Игра в шашки Игра в 15 и рекомендации по использованию

Вид материала

Подобный материал:

1 2 3

Наконец, найдем число положений белой и черной шашек, при котором ни одна из них не может бить друг друга.

Эту задачу можно было бы решить так же, как и предыдущие, ставя белую шашку на каждое из черных полей и подсчитывая, сколькими способами можно поставит черную шашку так, чтобы ни одна из этих шашек не могла бить другую. Сначала найдем общее число расположений на доске одной белой и одной черной шашки. Белую шашку можно поставить на любое из 32 черных полей. После этого для черной шашки останется 31 поле. Поэтому в силу правила произведения расстановка возможна 32х31=992 способами. Но среди этих способов есть 87, при котором черная шашка может бить белую. Поэтому надо отбросить 2х87=174 способа. Однако следует учесть, что при этом некоторые способы оказываются отброшенными дважды – из-за того, что в них и белая шашка может бить черную, и черная может бить белую. Мы видели, что существует 50 положений, в которых обе шашки могут бить друг друга. Поэтому число положений, в которых ни одна шашка не может бить другую, равно

992-174+50=868.

2.4 Игра в 15

В 1879 году американский составитель шахматных задач и этюдов, головоломок и различных игр Сэмюэль Лойд свел с ума Европу и Америку квадратной коробочкой с 15 шашками. Коробочка имела 16 полей, а на шашках были нанесены числа от 1 до 15. Одно поле коробочки было свободное. Требовалось, передвигая каждым ходом одну шашку на свободное поле перевести в стандартное положение, изображенное на рисунке , из положения, изображенного на рисунке

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	15	14

За решение задачи была предложена крупная сумма денег. Фабрикант, выпускавший игру, быстро разбогател – рассказывали, что священники не выпускали из рук коробочки с шашечками во время богослужения, машинисты решали задачу, ведя поезда, торговцы забывали открывать свои магазины. Но никому не удавалось найти решение проблемы.

Горячка прошла лишь после того, как в 1880 году была доказана неразрешимость задачи Лойда. Чтобы изложить это доказательство, надо знать, что такое беспорядок (или инверсия) в перестановке чисел.

Возьмем перестановку числа 3142. В ней 3 стоит перед 1 и 2., хотя и больше них. Это создает 2 беспорядка. Еще один беспорядок возникает из-за того, что число 4 стоит перед числом 2. Всего в этой перестановке 3 беспорядка.

Если переставить два рядом стоящих числа, то количество беспорядков изменится на 1: или увеличится на 1, или уменьшится на 1.. Поэтому если число беспорядков было четным (нечетным), то оно станет нечетным (четным). Четность числа беспорядков называют четностью перестановки.

Выясним, что произойдет с четностью перестановки, если переставить два далеких друг от друга числа a и b в перестановке …a … b… . Пусть между ними стоит r других чисел. Тогда перемещение можно выполнить в три этапа – сначала r перестановками соседних чисел поставить число а рядом с числом b, затем поменять местами а и b и, наконец, еще r перестановками соседних чисел отправить b на то место, где раньше стояло а. Всего сделаем 2r + 1 перестановку соседних чисел, т.е. обязательно нечетное число, а так как при каждой такой перестановке четность числа беспорядков меняется, то в конце всей

Теперь мы можем закончить анализ игры в15. Каждое расположение шашек в этой игре можно задать с помощью некоторой перестановки 16 чисел. Каждое перемещение шашки на свободное место означает перестановку ее номера с числом 16 – номера пустого места, поэтому каждое такое перемещение меняет четность перестановки. Тогда две перестановки чисел 1,2,…, 16, получаемые друг из друга четным числом таких попарных обменов местами, должны иметь одинаковую четность. Но в каждой перестановке участвует пустая клетка. А чтобы она под конец вернулась на прежнее место, она должна сделать столько же ходов влево, сколько и вправо, столько же ходов вверх, сколько и вниз. Значит, она должна сделать четное число ходов. Поэтому, все перестановки, получаемые из стандартной перестановки перемещениями шашек в коробке и имеющие пустую клетку в правом нижнем углу, должны иметь ту же четность, что и стандартная перестановка, т.е. быть четными. А позиции на рисунке соответствует нечетная перестановка, имеющая 1 беспорядок. Значит, перевести ее в стандартную невозможно.

Такие доказательства невозможности играют большую роль в комбинаторике.

Рекомендации по использованию комбинаторики в играх

Для того, чтобы уметь решать задачи-головоломки, где используются комбинаторные методы, надо знать основные правила комбинаторики, формулы и научиться их применять.

При решении математических задач, связанных с такими играми как шашки, шахматы, игра в 15, помните, что чаще всего используется метод перебора.

Для того чтобы игра увенчалась успехом, необходимо накопление достаточное количества важных и интересных задач, которые могли бы дать фундамент для применения комбинаторной теории.

Мы должны вас предупредить, что существует большое разнообразие комбинаторных проблем, затрудняющих решение той или иной задачи.

Будьте настойчивы, стремитесь достичь пусть не конечной, но промежуточной цели.

Мы говорим, что часто в играх и задачах головоломках ставятся невыполнимые цели, т.е. большое количество вариантов перебора не приводит к желаемому результату. Для того что бы не терять времени на пустые попытки вы должны познакомиться с основными правилами комбинаторики, которые позволят вам доказать невозможность ожидаемого результата.

Не поленитесь изучить ниже изложенные правила и у вас появиться ещё один шанс на выигрыш.

Правила комбинаторики

Если пересечение конечных множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множества А и В: n( AU B) = n(A) + n(B)

Правило произведения заключается в следующем утверждении: Пусть множество А состоит из элементов (а1, а2,…, аٕm) и множество В – из элементов (b1,b2,…, bk). Пусть из множества А выбирается любой из его m элементов и независимо от него из множества В выбирается любой из его k элементов. Тогда общее число N всевозможных пар равно m·k, т.е. N=n(A)·n(B).

Выводы:

В любой творческой деятельности человека: в учебе, труде и игре – необходимы внимание, смышленость и умение логически мыслить.
Игра – это особая дисциплина, которая имеет свои законы и правила.
Применение комбинаторики увеличивает шансы успеха в игре.
Наиболее часто в таких играх, как шашки, шахматы, игра в 15 используется метод перебора.
Для того, чтобы уметь решать задачи-головоломки, где используются комбинаторные методы, надо знать основные правила комбинаторики, формулы и научиться их применять.

Заключение

Данная работа посвящена применению комбинаторики в области занимательной математики, т.е. в математических развлечениях, к которым относятся разнообразные головоломки, игры, фокусы и прочие увлекательные задачи.

В 1 главе рассматривается история возникновения комбинаторики как науки, начиная с Древнего Китая и Древней Греции и заканчивая современным периодом ее развития. Здесь же доказывается, что, возможно, замечательных достижений в области комбинаторики не было , если бы человечество не увлеклось азартными играми и разными математическими развлечениями. В этой главе приводятся сведения о великих математиках, которые стояли у истоков теории комбинаторных задач таких, как П. Ферма, Галилео Галилей, Я. Бернулли, Паскаль, Лейбниц, Л. Эйлер и многие другие.

Во второй части 1 главы даются общие правила комбинаторики, с помощью которых можно решать многие комбинаторные задачи.

В третьей части этой главы рассматриваются общие задачи комбинаторики и проблемы, связанные с их решением.

Таким образом, изложенные сведения в 1 главе, доказывают, что игра сопровождает человечество на протяжении всей истории, переплетаясь с искусством и наукой, что математике присущ элемент игры, которая тренирует интеллект и развивает самые различные способности, особенно творческие.

Во второй главе данной работы выделены из необъятной области игр только самая часть – это игры в шахматы, шашки, игра в 15 и магические квадраты.

На примере этих игр сделаны попытки поразмышлять, может быть, несколько формально и упрощенно, над некоторыми выводами комбинаторики и рассмотреть возможность их применения при решении математических головоломок и в играх.

В рамках проекта полученная информация была изучена и применена при решении задач на шахматную комбинаторику и были сделаны выводы, что несомненно знание правил решения комбинаторных задач дает шанс намного быстрее прийти к положительному результату в игре. Однако следует отметить, что в игре также необходимы интуиция, здравый смысл и, конечно, сообразительность. Только в гармоничном сочетании с этими свойствами игрока и хороших знаний комбинаторики вероятность выигрыша в игре становится реальной.

Таким образом, на основе выше изложенных выводах можно утверждать, что гипотеза о том, что для получения 100% выигрыша в игре, достаточно знаний правил комбинаторики, не подтверждается, так как : 1) иногда в процесс игры вступает « господин случай»,

2) успех игры зависит от многих составляющих, включая личные качества самого игрока.

Не смотря на это, результаты нашей работы утверждают, именно математическая эрудиция, т.е. определенный объем конкретных знаний, дает возможность добиться успеха в игре.

Список источников информации

В.Ф. Панов. Математика древняя и юная. – М. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 647 с.
О. И. Мельников. Незнайка в стране графов. М. Издательство Ком. Книга», 2007. - 158 с.
Ю.В. Нестеренко, С.Н. Олехник, М.К. Потапов. Задачи на смекалку. – М. Дрофа, 2006. – 234 с.
О.Б. Богомолова. Логические задачи. – М. Бином, 2006. – 270 с.
А.П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика. М. – «Педагогика -Пресс», 1997г. – 360 с.
А.В.Спивак. Математический праздник. – М. Бюро Квантум, 2004г.- 288с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1.

Рекомендации по использованию комбинаторики в играх

Для того, чтобы уметь решать задачи-головоломки, где используются комбинаторные методы, надо знать основные правила комбинаторики, формулы и научиться их применять.

При решении математических задач, связанных с такими играми как шашки, шахматы, игра в 15, помните, что чаще всего используется метод перебора.

Для того чтобы игра увенчалась успехом, необходимо накопление достаточное количества важных и интересных задач, которые могли бы дать фундамент для применения комбинаторной теории.

Мы должны вас предупредить, что существует большое разнообразие комбинаторных проблем, затрудняющих решение той или иной задачи.

Будьте настойчивы, стремитесь достичь пусть не конечной, но промежуточной цели.

Мы говорим, что часто в играх и задачах головоломках ставятся невыполнимые цели, т.е. большое количество вариантов перебора не приводит к желаемому результату. Для того что бы не терять времени на пустые попытки вы должны познакомиться с основными правилами комбинаторики, которые позволят вам доказать невозможность ожидаемого результата.

Не поленитесь изучить ниже изложенные правила и у вас появиться ещё один шанс на выигрыш.

Правила комбинаторики

Если пересечение конечных множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множества А и В: n( AU B) = n(A) + n(B)

Правило произведения заключается в следующем утверждении: Пусть множество А состоит из элементов (а1, а2,…, аٕm) и множество В – из элементов (b1,b2,…, bk). Пусть из множества А выбирается любой из его m элементов и независимо от него из множества В выбирается любой из его k элементов. Тогда общее число N всевозможных пар равно m·k, т.е. N=n(A)·n(B).

Blog

Игра в шашки Игра в 15 и рекомендации по использованию