Аннотация рабочей программы дисциплины функциональный анализ (наименование учебной дисциплины)

Вид материала

Документы

Содержание Основные дидактические единицы (разделы) Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате изучения дисциплины студент должен

Подобный материал:

• Аннотация рабочей программы учебной дисциплины организация расчетов с бюджетом и внебюджетными, 71.86kb.
• Аннотация рабочей программы учебной дисциплины бухгалтерская технология проведения, 86.13kb.
• Аннотация рабочей программы дисциплины «Ценообразование» наименование дисциплины для, 37.97kb.
• Аннотация рабочей программы учебной дисциплины инвестиционный анализ (название дисциплины), 61.82kb.
• Аннотация рабочей программы учебной дисциплины инвестиционный анализ (название дисциплины), 55.76kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины социальная экология наименование учебной дисциплины, 55.06kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины логика (наименование учебной дисциплины (модуля)), 26.98kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины основы микробиологии (наименование учебной дисциплины, 29.34kb.
• Аннотация рабочей программы учебной дисциплины анализ и диагностики финансово-хозяйственной, 68.2kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины автоматизация технологических процессов (наименование, 28.16kb.

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ


Функциональный анализ

(наименование учебной дисциплины)


Уровень основной образовательной программы______бакалавриат_________

(бакалавриат, магистратура, подготовка специалиста)

Направление(я) подготовки (специальность) 010800 Механика и математическое моделирование

Место дисциплины в структуре ООП


Целью изучения дисциплины является: Целью настоящего курса является изучение теоретических основ функционального анализа и теории функций действительной переменной, получение практических навыков решения простейших задач, овладение методами решения прикладных задач методами функционального анализа для успешного освоения дисциплин, базирующихся на основе функционального анализа.


Основные дидактические единицы (разделы):

1) Полукольцо, кольцо и алгебра множеств; σ-кольцо и σ -алгебра. Полукольцо параллелепипедов в ℝⁿ.

2) Мера на полукольце (кольце) и ее свойства. Мера на полукольце параллелепипедов в ℝⁿ.

3) Внешняя мера и ее свойства. Продолжение меры на σ -алгебру измеримых множеств. Свойства меры на σ -алгебре.

4) Измеримость открытого, замкнутого и счетного множества в ℝⁿ. Множество Кантора. Борелевские множества. Формула для внешней меры в ℝⁿ. Приближение измеримого множества открытыми и замкнутыми множествами.

5) Измеримые функции и их свойства. Предельный переход в классе измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере.

6) Теоремы Егорова, Фреше и Лузина.

7) Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции и его свойства.

8) Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Связь интегралов Лебега и Римана. Интеграл Лебега от неограниченной функции и по неограниченному множеству. Теорема Леви.

9) Монотонная функция. Функция скачков. Функции ограниченной вариации и их свойства. Интеграл Стилтьеса и его свойства.

10) σ -алгебра и мера на ней, порожденные монотонно возрастающей функцией. Интеграл Лебега-Стилтьеса; сведение его к интегралу Стилтьеса.

11) Векторное пространство. Подпространство, сумма подпространств, фактор-пространство. Примеры векторных пространств: .

12) Норма. Примеры нормированных пространств. Неравенства Гельдера и Минковского. Подчиненность и эквивалентность норм. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве.

13) Банаховы пространства. Примеры. Пополнение нормированного пространства.

14) Гильбертовы пространства. Скалярное произведение. Неравенство Шварца. Норма, порожденная скалярным произведением. Ортонормированные системы. Процедура ортогонализации.

15) Лемма о перпендикуляре. Разложение гильбертова пространства в прямую сумму замкнутого подпространства и его ортогонального дополнения.

16) Сепарабельность нормированного пространства. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. Абстрактный ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость ортонормированной системы. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.

17) Линейный оператор, его инъективность, сюръективность и биективность. Примеры: интегральный оператор, оператор умножения на функцию. Операторное уравнение , его однозначная разрешимость и всюду разрешимость. Непрерывность и ограниченность оператора. Норма оператора. Ограниченность интегрального оператора в и в .

18) Алгебра линейных ограниченных операторов. Поточечная сходимость операторов. Полнота пространства операторов. Операторные ряды, элементарные функции от операторов.

19) Лемма о вложенных шарах. Теорема Бэра о категориях. Принцип равномерной ограниченности. Теорема Банаха-Штейнхауза о поточечной сходимости, продолжение линейного ограниченного оператора со всюду плотного подпространства на все пространство.

20) Обратный оператор. Существование оператора , где . Открытость множества обратимых операторов. Теорема Банаха об обратном отображении. Теорема об открытом отображении. Теорема о замкнутом графике. Связь с корректной разрешимостью операторного уравнения.

21) Линейные ограниченные функционалы. Сопряженное пространство. Примеры сопряженных пространств. Теорема Рисса об общем виде функционала гильбертовом пространстве.

22)Теорема Хана-Банаха, ее следствие. Второе сопряженное пространство, вложение . Рефлексивность. Слабая сходимость.

23) Сопряженный оператор. Сопряженные и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Резольвента. Классификация точек спектра (точечный, остаточный и непрерывный спектры). Разложение резольвенты в ряд Лорана. Аналитичность резольвенты. Замкнутость, ограниченность и непустота спектра ограниченного оператора. Вещественность спектра самосопряженного оператора, отсутствие у него остаточного спектра.

24) Компактные множества в нормированном пространстве. Теорема Арцела. Компактные операторы и их свойства. Свойства собственных значений компактного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта. Теоремы Фредгольма для операторного уравнения с компактным оператором в гильбертовом пространстве. Компактность интегрального оператора в и . Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, некоторые методы их решения.

25) Производная Фреше нелинейного оператора и ее свойства. Примеры. Необходимое условие экстремума для нелинейного функционала. Понятие о вариационном исчислении. Уравнение Эйлера. Принцип сжимающих отображений.


Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: ОК-7; ОК-8; ОК-11; ПК-3; ПК-4; ПК-5; ПК-6; ПК-9; ПК-10; ПК-11; ПК-12; ПК-13; ПК-15; ПК16; ПК-21; ПК-22; ПК-23; ПК-27; ПК-29.


В результате изучения дисциплины студент должен:

знать: основные понятия, определения и свойства объектов функционального анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

уметь: доказывать утверждения функционального анализа, решать задачи курса, уметь применять полученные навыки в других дисциплинах естественнонаучного содержания.

владеть: аппаратом функционального анализа, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания

Виды учебной работы: лекции, семинары, консультации, коллоквиумы, контрольные работы, самостоятельная работа.


Изучение дисциплины заканчивается: экзаменом.