) с игнорированием крупномасштабных полиномиальных составляющих (тренда и регионального фона) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это свойство особенно полезно, когда сигнал задан дискретным рядом.

Аналог теоремы Парсеваля для ортогональных и биортогональных вейвлетов.

s₁(t)·s₂*(t) = C_^a^-2С(a,b) С*(a,b) da db. (2.2.6)

Отсюда следует, что энергия сигнала может вычисляться через коэффициенты вейвлет-преобразования.

Определения и свойства одномерного непрерывного вейвлет-преобразования обобщаются на многомерный и на дискретный случаи.

2.3. Вейвлет-преобразование простых сигналов.

Вейвлет-преобразование, выполняемое при анализе сигналов для выявления в них каких-либо особенностей и места их локализации без обратной реконструкции, допускает применение любых типов вейвлетов, как ортогональных, так и неортогональных. Чаще всего для этих целей используются симметричные вейвлеты. Ниже приводятся результаты применения вейвлета Mhat для анализа сигналов простых форм. Вычисления выполнены с вейвлетом (2.1.3) по формуле:

с(a,b) =s(t)(t,a,b), (2.3.1)

где суммирование выполняется в растворе угла влияния (по области достоверности) с шагом t = b = a = 1. Так как при непрерывном разложении скейлинг-функция не используется, отсчет значений 'а' начинается с 1, а ряд коэффициентов c(0,b) оставляется нулевым и определяет нулевой фон контурных графиков спектра.

Импульсы Кронекера (положительный и отрицательный), вейвлет-спектр импульсов и сечения спектра на трех значениях параметра 'а' приведены на рис. 2.3.1. Цветовая гамма спектра здесь и в дальнейшем соответствует естественному цветоряду от красного (большие значения) к фиолетовому (малые значения коэффициентов).

Рис. 2.3.1. Преобразование импульсов Кронекера.

На сечениях спектра видно, что свертка единичных импульсов с разномасштабными вейвлетами повторяет форму вейвлетов, как это и положено при операции свертки. Соответственно, линии максимальных экстремумов на сечениях ("хребты" и "долины", в зависимости от полярности) определяют временное положение импульсов, а боковые экстремумы противоположной полярности образуют характерные лепестки в конусе угла влияния, который хорошо выражен.

Рис. 2.3.2. Преобразование функций Лапласа.

Аналогичный характер спектра сохраняется и для любых локальных неоднородностей на сигналах в форме пиков (рис. 2.3.2) со смещением максимумов (минимумов) коэффициентов с(a,b) со значений а=1 в область больших значений 'а' (в зависимости от эффективной ширины пиков).

Рис. 2.3.3. Преобразование функций Гаусса.

На рис. 2.3.3 приведен спектр функций Гаусса. При сглаживании вершин пиковых неоднородностей форма цветовых конусов также сглаживается, но "хребтовые" ("долинные") линии достаточно точно фиксируют на временной оси положение центров локальных неоднородностей.

Рис. 2.3.4. Преобразование перепада постоянного значения функций.

На рис. 2.3.4 приведены спектры двух разных по крутизне перепадов постоянных значений функции. Центры перепадов фиксируются по переходу через нуль значений коэффициентов c(a,b), а крутизна перепадов отражается, в основном, на значениях функции c(a,b) при малых значениях параметра 'а'.

При изломах функций спектрограммы уверенно фиксируют место изломов максимумами (минимумами) значений коэффициентов c(a,b), как это показано на рис. 2.3.5. При наложении на такие функции шумов точное определение места изломов по масштабным сечениям на малых значениях параметра 'а' становится невозможным, однако на больших значениях параметра 'а' такая возможность сохраняется, естественно, с уменьшением точности локализации.

Рис. 2.3.5. Преобразование изломов функций.

Аналогичный характер имеет влияние шумов и на другие локальные сигналы, приведенные на рис. 2.3.1-2.3.4, и если спектральные особенности сигналов достаточно глубоки по диапазону значений параметра 'а', то остается возможность идентификации этих локальных сигналов и их места на временной оси.

Рис. 2.3.6. Преобразование гармонических функций.

Разделение гармонических функций на масштабной оси спектров, в том числе при наложении сильных шумовых процессов, приведено в примерах на рис. 2.3.6. Приведенный пример имеет чисто иллюстративный характер, так как для выделения гармонических процессов с постоянной частотой во времени целесообразно использовать спектральный анализ и частотные полосовые фильтры. Тем не менее, для локальных сигналов, типа модулированных гармоник, вейвлет-спектры достаточно хорошо показывают место их локализации на временной оси.

Рис. 2.3.7. Изменение фазы гармонического сигнала.

На рис. 2.3.7 приведен пример еще одной характерной особенности гармонического сигнала – изменение его фазы на 180^о, которое хорошо фиксируется на всех масштабах вейвлета, а, следовательно, достаточно легко определяется даже в присутствии сильных шумовых сигналов.

При наложении синусоидальных сигналов на тренд вейвлет-преобразование на больших масштабах позволяет достаточно уверенно выделять характерные особенности тренда. Пример выделения изломов тренда приведен на рис. 2.3.8.

Рис. 2.3.8. Преобразование суммы трех сигналов.

Форма вейвлета (четность или нечетность), доминирующая частота и степень ее локализации существенно влияют на вейвлет-спектры анализируемых сигналов и на возможности выделения его локальных особенностей. На нижеследующих рисунках приведены сравнительные спектры простых сигналов при использовании вейвлетов Wave (нечетный, рис. 2.1.3), Mhat (четный, рис. 2.1.5) и вейвлета по 8-й производной Гаусса (рис. 2.3.9-2.3.16), который также является четным, и имеет в 4 раза более высокую доминирующую частоту, чем вейвлет Mhat.

Рис. 2.3.9. Импульсы Кронекера.

Рис. 2.3.10. Пики Лапласа.

Рис. 2.3.11. Функции Гаусса.

Рис. 2.3.12. Крутые скачки.

Рис. 2.3.13. Сглаженные скачки.

Рис. 2.3.14. Изломы функций

Рис. 2.3.15. Фазовые скачки гармоник.

Рис. 2.3.16. Сумма двух модулированных синусоид.

Заметим, что при анализе произвольных сигналов использование разнотипных вейвлетов позволяет повысить достоверность выделения локальных особенностей сигналов.

литература

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения. – Успехи физических наук, 1996, т.166, № 11, стр. 1145-1170.

3. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002, 608 с.

Cайт автора Лекции Практикум

О замеченных ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.

Copyright © 2008-2010 Davydov А.V.

Blog

Тема 20. Свойства вейвлет-преобразования Изложение вопроса будет неполным, пока в той или иной форме мы не оговорим всех условий

Содержание