Geum.ru

Примерная программа наименование дисциплины Алгебра и теория чисел Рекомендуется для направления подготовки

Вид материалаПримерная программа

Содержание


7. Практические занятия (семинары)
8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Подобный материал:
1   2   3   4

7. Практические занятия (семинары)

№ п/п
№ раздела дисциплины
Тематика практических занятий (семинаров)
Трудо-емкость

(час.)

Первый семестр



1
Структура определения. Множества. Бинарные отношения, эквивалентность, фактор-множество. Отображения. Композиция отображений, обратимые отображения.

4


1
Бинарные алгебраические действия. Основные алгебраические структуры: группа, кольцо, модуль. Подструктуры. Изоморфные структуры. Разные типы колец. Идеал и факторкольцо.
6


2
Свойства делимости в коммутативном кольце с 1. Ассоциированность. Наибольший общий делитель в кольце главных идеалов. Евклидовы кольца, алгоритм Евклида. Простые элементы евклидова кольца, основная теорема арифметики.

6


3
Простые и составные числа, бесконечность множества простых. Каноническое разложение целого числа. Идеалы кольца целых чисел. Сравнения и кольца вычетов. Обратимые классы.

5


3
Теоретико-числовая функция Эйлера. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Лагранжа для конечных абелевых групп и ее теоретико-числовые следствия.
5


4
Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом с 1. Степень многочлена и ее свойства. Теорема о делении с остатком для многочленов.

4


4
Значение многочлена в точке, функциональное равенство многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Корень многочлена, теорема о числе корней.

6


4
Многочлены от нескольких переменных. Теорема о тождестве.
6


5
Определение поля комплексных чисел. Действия в компонентах. Комплексное сопряжение. Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент. Тригонометрическая форма записи, связь с действиями.

6


5
Формула Муавра и ее применение в вещественных вычислениях. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из 1. Решение алгебраических уравнений. Формулировка основной теоремы алгебры. Канонические разложения комплексных и вещественных многочленов.
4


6
Сложение матриц, умножение матрицы на скаляр. Умножение матриц. Единичная матрица. Транспонирование. Свойства матричных операций.
8


7
Определители второго и третьего порядков. Перестановки и инверсии, четность перестановки. Определение детерминанта квадратной матрицы произвольного порядка.

2


7
Определитель транспонированной матрицы. Перестановка строк и свойства линейности. Разложение по строке. Методы вычисления определителей. Определитель Вандермонда. Формулировка теоремы Лапласа.

4


7
Ранг матрицы в терминах ее миноров. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Ранг трапециевидной матрицы.
4


8
Матричная запись линейной системы. Теорема Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Число решений линейной системы. Однородные системы, условия существования нетривиального решения. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем.
6


9
Не коммутативность матричного кольца, делители нуля. Многочлен от матрицы. Определитель произведения квадратных матриц. Невырожденные матрицы, полная линейная группа. Взаимная матрица и ее свойства.

6


9
Обратная матрица, методы ее вычисления.
4

Второй семестр


10
Определение и примеры. Система образующих, конечномерные пространства. Линейная независимость векторов. Базис, размерность. Координаты вектора, их изменение при изменении базиса. Матрица перехода.

8


10
Подпространство, его размерность. Ранг матрицы как размерность линейной оболочки ее строк, столбцов. Эквивалентность разных определений ранга.

8


10
Фактор-пространство. Сумма и пересечение подпространств, связь между размерностями. Прямая сумма подпространств, внешняя прямая сумма.
6


11
Билинейная и полуторалинейная форма на линейном пространстве. Матрица Грама., ранг формы. Эрмитовы и симметрические билинейные формы, их матрицы Грама. Ортогональные векторы. Ортогональное дополнение относительно эрмитовой формы. Теорема Лагранжа об эрмитовых формах.

4


11
Положительная определенность формы, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора, угол между векторами. Ортонормированные семейства векторов. Евклидово и унитарное пространства. Ортонормированные базисы. Унитарная и ортогональная группы.

6


11
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом или унитарном пространстве. Разложение пространства в ортогональную прямую сумму. Квадратичная форма как однородный многочлен, ее матрица. Квадратичная форма на пространстве, связь с однородными многочленами. Полярная билинейная форма.

4


11
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к диагональному виду. Каноническая матрица комплексной или вещественной квадратичной формы.

4


11
Закон инерции вещественных квадратичных форм, индексы инерции. Угловые миноры матрицы, теорема Якоби. Признаки положительной определенности квадратичной формы. Формулировка теоремы об ортогональном приведении формы.
4


12
Производная многочлена и ее свойства. Кратные корни и производная. Освобождение от кратных корней. Формула Тейлора. Формулы Виета. Симметрические многочлены.

6


12
Конструкция поля частных для данной области целостности. Поле рациональных функций. Простейшие дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших, формула Лагранжа. Интерполяционная задача, ее разрешимость.

4


12
Метод Ньютона и интерполяционная формула Лагранжа. Многочлены с рациональными и целочисленными коэффициентами. Редукция целочисленного многочлена, редукционный признак неприводимости.

4


12
Теорема Гаусса о целочисленных многочленах. Признак Эйзенштейна. Рациональные корни целочисленного многочлена. Алгоритм разложения целочисленного многочлена на неразложимые множители.
4


13
Циклические группы, классификация. Подгруппа, примеры. Умножение подмножеств в группе. Смежные классы по подгруппе, разложение Лагранжа, индекс подгруппы. Теорема Лагранжа о группах.

4


13
Порядок элемента. Нормальная подгруппа. Факторгруппа.

4


13
Групповой гомоморфизм, его ядро и образ. Первая теорема о гомоморфизме, ее применение к вычислению факторгруппы. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение своих подгрупп. Формулировка теоремы о строении конечно порожденной абелевой группы.

6


13
Подгруппа и нормальная подгруппа, порожденные данным множеством. Центр и коммутант. Критерий абелевости факторгруппы. Автоморфизмы группы.

4


13
Факторгруппа группы по ее центру. Построение свободной группы, универсальное свойство. Соотношения между образующими, определяющие соотношения. Теорема Дика. Примеры задания группы образующими и определяющими соотношениями.

6

Третий семестр


14
Простые поля, классификация. Расширение подполя, получающееся присоединением подмножества большего поля; простое расширение. Алгебраические и трансцендентные элементы. Аннуляторы, минимальный аннулятор.

6


14
Конечное расширение, степень расширения. Алгебраические расширения, алгебраичность конечного расширения. Простое расширение, порожденное алгебраическим элементом; присоединение к полю корня неприводимого многочлена.

4


14
Поле разложения многочлена, существование и единственность. Поле разложения семейства многочленов, алгебраическое замыкание. Число элементов конечного поля. Конечное поле как поле разложения.

4


14
Мультипликативная группа конечного поля. Существование и единственность поля, содержащего данное число элементов. Подполя конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем.
6


15
Линейное отображение, его ядро и образ. Ранг и дефект. Матрица линейного отображения, каноническая матрица.

6


15
Пространство линейных отображений, связь с матричным пространством. Композиция линейных отображений. Изоморфность линейного отображения.

6


15
Двойственное пространство. Свойство рефлексивности для конечномерного пространства. Двойственные базисы. Ковариантность и контравариантность изменения координат.

6


15
Линейный оператор и его матрица, связь алгебры операторов с матричной алгеброй. Условия обратимости оператора.
6


16
Инвариантное подпространство. Сужение оператора на инвариантное подпространство; индуцированный оператор на факторпространстве. Матрица оператора при наличии инвариантного подпространства, при разложении пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.

2


16
Собственное число и собственный вектор оператора. Характеристический многочлен оператора, теорема Гамильтона-Кэли.

4


16
Собственное подпространство и его свойства. Оператор, имеющий диагональную матрицу в некотором базисе; критерий диагонализуемости. Аннулятор вектора, свойства аннуляторов. Циклическое подпространство, клетка Фробениуса. Примарные подпространства и их свойства. Корневой вектор и корневое подпространство. Нильпотентный оператор, его характеристический многочлен. Построение жордановой матрицы нильпотентного оператора.

4


16
Жорданова матрица произвольного оператора. Естественные нормальные формы матрицы оператора в пространстве над произвольным полем.
4


17
Сопряженный оператор. Инвариантные подпространства для сопряженных операторов. Условие ортонормальной диагонализуемости оператора. Нормальный оператор к унитарном и евклидовом пространстве.

4


17
Существование ортогонального преобразования, приводящего вещественную квадратичную форму к диагональному виду. Каноническая матрица нормального оператора в евклидовом пространстве. Самосопряженный оператор. Положительно определенные операторы, извлечение квадратного корня.

6


17
Унитарные и ортогональные операторы. Полярное разложение.
4


18
Тело классических кватернионов как вещественная подалгебра алгебры комплексных матриц. Алгебры с 1. Алгебра с делением. Алгебра Ли, связь с ассоциативной алгеброй. Структурные константы и структурный тензор алгебры. Изоморфные алгебры. Алгебра с инволюцией, процесс удвоения Кэли-Диксона. Алгебра кватернионов как удвоенная алгебра комплексных чисел.

8


18
Скалярная и векторная часть кватерниона; умножение векторов. Норма кватерниона и ее свойства. Формулировка теоремы Фробениуса. Алгебра Кэли и ее свойства. Внешняя алгебра, градуирующие подпространства. Свойства внешнего умножения векторов. Определение детерминанта в терминах внешней алгебры. Теорема Лапласа. Формула Бинэ-Коши.

6












8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)

  1. Классификация конечных простых групп (различные аспекты: история вопроса, основные результаты и др.).
  2. Теория Галуа (различные аспекты).
  3. Программа построения расширения поля Галуа с помощью корня неприводимого многочлена.
  4. Линейная алгебра и ее применения в экономике.
  5. Теория полугрупп (различные аспекты).

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература

1) Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984, 320 с.

2) Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, М.: Наука, 1980, 176 с.

3) Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М.:Наука, 1979. с. 623.

4) И.М.Гельфанд. Лекции про линейной алгебре. Изд-е 5-е, исправленное. М.: Добросвет, Московский центр непрерывного математического образования. 1998, 320 с.

5) Каргаполов М.И. Основы теории групп/ М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков // М.: Наука, 1982, 288 с.

6) Кострикин А. И. Линейная алгебра и геометрия/ А. И. Кострикин, Ю. И. Манин // М.: Наука, 1986. 303 с.

7) Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973, 400 с.

8) Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. и др. Общая алгебра./ под ред. Л.А.Скорнякова, т. 1, М.: Наука, 1990. 592 с.

9) Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. и др. Общая алгебра./ под ред. Л.А.Скорнякова, т. 2, М.: Наука, 1991. 480 с.

10) Мельников Ю.Б. Алгебра и теория чисел. Изд-е 3-е, испр. и доп. [Электронный ресурс]/ Ю. Б. Мельников/ Издательство УрГЭУ, Екатеринбург, 2010 г., 65,1 уч.-изд.л. [режим доступа свободный] ссылка скрыта

11) Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Изд-во МГУ, 1990. 328 с.

12) Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Учебное пособие для ВУЗов, М.: Наука, 1984. 416 с.

б) дополнительная литература

1) Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М:. Наука, 1978, 384 с.

2) Мельников Ю.Б. Алгебра и теория чисел. Практикум по линейной и матричной алгебре, тензорам и полям Галуа.

в) программное обеспечение

  1. Adobe Acrobat Reader
  2. MikTeX 2.7
  3. GsView 4.9

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы: Википедия, поисковые системы Яндекс, Google.

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Для организации эффективного учебного процесс необходим компьютер и проектор.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

  1. Организация текущего контроля:
    1. для обеспечения регулярного мониторинга качества изучения дисциплины и внешнего стимулирования студентов к изучению понятийного аппарата и усвоению типовых планов (в частности, алгоритмов) целесообразно регулярно, не реже чем 1 раз в две недели проводить тесты;
    2. в семестре следует проводить не менее двух контрольных работ продолжительностью 1-2 академических часа;
    3. для стимулирования самостоятельной работы студентов и контроля ее результативности в каждом семестре студенты должны выполнять 1-2 индивидуальных домашних задания.
  2. Методы, методики, технологии обучения, подходы к организации обучения:
    1. в исследовательской и учебной деятельности в алгебре и теории чисел и решении задач, значительную долю занимает «рутинный компонент», состоящий в регулярном использовании обозримой системы базовых идей и методов и весьма небольшого набора базовых методов алгоритмов. Это обстоятельство создает благоприятные условия для применения проблемного метода обучения (см., например, презентацию к лекции «Алгебра и теория чисел» из [10]);
    2. доступность для студентов большинства основных идей алгебры и алгебраических методов, значительный объем регулярной, «рутинной» познавательной (вы частности, исследовательской) деятельности позволяет успешно применять компетентностный подход, обеспечивать формирование многих ключевых компетенций (перечисленных выше), когнитивной и других видов компетентности.
    3. содержание курса «Алгебра и теория чисел» открывает богатые возможности по использованию метода моделирования и образовательных методик и технологий, основанных на методе моделирования и деятельностном подходе. При этом математические объекты выступают не столько в качестве образов (моделей) реальных объектов, сколько в качестве объектов моделирования, прототипов, прообразов. Например, основная идея линейной алгебры, представленной в разделах 10,11, 15-17, состоит в представлении, моделировании произвольного линейного пространства средствами матричной алгебры. В частности, векторы представляются массивами координатами, т.е. векторами линейного пространства Rn, линейные операторы – их матрицами, билинейные или полуторалинейные формы (в частности, скалярное произведение) представляются с помощью матриц этих форм (в частности, матрицы Грама) и др.