Sherman Riemenschneider, Bao Liu, Yuesheng Xu and Norden E
| Вид материала | Документы |
(i) Для любого положительного целого числа j с j
(ii) У Гильбертовой трансформанты количественных B-сплайнов есть рекурсивная формула
(iii) Гильбертово Преобразование количественных B-сплайнов Bn антисимметрична средняя точка n/2 основания Bn; это
Мы отмечаем, что это следует из части (iii) из последней теоремы, что у HBn есть нуль в n/2.
Аналитический сигнал количественного B-сплайна Bn определяется
Это определение немедленно подразумевает это
Свойства B-сплайнов и Гильбертова Преобразование B-сплайнов оттранслированы к Zn, которую мы представляем в следующей теореме.
Теорема 2.2: следующие операторы проводят(держат) для аналитической Zn сигнала количественного B-сплайна Bn:
(i) У функции Zn есть свойство свертки
(ii) Производная Zn удовлетворяет соотношение
(iii) Функция Zn может быть вычислена при использовании рекурсивной формулы
Практически, у сплайнового представления, полученного из метода EMD, есть неоднородные узлы. Следовательно, желательно рассмотреть Гильбертову трансформанту B-сплайнов с неравномерными узлами. В этом случае, у нас есть соотношение рекуррентного соотношения (2.7). Также известно, что производная B-сплайна может быть написана как комбинация B-сплайнов более низкого порядка:
Чен и др. (2004) доказывал, что у Гильбертовой трансформанты B-сплайнов есть точно то же самое рекурсивное соотношение как B-сплайны.
Теорема 2.3: (i) Гильбертовы трансформанты B-сплайнов удовлетворяют соотношения рекурсии
(ii) Производная Гильбертовой трансформанты B-сплайнов удовлетворяет формуле
Эта рекурсивная формула может использоваться, чтобы вычислить Гильбертову трансформанту B-сплайнов высшего порядка от Гильбертовой трансформанты B-сплайнов более низкого порядка.
Формула типа Бедрозиэн (сравни, Бедрозиэн 1963) запускает решающую роль в вычислении Гильбертовой трансформанты произведения двух функций. Эта формула представляет это, Гильбертово Преобразование произведения сигнала с более низкой частотой и один с более высокой частотой равна сигналу с более низкими частотными временами Гильбертово Преобразование того с более высокой частотой. В остальной части этого раздела мы показываем справедливость формулы типа Бедрозиэн (сравни, Бедрозиэн 1963) произведения многочлена и наличия сигнала, обращающегося в нуль моменты. Наше соображение произведения этого типа мотивируется в соответствии с важной характеристикой IMFs. Мы видели или численно или теоретически что у IMF есть обращающиеся в нуль моменты определенного порядка. Определенно, мы доказывали в Чен и др. (2004) это, если у функции есть обращающиеся в нуль моменты порядка k, то Гильбертово Преобразование произведения этой функции с многочленом степени k равна произведению многочлена и Гильбертовой трансформанте этой функции.
С этой целью, мы определяем обращающиеся в нуль моменты в смысле Главного значения Коши. Мы говорим, что у функции f есть обращающиеся в нуль моменты порядка к в этом смысле, если главные интегралы величины удовлетворяют
Это может быть с готовностью подтверждено, что основной гармонический сигнал, потому что
имеет обращающиеся в нуль моменты порядка 2 если 
Из-за этого свойства формула Бедрозиэн держится для Гильбертовой трансформанты этой функции. Мы формулируем этот результат в следующем предложении.Предложение 2.4: Пусть
и p2 быть многочленом степени 2. Тогда, Бедрозиэн печатают захваты формулы
Кроме того, у нас есть более сильный результат, который это свойство держит для общего наличия функции, обращающегося в нуль моменты порядка k.
Теорема 2.5: Пусть f быть действительным оцененным наличием функции, обращающимся в нуль моменты порядка к в главном смысле величины. Тогда, для любого многочлена pn со степенью n <к, там проводит формулу типа Бедрозиэн
Недавно, Ксу и Ян (2004) изучали необходимые и достаточные условия, которые гарантируют справедливость тождественности Бедрозиэн Гильбертовой трансформанты функций произведения fg. Эти авторы представили удобные достаточные условия, которые покрывают классическую теорему Бедрозиэн и предоставляют новую дополнительную проницательную информацию. Мы теперь делаем обзор следствий Ксу и Ян (2004).
Теорема 2.6:
Тогда Гильбертово Преобразование функции fg удовлетворяет тождественность Бедрозиэн
если и только если
Для непустого множества
и вещественное число t, мы пускаем
и поскольку модуль делят на интервалы: I= [0,1], мы определяем множество произведения I x
Следующий результат - прямое следствие Теоремы 2.6.
Предложение 2.7:
(2.56)тогда Гильбертово Преобразование функции fg удовлетворяет тождественность Бедрозиэн (2.52). Классическая теорема Бедрозиэн немедленно следует от Предложения 2.7.
Следствие 2.8: Пусть
Тогда, Гильбертово Преобразование функции фг удовлетворяет тождественность Бедрозиэн (2.52).
Ксу и Ян (2004) доказывали следующую лемму и использовали ее, чтобы ослабить гипотезу Предложения 2.7 на функции f.
Лемма 2.9: Если
удовлетворяет условиию это
для некоторого замкнутого множества К, затем для какого-нибудь > 0, там существует
, пространство функций с ограниченным изменением поддерживает в C∞, таким образом что
и
Теорема 2.10: Пусть
условие (2.56) захваты, тогда Гильбертово Преобразование функций fg удовлетворяет тождественность Бедрозиэн (2.52) почти всюду.2.4. Анализ производительности BS-EMD
Метод EMD анализирует сигнал, основанный в его масштабах собственного времени. Энергия IMFs с различными частными масштабами распространяется в различных полосах частот. Численный анализ показал, что для белого цвета и покрасил стационарное искажение, первоначальная годовая динамика изменений EMD как двоичный банк фильтра, подобный двоичной трансформанте небольшой волны (Ву и 2004 Хуэнг; Флэндрин и др. 2003). Здесь мы представляем свои результаты исследования на поведении BS-EMD в этом аспекте. О большинстве результатов сообщили в Лиу и др. (2004). Наш численный эксперимент был выполнен следующим образом. Во-первых, мы генерировали 3000 независимых гауссовых временных рядов белого шума длины 1024. Каждый расчленялся при использовании BS-EMD. Соответствуя каждому режиму декомпозиции, IMF был оконный, и Фурье преобразовал. Тогда, мы оценивали спектральная плотность для каждого режима как среднее число брусковых абсолютных значений соответствующего Фурье преобразовывает по всей реализации.
Иллюстрации 2.2а-б показывают спектры расчетной мощности, соответствующие кубическому и квадратичному B-сплайну EMD соответственно, где каждая кривая соответствует одному режиму декомпозиции. Все кривые вместе в каждом рисунке могут быть интерпретированы как частотный результат эквивалентной группы фильтра. Для сравнения иллюстрация 2.2c представляет спектральные плотности, соответствующие первоначальному EMD, полученному при использовании той же самой процедуры. Можно видеть, что BS-EMD ведет себя так же к первоначальному EMD.
Мы теперь снабжаем интерпретацию свойств BS-EMD как банк фильтра. Строгое математическое доказательство требует дальнейшего исследования. Считайте сигнал составленным из высокочастотной синусоиды, стоящей на якоре на низкочастотной синусоиде, как показано в иллюстрации 2.3a, где локальные экстремумы отмечаются "o". От (2.10), мы знаем, что коэффициенты B-сплайнов в операторе, определенном (2.11), являются по существу результатом фильтра нижних частот, относился к локальной последовательности экстремума; фильтр нижних частот здесь - биномиальное среднее число. Для квадратичных и кубических операторов B-spline фильтры {0.5 0.5} и {0.25,0.5,0.25}, соответственно. Другими словами, содействующая последовательность в (2.11) является выровненной версией локальной последовательности экстремума (c)
Иллюстрация 2.3: (a) Вершина. Сигнал составил из высокочастотной синусоиды, стоящей на якоре на низкочастотной синусоиде, где локальные экстремумы отмечаются "o". (b) Середина. Форма волны, полученная, применяя оператор, определенный в (2.11) к сигналу. Точки "*" представляют коэффициенты оператора, (c) Основа. Разность между сигналом и формой волны в (b).
и представляет низкочастотную часть последнего. Кроме того, это было доказано, что у функции, представленной в форме (2.11), нет большего количества знакоинверторов чем содействующая последовательность непосредственно (Хам Де 1978). Мы можем таким образом полагать, что компонент, полученный оператором (2.11), представляет низкочастотную часть сигнала. Иллюстрация 2.3b показывает, что такой компонент сигнала, изображенного в рис. 2.3a, получил при использовании кубического B-сплайна EMD, где коэффициенты оператора представляются "*". Высокочастотную часть этого сигнала, полученного вычитанием низкочастотной части, показывают в рис. 2.3c. На следующей итерации новая низкочастотная часть сгенерируется от текущей высокочастотной части. Когда критерий остановки удовлетворяется, мы получаем высокочастотную часть, то есть, первый IMF, и разность между сигналом и IMF, который равен сумме низкочастотных частей, сгенерированных на всех итерациях. Следующий IMF получается таким же образом за исключением того, что он извлекается из текущей низкочастотной части. Можно предположить, что, когда все IMFs получаются, сигнал будет расчленяться во многие полосы частот, подобные тем в трансформанте небольшой волны.
Мы должны указать, что как первоначальный EMD, BS-EMD расчленяет сигнал, основанный на его локальных масштабах времени. Также, BS-EMD - зависящая от времени группа(банк) фильтра, которая адаптивна к локальным масштабам времени сигнала. Эта возможность отличается от возможности трансформанты небольшой волны, в которой предопределяется группа(банк) фильтра. Рассмотрите сигнал, первая половина которого - высокочастотная синусоида и вторая половина, низкочастотная синусоида. Отличаясь от частот и полос пропускания трансформанты небольшой волны,
Иллюстрация 2.4: Графический из первых 4 IMFs для данных землетрясения первоначальным EMD слева, кубическим B-сплайном EMD в центре, и квадратичным B-сплайном EMD справа.
центральные частоты и полосы пропускания банка фильтра BS-EMD изменятся спереди на вторые половины сигнала. Для сигнала белого шума частный масштаб изменяется беспорядочно. Результаты, представленные в Рис. 2.2а-к таким образом, не применимы к удельной реализации вероятностного процесса. Они описывают только "среднее поведение" EMD как банка фильтра.
Мы представляем другой пример, основанный на Чен и др. (2004), далее исследовать производительность BS-EMD. Сигнал в анализе - отчет землетрясения от Жеманного явления, обсужденного первоначально Хуэнг и др. (2001). Наше намерение не состоит в том, чтобы декодировать значение результатов, но просто показать, что BS-EMD может дать подобные результаты как первоначальный EMD. В Рис. 2.4-2.6, чертить слева для первоначального метода оболочки(огибающей), чертить в центре для кубического B-сплайна EMD, в то время как чертить справа - для квадратичного B-сплайна EMD. Остатки даются отдельно в рис. 2.7. Поскольку можно видеть, первоначальный EMD производит только 10 компонентов IMF, в то время как кубическая и квадратная(квадратичная) продукция B-сплайна 11 и 12 компонентов IMF, соответственно. С усредняющим как в B-сплайне серии волн имеют тенденцию сохраняться дольше временно и также через многие различные компоненты IMF. В результате подходы B-сплайна дали бы более тонкую декомпозицию чем
Иллюстрация 2.5: Графический из следующих 4 IMFs для данных землетрясения от первоначального EMD слева, от кубический B-сплайн EMD в центре, и от квадратичного B-сплайна EMD справа.
подход огибающей. Однако, подобие между огибающей и кубическими подходами B-сплайна очевидно. Даже последние три компонента и остатки - количественно и количественно подобный.
Чтобы оценить производительность BS-EMD более точно, мы представляем результаты нашего исследования на степени ортогональности среди IMFs и энергетического сохранения декомпозиций (Чен и др. 2004). Критерии для ортогональности определяются
Мы вычисляем сумму брусковых значений IMFs и делим это на брусковые значения первоначального минуса сигнала остаток
получить показатель степени энергетического сохранения. Последний отражает факт, что сумма IMFs представляет минус сигнала тенденция, данная в остатке. Для сигнала землетрясения мы имеем
| Метод | | лОкфу | ИК |
| Кубический сплайн | 0.6111 | 0.0523 | 1.1439 |
| Кубический B-сплайн | 0.3334 | 0.0579 | 1.0459 |
| Квадратный(Квадратичный) Бсплайн | 0.3034 | 0.0519 | 1.2916 |
Иллюстрация 2.6: Графический из последних немногих IMFs для данных землетрясения от первоначального EMD слева, от кубического B-сплайна EMD в центре, и от квадратичного Б-спиин EMD справа.
Испытательные результаты, полученные в итоге в вышеупомянутой таблице, показывают, что подходы B-сплайна дают очень сопоставимые результаты таковым из первоначального подхода огибающей. Кубический B-сплайн, который EMD выполняет особенно хорошо на энергетическом критерии сохранения, и этом обнаружении, указывает, что девиация полной энергии среди компонентов является наименьшей. Точный выбор порядка B-сплайна - нерешенный вопрос. Хотя более низкий B-сплайн порядка сохраняет локальные характеристики лучше, он будет следовать за данными более близко. Поскольку наша цель состоит в том, чтобы обнаружить среднее значение через данные, B-сплайн высшего порядка должен дать лучшее среднее значение и меньшие ортогональные показатели степени и в максимальных и в средних значениях. Мы таким образом рекомендуем кубическому B-сплайну EMD как выбор для дальнейшего математического исследования и применений.
2.5. Прикладные примеры
В этом разделе мы представляем два прикладных примера BS-EMD на кратковременном обнаружении. Переходные процессы - типичные неустановившиеся компоненты сигнала. Обнаружение таких компонентов представляет интерес в различных применениях. Задача, исследованная здесь, является обнаружением переходных процессов в сигналах вибрации, сгенерированных в механических системах. Наша цель должна диагностировать зарождающиеся локализованные отказы, которые являются задачей большого беспокойства в промышленности (Брон 1986). Когда локализованные отказы, такие как трещины и поверхностные осколки существуют в механической системе, относительно двигающиеся машинные части часто плотно сжимают друг друга. Соударения тогда переходные процессы возбуждают фоновую вибрацию. Обнаружение переходных процессов - поэтому перспективный способ диагностировать локализованные отказы. Однако, делая так был стимулирующей задачей, потому что по сравнению с фоновой вибрацией, переходные процессы, взволнованные зарождающимися отказами, являются обычно очень небольшими. Результаты представили здесь показ, что методы EMD снабжают перспективный инструмент для того, чтобы иметь дело с этой задачей.
Первый пример исходит из Лиу и др. (2004). Сигналы вибрации в этом примере были собраны у испытания на выносливость автомобильной коробки передач. У поезда передачи было четыре пары сопряженных зубчатых колес. В конце испытания был нарушен один зуб ведущего зубчатого колеса в последней паре механизма, которая достигала 5.9 Гц. В ранней стадии разработки такое повреждение было бы возбуждать последовательность небольших переходных процессов в фоновую вибрацию. Наша цель должна обнаружить переходные процессы от собранных сигналов вибрации прежде, чем поломка произошла. Во время этой стадии могла бы развиваться трещина. В испытании наверх выбранные сигналы вибрации были lowpass-фильтрованы в 1.8 кГц и оцифрованы в частоте опроса 4 кГц.
Иллюстрация 2.8a показывает собранный сигнал прежде, чем зуб был нарушен. Так как мы интересуемся главным образом частотной временем композицией, сигнал нормализуется как энергия модуля ради удобства. Мы также делаем так для сигнала во втором прикладном примере, представленном позже. Преобразование Фурье сигнала в рис. 2.8a дается в рис. 2.8b. Трудно понять состояние коробки передач, основанной прямо на трансформанте Фурье. Иллюстрация 2.9 показывает первые семь IMFs, полученные при использовании BS-EMD. Можно видеть, что IMFs 3-6 содержат импульсы, в которых одновременно оставляют промежутки, представляющие кратковременные компоненты в сигнале. Это может быть определено
