Российской Федерации " мати"
| Вид материала | Рабочая учебная программа |
- Российской Федерации " мати", 90.04kb.
- Российской Федерации " мати", 84.47kb.
- Российской Федерации " мати", 207.65kb.
- В российской федерации, 645.64kb.
- Российской Федерации «мати», 79.28kb.
- Российской Федерации " мати", 150.39kb.
- Российской Федерации " мати", 249.71kb.
- Российской Федерации " мати", 202.31kb.
- Российской Федерации «мати», 105.42kb.
- Российской Федерации «мати», 66.69kb.
Министерство образования Российской Федерации
“МАТИ” - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО
| | "УТВЕРЖДАЮ" |
| | Проректор по учебной работе |
| | ___________ В. Ф. Мануйлов |
| | "____" _____________ 2001 г. |
Кафедра “Высшая математика”
Рабочая учебная программа по дисциплине
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Направление: 5528 “Информатика и вычислительная техника”
Специализация: “0инт – Интернет технологии”
Факультет: № 3
Выпускающая кафедра: ИнТ
Форма обучения: очная
Часов всего по дисциплине: 348
Цикл дисциплин: ЕНД
Распределение времени студента по видам учебных занятий
(часы аудиторных занятий / самостоятельная работа)
| Семестр | 1 | 2 | 3 | 4 |
| По уч. плану (АР / СР ) | 32/40 | 32/36 | 32/40 | 64/72 |
| Лекции | 16/8 | 16/16 | 16/12 | 32/20 |
| Практические занятия | 16/12 | 16/20 | 16/16 | 32/32 |
| Лабораторные занятия | | | | |
| Курсовая работа | 0/20 | | 0/12 | 0/20 |
| Форма контроля | экзамен | зачет | экзамен | экзамен |
Москва 2001 год
Рабочая учебная программа по дисциплине “Математический анализ” составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта и учебному плану по направлению 5528 “Информатика и вычислительная техника”.
Программа составлена: проф., д.ф.-м.н. Осипенко К. Ю.
доц., к.ф.-м.н. Селиванов Ю. В.
Рабочая учебная программа рассмотрена кафедрой “Высшая математика” и одобрена 8 февраля 2001 г.
Зав. кафедрой “Высшая математика”
____________ К. Ю. Осипенко
Рабочая учебная программа по дисциплине “Математический анализ” рассмотрена и признана соответствующей требованиям ГОС и учебному плану по направлению 5528 “Информатика и вычислительная техника”.
Декан факультета № 3
____________ И. В. Суминов
Программа согласована с НМО
Учебного управления МАТИ
____________ В. М. Морозов
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ. ЕЕ
МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы математического анализа. Целью преподавания дисциплины является обеспечение базовой математической подготовки специалистов в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта РФ и учебному плану по направлению 5528 “Информатика и вычислительная техника”. Основные задачи изучения дисциплины состоят, во-первых, в обучении студентов фундаментальным разделам высшей математики, формировании математического мировоззрения, развитии научного, логического мышления, необходимого в дальнейшей работе по специальности; во-вторых, в овладении студентами достаточным количеством математических методов, выработке твердых навыков построения математических моделей и умения провести вычислительный расчет.
В результате изучения курса студент должен:
- освоить основные теоретические методы дисциплины, используемые в инженерной практике или служащие для обоснования используемых на практике алгоритмов;
- приобрести твердые навыки решения задач математического анализа с доведением решения до практически приемлемого результата;
- выработать начальные навыки математического исследования прикладных вопросов;
- выработать умение самостоятельно разбираться в математическом аппарате, содержащемся в литературе, связанной со специальностью студента;
- уметь при решении задач выбирать и использовать необходимые вычислительные методы и средства, а также таблицы и справочники.
Учебные дисциплины, владение которыми необходимо для изучения данной дисциплины: курсы математики и физики средней школы, курс физики в МАТИ.
2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1 СЕМЕСТР
Лекции - 16 часов, практические занятия - 16 часов.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 1. Множества. Операции с множествами. Отображения множеств. Множество действительных чисел. Числовые множества. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства предела. Односторонние пределы. Предел числовой последовательности. Замечательные пределы.
ЛЕКЦИЯ 2. Натуральный логарифм и гиперболические функции. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные бесконечно малые, их применение к вычислению пределов. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.
ЛЕКЦИЯ 3. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функций и их классификация. Асимптоты функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЛЕКЦИЯ 4. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Дифференцируемость функции, её связь с непрерывностью. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Линеаризация функции.
ЛЕКЦИЯ 5. Свойства производной (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Таблица производных, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
ЛЕКЦИЯ 6. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.
ЛЕКЦИЯ 7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Условия возрастания и убывания функции.
ЛЕКЦИЯ 8. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба, их нахождение. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
2 СЕМЕСТР
Лекции - 16 часов, практические занятия - 16 часов.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЛЕКЦИЯ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
ЛЕКЦИЯ 2. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Показательная функция комплексного аргумента. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
ЛЕКЦИЯ 3. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители в поле комплексных чисел. Простые и кратные корни многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Рациональные функции. Деление многочленов, выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие.
ЛЕКЦИЯ 4. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
ЛЕКЦИЯ 5. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.
ЛЕКЦИЯ 6. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Интегрируемость непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных ограниченных функций. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.
ЛЕКЦИЯ 7. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Длина дуги кривой и ее вычисление. Вычисление объемов тел.
ЛЕКЦИЯ 8. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Теорема сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости. Несобственные интегралы от неограниченных функций, исследование их сходимости.
3 СЕМЕСТР
Лекции - 16 часов, практические занятия - 16 часов.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ЛЕКЦИЯ 1. Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
ЛЕКЦИЯ 2. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал, его геометрический смысл и свойства. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
ЛЕКЦИЯ 3. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.
ЛЕКЦИЯ 4. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
ЛЕКЦИЯ 5. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Бесконечная геометрическая прогрессия и гармонический ряд. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.
ЛЕКЦИЯ 6. Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости. Признаки сравнения.
ЛЕКЦИЯ 7. Признак сходимости Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости.
ЛЕКЦИЯ 8. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Применение признаков сравнения, Даламбера и Коши к знакопеременным рядам.
4 СЕМЕСТР
Лекции - 32 часа, практические занятия - 32 часа.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
ЛЕКЦИЯ 1. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
ЛЕКЦИЯ 2. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование.
ЛЕКЦИЯ 3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Формулы для вычисления радиуса сходимости. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
ЛЕКЦИЯ 4. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций.
ЛЕКЦИЯ 5. Применение степенных рядов для вычисления значений функций, вычисления интегралов, решения дифференциальных уравнений.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЛЕКЦИЯ 6. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
ЛЕКЦИЯ 7. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, “однородных”, линейных и сводящихся к ним).
ЛЕКЦИЯ 8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка.
ЛЕКЦИЯ 9. Линеаризация дифференциальных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения, свойства их решений. Свойства решений неоднородных уравнений.
ЛЕКЦИЯ 10. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Общее решение однородного уравнения.
ЛЕКЦИЯ 11. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Частное и общее решения.
ЛЕКЦИЯ 12. Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции).
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ЛЕКЦИЯ 13. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла.
ЛЕКЦИЯ 14. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
ЛЕКЦИЯ 15. Вычисление тройного интеграла. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле.
ЛЕКЦИЯ 16. Геометрические приложения кратных интегралов.
3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
1 СЕМЕСТР
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЗАНЯТИЕ 1. Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления пределов. Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов.
ЗАНЯТИЕ 2. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечные малые. Применение эквивалентных бесконечных малых к вычислению пределов. Выдача КР 1.
ЗАНЯТИЕ 3. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва. Асимптоты.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЗАНЯТИЕ 4. Производная функции. Таблица производных. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные обратных функций. Логарифмическое дифференцирование.
ЗАНЯТИЕ 5. Производные высших порядков. Производные неявных и параметрически заданных функций.
ЗАНЯТИЕ 6. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Формула Тейлора, ее применение в приближенных вычислениях.
ЗАНЯТИЯ 7-8. Исследование функций и построение графиков. Прием КР 1.
2 СЕМЕСТР
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЗАНЯТИЯ 1-2. Простейшие приемы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
ЗАНЯТИЕ 3. Комплексные числа. Интегрирование рациональных дробей.
ЗАНЯТИЕ 4. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.
ЗАНЯТИЕ 5. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
ЗАНЯТИЕ 6. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
ЗАНЯТИЕ 7. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длин дуг и объемов тел.
ЗАНЯТИЕ 8. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Контрольная работа “Вычисление интегралов”.
3 СЕМЕСТР
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ЗАНЯТИЕ 1. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня. Частные производные.
ЗАНЯТИЕ 2. Дифференциал функции, его применение к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций. Касательная плоскость, нормаль к поверхности.
ЗАНЯТИЕ 3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению, градиент.
ЗАНЯТИЕ 4. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Контрольная работа “Функции нескольких переменных”.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
ЗАНЯТИЕ 5. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признаки сравнения. Выдача КР 2.
ЗАНЯТИЕ 6. Признак Даламбера и радикальный признак Коши.
ЗАНЯТИЕ 7. Интегральный признак Коши. Исследование сходимости рядов с положительными членами.
ЗАНЯТИЕ 8. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Прием КР 2.
4 СЕМЕСТР
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
ЗАНЯТИЕ 1. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Выдача КР 3.
ЗАНЯТИЕ 2. Исследование сходимости и равномерной сходимости степенных рядов.
ЗАНЯТИЯ 3. Разложение функций в ряд Тейлора.
ЗАНЯТИЕ 4. Применение степенных рядов.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЗАНЯТИЕ 5. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
ЗАНЯТИЕ 6. “Однородные” дифференциальные уравнения первого порядка и сводящиеся к ним.
ЗАНЯТИЕ 7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.
ЗАНЯТИЕ 8. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
ЗАНЯТИЕ 9. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
ЗАНЯТИЕ 10. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
ЗАНЯТИЕ 11. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ЗАНЯТИЕ 12. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Прием КР 3.
ЗАНЯТИЕ 13. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
ЗАНЯТИЕ 14. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
ЗАНЯТИЕ 15. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
ЗАНЯТИЕ 16. Приложения кратных интегралов. Контрольная работа “Кратные интегралы”.
4. КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
Помимо времени, предусмотренного студенту для подготовки к лекционным и практическим занятиям, в каждом семестре предполагается выполнение курсовых работ. Курсовые работы должны способствовать овладению студентами навыками самостоятельной работы и реализации индивидуального творческого мышления по основным темам курса ”Математический анализ”. Каждая курсовая работа содержит теоретические упражнения и расчетную часть - задачи. Теоретические упражнения являются общими для всех студентов, задачи - для каждого студента группы индивидуальные.
Контроль за выполнением курсовой работы проводится в два этапа.
1). Предварительная проверка правильности письменного решения теоретических упражнений и задач;
2). Защита курсовой работы (возможна в двух вариантах, устном или письменном).
1 СЕМЕСТР
КР 1. Пределы и дифференцирование. Исследование функций и построение графиков. [8], гл. I, задачи 3, 6, 9-12, 14-16, 18, 20; гл. II, задачи 1-2, 4-15, 17-19; гл. III, задачи 1-3, 5-10.
Цель задания - освоение студентами приемов применения методов дифференциального исчисления и теории пределов к графическому выражению аналитических зависимостей.
3 СЕМЕСТР
КР 2. Числовые ряды. [8], гл. VI, задачи 1-8.
Цель задания - освоение студентами методики применения числовых рядов к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.
4 СЕМЕСТР
КР 3. Функциональные ряды. Дифференциальные уравнения. [8], гл. VI, задачи 9-15; гл. V, задачи 1-6, 10 16.
Цель задания - освоение студентами методики применения функциональных рядов и дифференциальных уравнений к решению физических, механических, инженерных и др. прикладных задач.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агарева О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Maple в курсе математического анализа. Методические указания к практическим занятиям по теме “Предел функции. Непрерывность”. М., МАТИ, 1999.
2. Агарева О.Ю., Введенская Е.В., Осипенко К.Ю. Maple в курсе математического анализа. Методические указания к практическим занятиям по теме “Дифференцирование функций”. М., МАТИ, 1999.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., Наука, 1985.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. М., Наука, 1982.
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Части 1, 2. М.., Высшая школа, 1980.
8. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М., Высшая школа, 1994.
9. Осипенко К.Ю. Квадратурные формулы. Методические указания по курсу “Численные методы”. М., МАТИ, 1995.
10. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1993.
11. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1995.
12. Титаренко В.И. Аналитическая геометрия. Графики функций. Методические указания к выполнению курсового задания студентами 1 курса по системе РИТМ. М., МАТИ, 1991.