Новые нейросетевые подходы к решению краевых задач в составных областях

Вид материала

Документы

Содержание Список литературы

Подобный материал:

• Удк517 Бессеточный подход к решению краевых задач математической физики на основе метода, 27.34kb.
• Патологические процессы репродуктивных органов женщины: подходы к лечению, 160.92kb.
• Применение нейронных сетей для решения задач в машиностроении а. А. Мишенин, асп, 237.95kb.
• Нелинейные задачи математической физики, 84.09kb.
• К. Д. Ушинского Обучение младших школьников решению сюжетных математических задач одна, 79.12kb.
• Процедура восполнения напряжений при решении нелинейных краевых задач механики деформируемого, 69.02kb.
• «О приоритетах деятельности системы образования Красноярского края на 2011-2012 годы, 75.41kb.
• Алгоритмы обучения и архитектура нейронных сетей. Нейросетевые системы обработки информации, 21.42kb.
• Прикладная эндодонтия. Практические подходы к решению ежедневных задач 3-5 февраля, 84.68kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины методика обучения решению задач уровень основной, 104.55kb.

А.А. ФЁДОРОВ, А.С. ШОЛУПОВ

Научный руководитель – А.Н. ВАСИЛЬЕВ, доцент

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет


новые нейросетевые подходы к решению

краевых задач в составных областях


Задачи с фазовым переходом и переменной неизвестной границей – «задача Стефана», относятся к одним из наиболее сложных задач в математической физике. Методология нейронных сетей позволяет предложить ряд новых принципиально различных подходов к их приближённому решению. В данной работе рассматриваются некоторые конкретные приложения идей и методов, заявленных в программной работе [1] и статье [2].


Математическую модель системы с распределенными параметрами в нестационарных ситуациях строят, как правило, в форме краевой задачи для уравнения в частных производных с сопутствующими начальными или иными условиями. Рассмотрение многокомпонентных систем существенно усложняет процесс построения модели и её исследование ввиду появления границы раздела компонент (сред) системы, которая также должна быть найдена в процессе решения задачи. Особенно сложной становится задача в случае, когда присутствует фазовый переход, т.е. одна компонента переходит в другую.

Рассмотрим начально-краевую задачу математической физики вида





гдеи - некоторые операторы в частных производных. При этом (или её часть) не фиксирована заранее, а находится в процессе решения задачи. Для её численного решения, в отличие от традиционных подходов (метод сеток, конечных элементов, граничных интегральных уравнений, асимптотических разложений и др.) нами предлагается подход, опирающийся на методологию нейронных сетей [3], которая в настоящее время все более расширяет сферу своих приложений.


Предлагаются следующие естественные с точки зрения методологии нейронных сетей подходы к задаче Стефана:

1. Аппроксимация температурных полей для обеих фаз с помощью соответствующим образом обученной RBF сети или персептрона.
   
2. Построение гетерогенной сети, которая включает в себя наряду с RBF сетью, описывающей температурные режимы, еще и персептрон с одним скрытым слоем, задающий фронт фазового перехода.
   
3. Поиск температурного поля с помощью пространственной RBF сети (т.е. сети, входом которой является переменная ), зависящие от времени, параметры которой находятся из системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
   
4. Использование рекуррентных нейронных сетей для задания нестационарных температурных режимов фаз.
   
5. Переход от задачи Стефана к вариационному неравенству и решение его с помощью нейронных сетей.
   

Для исследования предложенной выше методологии были рассмотрены четыре первых подхода. С их помощью успешно были решены модельные задачи (то есть задачи, связанные с фазовыми переходами, для которых решения известны и могут использоваться для контроля предлагаемых подходов). Попутно были реализованы и классические алгоритмы численного решения вышеуказанной задачи, которые уступали по скорости и точности нейросетевым решениям. Все программы, реализующие саму сеть и описанные алгоритмы были написаны с среде Visual C++, имеют графическую оболочку, кроме того для контроля деятельности аналогичные вычисления проводились в математических пакетах Matlab 6.5 и Mathematica5


Список литературы

1. Васильев А.Н., Тархов Д.А., «Применение нейронных сетей к неклассическим задачам математической физики», сборник докладов Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям – SCM'2003, том 1, с.337-340.
   
2. Васильев А.Н., Тархов Д.А., «Нейронные сети как новый универсальный подход к численному решению задач математической физики», «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение, Москва, Радиотехника (в печати)
   
3. Simon S.Haykin, “Neural Networks: A Comprehensive Foundation”, Macmillan, New York, 1994. 696 p.
   
4. Нейрокомпьютеры и их применение: Книга 6 – «Нейроматематика» (под редакцией А.И.Галушкина), Москва, ИПРЖР, 2002, 448с.
   
5. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Новые подходы на основе RBF-сетей к решению краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. – 2004. – № 7-8. – С. 119 – 126.
   
6. Р. Каллан, «Основные концепции нейронных сетей», «Вильямс», 2001.
   
7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ», 1873