Тема 3 Непрерывные функции. Точки разрыва функции. Теоретические вопросы

Вид материала

Контрольные вопросы

Подобный материал:

• В. И. Афанасьева 01 марта 2011 г. Программа, 116.92kb.
• Календарный план учебных занятий по дисциплине математический анализ Индекс специальности, 165.93kb.
• Определители и системы линейных уравнений. Матричная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая, 8.15kb.
• Элективный курс «Функции и их графики» (9 класс), 62.92kb.
• Вопросы к экзамену по дисциплине "физическая химия", 62.78kb.
• Лекция 21. Экстремум функции нескольких переменных, 60.44kb.
• Урок по теме: "Показательные функции, уравнения, неравенства", 69.08kb.
• Урок алгебры в 10 классе Тема: «Логарифмы, логарифмическая функция, её свойства и график», 66.6kb.
• Урока. Раздел. Тема урока, 316.06kb.
• Обмануть Мистера Фреймана), 10633 (На редкость простая задача, 509.81kb.

Тема 3

Непрерывные функции. Точки разрыва функции.


Теоретические вопросы

1. 
   Определение непрерывной функции в точке.
   
2. Односторонние пределы. Точки разрыва функции и их классификация.
   
3. Операции над непрерывными функциями: непрерывность суммы конечного числа функций; непрерывность произведения конечного числа функций; непрерывность частного двух функций.
   
4. Непрерывность основных элементарных функций: непрерывность линейной функции; непрерывность тригонометрических функций;
   

непрерывность показательной функции; непрерывность

логарифмической функции; непрерывность обратных

тригонометрических функций.

5. Теорема о сохранении знака непрерывной функции.

6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.


Контрольные вопросы


1. Какие из следующих утверждений верны:


1) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв

первого рода, имеет в точке х = а разрыв первого рода;

2) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв

второго рода, и функции, непрерывной в точке х = а,

имеет в точке х = а разрыв второго рода;

3) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв второго

рода, и функции, непрерывной в точке х = а, может

иметь в точке х = а разрыв первого рода;

4) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода,

и функции, непрерывной в точке х = а , имеет в точке х = а

разрыв второго рода;

5) произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв

второго рода, может иметь в точке х = а устранимый

разрыв;

6) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого

рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго

рода, может иметь в точке х = а разрыв первого рода;

7) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв

второго рода, может иметь в точке х = а разрыв

первого рода;

8) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв

первого рода, и функции, непрерывной в точке х = а,

имеет в точке х = а разрыв первого рода;

9. сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
   

рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго

рода, может иметь в точке х = а разрыв второго рода;

10) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв

первого рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв

второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;

11) сумма функции, имеющей в точке х = а устранимый

разрыв, и функции, непрерывной в точке х = а, может

быть функцией, непрерывной в точке х = а;

12) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого

рода, и функции, непрерывной в точке х = а , имеет в

точке х = а разрыв первого рода;

13) произведение двух функций, имеющих в точке х = а

разрыв первого рода, может иметь в точке х = а

разрыв второго рода;

14. сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;
    
15. сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого рода, и функции, непрерывной в точке х = а , может быть функцией, непрерывной в точке х = а;
    
16. произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;
    
17. сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв первого рода, может быть непрерывной в точке х = а ;
    
18. сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв первого рода, может иметь в точке х = а разрыв второго рода.
    

2. Какие из следующих утверждений верны:

1. множество значений функции, непрерывной на интервале, является интервалом;
   
2. множество значений функции, непрерывной на интервале, может быть отрезком;
   
3. если функция принимает на отрезке все промежуточные значения, то она непрерывна на этом отрезке;
   
4. множество значений функции, непрерывной на отрезке, может быть интервалом;
   
5. множество значений функции, непрерывной на всей числовой прямой, может быть полуинтервалом;
   
6. множество значений функции, определённой на отрезке является отрезком;
   
7. если функция имеет на отрезке наибольшее и наименьшее значения, то она непрерывна на этом отрезке;
   
8. множество значений функции, непрерывной на всей числовой прямой, может быть отрезком;
   
9. множество значений функции, определённой на отрезке может быть интервалом;
   

10)если функция непрерывна на интервале, то она ограничена на

этом интервале;

11)любая функция, определённая на отрезке, ограничена на этом

отрезке;

12)любая функция, определённая на отрезке, имеет наибольшее

значение.


3. Привести пример двух разрывных в точке x_о функций f(x)

и g(x), таких, что их сумма будет непрерывной в точке x_о.


4. Привести пример двух разрывных в точке x_о функций f(x)

и g(x), таких, что их произведение будет функцией,

непрерывной в точке x_о.


5. Функции p(x) и k(x) разрывны в точке х_о, f(x) = p(x)  k(x).

Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке х_о?


6. Функция p(x) непрерывна в точке х_о , а функция k(x)

разрывна в точке х_о, f(x) = p(x)  k(x). Можно ли утверждать,

что функция f(x) разрывна в точке х_о?


7. Функции p(x) и k(x) разрывны в точке х_о, f(x) = p(x) + k(x).

Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке х_о?


8. Функция p(x) непрерывна в точке х_о , а функция k(x) разрывна в

точке х_о, f(x) = p(x) + k(x). Можно ли утверждать, что функция

f(x) разрывна в точке х_о?


9. Привести пример функции, непрерывной и неограниченной

на данном интервале.


9. Привести пример функции, заданной на отрезке и

неограниченной на этом отрезке?


10.Верно ли, что если функция f(x) непрерывна при x > 0 и

ограничена, то существует правостронний предел этой функции в точке 0?


11.Является ли непрерывность функции в точке достаточным

условием её ограниченности в некоторой окрестности этой

точки?


12.Является ли непрерывность функции в точке необходимым

условием её ограниченности в некоторой окрестности этой

точки?


13.Всегда ли функция, непрерывная на отрезке, достигает на

этом отрезке наибольшего и наименьшего значений?


14. Может ли функция, непрерывная на интервале, достигать на

нём наибольшего и наименьшего значений?


15. Привести пример функции, имеющей устранимый разрыв в точке

а) х = 0; б) х = 2; в) х = 2.


Задачи для практических занятий


1. Найти точки разрыва функции:

а) б)

в)

Определить скачок функции в каждой точке разрыва

и построить график.

2. Исследовать функцию на непрерывность

в точке x_о = 1.

3. Исследовать функцию на непрерывность.

4. В каких точках имеют разрывы функции и

? Выяснить разницу в поведении функций вблизи

точек разрыва.

5. Функция не определена в точке x = 1.

Каким должно быть , чтобы функция,

доопределённая таким образом стала непрерывной?

6. Функции и не определены в

точке x = 0. Указать характер графиков этих функций

в окрестности точки x = 0.


7. Сколько точек разрыва ( и какого рода) имеет

функция ?


8. При каких значениях параметров а и b функция



является непрерывной.


Задачи для самостоятельной работы


1. Найти точки разрыва функции. Определить скачок функции в

каждой точке разрыва и построить график:

а) б)


2. Установить характер разрыва функции f (x) в точке x_о:

а) , x_о =  4; б) , x_о = 4;

в) , x_о = 0; г) , x_о = ;


д), x_о = ; е) , x_о = -5;


ж) , x_о = 4;


3. Исследовать функции на непрерывность:

а); б) .


4. а) Дана функция . Найти точки разрыва сложной

функции .


б) Дана функция . Найти точки разрыва функции

.

в) Дана функция . Найти точки разрыва сложной

функции z = f(f(x)).


г) Дана функция . Найти точки разрыва сложной

функции z = f(f(x)).

5. Доопределить следующие функции в точке разрыва так, чтобы они стали непрерывными:
   

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; e) ;

ж) ; з) .


Проверочная работа № 3 – 0


(с решением)


1. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции

f(x) = 4x² -5x + 2 в каждой точке x_оÎ R.


2. Найти точки разрыва функции



Определить скачок функции в каждой точке разрыва и

построить график.

3. Исследовать функцию f(x) = на непрерывность

в точке x_о = 1.

4. Найти точки разрыва функции и

определить их характер.


Решение проверочной работы № 3 – 0


1. Пусть Dх - приращение аргумента в точке x_оÎ R.

Найдем соответствующее приращение функции:



Применяя теоремы о пределе суммы и пределе произведения функций, получим:

.


Значит, по определению функция непрерывна в каждой точке

x_оÎ R.


2. Рассмотрим односторонние пределы функции в точках, в которых меняется аналитическое задание функции числитель и знаменатель обращаются в ноль):

x = -2 и x = 2.

При x ® -2-0 предел рассматривается слева от точки x = -2,

имеем:



При x ® -2+0 предел рассматривается справа от точки x = -2, имеем:

.

Так как односторонние пределы конечны, но не равны

,,

то x = -2 является точкой разрыва I рода.


Скачок функции в этой точке разрыва равен 2.


Рассмотрим односторонние пределы при x ®2 -0 и x ®2 +0:

,


.

Односторонние пределы конечны и равны, значит

существует предел функции в точке x = 2, но функция в этой точке не определена. x = 2 - точка устранимого разрыва.


3. Функция f (x) = не определена в точке x_о = 1,

нарушено условие существования f (1), значит, функция не

является непрерывной в этой точке.

Найдём односторонние пределы функции в этой точке:

, .

Они конечны, но не равны. Значит, нарушено и второе

условие существования предела функции в этой точке.

Итак, точка x_о = 1 - точка разрыва первого рода.

4. Представим данную функцию в виде:

.

Рассмотрим односторонние пределы функции в особых точках ( в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль):

x = 1, x = 0, x = -4.

При x ® 1-0 предел рассматривается слева от точки x = 1, значит x < 1 и |x -1| = - (x -1). Имеем:



.

При x ® 1+0 предел рассматривается справа от точки x = 1, значит x > 1 и |x -1| = (x -1). Имеем:



.

Так как односторонние пределы конечны, но не равны

,,

то x = 1 является точкой разрыва I рода.


Рассмотрим односторонние пределы при x ® -0 и x ® +0:



.

Предел при x ® +0 можно и не рассматривать, поскольку x = 0 уже является точкой разрыва II рода.

Наконец, при x ® -4-0 предел рассматривается слева от точки x = -4 и (x + 4) < 0. Имеем:



,

значит x = -4 является точкой разрыва II рода и второй односторонний предел можно не рассматривать.

Ответ. x = 1 - точка разрыва I рода, x = 0 и x = -4 - точки разрыва II рода.