Жизнь человека с самого начала складывалась так, что все, чем бы он не занимался, заставляло его наблюдать за окружающим миром и делать из этого выводы
| Вид материала | Документы |
- Тема: «И думал о счастье…», 107.6kb.
- Ивид Славы Всевышнего, как огонь, пожирающий на вершине горы, на глазах всех сыновей, 2908.84kb.
- Современна ли тема хамелеонства, 52.99kb.
- Т. А. Касаткина характерология достоевского, 3889.78kb.
- «Причины патогенной минерализации в организме человека», 196.34kb.
- Человек и общество в изображении, 24.87kb.
- Тема урока. Значение кожи и ее строение, 235.74kb.
- Конкурс по естествознанию «человек и природа», 22.16kb.
- Явырос в маленькой деревне на островах Тасмании. Все, что нам было необходимо, мы добывали, 846.97kb.
- Николай Лесков. Левша, 361.66kb.
244
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.
Из каких бы «предметов» ни состояла группа: из чисел, движений или операций, — все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность «предметов» можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе».
Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.
Галуа стремится внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп — это, прежде всего, наведение порядка в математическом языке.
Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики — появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.
Н. И. Лобачевский
НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
По определению Евклида параллельные линии — прямые, лежащие в одной плоскости и никогда не встречающиеся, как бы далеко мы их ни продолжали.
Но уже древнейшие комментаторы Евклида Посидоний (II век до нашей эры), Геминус (I век до нашей эры), Птолемей (II век нашей эры) — не считали пятый постулатум Евклида имеющим ту же очевидность, как другие по-стулатумы и аксиомы Евклида, и пытались или вывести его, как следствие других положений, или заменить определение параллельных, данное Евклидом, другим определением.
Во второй половине XVII столетия Лейбниц также критически относился к основным положениям Евклида. Как известно, он хотел также построить чисто геометрической анализ, который непосредственно выражал бы свойства положения, подобно тому как алгебра выражает величину.
Но только в первой половине XVIII века приходит мысль применить к вопросу о параллельных линиях и систематически провести в теории параллельных линий тот метод доказательства от противного, которым так часто пользовались греческие математики.
Эта гениальная идея принадлежала Саккери. В сочинении, появившемся в год его смерти «Евклид, избавленный от всякого пятна», Саккери берет исходным пунктом четырехугольник, которого две противоположные стороны, перпендикулярные к основанию, равны между собой. В таком четырехугольнике углы, образуемые равными сторонами с стороною, противоположною основанию, равны, и доказательство этого свойства четырехугольника не зависит от постулатума Евклида. Если они прямые, то постулатум Евклида доказан, так как в этом случае сумма углов треугольника равна двум прямым. Но Саккери (и в этом состоит его оригинальная гениальная мысль) делает и две другие гипотезы — гипотезу острого и гипотезу тупого угла, выводит из этих гипотез вытекающие следствия и пытается доказать невозможность этих следствий, т.е. допустимость только одной гипотезы прямого угла. Ему легко удается доказать, что гипотеза тупого угла недопустима, так как приводит к противоречиям. Для того чтобы найти такое же противоречие в гипотезе острого угла, он выводит ряд замечательных теорем, которые потом были снова доказаны Лежандром. Таковы, например, теоремы, по которым если та или другая или третья гипотеза имеет место для одного четырехугольника, то она имеет место и для всякого другого.
246
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
Через три года после ее появления, в 1766 году, Ламберт ставит ту же задачу, что и Саккери. Вместо четырехугольника с двумя прямыми углами и двумя равными сторонами Ламберт рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами и делает три гипотезы относительно четвертого угла. Его изложение имеет некоторые особенности сравнительно с изложением Саккери: он избегает прибегать к соображениям, основанным на непрерывности. Из того, что в гипотезах тупого и острого угла не существует подобия фигур, Ламберт выводит заключение о существовании абсолютной меры.
В 1799 году гениальный математик Карл Гаусс пошел по тому пути, по которому до него шли Саккери и Ламберт, — по пути планомерного вывода всех следствий гипотезы острого угла. Но его размышления привели к сомнению в возможности доказать аксиому Евклида, и к 1816 году у математика созрело убеждение в невозможности такого доказательства.
Высказанное публично мнение Гаусса о недоказуемости аксиомы Евклида не имело влияния и даже подверглось грубым нападкам. Это было одной из причин, почему он решился не публиковать своих исследований и мыслей по вопросу об основаниях, «боясь крика бео-тийцев» (письмо к Бесселю от 27 января 1829 года). Но он не прервал своих исследований и с величайшим интересом и сочувствием приветствовал те работы и мысли, которые совпадали с его исследованиями и взглядами.
Как далеко он пошел по этому пути, показывает его письмо к Вольфгангу Болиаи от 6 марта 1832 года, в котором Гаусс говорит, что между 1797 и 1802 годами он нашел те результаты, к которым пришел Иоганн Болиаи. Например, чисто геометрическое доказательство теоремы, что в неевклидовой геометрии разность суммы углов треугольника от 180 градусов пропорциональна площади треугольника.
Вольфганг Болиаи, друг школьных лет Гаусса, проявлял большой интерес к теории параллельных линий. Этот необычайный интерес, по свидетельству его письма к сыну в 1820 году, отравил ему все радости жизни, сделал его мучеником стремления освободить геометрию от пятна, «удалить облако, затемняющее красоту девы-истины». Но в то время как усилия почти всей жизни отца были направлены к доказательству 5-го постулатума, и ему не удалось достигнуть цели, его талантливый сын явился одним из творцов неевклидовой геометрии.
Иоганн Болиаи родился в 1802 году в Клаузенбурге. Уже в 1807 году отец с восторгом и гордостью пишет Гауссу о необыкновенных математических способностях мальчика, который к тринадцати годам уже изучил планиметрию, стереометрию, тригонометрию, конические сечения, а в 14 лет уже решал с легкостью задачи дифференциального и интегрального исчисления. Вольфгангу не удалось послать сына учиться в Геттингене у «математического колосса», и в 1818 году Иоганн поступил в Венскую инженерную академию, где уделялось большое
МОГУЩЕСТВЕННАЯ МАТЕМАТИКА
247
внимание высшей математике. В 1823 году он кончил курс в академии и, как военный инженер, был послан в крепость Теметвар.
Вполне естественно, что обладавший необыкновенными математическими способностями Иоганн еще почти мальчиком решил испытать свои силы на решении того вопроса, над которым мучился отец, но про который отец же говорил ему, что решивший его достоин алмаза величиною в земной шар. В 1820 году Иоганн сообщает отцу, что он уже нашел путь к доказательству аксиомы, и тогда-то отец пишет ему горячее письмо, предостерегающее его от занятия теориею параллельных линий.
В зимнюю ночь 1823 года он нашел то основное соотношение между длиною перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, и углом, который составляет с этим перпендикуляром ассимптота (параллельная линия Лобачевского), которое является ключом к неевклидовой тригонометрии. В восторге от своего открытия, которое, казалось ему, открывало путь к доказательству XI аксиомы, он пишет 3 ноября из Теметвара отцу: «Я создал новый, другой мир из ничего. Все, что посылал до сих пор, есть только карточный домик в сравнении с воздвигаемою теперь башнею».
В 1829 году Вольфганг закончил большое математическое сочинение, над которым трудился около двадцати лет. Как приложение к этой книге, было напечатано и бессмертное сочинение Иоганна Болиаи. Конечно, Болиаи не подозревали, что в это же самое время в далекой Казани Лобачевский печатал свою первую работу «О началах геометрии» (1829 год).
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) родился в Макарьев-ском уезде Нижегородской губернии. Отец его занимал место уездного архитектора и принадлежал к числу мелких чиновников, получавших скудное содержание. Бедность, окружавшая его в первые дни жизни, перешла в нищету, когда в 1797 году умер отец и двадцатипятилетняя мать осталась одна с детьми без всяких средств. В 1802 году она привезла троих сыновей в Казань и определила их в Казанскую гимназию, где очень быстро заметили феноменальные способности ее среднего сына.
Когда в 1804 году старший класс Казанской гимназии был преобразован в университет, Лобачевский был включен в число студентов по естественно-научному отделению. Учился юноша блестяще.
Лобачевский получил прекрасное образование. Лекции по астрономии читал профессор Литрофф. Лекции по математике он слушал у профессора Бартельса, воспитанника такого крупного ученого, как Карл Фридрих Гаусс.
Уже в 1811 году Лобачевский получил степень магистра, и его оставили в университете для подготовки к профессорскому званию. В 1814 году Лобачевский получил звание адъюнкта чистой математики, а в 1816 году был сделан профессором.
248
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
С 1819 года Лобачевский преподавал астрономию. Административная деятельность ученого началась с 1820 года, когда он был избран деканом.
Несмотря на изнурительную практическую деятельность, не оставлявшую ни минуты отдыха, Лобачевский никогда не прекращал своих научных занятий и во время своего ректорства напечатал в «Ученых записках Казанского университета» лучшие свои сочинения.
Если Иоганн Болиаи начал заниматься теорией параллельных линий под влиянием своего отца, то Лобачевский мог начать заниматься ею только потому, что интерес к этой теории особенно оживился в конце XVIII и начале XIX столетия.
В двадцатипятилетие, предшествующее появлению первой работы Лобачевского, не проходило и года, в которой не появилось бы одно или несколько сочинений по теории параллельных линий. Известно до 30 сочинений, напечатанных только на немецком и французском языках с 1813 по 1827 год.
Работы Лежандра возбудили интерес к теории параллельных линий и в среде русских математиков. Первый академик из русских, заслуживший своими печатными трудами почетное место в истории русского математического преподавания, СЕ. Гурьев в наиболее важном из своих сочинений «Опыт о усовершении элементов геометрии», напечатанном в 1798 году, обратил особое внимание на теорию параллельных линий и на доказательства, данные Лежандром. Критикуя эти доказательства, Гурьев предлагает и свое собственное.
Основываясь на утверждении, что при определенных условиях прямые, которые кажутся нам параллельными, могут пересекаться, Лобачевский пришел к выводу о возможности создания новой, непротиворечивой геометрии. Поскольку ее существование было невозможно представить в реальном мире, ученый назвал ее «воображаемой геометрией». Но к этой мысли и он, как и И. Болиаи, пришел не сразу.
Лекции 1815—1817 годов, учебник геометрии 1823 года и не дошедшая до нас «Exposition succincte des principes de la geometrie», прочтенная в заседании физико-математического отделения 12 февраля 1826 года, — таковы три этапа мысли Лобачевского в области теории параллельных линий. В лекциях он дает три различных способа для ее обоснования; в учебнике 1823 года он заявляет, что все до сих пор данные доказательства не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими, и, наконец, через три года он дает уже ту систему построения геометрии на положении, отличном от постулатума Евклида, которая обессмертила его имя.
«Exposition» не дошло до нас. Первое печатное сочинение Лобачевского, которое он называет извлечением из «Exposition», печаталось в «Казанском вестнике» в 1829—1830 годах. Эта дата устанавливает приоритет опубликования открытия Лобачевского сравнительно с И. Болиаи, так как «Appendix» последнего был напечатан в 1831 году, а вышел
МОГУЩЕСТВЕННАЯ МАТЕМАТИКА
249
из печати только в 1832 году. Как показывает заглавие «Exposition», оно имело своим предметом не только точную теорию параллельных линий, но посвящено было вместе с тем вопросу о началах геометрии.
Хотя и И. Болиаи, и Лобачевский за это открытие были избраны членами Ганноверской академии наук, права гражданства получила в Западной Европе именно геометрия Лобачевского.
В 1837 году труды Лобачевского печатаются на французском языке. В 1840 году он издал на немецком языке свою теорию параллельных, заслужившую признание великого Гаусса. В России же Лобачевский не видел оценки своих научных трудов.
Очевидно, исследования Лобачевского находились за пределами понимания его современников. Одни игнорировали его, другие встречали его труды грубыми насмешками и даже бранью. В то время как наш другой высокоталантливый математик Остроградский пользовался заслуженной известностью, никто не знал Лобачевского; к нему и сам Остроградский относился то насмешливо, то враждебно.
Совершенно правильно или, вернее, основательно один геометр назвал геометрию Лобачевского звездной геометрией. О бесконечных же расстояниях можно составить себе понятие, если вспомнить, что существуют звезды, от которых свет доходит до Земли тысячи лет. Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Теперь возникает вопрос, принадлежит ли Лобачевскому изобретение четвертого измерения? Нисколько. Геометрия четырех и многих измерений создана была немецким математиком, учеником Гаусса, Риманом. Изучение свойств пространств в общем виде составляет теперь неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида. Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении четвертого измерения. Но этот шаг принадлежит уже последователям Лобачевского.
Естественно возникает вопрос, где же находится такое пространство. Ответ на него был дан крупнейшим физиком XX века Альбертом Эйнштейном. Основываясь на работах Лобачевского и постулатах Римана, он создал теорию относительности, подтвердившую искривленность нашего пространства.
В соответствии с этой теорией любая материальная масса искривляет окружающее ее пространство. Теория Эйнштейна была многократно подтверждена астрономическими наблюдениями, в результате которых стало ясно, что геометрия Лобачевского является одним из фундаментальных представлений об окружающей нас Вселенной.
МОГУЩЕСТВЕННАЯ МАТЕМАТИКА
251
Норберт Винер
КИБЕРНЕТИКА
«Винер по праву назван отцом кибернетики, — пишет в своей «Кибернетической смеси» В.Д. Пекелис. — Его книга «Кибернетика» появилась в 1948 году и потрясла многих неожиданностью выводов, оказала ошеломляющее влияние на общественное мнение. Ее появление можно уподобить исподволь подготовленному взрыву.
В истории кибернетики, как и в любой другой науке, два периода: накопление материала и оформление его в новую науку... ...Здесь стоит упомянуть посвященные теории регулирования работы инженера А. Стодолы, опубликованные в конце прошлого века в одном из швейцарских журналов.. В них рассматривался принцип управления с помощью обратной связи. Своеобразие истории вычислительной техники знаменательно тем, что первые счетные машины сразу же открыли перед человеком возможность механизации умственной работы. Здесь нельзя обойти вниманием «Математическое исследование логики» Джорджа Буля. Оно положило начало разработке алгебры логики, которой широко пользуется теперь кибернетика.
Когда в теории вероятностей возник новый раздел — теория информации, универсальность новой теории, хоть и не сразу, стала ясна всем. Обнаружилось, например, соответствие между количеством информации и мерой перехода различных форм энергии в тепловую — энтропией. Впервые на это указал в 1929 году известный физик Л. Сциллард. Впоследствии теория информации стала одной из важных основ в кибернетике.
В XIX веке заметны достижения и в физиологии высшей нервной деятельности. Особенно в исследовании процессов обучения животных. В 30-х годах нашего столетия явлением стала теория физиологической активности Беркштейна, еще позже принцип функциональной системы Анохина».
Вместе с прогрессом происходит и сближение технических средств, используемых и в физиологии и в автоматике. Такое сближение сопровождается взаимным обменом принципами построения структурных схем, идеями моделирования, методами анализа и синтеза систем.
Подобную тенденцию одним из первых уловил русский философ Александр Александрович Богданов. «Мой исходный пункт, — писал ученый, — заключается в том, что структурные отношения могут быть
обобщены до такой формальной чистоты схем, как в математике и отношениях величин, и на такой основе организационные задачи могут решаться способами, аналогичными математическим».
Таким образом, Богданов предвосхитил появление общей теории систем — одной из ключевых концепций кибернетики. Русский ученый сумел обосновать и принцип обратной связи, назвав его «механизмом двойного взаимного регулирования».
Позднее, в 1936 году английский математик А. Тьюринг опубликовал работу, описывающую абстрактную вычислительную машину. Некоторые положения его труда во многом предвосхитили различные проблемы кибернетики.
Однако решающее слово в рождении новой науки сказал крупный американский математик Винер.
Норберт Винер (1894—1964) родился в городе Колумбия штата Миссури. Читать он научился с четырех лет, а в шесть уже читал Дарвина и Данте. В девять лет он поступил в среднюю школу, в которой начинали учиться дети с 15—16 лет, закончив предварительно восьмилетку. Среднюю школу он окончил, когда ему исполнилось одиннадцать. Сразу же мальчик поступил в высшее учебное заведение, Тафте-колледж. После окончания его, в возрасте 14 лет, получил степень бакалавра искусств. Затем учился в Гарвардском и Корнельском университетах, в 17 лет в Гарварде стал магистром искусств, в 18 — доктором философии по специальности «математическая логика».
Гарвардский университет выделил Винеру стипендию для учебы в Кембриджском (Англия) и Геттингенском (Германия) университетах. Перед Первой мировой войной, весной 1914 года Винер переехал в Гет-тинген, где в университете учился у Э.Ландау и великого Д.Гильберта.
В начале войны Винер вернулся в США, год провел в Кембридже, но в сложившихся условиях научных результатов добиться не мог. В Колумбийском университете он стал заниматься топологией, но начатое до конца не довел. В 1915—1916 учебном году Винер в должности ассистента преподавал математику в Гарвардском университете.
Следующий учебный год Винер работал по найму в университете штата Мэн. После вступления США в войну он работал на заводе «Дженерал электрик», откуда перешел в редакцию Американской энциклопедии в Олбани. Затем Норберт какое-то время участвовал в составлении таблиц артиллерийских стрельб на полигоне, где его даже зачислили в армию, но вскоре из-за близорукости уволили. Потом он перебивался статьями в газеты, написал две работы по алгебре, вслед за опубликованием которых получил рекомендацию профессора математики В.Ф. Осгуда и в 1919 году поступил на должность ассистента кафедры математики Массачусетсского технологического института (МТИ). Так началась его служба в этом институте, продолжавшаяся всю жизнь.
Здесь Винер ознакомился с содержанием статистической механики У. Гиббса. Ему удалось связать основные положения ее с лебеговским
252
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
интегрированием при изучении броуновского движения и написать несколько статей. Такой же подход оказался возможным в установлении сущности дробового эффекта в связи с прохождением электрического тока по проводам или через электронные лампы.
Возвратившись в США, Винер усиленно занимается наукой. В 1920— 1925 годах он решает физические и технические задачи с помощью абстрактной математики и находит новые закономерности в теории броуновского движения, теории потенциала, гармоническом анализе.
В 1922, 1924— и 1925 годах Винер побывал в Европе у знакомых и родственников семьи. В 1925 году он выступил в Геттингене с сообщением о своих работах по обобщенному гармоническому анализу, заинтересовавшим Гильберта, Куранта и Борна. Впоследствии Винер понял, что его результаты в некоторой степени связаны с развивавшейся в то время квантовой теорией.
Тогда же Винер познакомился с одним из конструкторов вычислительных машин — В. Бушем и высказал пришедшую ему однажды в голову идею нового гармонического анализатора. Буш претворил ее в жизнь.