Geum.ru

Магистерская программа по направлению 010100. 68 Математика Нальчик 2010

Вид материалаПрограмма
Подобный материал:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Х.М. БЕРБЕКОВА»


Математический факультет


Кафедра теории функций и функционального анализа


Магистерская программа


по направлению 010100.68 - Математика


Нальчик – 2010


Данная программа предназначена для студентов выпускников – магистрантов по направлению 010100.68 – Математика по программе – Уравнения в частных производных. Сама программа магистерской подготовки состоит из двух частей: образовательной и научно – исследовательской.

В данную программу включены основные вопросы физико – математических дисциплин, которыми магистрант должен в полной мере овладеть. Это прежде всего основные методы построения и исследования математических моделей естественно – научных явлений и процессов.

Магистрант – выпускник должен овладеть: методами функционального анализа, интегральных и сингулярных интегральных уравнений, функциями Грина и Римана решения краевых задач для эллиптических, параболических, смешанных и смешанно – составных уравнений.

В программе «Уравнения в частных производных» занимают конечные интегральные преобразования, операционное исчисление, анализ дробного исчисления. Отдельными вопросами выделены в программе корректной постановки локальных и нелокальных краевых задач для гиперболических, смешанных и смешанно – составных уравнений гиперболо – параболического типа.

Особое место в программе занимают постановка и исследование на корректность нелокальных внутреннекраевых задач для смешанных уравнений третьего и четвертого порядков с кратными характеристиками.
  1. Предел функции. Замечательные пределы.
  2. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
  3. Несобственные интегралы. Признаки сходимости.
  4. Кратные интегралы.
  5. Криволинейные интегралы.
  6. Непрерывность функции одной и многих переменных.
  7. Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывных на сегменте функций.
  8. Производная, ее геометрический и механический смысл.
  9. Теорема Лагранжа о конечных приращениях для дифференцируемой на сегменте функции.
  10. Полный дифференциал функции многих переменных. Достаточное условие дифференцируемости.
  11. Интеграл Римана и его основные свойства. Интеграл по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.
  12. Формула Грина.
  13. Понятие неявной функции. Условие существования неявной функции одной действительной переменной.
  14. Степенной ряд. Область сходимости.
  15. Ряды Фурье. Достаточное условие представимости функции рядом Фурье.
  16. Собственные вектора и собственные значения линейного преобразования векторного пространства.
  17. Критерий Сильвестра положительной определенности.
  18. Классификация кривых поверхностей 2-го порядка.
  19. Первая и вторая квадратичные формы.
  20. Определения топологического пространства. Принцип сжатых отображений. Полные метрические пространства. Пространство Банаха.
  21. Интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода.
  22. Интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода. Теоремы Фредгольма.
  23. Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений.
  24. Компактные множества в метрических пространствах. Критерий компактности пространства непрерывных функций (теорема Арцела).
  25. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения .
  26. Теорема о структуре общего решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения.
  27. Метод вариации произвольных постоянных. Построение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
  28. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
  29. Определение гармонической функции и ее свойства.
  30. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле.
  31. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
  32. Задача Коши для волнового уравнения.
  33. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.
  34. Метод разделения переменных решения основной смешанной задачи для уравнения колебания струны, задачи Дирихле для уравнения Лапласа, первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
  35. Простейшая задача вариационного исчисления. Формулировка основных лемм и вывод уравнения Эйлера.
  36. Аксиоматическое определение вероятности события.
  37. Вероятность суммы и произведения событий.
  38. Формула полной вероятности.
  39. Определение аналитической функции комплексного переменного. Условие Коши – Римана.
  40. Теорема Коши об интеграле по замкнутому кусочно – гладкому контуру от аналитической функции комплексного переменного.
  41. Интегральная формула Коши.
  42. Изолированные особые точки аналитической функции комплексного переменного. Теорема Лорана.
  43. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Эйлера и его модификации.
  44. Метод сеток решения краевых задач для уравнения теплопроводности. Явные и неявные схемы, погрешность аппроксимации и сходимость.
  45. Разностные схемы для уравнения колебания струны. Исследования устойчивости.
  46. Метод функции Грина для диффузного и волнового уравнений дробного порядка. Функции Грина первой, второй и смешанных краевых задач.
  47. Постановка стохастической краевой задачи о стационарных колебаниях стержней и методы ее решения.
  48. Постановка и доказательство единственности решения краевой задачи со смещением.
  49. Доказательство существования решения краевой задачи со смещением для уравнения колебания струны.
  50. Теорема о разложении в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля.
  51. Краевые задачи для смешанного модельного уравнения гиперболо – параболического типа третьего порядка.
  52. Краевая задача для смешанного гиперболо – параболического уравнения третьего порядка с характеристической линией изменения типа.
  53. Краевая задача Римана для односвязной области.
  54. Основные свойства особых интегральных уравнений. Теоремы Нетера.


ЛИТЕРАТУРА
  1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. – Математический анализ, т. 1,2. - М.: 1988г.
  2. Никольский С.М. – Курс математического анализа. т.1,2. - М.: 1983г.
  3. Кудрявцев Л.Д. – Курс математического анализа. т.1,2. - М.: 1981г.
  4. Мальцев А.И. – Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1970г.
  5. Ильин В.А., Позняк Э. – Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974г.
  6. Курош А.Г. – Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1963г.
  7. Гельфанд М.И. – Лекции по линейной алгебре. - М.: Наука, 1966г.
  8. Мусхелишвили И.И. – Курс аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1967г.
  9. Погорелов А.В. – Дифференциальная геометрия. - М.: Наука, 1968г.
  10. Люстерник А.А., Соболев Б.И. – Краткий курс функционального анализа. - М.: Наука, 1965г.
  11. Степанов А.В. – Курс дифференциальных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1953г.
  12. Понтрягин Л.С. – Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1970г.
  13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. – Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977г.
  14. Бицадзе А.В. – Уравнения математической физики. - М.: 1976г., 1982г.
  15. Владимиров В.С. – Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981г.
  16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. – Элементы теории функции и функционального анализа. - М.: 1981г.
  17. Лаврентьев М.А., Люстерник А.А. – Основы вариационного исчисления. ч. 1,2. - М.: Гостехиздат, 1979г.
  18. Вентцель Б.С. – Теория вероятностей. - М.: Наука, 1971г.
  19. Гельфанд М.И., Фомин С.В.- Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1961г.
  20. Кострикин А.И. – Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977г.
  21. Фадеев Д.К. – Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984г.
  22. Бицадзе А.В. – Основные теории функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1984г.
  23. Маркушевич А.И. – Теория аналитических функций. Том 1,2. - М.: Наука, 1968г.
  24. Бахвалов Н.С. – Численные методы. т.1. – М.: 1975г.
  25. Самарский А.А. – Теория разностных схем. - М.: Наука, 1975г.
  26. Самарский А.А., Гулин А.В. – Численные методы. – М.: Наука, 1989г.
  27. Столяр А.А. – Педагогика математики. – М.: «Высшая школа», 1986г.
  28. Псху А.В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка: Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. – т.5, №1. – Нальчик, с. 45 – 53.
  29. Культурбаев Х.П. Спецкурсы по теории случайных процессов // Электронная книга в компьютерном классе 220 и в библиотеке электронных книг в КБГУ.
  30. Елеев В.А., Лесев В.Н. Задачи со смещением для вырождающихся гиперболических и смешанных уравнений. – Нальчик, 2003г.
  31. Елеев В.А., Кумыкова С.К., Абрегов М.Х. Краевые задачи для смешанных и смешанно – составных уравнений высшего порядка. – Нальчик, 1997г.
  32. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: 1982г.
  33. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – М.: Наука, 1970 г.