Geum.ru

Примерная программа наименование дисциплины Дифференциальные уравнения Рекомендуется для направления подготовки специальности

Вид материалаПримерная программа

Содержание


Цели изучения дисциплины.
Задачи изучения дисциплины.
2. Место дисциплины в структуре ООП
3. Требования к результатам освоения дисциплины
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
Самостоятельная работа (всего)
Другие виды самостоятельной работы
5. Содержание дисциплины
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
Исследование операций
Системный анализ
Уравнения математической физики
Оптимальное управление
Численные методы
Специальные функции
5.3. Разделы дисциплин и виды занятий
6. Лабораторный практикум
7. Практические занятия (семинары)
8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
...
Полное содержание
Подобный материал:


ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА


Наименование дисциплины

Дифференциальные уравнения


Рекомендуется для направления подготовки специальности

010500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем

(указываются код и наименования направления(ий)

подготовки (специальности (ей) и/или профилей (специализаций)


Квалификация (степень) выпускника бакалавр

(указывается квалификация (степень) выпускника в соответствии с ФГОС)


1. Цели и задачи дисциплины:

Современный инженер-экономист и математик-программист должен в достаточной степени владеть как классическими, так и современными методами исследования, которые могут применяться в его области. Он должен успешно использовать математические модели различных физических, механических и экономических процессов, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели.

Уровень приобретенной математической культуры по математике должен обеспечить как умение разбираться в современных математических методах, так и самостоятельно продолжить свое математическое образование.

Цели изучения дисциплины.

Преподавание дифференциальных уравнений в ВУЗе экономического профиля имеет цель: обучить студентов методам решения и исследования качественного поведения решений дифференциальных уравнений, составляющих основу математических моделей различных теоретических и практических инженерно-экономических задач, научить самостоятельно изучать учебную и научную литературу по дифференциальным уравнениям, повысить общий уровень математической культуры, выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умения перевести инженерно-экономическую задачу на математический язык.

Задачи изучения дисциплины.

Задачами изучения дисциплины является обучение студентов работе с основными математическими моделями. В конечном счете современный инженер-экономист и математик-программист должен самостоятельно построить математическую модель рассматриваемой проблемы (или процесса). Заметим, что, как правило, адекватная математическая модель включает в себя дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений. Следующий этап предусматривает владение математическим аппаратом для решения дифференциальных уравнений, в том числе, с привлечением компьютерных технологий. Теория и методы решения таких дифференциальных уравнений и систем и составляют основу данного курса.


2. Место дисциплины в структуре ООП:

Дисциплина относится к циклу Б3 «Профессиональный цикл», к базовой (общепрофессиональной) части.

Список дисциплин, знание которых необходимо для изучения курса данной дисциплины.

  1. Алгебра и начала анализа (курс средней школы)
  2. Геометрия (курс средней школы)
  3. Тригонометрия (курс средней школы)
  4. Линейная алгебра
  5. Аналитическая геометрия
  6. Векторная алгебра.
  7. Математический анализ
  8. Функциональный анализ

Список дисциплин, для изучения которых необходимы знания данного курса.

  1. Уравнения математической физики
  2. Прикладная математика
  3. Исследование операций



  1. Системный анализ
  2. Оптимальное управление
  3. Численные методы
  4. Специальные функции

(указывается цикл, к которому относится дисциплина; формулируются требования к входным знаниям, умениям и компетенциям студента, необходимым для ее изучения; определяются дисциплины, для которых данная дисциплина является предшествующей)


3. Требования к результатам освоения дисциплины:

    Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций: ПК-1,4,5,7,9,10

    (указываются в соответствии с ФГОС ВПО)

В результате изучения дисциплины студент должен:

    Знать:

    методы интегрирования и исследования дифференциальных уравнений первого порядка и их систем, уравнений, допускающих понижение порядка, методы решения линейных дифференциальных уравнений, решения и исследования систем дифференциальных уравнений для дальнейшего их применения при решении экономических задач математическими методами

    Уметь:
  • Составить дифференциальное уравнение и поставить задачу для описания математической модели экономического или физического процесса.
  • Решать дифференциальные уравнения и их системы.
  • Изучать корректность постановки основных задач (задачи Коши, краевых задач) и решать эти задачи.
  • Исследовать устойчивость решения дифференциальных уравнений и систем, составляющих основу математических моделей различных теоретических и прикладных инженерно-экономических задач.
  • Провести исследование качественных свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе – нелинейных.
  • Решать дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка.



    Владеть:

современными компьютерными_технологиями, позволяющими решать и исследовать качественные свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений;

навыками использования открытых Интернет-рессурсов в этих целях.


4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет __11,78_________ зачетных единиц.

Вид учебной работы
Всего часов
Семестры

5
6






Аудиторные занятия (всего)
212
144
68






В том числе:
-
-
-
-
-

Лекции
106
72
34






Практические занятия (ПЗ)















Семинары (С)
96
72
24






Лабораторные работы (ЛР)
10



10






Самостоятельная работа (всего)
212
144
68






В том числе:
-
-
-
-
-

Курсовой проект (работа)
10
10









Расчетно-графические работы (электронная контрольная работа)
36
24
12






Реферат
30
15
15






Другие виды самостоятельной работы
136
95
41
























Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)



экз
экз






Общая трудоемкость час

зач. ед.
424
288
136






11,78
8
3,78







5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

№ п/п
Наименование раздела дисциплины
Содержание раздела

1.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Тема 1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Задача Коши.

  1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.
  2. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
  3. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
  4. Построение решений уравнения первого порядка методом изоклин.

Тема 2. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.
  1. Уравнения с разделяющимися переменными
  2. Однородные уравнения.
  3. Уравнения, сводящиеся к однородным.
  4. Линейное уравнение 1-ого порядка.
  5. Уравнение Бернулли.
  6. Уравнение в полных дифференциалах.
  7. Уравнения, не разрешенные относительно первой производной.
  8. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Тема 3. Дифференциальные уравнения n-ого порядка.
  1. Задача Коши для дифференциальных уравнений n-ого порядка.
  2. Дифференциальные уравнения n-ого порядка, допускающие понижение порядка.

Тема 4. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
  1. Линейно зависимые и независимые функции.
  2. Определитель Вронского.
  3. Структура общего решения линейного однородного дифференциальные уравнения n-ого порядка.
  4. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
  5. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения для различных типов корней.
  6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Структура общего решения.
  7. Метод вариации произвольных постоянных.
  8. Структура частного решения для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.




2.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Тема 5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
  1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение.
  2. Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
  3. Общее, частное и особое решения.
  4. Сведение нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению n-ого порядка.

Тема 6. Линейные системы дифференциальных уравнений.
  1. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.
  2. Задача Коши. Фундаментальные системы решений.
  3. Формула Лиувилля.
  4. Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных уравнений.
  5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши.
  6. Структура общего решения.
  7. Метод вариации произвольных постоянных для линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений.
  8. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.




3.
Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем
Тема 7. Теория устойчивости.

35. Понятие устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем.
  1. Классификация особых точек.
  2. Основные теоремы об устойчивости.
  3. Устойчивость по первому приближению.

Тема 8. Фазовый портрет.
  1. Классификация особых точек линейных систем на плоскости.
  2. Построение траекторий системы в окрестности особой точки.
  3. Особые точки нелинейных систем.
  4. Предельные циклы.
  5. Построение фазового портрета.




4.
Качественная теория дифференциальных уравнений
Тема 9. Существование и единственность решения.
  1. Понятие особого решения.
  2. Теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений первого порядка.
  3. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений порядка n.
  4. Теорема о существовании решения, представляющегося в виде степенного ряда, дифференциальных уравнений и систем.
  5. Нахождение решения дифференциального уравнения в виде ряда.

Тема 10. Продолжение решений.
  1. Непрерывная зависимость решения от начальных условий, правой части уравнения и параметров.
  2. Теорема о продолжениии решений дифференциальных уравнений первого порядка и их систем в замкнутой ограниченной области.
  3. Теорема о продолжениии решений на весь заданный интервал.
  4. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий и правой части уравнения.
  5. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметров.
  6. Производные решений по параметру.
  7. Разложение решения в ряд по степеням малого параметра.

Тема 11. Общая теория линейных уравнений и систем.
  1. Линейные уравнения второго порядка.
  2. Исследование выпуклости графиков решений и нулей решений.
  3. Теорема о чередовании нулей.
  4. Теорема сравнения.
  5. Краевые задачи. Функция Грина.
  6. Задача Штурма-Лиувилля.

Тема 12. Исследование асимптотического поведения решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений.
  1. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно первой производной.
  2. Существование и единственность решения.
  3. Продолжаемость решений.
  4. Качественные свойства решений.
  5. Колеблемость решений.
  6. Уравнение Риккати.
  7. Уравнение Эмдена – Фаулера.

Тема 13. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка.
  1. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка.
  2. Линейные уравнения и их интегрирование.
  3. Понятие о характеристиках.

Тема 14. Основы вариационного и операционного исчисления.

(Содержание указывается в дидактических единицах. По усмотрению разработчиков материал может излагаться не в форме таблицы)


5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п
Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин
№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин

1
2
3
4















1.
Исследование операций
+
+





















2.
Системный анализ



+





















3.
Уравнения математической физики
+
+
+
+















4.
Оптимальное управление
+
+
+
+















5.
Численные методы
+
+
+
+















6.
Специальные функции
+
+
+
+
















5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п
Наименование раздела дисциплины
Лекц.
Практ.

зан.
Лаб.

зан.
Семин
СРС
Все-го

час.

1.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
58






52
110
220

2.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
10






10
20
40

3.
Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем
10






10
20
40

4.
Качественная теория дифференциальных уравнений
28



10
24
62
124


6. Лабораторный практикум

№ п/п
№ раздела дисциплины
Наименование лабораторных работ
Трудо-емкость

(час.)

1.
4
Изучение различных программных продуктов для решения и исследования качественных свойств решений дифференциальных уравнений (Mathematica, MatLab, MathCad, Maple)
6

2.
4
Изучение открытых Интернет-ресурсов для решения и исследования качественных свойств решений дифференциальных уравнений (ссылка скрыта, ссылка скрыта, ссылка скрыта. ссылка скрыта,

ссылка скрыта

4


7. Практические занятия (семинары)

№ п/п
№ раздела дисциплины
Тематика практических занятий (семинаров)
Трудо-емкость

(час.)

1.
1
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши. Построение решений уравнения первого порядка методом изоклин.
4

2.
1
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, сводящиеся к однородным.
4

3.
1
Линейное уравнение 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах.
6

4.
1
Уравнения, не разрешенные относительно первой производной. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения. Решения различных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Аудиторная контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка».
14

5.
1
Задачи на составление дифференциальных уравнений.
6

6.
1
Задача Коши для дифференциальных уравнений n-ого порядка. Дифференциальные уравнения n-ого порядка, допускающие понижение порядка.
4

7.
1
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
6

8.
1
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений n-ого порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных. Аудиторная контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения n - го порядка».
8

9.
2
Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Сведение нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению n-ого порядка
2

10.
2
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Фундаментальные системы решений. Формула Лиувилля.
2

11.
2
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Метод вариации произвольных постоянных для линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений.
2

12.
2
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2

13.
2
Решение задач на составление дифференциальных уравнений и их систем.
2

14.
3
Понятие устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем. Основные теоремы об устойчивости. Устойчивость по первому приближению.
6

15.
3
Классификация особых точек линейных систем на плоскости. Построение фазового портрета.
4

16.
4
Теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем. Нахождение решения дифференциального уравнения в виде ряда.
2

17.
4
Непрерывная зависимость решения от начальных условий, правой части уравнения и параметров. Производные решений по параметру и по начальным условиям.
1

18.
4
Продолжение решений дифференциальных уравнений первого порядка и их систем. Разложение решения в ряд по степеням малого параметра.
1

19.
4
Исследование выпуклости графиков решений и нулей решений. Теорема о чередовании нулей. Теорема сравнения.
2

20.
4
Краевые задачи. Функция Грина. Задача Штурма-Лиувилля.
2

21.
4
Исследование асимптотического поведения решений уравнений первого порядка, не разрешенных относительно первой производной. Существование и единственность решения. продолжаемость решений.
2

22.
4
Продолжаемость решений, колеблемость решений нелинейных уравнений. Уравнение Риккати. Уравнение Эмдена – Фаулера. Другие примеры нелинейных уравнений
4

23.
4
Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. Линейные уравнения и их интегрирование. Нахождение характеристик.
2

24.
4
Основы операционного исчисления. Решение задач Коши для линейных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью операционным методом.
4

25.
4
Основы вариационного исчисления
2

26.
4
Лабораторная работа 1
6

27.
4
Лабораторная работа 2
4

28.

4
Построение математических моделей физических и экономических задач и методы их решения
2


8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)

Построение фазового портрета системы нелинейных дифференциальных уравнений на плоскости. (Fito-agro.ru/Soft/Portret.rar – доступная студентам МЭСИ ссылка на программу построения фазового портрета).

Кроме того, студентам предоставляется возможность написания реферата по дополнительным главам качественной теории дифференциальных уравнений с последующим выступлением на студенческой научно-методической конференции.


9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература:

  1. А.Ф.Филиппов Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ижевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика ", 2005.
  2. А.Ф. Филиппов Введение в теорию дифференциальных уравнений. УРСС, 2004.
  3. И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Либроком, 2009.
  4. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.: «Наука», 1974.
  5. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений (8-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1959 
  6. Ю.В. Вальциферов Дифференциальные уравнения (Часть 1). Учебное пособие. // М.: МЭСИ, 2004.
  7. И.В. Асташова, В.А. Никишкин. Дифференциальные уравнения. (Часть 2) Учебное пособие. М.: МЭСИ, 2008.
  8. И.В. Асташова, В.А. Никишкин. Практикум по курсу «Дифференциальные уравнения». М.: МЭСИ, 2008.

б) дополнительная литература
  1. А.И.Тихонов, А.Б.Васильев, А.Г. Свешникова Дифференциальные уравнения // М.: Физматлит, 2002 г.
  2. Н.П.Еругин Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев. Вища школа, 1974.
  3. П.И. Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981.
  4. А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк Дифференциальные уравнения. Практический курс // М : Высшая школа, 2006 г.
  5. Д. Пенни, Ч.Г.Эдвардс Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB /. - М. : Вильямс, 2008 г.
  6. А. И. Егоров, Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями // М. : Физматлит, 2003 г.
  7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Высшая школа, 1967 
  8. Электронная библиотека сайта ссылка скрыта

в) программное обеспечение

  1. Mathematica, MatLab, MathCad, Maple - научные программы, носящие как обучающий, так и исследовательский характер, позволяющие иллюстрировать основные математические объекты, осуществлять работу с ними, решать основные типы математических и прикладных задач.
  2. Fito-agro.ru/Soft/Portret.rar ­- программа для построения фазового портрета автономных систем на плоскости (доступна студентам МЭСИ).
  3. Электронный курс (доступен студентам МЭСИ через систему Кампус):

ссылка скрыта

ссылка скрыта

ссылка скрыта


г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы

  1. ru (сайт учебного процесса МЭСИ)
  2. du (обучающий сайт)
  3. ссылка скрыта (информационный сайт)


10. Материально-техническое обеспечение дисциплины: учебная аудитория, оснащенная компьютерами (30 штук), активная доска, проектор, экран, обычная доска.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

форма проведения и Содержание итоговЫХ контрольнЫХ мероприятиЙ:

Вид мероприятия
Форма проведения
Структура экзаменационного задания (билета)
Использование ПК (ДА/НЕТ)

Экзамен
Письменно-устно
2 теоретических вопроса, 3 расчетных задачи
НЕТ



В процессе изучения дисциплины целесообразно проводить регулярно тестирование студентов по основным теоретическим вопросам изучаемых разделов, общаться со студентами в электронной среде, типа «Виртуальный Кампус», предоставляя студентам возможность отвечать на вопросы преподавателя и самому задавать вопросы (консультационные и тематические форумы). Один раз в семестр планируется проведение студенческой научно-методической секции конференции «Дни Студенческой Науки» с целью выявления талантливой молодежи для участия в решении задач качественной теории дифференциальных уравнений и стимулирования интереса к самостоятельной научной работе студента.


Разработчики:

МЭСИ, кафедра ВМ профессор Асташова И.В.

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

МЭСИ, кафедра ВМ профессор Никишкин В.А.

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)


Эксперты:

____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)


____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)