Geum.ru

Составление и общая редакция игумена андроника (а с. Трубачева), П. В. Флоренского, М. С

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   ...   49   50   51   52   53   54   55   56   ...   79

II

Где обнаруживается прерывность, там мы ищем це­лого; а где есть целое — там действует форма и, следова­тельно, есть индивидуальная отграниченность действи­тельности от окружающей среды. Иначе говоря, там действительность имеет дискретный характер, есть неко­торая монада, т. е. в себе замкнутая (конечно, относи­тельно) неделимая единица5*. Значит, там возможен и счет.

И наоборот: без формы нет прерывности, нет, следо­вательно, образов обособления, значит, нет расчленен­ности, а потому невозможен и счет.

Эта индивидуальная расчлененность мира, его счет-ность занимает все более места в рождающемся ныне миропонимании. Не скажем «только счетность» и не станем здесь углубляться в более точное пояснение этого слова; но что бы мы ни думали о проблеме континуума, ближайшее содержание сказанного бесспорно. Молеку­лы, атомы, ионы, электроны, магнетоны, эфирные кор­пускулы (например, в зернистом эфире Осборна Рей­нольда), эфирные шприцы лорда Клиффорда, кванты энергии, спектральные излучения, силовые линии элек­трического и магнитного полей, состоящих из отдельных волокон, по Дж. Дж. Томсону % кристаллы, раститель­ные, животные и человеческие особи, клетки, ядра, хро­мосомы и т. д. и т. д.— все это имеет атомистический или монадный характер, следовательно, подлежит счету. Даже время и пространство признаются конечно-зернистыми, атомистическими (Серапион Машкин, Рес-сель, отчасти Больцманн и Клиффорд): современная мысль возвращается к кшанам, моментам, чертам, мгно­вениям и т. п. древней и средневековой философии 7*

Всякая определенность численных отношений, уста­новленная опытом, побуждает искать некоторые естест­венные единицы, не подлежащие непрерывности изме­нений и делений. «Всякий раз, как рациональное число действительно связано с каким-либо явлением, это не­обходимо является заслуживающим внимания обстоя­тельством в нем и указывает на нечто вполне опреде­ленное и могущее быть выяснено. Всякая прерывность, которая может быть открыта и сосчитана, есть расшире­ние нашего знания. Оно не только обозначает открытие естественных единиц и прекращает нашу зависимость от искусственных, но проливает свет также и на природу самых явлений» (Оливер Дж. Лодж)8*

Совершенно незаметно для себя наука возвращается к пифагорейскому представлению о выразимости всего целым числом и, следовательно,— о существенной харак­терности для всего — свойственного ему числа. «Все есть число» — от этого древнего изречения недалеко совре­менное миропонимание, и пророчески звучат стихи ма­тематика Якоби:

То, что ты в Космосе видишь, есть только

божественный отблеск, А над богами царит сущее вечно Число 9*

Однако и пифагореизм возрождается хотя и непред­виденно, но не без подготовки: арифметизация всей ма­тематики, в каковом направлении шла работа весь XIX-ый век, вырыла идейные русла, конкретное значение которых начинает выясняться только в наше время.

Современная научная мысль обнаруживает потреб­ность в хорошо выработанном механизме числовых функций и вообще числовых изучений — в том, что на­зывают арифмологией10* Можно предвидеть, недоста­точная развитость арифмологических дисциплин будет камнем преткновения новой натур-философии и потре­бует в скором времени концентрации математических сил именно в этом направлении.

III

Между тем, сравнительно малая успешность арифмо­логических изысканий объясняется не только отсутствием жизненного и, в частности, практического спроса на тако­вые, но и неясностью в сознании основного понятия — о числе, даже ложностью его. Αριθμός число, это, согласно М. Бреалю и*,— то же слово, что άρθμός — сочленение, член, сустав, и означает, следовательно, упорядоченную связь, расчлененное единство. Вот этот-то характер един* ства, живо чувствовавшийся пифагорейцами, основа­тельно позабыт поколениями, нам непосредственно предшествовавшими. Обычное определение числа, как «суммы единиц», уничтожает число в качестве индиви­дуальной формы и тем самым разрушает его, как ипіѵег-sale. Правда, это понимание числа опирается на Ньютона и, далее, на Евклида, сказавшего, что «число есть множе­ство, составленное из единиц — αριθμός δέ τό έκ μοναδως συν-κειμένον πλήθος (Евклид — Начала, книгаУІІ)12*Но, по словам Ямвлиха, уже Фалес определил число как «систему еди­ниц»; а Евдокс в IV веке до Р. X. говорил, что «число есть заключенное в границы, т. е. оформленное, множе­ство — «αριθμός έστί πλήθος ώρισμένον» 13 . На органически простом характере числа настаивает также Никомах. Дальнейшая мысль все время колеблется между по­ниманием числа, как суммы, совокупности, вообще не­которого внешнего накопления, и — как некоторого единства не количественно, а качественно отличающего­ся от прочих подобных единств. Иначе сказать, это есть колебание между числом как агрегатом и числом, как формою.

Достойно внимания, что даже такие глубокие мысли­тели, как Лейбниц, путались между этими двумя мыслен­ными подходами к понятию числа. Так, в 1666 г. в пре­дисловии к «Dissertatio de arte combinataria», Лейбниц весьма настаивает на целостности числа, как абстракта от объекта, мыслимого единым интеллектуальным актом: коль скоро этот акт един, единым будет и число, хотя бы содержанием единого акта были бы «лета Мафусаила»; «abstractum autem ab uno est unitas, ipsumque totum abstractum ex unitatibus, seu totalitas, dicitur numerus — абстракт же от единого — есть единство, сам же целост­ный абстракт от единиц, или целокупность, называется числом» І4* Кажется, яснее быть не может! Но через три года, в письме к Томазию, тот же философ объявляет, что «определение числа есть: один да один, да один и т. д., или единицы» — полнее уничтожение всего пре­дыдущего 15*

Этого рода сбивчивость так обычна, что нет надобно­сти пояснять ее дальнейшими примерами. Но по суще­ству, понятие о числе, упускающее из виду его индивиду­альную форму, в силу которой оно есть некоторое в себя замкнутое единство, безусловно ложно и коренным об­разом извращает природу числа. Тут число хотят образо­вать последовательным накоплением единиц, или, в по­рядковой теории Кронеккера и Гельмгольца, последова­тельными переходами по ступеням основного ряда чи­словых символов; тогда неизбежно возникает вопрос: сколько же именно раз должно последовательно приба­виться по единице или — сколько именно раз нужно пе­реходить в основном ряду со ступени на ступень. Пока на вопрос «сколько раз?» ответа не дано, мы не имеем права считать понятие о числе установленным, ибо до тех пор одно число ничем не отличено от другого, и все они безразлично — суть символы накопления единиц или же символы перехода по ступеням вдоль ряда, но ни в коем случае не числовые индивидуумы. Без индивидуальности их ряда не построить, а между тем не ряд образует числа, а числа — ряд. Когда же ответ на вопрос «сколько раз?» дан, то тогда уже нечего производить последовательное сложение или последовательное восхождение: своим от­ветом мы обнаружили уже, что имеем понятие данного числа и, следовательно, строить его нет надобности 16*

Число есть, следовательно, некоторый прототип, иде­альная схема, первичная категория мышления и бытия. Оно есть некоторый умный первоорганизм, качественно

отличный от других таких же организмов — чисел. И не без основания Платон почти отождествил свои идеи с пифагорейскими числами, а неоплатоники слили те и другие с богами:

То, что ты в Космосе видишь, есть только

божественный отблеск, А над богами царит сущее вечно Число17*

Светом правильного понимания числа обязана новая наука Георгу Кантору18* Он рассматривает «целые чис­ла» и порядковые типы как универсалии, которые отно­сятся ко множествам и получаются из них, когда делает­ся абстракция от состава элементов. Каждое множество вполне отличных друг от друга вещей можно рассматри­вать, как некоторую единую вещь для себя, в которой рассматриваемые вещи представляют составные части или конститутивные элементы. Если делают абстракцию как от состава элементов, так и от порядка, в котором они даны, то мы получаем количественное число, или мощ­ность множества; здесь мы имеем общее понятие, в ко­тором элементы, как так называемые единицы (Einsen), срастаются известным образом в такое органическое, единое целое, что ни один из них не представляет ка­кого-нибудь иерархического преимущества перед други­ми элементами. Если вышеуказанный акт абстракции совершается над некоторым данным, упорядоченным в одном или нескольких отношениях (измерениях) мно­жеством,— лишь в отношении состава элементов, так что их взаимный порядок сохраняется и в том общем понятии, которое образует таким образом некоторое единое органическое целое, состоящее из различных единиц, сохраняющих между собой — в одном или не­скольких отношениях — определенный взаимный поря­док, то мы получаем благодаря этому такое universale, которое я называю вообще типом порядка, или идеаль­ным числом, а в частном случае вполне упорядоченных множеств — «порядковым числом». Таким образом, «количественные числа, как и типы порядка, представ­ляют простые абстрактные образования; каждое из них есть истинное единство {μονάς), потому что в нем воедино связано множество и многообразие единиц (Einsen). Если нам дано множество М, то элементы его следует пред­ставлять себе раздельными. В умственном же отображе­нии его, которое я называю его типом порядка, единицы соединены в один организм. В известном смысле можно рассматривать каждый тип порядка, как некоторый

compositium19* из материи и формы. Заключающиеся в нем абстрактно отличные единицы дают материю, между тем как существующий между ними порядок соответст­вует форме».

Евклид «рассматривает единицы в числе столь же раздельными, как и элементы в том дискретном множе­стве, к которому он его относит. По крайней мере в евк-лидовском определении не хватает прямого указания на единый характер числа, между тем как это безусловно су­щественно для него». «Мы должны поэтому представлять себе под я-кратным типом порядка идеальный образец (paradigma) я-кратно упорядоченного множества, как бы «-мерное целое действительное число, т. е. некоторое ло­гически, органически-единое соединение единиц, упоря­доченных в η различных и независимых друг от друга отношениях, которые здесь нужно называть направле­нием» 20*.

Если бы теория кратко-протяженных типов порядка была достаточно разработана, то одним числом выража­лось бы сложнейшее строение объектов природы, и по­знанию действительности, как царству форм, было бы выковано могущественное орудие. Но однако, не этот круг вопросов служит сейчас предметом нашего внимания.

IV

Тип порядка и мощность множества логически раз­личны; но не следует думать, будто этим логическим различием можно пренебречь хотя бы в практическом пользовании; так обстояло бы лишь при взаимоодно­значном соответствии мощности и типов порядка. Но этого соответствия нет, и данная мощность принадлежит не одному, а многим типам порядка.

В соотношении типов кратных это очевидно; бес­спорно это также и в отношении типов простых, но трансфинитных; даже типы множеств благоустроен­ных,— порядковые числа,— от их мощностей,— чисел количественных,— должны быть различаемы вовсе не только в порядке отвлеченно-логическом. Дело в том, что лишь в отдельных случаях парными перестановками элементов два множества различного строения, но оди­наковой мощности могут быть сделаны подобными друг другу, т. е. приведены в конформное соответствие; следовательно, вообще говоря, они не подводятся под одно и то же порядковое число.

Таковы множества трансфинитные. Им резко проти­вополагаются множества конечные, относительно кото­рых различение порядковых и количественных чисел признается имеющим значимость только принципиально логическую: каждому количественному числу соответст­вует, согласно общему убеждению, одно, и только одно, порядковое.

Это убеждение предполагает всегдашнюю возмож­ность перевести всякое конечное множество последова­тельными парными транспозициями из одного порядка во всякий другой. Если у трансфинитных множеств дан­ное строение может быть трансцендентным процессу парных перестановок, то в отношении конечных мно­жеств такая возможность загодя исключается, хотя нико­гда и никем такое исключение не было обосновано, одно­значность соответствия количественных и порядковых чисел в области конечной, впрочем, не только не дока­зана, но и существенно недоказуема, как всякая вера в природу будущего или вообще не дошедшего до созна­ния опыта над действительностью. Ведь дело здесь идет не о связи между собою понятий, уже установленных, а о свойствах действительности, а ргіогі неустановимых: множество есть конкретное содержание различных от­влекаемых от него универсалий, точка приложения умственных операций, и потому мы не можем заранее из всякого возможного будущего опыта исключить свой­ства, логическая немыслимость которых отнюдь не до­казана.

В нашем случае, логически нет оснований утвер­ждать, будто всякое строение конечного множества мо­жет быть преобразовано во всякое другое парными пере­становками элементов. Натур-философски же естест­венно думать о формах конечных множеств, как о непри­водимых друг к другу, качественно различных между со­бою, хотя бы они и подводились под одно и то же коли­чественное число.

Может быть, с этой точки зрения следовало бы пере­смотреть вопросы молекулярной, атомной и, вероятно, электронной дисимметрии, т. е. в плоскости числа, а не пространства; биология, в частности вопросы наследст­венности, где существенным признается число хромосом, теория мутаций и т. д., в будущем признает необходимо­стью воспользоваться обсуждаемым кругом понятий.

Но как бы то ни было, а естествоиспытателю никак не может представляться самоочевидным, будто два ко­нечные множества одной мощности тем самым и подобны

между собой. Счет есть последовательная установка со­ответствия между единичными элементами множества и последовательными числами натурального ряда. Следо­вательно, в результате счета получается число порядко­вое, но отнюдь не количественное. Но ни из чего не видно, что, сосчитывая два равные по количеству мно­жества, мы непременно получим в обоих случаях одно и то же порядковое (не количественное — повторим) число; о возможности же всегда, при равных мощностях, получать один и тот же кратный тип порядка — говорить тем более не приходится.

V

Между тем, с различением типов и мощностей, и в частности — порядковых и количественных чисел, мы вынуждены считаться, как только теоретические кальку­ляции алгебры или теории чисел мы соотносим со сче­том в действительности: повидимому, редко задумыва­ются, что результат алгоритмических калькуляций может быть переотносим на множества, как предмет счета, лишь синтетическим суждением, и возможность такого переноса вовсе не подразумевается сама собою. В алгебре и в теории чисел в большинстве случаев мы производим действия над числами количественными и потому не имеющими типа, лишенными строения, а следовательно — и неизобразимыми. Это — вообще числа. Покуда они остаются «вообще», изображать их в частности — нет нужды; но за то они и неприменимы ни к какому кон­кретному множеству. Да мы и не знаем, как можно пе­рейти от этих чисел «вообще» к числам «в частности», оставляя при этом числа безструктурными.

А между тем, мы не обладаем непосредственной ин­туицией мощности и, следовательно, не способны обо­значить и назвать мощность (количественное число), как таковую. Чтобы быть узнано, познано, названо и обо­значено, число должно быть расчленено; а без расчлене­ния есть не более как хаотическое множество, неопреде­ленность. Но это расчленение, по следам естественного расчленения множества (как объект природы, множество непременно имеет свою форму, значит — и соответст­венное членение), утверждает порядок множества. А по­тому, отвлеченная схема такого множества, по самому приему образования ее, обязательно есть тип порядка, идеальное число, в частности — число порядковое, но никак не количественное. Считая,— мы никогда не по­

21 П. Флоренский, т. 2

лучим количественного числа — непременно порядковое или тип порядка. Всякая система счисления расчленяет множество, на том или другом основании, причем воз­можны и даже отчасти применяются системы счисления с основанием переменным (таковы все системы мер, разве что за исключением метрической).

В алгебре и в теории чисел вопроса об изображении числа по системе того или другого основания просто не существует, и лишь по старой памяти где-то мимоходом делается заметка о системах счисления. Но это так по­тому, что в названных дисциплинах обсуждаются числа количественные, и применимость найденного к действи­тельным множествам никогда не становится предметом внимания. Но теоретико-познавательно и психологиче­ски невозможен числовой ряд без системы счисления. Счет в его отношении к действительному множеству подразумевает числовой ряд, а в числовом ряде — и принцип его установки — систему счисления.

Сосчитать — значит изобразить число: множество не изображенное — в числовом смысле и не познано, не сосчитано. Изображенность числа не есть, следователь­но, только психологический костыль арифметики, без которого она обошлась бы, хотя и менее удобно,— не есть внешняя одежда арифметического понятия, оде­ваемая на число ради удобства и благопристойности, но существенно входит в самый акт числового познания: она необходима.

Мы привыкли к мысли об изобразимости одного и того же числа (т. е. количественного) по разным сис­темам. Слишком привыкли, считаем выбор системы почти безразличным. Может быть, в каких-либо отно­шениях она и в самом деле не имеет решающего значе­ния, но тем не менее не должно быть забываемо, что конкретный счет имеет дело с числами порядковыми, а два числа, хотя бы и одной мощности, но изображен­ные в разных системах, отличаются друг от друга своим членением — имеют разную форму и далеко не отожде-ствимы между собой. Раз дело идет о порядковых числах, то написание их по разным системам — дает не одно и то же число.

Указывались неоднократно преимущества той или другой системы для счета тех или иных множеств; так, исторически известны системы с основаниями: 60 — у вавилонян, 20 — у ацтеков и кельтов, 6 и 12 — у раз­личных народов, и т. д. Предлагались также фактори-альная нумерация, нумерация двоичная, четверичная, восьмиричная, двенадцатиричная и т. д.

Но по-видимому, еще никем не подчеркнута для сис­темы счисления возможность:

либо следовать естественному расчленению сосчиты­ваемых множеств данного ряда,

либо, напротив, насильственно перестраивать множе­ства, уничтожая их собственное строение и вводя иное, им чуждое.

Соответственно избранная система счисления,— мо­жет быть, с переменным по тому или другому закону основанием,— позволяет самыми числами выразить внутренний ритм и строй обсуждаемого явления; напро­тив, затемненность структуры изучаемого — во многих случаях должна быть вменена в вину непродуманно применяемой системе счисления.

Так, многие вопросы теории функций легко разреша­ются при пользовании двоичной системой, равно как и вопросы символической логики, например у Буля21*; системы с основанием 2п указывались как естественно наиболее пригодные в теоретико-музыкальных исследо­ваниях, а с основанием 60 — в работах астрономических; седьмиричная система была бы пригодна во многих слу­чаях календарного и историко-хронологического подсчета ит. д.

Если бы счет действительности производился пра­вильно, т. е. без искажения структуры считаемого, а зна­чит — по свойственной данному явлению системе счис­ления, то тогда числом действительно выражалась бы суть явления,— прямо по Пифагору. Отсюда понятна глубочайшая необходимость изучать числа,— конкрет­ные, изображенные числа,— как индивидуальности, как первоорганизмы, схемы и первообразы всего устроенно­го и организованного. Эта задача расширяется также и на числа трансфинитные, на трансфинитные типы по­рядка, где самое основание системы счисления может быть трансфинитно; но острота вопроса — именно в этой изображенное™ числа, в его познавательной во-площенности, хотя бы оно и было сверх — конечным.

VI

Число изображенное, т. е. единственно возможное при счете число, почти не сделано темой исследования. Это звучит странно, но это так. Правда, в элементарно-математических журналах и развлекательно-математиче­ских книгах предлагаются и решаются задачки такого

содержания. Но кажется, за ними никогда не было при­знаваемо значение большего, нежели — интеллектуаль­ных игрушек. Решаются же эти задачи не методически, случайными уловками из других дисциплин.

Изображенное число не стало до сих пор предметом своей науки; первые же всходы таковой зачахли уже в древней Греции. Даже такая первоначальная потреб­ность, как преобразование числа из системы в систему, не может быть удовлетворена непосредственно, путем подставки данного числа в некую формулу. Между тем, такое преобразование, помимо своего высокого теорети­ческого интереса, было бы весьма полезно и практически, коль скоро мысль о надлежащем, сообразном случаю исследовании, выборе системы счисления утвердится в науке. Кстати сказать, ввиду этой именно потребности автором настоящей работы намечена схема счетного ме­ханизма, преобразователя чисел из системы одного ос­нования — в систему другого; не составило бы затрудне­ния придумать подобные механизмы, преображающие числа в системы оснований переменных.

Другой существенный вопрос,— о числовых инвари­антах и прочих инвариантных образованиях,— кажется, даже не ставился. Переписывая число по новой системе, мы получаем собственно новое число: число, как тако­вое, не инвариантно в процессе преобразования системы счисления. Но однако, мы непосредственно чувствуем, что и новое — оно сохраняет какую-то связь со старым; другими словами, мы не можем не думать о пребывании чего-то в числе, когда основание системы подвергается группе преобразований. Возможно и необходимо поэтому задать себе вопрос:

что именно пребывает инвариантным у такой-то со­вокупности чисел при преобразованиях основания та­ких-то и таких-то, включая сюда и введение оснований переменных.

С другой стороны, возникает и вопрос о том, у какой совокупности чисел или в отношении каких преобразо­ваний пребывают инвариантными заданные свойства.