Geum.ru

Формули для спектральної густини енергії випромінювання абсолютно чорного тіла, отриманого ним на основі мікроскопічного підходу та методів статистичної фізики

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1) 1900 році Макс Планк представляв результати власної роботи з доведення формули для спектральної густини енергії випромінювання абсолютно чорного тіла, отриманого ним на основі мікроскопічного підходу та методів статистичної фізики.



Формула власне й отримала назву формули Планка для середньої енергії осцилятора.

Макс Планк настільки повірив у власну інтерполяційну формулу, що за два місяці знайшов її теоретичне обґрунтування з мікроскопічних та статистичних міркувань. При цьому йому довелося припустити, що теплове випромінювання (взагалі електромагнітне випромінювання, зокрема й світло) мусить випромінюватися і поглинатися дискретними дозами (порціями), енергія яких пропорційна частоті з коефіцієнтом



Де константа h - отримала назву сталої Планка.

Гіпотеза Планка про дискретність, квантовий характер випромінювання та поглинання енергії електромагнітного випромінювання речовиною була першою і однією з головних нових ідей квантової фізики. Власне саме за це Максу Планку у 1918 році була присуджена Нобелівська премія.

2) Корисно прослідкувати той шлях, яким Макс Планк прийшов до своєї формули. Застосуємо перший закон термодинаміки до системи лінійних гармонічних осциляторів, які моделювали мікроскопічні джерела випромінювання електромагнітного поля:



де V - об’єм, в якому локалізовано електромагнітне випромінювання, P - тиск електромагнітного випромінювання на стінки сфери, внутрішня (середня) енергія U береться в розрахунку на один осцилятор, так само як безрозмірна ентропія.



Використаємо далі два граничних випадки: при низьких частотах функція спектральної густини енергії випромінювання непогано описується відомою формулою Релея-Джінса, згідно з якою середня енергія в розрахунку на один осцилятор є:



Порівнюючи (2) та (3) маємо, що:



Звідси також:



В іншому випадку високих частот у часи Планка була відома асимптотична форму-ла, емпірично знайдена Віном:




Яку можна переписати в наступному вигляді:



де C, h - деякі константи.

Тоді, підставляючи (6) у (2), та диференціюючи ще раз по U, маємо:





Порівнюючи вирази (5) та (8) для другої похідної, Планк запропонував інтерполяційний ви-раз, який об’єднує два ці наближені граничні випадки у вигляді точної формули:



Формула (9) переходить у вираз (8) за умови  (високі частоти), або у (5) за зворотної умови  (низькі частоти).

Інтегруючи вираз (9) маємо для першої похідної:



З умови, що при  також мусить бути, що , випливає, що константа інтегрування є нульовою: const = 0. Отже, з (10) виникає, що:



Формула (12) власне й отримала назву формули Планка для середньої енергії осцилятора.

3) Стала Планка за своєю фізичною сутністю є елементарним квантом дії (або елементарним квантом моменту імпульсу).

Гіпотеза: в межах мікросвіту можливі певні природні обмеження на мінімальну можливу взаємодію, або мінімальну можливу дію на матеріальний об’єкт, включно з тією дією, якої йому завдає найбільш обережне та акуратне спостереження такого об’єкту.

Виходячи з таких міркувань, можна ввести об’єктивний критерій, який дозволяє відрізняти об’єкти мікросвіту (мікрочастинок, мікротіл) від об’єктів макросвіту (макротіл). Якщо фізичний об’єкт є таким, що мінімальною (елементарною) дією на нього можна знехтувати (тобто знехтувати її впливом на фізичний стан об’єкту), то ми маємо справу з макрооб’єктом, макротілом. Якщо ж мінімальна (елементарна) дія суттєво впливає на фізичний стан об’єкту, то маємо справу з об’єктом мікросвіту (мікротілом).

Отже, різниця властивостей поміж макротілами та мікротілами, яка спостерігається в природі експериментально, є вказівкою на існування певного фундаментального закону приро-ди. Він полягає в тому, що в природі існує універсальне обмеження на величину фізичної дії на матеріальний об’єкт, тобто існує мінімальна доза (квант) фізичної дії, величина якої не пов’язана з конкретними деталями взаємодії, або типом матеріального об’єкту на який вона здійснюється (приблизно так само як величина елементарного електричного заряду не залежить від властивостей його носія). Існування елементарного кванта фізичної дії (взаємодії) є просто законом природи.

Планк першим збагнув можливість природної межі на величину дії одного об’єкту на інший. Ретельний аналіз законів теплового випромінювання наштовхнув його на гіпотезу, що дія електромагнітного випромінювання на атоми речовини (і навпаки) відбувається окремими дискретними дозами, квантами. Згідно ідеям Планка універсальною характеристикою мінімальної дії в природі є стала Планка, або інакше – елементарний квант дії. Будь-яку взаємодію в природі можна характеризувати лише цілим числом квантів дії.

4) У наші часи гіпотеза Планка обґрунтована величезним масивом експериментальних спостережень над різними об’єктами мікросвіту. Універсальність сталої Планка проявляється у тому, що через неї можна виразити будь-які фізичні характеристики, які окреслюють взаємодію двох фізичних об’єктів. Фізична розмірність елементарного кванта дії є такою, що:



Оскільки час, t, як і координата (відстань) x у мікросвіті вважаються безперервними (неквантованими) величинами, то звідси безпосередньо виникає судження про квантування (дискретність) енергії, імпульсів та моментів імпульсу мікрочастинок і взагалі мікрооб’єктів, якими вони обмінюються під час взаємодії.

Якщо фізичні процеси відбуваються за таких умов, коли величина сталої Планка є порівняльною з величиною взаємодії поміж об’єктами, то дискретність взаємодії а також її характеристик є суттєвою і ми мусимо описувати таку взаємодію і процеси в термінах квантової фізики. Якщо ж фізичні умови є такими, що можна нехтувати квантом дії порівняно з величиною взаємодії поміж об’єктами, тобто формально вважати, що  (точніше сказати, що сталою Планка можна нехтувати у порівнянні з характеристиками взаємодії такої ж розмірності) , то можна оперувати уявленнями та законами класичної фізики. Отже, формальний перехід від квантової фізики до класичної полягає в нехтуванні дискретності взаємодії та існування елементарного кванта фізичної дії.

5) Ейнштейн припустив, що електромагнітне випромінювання визначеної (фіксованої) частоти ω веде себе подібно до потоку однакових частинок (пізніше А. Комптон запропонував для таких квазічастинок сучасну назву – фотони). Отже, Ейнштейн припустив наявність такої корпускулярної характеристики, як маса, у фотонів.

Фотони – це особливі «квантові» квазі-мікрочастинки («нібито» частинки). Оскільки їх маса покою як і електричний заряд дорівнюють нулю, то корпускулярні властивості фотонів полягають, головним чином, у тому, що енергія та імпульс фотонів завжди у дослідах спостерігаються як єдине ціле.

6) Корпускулярні властивості електромагнітного випромінювання надзвичайно ясно спостерігаються у явищу виходу електронів з речовини під дією опромінення. Таке явище має назву фотоефекту.

Вплив світла на електричні процеси вперше спостерігав Генріх Герц , коли помітив, що під впливом освітлення ультрафіолетовим світлом розряд конденсатора прискорювався. Проте, перше фундаментальне дослідження цього ефекту виконав у 1888-1890 роках московський професор А.Г. Столєтов. Для своїх дослідів Столєтов використовував прилад. Схематично зображений на рис.1. Прилад освітлювався світлом різної частоти крізь системи світлофільтрів, причому світло спрямовувалося на від’ємний електрод – катод.



В скляній колбі підтримують високий вакуум. При освітленні катоду крізь світлофільтр світлом частоти в колі виникає фотострум, який фіксується амперметром. Залежність величини фотоструму від напруги поміж електродами (анодом та катодом) має назву вольт-амперної характеристики (ВАХ) фотоелементу. Така залежність зображена на рис 2.



Як видно з ВАХ фотоелементу Столєтова при незмінному світловому потоці характерним є явище насичення фотоструму: починаючи з певної напруги фотострум більше не росте. Це явище можна пояснити тим, що при насичені фотоструму всі вивільнені світлом з катоду електрони досягають аноду і струм залишається сталим, не росте. Звернемо також увагу, що фотострум відмінний від нуля при нульовій напрузі поміж електродами фотоелементу. Більше того, аби припинити фотострум необхідно прикладати поміж електродами певну запірну напругу зворотної полярності (тобто подавати “+”- потенціал на катод а “—“ – на анод.)

7) Якісно картина фотоефекту за Ейнштейном виглядала досить просто: потік світла розглядається як потік квантів. При поглинанні кванта електроном енергія кванта витрачається, по-перше, на роботу виходу електрона з металу, а по-друге, на додання фотоелектрону деякої кінетичної енергії. Світловий квант поглинається, (або не поглинається) електроном, як ціле, з повною енергією, тобто електрон не може поглинати квант лише частково. В принципі електрон може поглинути два, або й декілька квантів, проте ймовірність такого поглинання дуже низька, порівняно з одноквантовим поглинанням. Не кожен поглинутий електроном квант виводить електрон за межі металу, звичайно на один квант припадає в середньому менше одного вивільненого електрону (отже, квантовий вихід є меншим за одиницю, якщо під ним розуміти відношення кількості фотоелектронів до кількості поглинутих квантів).

Математичне формулювання закону збереження енергії при фотоефекті дозволило Ейнштейну написати наступне рівняння для фотоефекту:



Якщо врахувати, що навіть при нульовій напрузі поміж анодом та катодом, фотоелектрони згідно з рівнянням (22) мають певну кінетичну енергію, то зрозуміло, що фотострум буде відмінний від нуля навіть при таких умовах: кінетичної енергії фотоелектронів досить, аби добратися до аноду. Більше того, щоби припинити фотострум, треба загальмувати фотоелектрони, для чого треба прикласти зворотне електричне поле, енергія якого компенсувала б їх кінетичну енергію. Неважко отримати:



8) Рентгенівське випромінювання це короткохвильове, високочастотне та високоенергетичне електромагнітне випромінювання, яке демонструє корпускулярні властивості навіть ще більш виразно, аніж світлові кванти оптичного діапазону.

Під час зіткнень електронів з анодом вони гальмують і вся їх кінетична енергія передається атомам аноду. За рахунок такого поглинання енергії анод починає випромінювати рентгенівське, так зване гальмівне випромінювання. Гальмівне випромінювання має безперервний спектр, тобто проміння має всі можливі частоти з деякого інтервалу. Проте, ці частоти є обмеженими з гори певною максимальною частотою.

Характерні особливості гальмівного випромінювання є такими:
  1. Існує різка границя спектру при частоті
  2. Збільшення напруги на електродах рентгенівської трубки збільшує значення частоти.
  3. Інтенсивність випромінювання швидко зростає з ростом напруги.

Лінійчастий, або характеристичний рентгенівський спектр виникає при непружному поглинанні енергії розігнаних в трубці електронів, електронами внутрішніх оболонок атомів, з яких побудовано анод. Первинний електрон, який має зіткнення з атомом аноду, може збудити електронну оболонку цього атому. В результаті один з електронів, що належить атому, переходить з нижчого енергетичного стану у вищий енергетичний стан, за рахунок поглинання енергії первинного електрону. У збудженому стані такий атом перебуває дуже короткий час. Перехід атомного електрону назад у незбуджений, основний енергетичний стан, супроводжується процесом випромінювання рентгенівського кванту.

9) Артур Комптон вивчав процес розсіяння рентгенівських квантів на вільних електронах речовини. Вільними електронами в речовині називають електрони, які не є локалізованими навколо певного атому, а, навпаки, можуть вільно пересуватися по речовині.

Схема зіткнення рентгенівського кванта (фотону) з електроном зображена на рис. 2.



Фотон під час зіткнення передає нерухомому електронові частину власної енергії та надає йому певний імпульс. Тому частота фотона після зіткненя є меншою, а довжина хвилі відповідно більшою.



Власне, збільшення після розсіяння на електронах довжини хвилі рентгенівських фотонів, або зменшення частоти, що еквівалентно, і отримало назву ефекту Комптона.

10) Досліди П. Лєбєдєва по тискові світла на поверхню металів також досить просто якісно пояснюються в термінах квантового підходу. Розглядаючи потік світла як потік квантів, негайно отримуємо, що в одиницю часу на одиницю поверхні передається імпульс. Проте, імпульс переданий в одиницю часу, то є сила, а сила віднесена на одиницю поверхні – то є тиск. Отже, маємо для тиску світла:



тиск світла є прямо пропорційний до його інтенсивності (енергії, що припадає на одиницю поверхні в одиницю часу). В дослідах Лєбєдева світло тиснуло на вертушку, одне крило якої було чорним, поглинаючим, а друге дзеркальним, відбиваючим. При однаковій інтенсивності світла, тиск розрізнявся у два рази. Отже, створювалася пара нерівних сил, яка й закручувала вертушку в приладі Лєбєдєва.

11) Будь-яке тіло, температура якого відмінна від абсолютного нуля, випромінює енергію у вигляді електромагнітних хвиль. Причому це єдиний рівноважний тип випромінювання, яке може перебувати у термодинамічній рівновазі зі своїм джерелом.

Нагріте тіло випромінює енергію на всіх частотах: від нульової до безкінечної , але, зрозуміло, що неоднаково на кожному частотному інтервалі цього діапазону. Для характеристики випромінювальної здатності нагрітих тіл використовують поняття енергетичної світність. Енергетичною світністю називають енергію, яку випромінює за одиницю часу з одиниці поверхні нагріте тіло в усьому діапазоні частот:



Енергетична світність є інтегральною характеристикою процесу світіння нагрітого тіла, бо вона характеризує випромінювання на всіх частотах.

Поділимо весь частотний діапазон на рівні інтервали dω. В кожному частотному інтервалі випромінюється деяка частка інтегральної світності яка є різною для різних інтервалів. Введемо поняття спектральної густини енергетичної світності.



Назва “спектральна густина енергетичної світності” є надто довгою. Тому величину (2) частіше називають випромінювальною здатністю нагрітого тіла. Ця величина, на відміну від енергетичної світності (1), є вже диференціальною характеристикою процесу випромінювання, тому що характеризує випромінювану потужність на конкретному інтервалі частот. З (2) випливає, що енергетична світність дійсно є інтегралом:



12) Розглянемо енергію випромінювання, яка є в рівновазі із своїм джерелом. Зрозуміло, що поглинатися повинно рівно стільки ж енергії, скільки й випромінюється. припустимо, що - інтенсивність потоку випромінювання, що падає на тіло. Тоді нехай  – відповідно інтенсивності випромінювання яке поглинуте тілом, проходить крізь тіло, відбивається тілом. Зрозуміло, що



Або, інакше:



де залежні від частоти та температури коефіцієнтимають відповідно назви коефіцієнтів поглинання, пропускання та відбиття.

Моделлю АЧТ є замкнена порожнина, стінки якої мають сталу температуру Т, цю температуру має й випромінювання, що є всередині. Щоб спостерігати це випромінювання, потрібно зробити невеличкий отвір у стінці. Зовнішнє випромінювання, що падає на отвір, не відбивається, а проходить всередину (повністю поглинається). Оскільки абсолютно поглинаючу поверхню називаємо чорною, то й випромінювання, що виходить через отвір, називають “чорним”.

Поміж випромінювальною здатністю тіла та його коефіцієнтом поглинання існує певний зв’язок, який сформулював Кірхгоф у своєму законі.

Закон Кірхгофа стверджує, що “відношення випромінювальної здатності довільного тіла до свого коефіцієнту поглинання є однаковою, універсальною функцією частоти та температури для всіх тіл, включно з абсолютно чорним, для якого. Математично це означає, що для будь-якого тіла:



де під  ми розуміємо випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла. Закон Кірхгофа дозволяє вивчати лише випромінювальну здатність для абсолютно чорних тіл, а для довільних, не чорних тіл аналогічну характеристику можна легко знайти з (7), знаючи лише коефіцієнт поглинання такого тіла. Останній значно легше визначити, ніж випромінювальну здатність тіла.

13) Знайдемо енергію, що випромінюється за 1 с з 1 м2 поверхні АЧТ – енергетичну світність. Вона пов’язана з густиною енергії простим співвідношенням. У випадку плоскої хвилі (тобто коли енергія переноситься в одному напрямі) густину потоку енергії I можна записати як добуток густини енергії і швидкості хвилі:



Через кожну точку всередині порожнини проходить нескінченна кількість хвиль, які рівномірно розподілені у межах тілесного кута 4π. Потік енергії I також рівномірно розподілений у цьому тілесному куті. Отже, у межах тілесного кута dΩ буде розповсюджуватися потік енергії, густина якого дорівнюватиме:







де σ - стала Стефана-Больцмана.

Друга частина формули (14) відображає математично закон Стефана-Больцмана: енергетична світність абсолютно чорного тіла прямо пропорційна його абсолютній температурі в четвертому ступеню.

14) Міркування аналогічні вище розглянутим дозволяють легко отримати спектральну густину енергетичної світності АЧТ за шкалою частот:



Спектральна випромінювальна здатність або спектральна густина енергетичної світності енергія, що випромінюється одиницею поверхні тіла при температурі Т за секунду в одиничному спектральному інтервалі. Слід розрізняти спектральну випромінювальну здатність за шкалою довжин хвиль і частот: ці функції мають різну розмірність і значення, що відповідають максимумам цих функцій при однаковій температурі, не співпадають.

15) Вигляд функцій розподілу спектральної густини енергетичної світності АЧТ подано на рис.3. Якщо температура зростає, то крива розподілу стає більш гострою, а пік максимуму зсувається в область більших частот (або менших довжин хвиль).



16) Графічний розв’язок (рис.4) рівняння



дає такі корені: 0 та 4,965. Перший корінь є тривіальний і розглядати треба другий. Отже маємо  . Остаточно можемо записати



Формула (23) – закон Віна: довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини енергетичної світності АЧТ обернено пропорційна його абсолютній температурі.

17) У 1924 році французький фізик Луї де Бройль висловив припущення (гіпотезу) про повну симетрію природних об’єктів. Ця гіпотеза, зокрема передбачала, що корпускулярно-хвильовий дуалізм є рівно притаманним як випромінюванню так і мікрочастинкам, тобто всім формам матерії. Де Бройль постулював наявність певних хвильових властивостей у електронів, протонів, нейтронів і взагалі всіх мікрочастинок і навіть макротіл. Більше того, де Бройль припустив, що співвідношення корпускулярних та хвильових властивостей для частинок є таким самим як і для фотонів. Отже, якщо частинка має певну енергію ε та імпульс p то з ними пов’язані її частота та довжина хвилі наступними формулами:





Ці формули абсолютно аналогічні зв’язкам поміж цими ж величинами для квантів світла – фотонів. Довжина хвилі де Бройля (1) тим менша, чим більшою є маса та швидкість частинки (тобто чим більшим є імпульс). Слід зазначити, що формули (1) записані для нерелятивістського випадку.

18) Тепер розгляньмо експеримент з електронами, тобто обговоримо досліди К.Девіссона, Л.Джермера 1927 р. (рис.1). Із джерела електрон потрапляє на екран зі щілинами і після їх проходження реєструється детектором. У першій частині нашого експерименту (закрита щілина 2) визначаємо за частотою потрапляння електрона в детектор криву ймовірності W1 потрапляння електрона в точку x У другій частині при закритій щілині 1 отримаємо криву W2 Тобто ми отримаємо такі ж дві криві, як і в досліді з класичними частинками. Тепер відкриваємо обидві щілини і спостерігаємо за електроном. Логічно припустити, що електрон як ціле проходить через першу або через другу щілини. А це своєю чергою тягне за собою класичний закон додавання ймовірностей. Однак результати експерименту повністю суперечать здоровому глуздові. Виявляється, що крива сумарної ймовірності w має інтерференційний характер, як зображено на рисунку.



Електрон не підкоряється законам класичної механіки. Отже, для опису його стану потрібно шукати інші характеристики, ніж, скажімо, координату та імпульс, якими успішно оперує класична механіка.

Виконання умови дифракції для хвиль де Бройля та міжатомної відстані у кристалах, подало К.Девіссону і Л.Джермеру ідею застосувати кристали як тривимірну дифракційну гратку для потоків розігнаних електронів. Дифракційна картина фіксувалася на спеціальній фотоплівці. Дослід Девіссона та Джермера підтвердив висновки де Бройля: не лише потік електронів, але також потоки нейтронів, протонів і навіть атомів водню дифрагували на кристалах, як на дифракційній гратці.

19) Негайно виникла потреба у такій теорії, в якій дуалізм природи мікросвіту враховувався повним чином. Така теорія отримала надалі назву квантової, або хвильової механіки. В її основі лежить ідея Макса Борна (1926), що хвильові властивості мікрочастинок описуються деякою характерною для кожної частинки, або системи частинок, функцією координат та часу , яку він назвав хвильовою функцією. Саме ця функція координат та часу підкоряється хвильовим законам за теорією Борна. Її стандартне позначення грецькою літерою ψ(r,t) дало функції ще одну назву: псі-функція.

Зокрема, хвильова функція вільної частинки з фіксованими імпульсом p та енергією ε, є чистою хвилею де Бройля, і має вигляд:



20) У квантовій механіці усі події мають імовірнісну інтерпретацію, та описуються середніми значеннями відповідних фізичних величин. Тому виникає задача розрахунку відхилень цих середніх значень від справжніх значень у даний момент часу. Кількісною характеристикою таких відхилень є середньоквадратичні відхилення:





Спостереження за деякою фізичною величиною раз від разу демонструють дещо різні результати, хоча стан системи при цьому не міняється. Такі величини характеризують їх середнім значенням та середньою квадратичним відхиленням типу (9).

Принцип доповнюваності Бора (1927 р.) стверджує, що вимірювання імпульсно-енергетичних та просторово-часових характеристик є взаємодоповнювальними в описі квантового об’єкта. Існують такі пари фізичних параметрів, які не можуть одночасно мати певного значення в одному й тому ж стані системи. Серед найбільш відомих таких пар – координата та спряжений імпульс. Типовою є ситуація, коли обидві величини з таких пар не мають певного значення в означеному стані системи. У такому разі їх невизначеності задовольняють нерівностям Гейзенберга (1927 р.):





Співвідношення невизначеностей (10) та (11) мають глибокий зміст. Перше з них означає, що в квантовій механіці в принципі неможливо ввести поняття траєкторії руху, бо поняття траєкторії потребує одночасного точного завдання координат та імпульсів, а це неможливо. Причому ці обмеження не пов’язані з можливостями приладу, це є фундаментальний закон Природи.

Друге співвідношення (Бора) стверджує, що енергія системи є сталою величиною навіть для замкненої системи, лише при спостереженні за нею на протязі довгого часу. При малих , флуктуації енергії можуть бути досить великими.

21) Улітку 1925 р. Професор Е. Шредингер (1887-1961) з Цюріхського університету ознайомився з гіпотезою де Бройля. Перевівши ці ідеї на “зручну” математичну мову, він винайшов фундаментальне рівняння сучасної фізики – хвильове рівняння Шредингера (1926 р.). Є спогади П.Дебая, що це він запропонував Шредингерові, який працював у нього на кафедрі, доповісти на семінарі роботу де Бройля. Шредингер, який, як і більшість фізиків, негативно ставився до ідеї де Бройля, доповів цю роботу лише після того, як Дебай наполіг на своєму. Готуючись до цього семінару, Шредингер і винайшов своє рівняння (Нобелівська премія 1933 р.).

У загальному випадку рівняння Шредингера записують у вигляді



де  - залежний від усіх координат та часу вектор стану системи, а  - оператор, який має назву оператора Гамільтона, або, простіше, гамільтоніан. Оператор Гамільтона має складну структуру і є сумою двох операторів.

Отже, для розгорнутого рівняння Шредингера маємо наступний вираз:



Сформулюємо принцип причинності – один з фундаментальних принципів квантової механіки: “Якщо ми знаємо хвильову функцію у момент часу а також всі взаємодії в квантовій системі то вирішуючи рівняння Шредингера (6) можемо знайти хвильову функцію системи на всі моменти часу

22) Установлення Е. Шредингером свого рівняння було геніальною здогадкою, і 1926 рік, коли воно було винайдене, є великим історичним моментом – ми отримали у своє розпорядження інструмент для квантово-механічного опису матерії. Розв’язки цього рівняння і висновки з них дають змогу пояснити безліч експериментальних фактів, починаючи від стабільності атомів, структури їхніх енергетичних рівнів, хімічного зв’язку та властивостей твердих тіл і аж до явищ надплинності рідкого гелію, надпровідності металів, природи космічних об’єктів, складних реакцій з участю білкових молекул і ролі ферментів.

Однак і рівняння Шрединґера має свої межі застосовності. Передусім безпосередньо з цього рівняння можна вже візуально зауважити, що в нього не входить швидкість світла. Отже, рівняння не може описувати явищ, пов'язаних з теорією відносності. Не може воно в такому вигляді повністю описати й магнетизм. У нерелятивістській квантовій теорії час t входить у рівняння як параметр. У релятивістській теорії просторові координати і час є рівноправними змінними. Отже, вони повинні входити в рівняння симетричним чином, чого немає в рівнянні Шрединґера. Правильне релятивістське рівняння для електрона відкрив через рік П.А. М.Дірак.

Зрозуміло, що рівняння Шрединґера має точні розв'язки лише для деяких задач типу гармонічного осцилятора, атома водню та ще декількох. Однак за допомогою різних наближених методів, часом не обґрунтованих строго, можна зрозуміти багато чудових явищ, які відбуваються в природі.

23) Принцип суперпозиції станів є фундаментальним принципом кантової механіки. У найпростішому випадку його можна сформулювати для системи, яка може перебувати у двох суттєво різних станах. Принцип суперпозиції станів стверджує, що в такому разі система також може перебувати у безлічі станів, хвильові функції котрих є довільною лінійною комбінацією (або суперпозицією) зазначених станів:



де C1 та С2 - довільні комплексні коефіцієнти, які підкоряються лише умові:



У більш загальному випадку, коли система може перебувати у певному наборі станів то вона також може перебувати в станах, які є довільною суперпозицією базових станів.

24) Оскільки гамільтоніан не залежить від часу, рівняння Шредингера має вигляд



де крапка означає повну похідну за часом. Ліва частина рівняння (15) є функцією лише часу t, а права – тільки координат q. Рівність очевидно виконується, якщо ліва і права частини рівняння дорівнюють сталій величині, яку позначимо через Е:





Система функцій  є повною, і будь-яка функція



Розв'язування стаціонарного рівняння Шрединґера — це одна із центральних задач квантової механіки, оскільки власні значення енергії квантово-механічних систем, або, як кажуть, їхній енергетичний спектр, є найважливішою фізичною характеристикою, яка визначає низку інших властивостей, а хвильові функції дозволяють розраховувати не лише середні значення спостережуваних величин, а й просторову структуру атомів та їх сукупностей, імовірності переходів між станами, зокрема інтенсивності випромінювання й поглинання світла та перерізи розсіяння одних частинок на інших.

25) Вільною частинкою у квантовій механіці, так само, як і в класичній механіці, називають частинку, котра рухається за інерцією, отже, без впливу зовнішніх факторів.

З огляду на те, що потенційна енергія не залежить також від часу, рух вільної частинки є стаціонарним її станом, тому її хвильова функція повинна мати вигляд:



де Ф(r) координатний множник, а частота прямо пропорційна повній енергії вільної частинки.

Густина ймовірності спостереження вільної частинки всюди і завжди однакова і дорівнює квадрату її амплітуди. Тобто вільна частинка веде себе як справжня хвиля: вона не локалізована в просторі, ймовірність її спостереження не залежить також і від часу.

Умова нормування хвильової функції



26) Стаціонарне рівняння Шредингера запишеться так



Загальний розв’язок рівняння (19) має вигляд



де C,k,δ – сталі, які однозначно визначаються з граничних умов та умови нормування.

Отже, маємо





Остаточний результат:





Енергія приймає лише деякі дозволені значення, що є пропорційними до квадрату цілого числа тобто енергія частинки є квантованою.

27)

28)

29)

30)

31) Резерфорд та його інтернаціональна лабораторія використали потоки α- частинок для вивчення побудови атому. Його метод полягав у підрахунках α- частинок розсіяних тонкою металевою фольгою під різними кутами. Кількість розсіяних частинок визначалася в темряві по спалахам, які давали розсіяні частинки, потрапляючи на екран з сірчистого цинку.

Схематично дослід Резерфорда показано на рис.1. Всередині виїмки в шматку свинцю поміщалась радіоактивна речовина Р, яка служила джерелом α-частинок. Внаслідок сильного гальмування у свинці, α- частинки могли виходити назовні лише крізь вузький отвір. На шляху утвореного в такий спосіб вузького, майже паралельного пучка α- частинок розміщалася тонка металева (золота, платинова, мідна, срібна) фольга Ф, товщина якої становила ∼4⋅10-4 см – десятки тисяч атомних шарів. Проходячи крізь фольгу, α- частинки відхилялися від початкового руху на різні кути ϕ – розсіювалися. Розсіяні α- частинки вдарялися в маленький екран Е, покритий флуоресціюючою речовиною.



З дослідів Резерфорда випливало, що хоч атоми в твердому тілі дуже щільно прилягають один до одного, переважна більшість α- частинок пронизує, майже не відхиляючись, кілька тисяч атомів. Звідси можна зробити висновок, що атоми майже порожні і лише в центрі їх є позитивно заряджене ядро розміром порядку.

Резерфорд на підставі цих експериментів запропонував відому так звану планетарну модель атому. В цій моделі атомні електрони рухалися навколо ядра по еліптичним траєкторіям, причому в одному з фокусів такого еліпсу знаходиться порівняно невелике за розмірами, але масивне атомне ядро.

32) Це фактично планетарна модель Резерфорда, гранично спрощена наявністю лише одного атомного електрону. Для подолання труднощів планетарної моделі Нільс Бор у 1913 році запропонував напівкласичну, напівквантову теорію атома водню, яка базувалася на двох постулатах наступного змісту:

1) Атомний електрон може знаходитися лише у певних дискретних стаціонарних станах кожний з яких можна характеризувати значенням його повної енергії. Перебуваючи в одному з таких станів електрон енергії не випромінює.

2) При переходах атомного електрону зі стану з енергією En до стану з енергією E випромінюється, або поглинається фотон з енергією hω.

Далі Бор припустив, що електрон в атомі водню рухається лише по кругових стаціонарних орбітах, тобто доцентрове прискорення створюється кулонівською силою а на момент імпульсу електрона на стаціонарній орбіті наклав умову квантування.

Повну енергію електрона можна отримати як суму його кінетичної та потенційної енергій. В результаті матимемо



Для різних значень головного квантового числа формула (5) дає дискретний ряд дозволених значень енергій стаціонарних станів. Незважаючи на наближений характер припущень Бора, вираз (5) виявився абсолютно точним, що пізніше підтвердила більш послідовна квантова теорія атома водню.

33) Дискретність енергетичних рівнів електрона в атомі водню означає автоматично й дискретність спектрів випромінювання та поглинання цих атомів. Згідно з другим постулатом Бора частота випромінюваного кванту відповідає рівнянню:



В спектрі можна виділити групи ліній, які називають спектральними серіями. Кожна серія відповідає переходам з різних рівнів на один і той самий кінцевий рівень.

34) Ідеї Бора про стаціонарні стани атома, про дискретні значення його енергії дістали експериментальне підтвердження в 1913 р. У дослідах Д. Франка і Г. Герца. Ідея цього досліду полягає у вимірюванні кількості енергії, яка передається атомом під час його співударів з електронами.

Схему досліду Франка і Герца показано на рис.3. Електрони, випромінювані розжареним катодом К, прискорюються електричним полем між катодом К і сітчастим електродом С. Між сіткою С і анодом А створюється електричне поле, яке гальмує електрони. Якщо на шляху від К до А електрони внаслідок непружних співударів з атомами газу, що заповнює посудину В, втратять свою енергію, то вони не зможуть подолати гальмівне поле між С і А і потраплять на сітку С. Тому за показами гальванометра Г можна реєструвати електрони, які втратили енергію внаслідок непружного удару. Коли електрони втрачають енергію, то вони затримуються гальмівним полем, і сила струму через гальванометр зменшується. Результати дослідження Франка і Герца для випадку заповнення посудини В парою ртуті зображені на рис.4 у вигляді кривої залежності сили струму від кінетичної енергії електронів. Крива має досить характерний вигляд: ряд різких максимумів, розташованих один від одного на відстані приблизно 4,9 еВ.



Спочатку, в міру збільшення кінетичної енергії електронів, сила струму через гальванометр Г зростає, оскільки все більша й більша кількість електронів проходить через чарунки сітки С.

Однак таке зростання сили струму відбувається лише до енергії 4,9 еВ. Якщо й далі збільшувати кінетичну енергію електронів, то сила струму не зростає, а різко зменшується. Потім, в міру збільшення енергії електронів, сила струму знову починає зростати і знову різко зменшується при досягненні енергії 9,8 еВ. Наступне зменшення сили струму настає тоді, коли енергія електронів досягає значення 14,7 еВ.

Зростання сили струму до максимуму при 4,9 еВ означає, що поки енергія електронів не досягає 4,9 еВ, вони зазнають у просторі КС лише пружних зіткнень, внаслідок яких електрони не втрачають енергії. Отже, всі електрони, які проходять через чарунки сітки С, доходять до анода А і проходять через гальванометр. Як тільки кінетична енергія електронів досягає 4,9 еВ, відбуваються непружні зіткнення, і електрони повністю віддають енергію атомам ртуті. Зрозуміло, що електрон, втративши кінетичну енергію, не зможе подолати гальмівне поле у просторі СА і не досягне анода.

Подальше збільшення кінетичної енергії електронів спричиняє зростання сили струму доти, поки енергія не досягне значення 9,8 еВ. Це зростання відбувається тому, що електрон, втративши частину енергії внаслідок непружного зіткнення, має її ще достатньо для подолання гальмівного поля у просторі СА. Різке зменшення сили струму при досягненні енергії 9,8 еВ відповідає випадкам, коли електрони внаслідок зіткнень з кільком атомами ртуті зазнають двох непружних співударів, у кожному з яких втрачають по 4,9 еВ. 3 цього досліду випливає, що при зіткненні з атомом ртуті електрони втрачають енергію порціями в 4,9 еВ, а атоми поглинають енергію такими самими порціями.

35) Згідно сучасним уявленням постулати Бора є коректними за своїм змістом, проте їх не потрібно приймати на віру, як це робив Бор, вони можуть бути логічно доведені, виходячи з більш загальних принципів квантової механіки. Зокрема, перший постулат Бора стверджує, що атомарні електрони можуть знаходитися в атомі лише в дискретному наборі стаціонарних станів, кожен з яких має певну енергію. Це твердження залишається в силі у більш загальній квантовій теорії, проте, вона уточнює, що кожен такий стаціонарний стан електрону не може бути повністю визначений лише одним головним квантовим числом як це стверджується в теорії Бора. Сучасна теорія характеризує стаціонарний стан електрону в атомі не одним, а чотирма різними квантовими числами, фізичний зміст котрих ми розглянемо дещо нижче.

Другий постулат Бора стверджує, що поглинання енергії, або її випромінювання здійснюється квантами і лише при переходах електронів з одного можливого стаціонарного стану в інший стаціонарний стан з іншою енергією. Сучасна квантова теорія доводить і цей постулат Бора як теорему з більш загальних принципів. Отже обидва постулати Бора виявилися вірними по суті, а також отримали обґрунтування в сучасній квантовій теорії.

Припущення ж Бора щодо існування колових орбіт в атомі водню та його умова квантування моменту імпульсу електрону в атомі водню виявилися такими, що не повністю підтримані квантовою механікою. Поняття орбіти взагалі не застосовується в квантовій механіці, а умова квантування моменту імпульсу є дещо інакшою, як ми побачимо трохи далі.

36) В класичній механіці відомо, що при русі частинки в центральносиметричному полі існують так звані інтеграли руху, тобто деякі стаціонарні в часі, незмінні під час руху величини. Перш за все інтегралом руху, тобто незмінною в часі величиною, що зберігається під час руху, є повна механічна енергія частинки. Окрім того, в класичній механіці інтегралом руху в центральносиметричних полях є також вектор моменту імпульсу частинки



Вектор моменту імпульсу є нормальним до площини траєкторії частинки, отже, орієнтація цієї площини в просторі також зберігається.

Сучасна квантова механіка вирізняє чотири інтеграли руху квантової частинки в центральносиметричних полях. Причому всі чотири квантові інтеграли руху є квантовими величинами, тобто мають дискретні спектри. Розглянемо ці інтеграли руху та умови їх квантування послідовно.
  • Повна механічна енергія частинки визначається так званим головним квантовим числом n = 1,2,3,… Причому всі електрони атому, які мають однакове головне квантове число, вважаються електронами, які належать до одного і того самого електронного шару. Місткість кожного електронного шару, тобто максимальна кількість електронів в кожному шарі, є обмеженою, і дорівнює 
  • Квадрат модуля моменту імпульсу квантової частинки визначається іншим квантовим числом так званим орбітальним квантовим числом l = 0,1,2,…, n-1
    При фіксованому числі n можливими є лише, n різних значень числа l. Електрони, які мають два однакових квантових числа n та l вважаються такими, що належать до однієї електронної оболонки (і одного електронного шару).
  • Якщо атом помістити у зовнішнє магнітне поле, то виявляється, що проекція орбітального моменту на напрям магнітного поля також кантується. Отже, третім квантовим інтегралом руху є проекція вектора моменту імпульсу на полярну вісь OZ тобто величина, де квантове число m має назву магнітного квантового числа і приймає 2l+1 цілих значення на інтервалі від –l до +l
  • Четвертим квантовим числом визначається спін електрона (так називається власний механічний та магнітний моменти електрона, від англійського spin – веретено), властивості якого ми детальніше вивчимо на наступній лекції. Зараз ми лише зафіксуємо, що спін електрона може приймати лише два можливі значення: 

37) Якщо орбітальне квантове число l != 0 то електроні хмари втрачають сферичну симетрію і набувають форми розмитих еліпсоїдів різноманітних конфігурацій. Крім того, кожному значенню l належить ще2l+1 магнітних квантових чисел m. Від цих чисел залежать орієнтацектронних хмар у просторі.

Таким чином, квантові числа n,l,m характеризують відповідно розміри, форму і просторову орієнтацію електронних хмар. Спінове квантове число s характеризує паралельну або антипаралельну орієнтацію спінуелектрона по відношенню до орбітального моменту.

Спіновий і орбітальний магнітні моменти взаємодіють між собою, це змінює систему енергетичних рівнів атому у порівнянні з тою, яка була б без такої взаємодії. Говорять, що спін-орбітальна взаємодія приводить до тонкої структури енергетичних рівнів. Якщо воно є суттєвим, то необхідно враховувати повний момент імпульсу електрона – орбітальний плюс спіновий.

38) У випадку центральної симетрії поля, утвореного ядром, зручніше розв’язувати задачу не у декартових прямокутних координатах, а у сферичних.

Чотири інтеграли руху (повна механічна енергія, квадрат модуля моменту імпульсу, проекція моменту імпульсу на полярну вісь, та спін) повністю визначають стан руху квантової частинки в центральносиметричному полі, зокрема, і стан руху електрону в атомі водню. Кожна з цих чотирьох величин, у свою чергу, визначається певним квантовим числом які є залежними одне від одного (окрім головного квантового числа, яке є незалежним від інших).

Отже фізичний стан електрона в атомі водню можна задати чотирма квантовими числами які за формулами (3-5) повністю визначають чотири означені вище інтеграли руху.







39) Досліди двох німецьких фізиків, Штерна та Герлаха (1921р.), проте, показали абсолютно інакшу картину. У посудині з високим вакуумом за допомогою діафрагм В і В’ (рис.1) утворювали різко обмежений атомний пучок досліджуваного елементу, що випаровувався у печі К. Пучок проходив через сильне магнітне поле Н поміж полюсними наконечниками N і S електромагніта. Один з наконечників (N) мав форму призми з гострим ребром, а уздовж іншого (S) було зроблено канавку. Завдяки такій конструкції полюсних наконечників магнітне поле було сильно неоднорідним. Після проходження крізь магнітне поле пучок попадав на фотопластинку Р і залишав на ній слід.



В дослідах Штерна і Герлаха спочатку отримували слід атомного пучка при вимкненому магнітному полі, а потім – при наявності поля. На атом у неоднорідному магнітному полі діє сила, усереднену проекцію якої на вісь Z можна записати у вигляді



Досліди Штерна і Герлаха довели квантування проекціїОднак їх результати не завжди відповідали вище викладеній теорії. У перших дослідах використовували атоми срібла. У магнітному полі пучок розщеплювався на дві складові. Теж отримували для атомів водню. Для атомів інших хімічних елементів отримували й більш складні картини розщеплення. Однак кількість розщеплених пучків була не тільки непарною, чого вимагала теорія, але й парною, що було у протиріччі з теорією. Отже, у теорію було необхідно внести зміни.

Досліди Штерна і Герлаха показали, що окрім механічного та магнітного моментів, пов’язаних з орбітальним рухом електрона навколо ядра, електрон має ще додатковий механічний та магнітний момент, не пов’язані з орбітальним рухом, а притаманні електронові як властивість навіть тоді, коли він взагалі не рухається. Англійські теоретики Уленбек та Гаудсміт намагалися пов’язати наявність у електрона додаткового механічного та магнітного моментів з його гіпотетичним обертанням навколо власної осі. Звідси і назва цього моменту – спін (від англійського to spin - обертатися). Згодом гіпотеза Уленбека та Гаудсміта про існування у електрона “осі обертання” була визнана помилковою, проте, назва для власного моменту електрона залишилася. Спін електрона є квантово-релятивістським ефектом, який не має класичного пояснення. Концепція спіна як внутрішнього моменту кількості руху була розповсюджена й на інші елементарні і складні частинки і знайшла підтвердження і широке застосування у сучасній фізиці.

40) Отже, електрон має одночасно два різних за походженням механічні та магнітні моменти імпульсу. Перший з них пов’язаний з його орбітальним рухом, його модуль визначається орбітальним квантовим числом l згідно до формули



і в принципі може обертатися в нуль в деяких станах. Такий “тандем” з двох пропорційних один до одного моментів (механічного та магнітного) назвемо “орбітальним моментом”.

Інший “тандем” моментів є власним для електрону, ніяк не пов’язаний з його рухом, і ніколи не обертається в нуль. Цей момент будемо називати спіновим, або просто спіном. Модуль спінового моменту однаковий для всіх електронів і дорівнює



З дослідів Штерна та Герлаха випливає, що маючи однаковий модуль спінового моменту, електрони, проте, можуть мати дві протилежні орієнтації цього вектору, відносно зовнішнього магнітного поля. Це означає, що проекція спінового моменту на полярну вісь OZ в принципі приймає лише два можливих, протилежних за знаком значення.

Отже спінове квантове число характеризує два різних можливих напрями вектору власного моменту електрона – спіну. Саме це квантове число і є четвертим квантовим числом, яке характеризує стан електрона в атомі водню. На відміну від орбітального моменту модуль спіну для електронів вказувати не потрібно, бо він є однаковим для всіх електронів, як це зазначено вище у формулі (4).

41) Взаємодія власного магнітного моменту електрона з орбітальним магнітним моментом називається спін-орбітальною взаємодією. Вона зумовлює тонку структуру рівнів енергії, тобто незначне їх розщеплення. Завдяки спін-орбітальній взаємодії створюється повний механічний момент електрона як векторна сума (векторна модель атома)



Повному моменту імпульсу відповідає повний магнітний момент електрона





42) Принцип заборони Паулі стверджує, що “В системі взаємодіючих ферміонів не може бути навіть двох квантових частинок, які перебувають в тотожному квантовому стані, зокрема, в системі не може бути двох ферміонів, які мають чотири однакових квантових числа”.

Зміст принципу заборони Паулі ми детально розглянемо при аналізі побудови атомних шарів та оболонок багатоелектронних атомів таблиці Менделєєва. Вольфганг Паулі сформулював свій принцип для ферміонів, і він розповсюджується лише на ці частинки.

На бозони цей принцип заборони не діє. Навпаки, в системі взаємодіючих бозонів скільки завгодно квантових частинок можуть перебувати в тотожних квантових станах. Можна навіть сказати, що чим більше бозонів перебувають в якомусь стані, тим більшою є ймовірність, що черговий бозон приєднається до “колективу” собі подібних.

Ферміони поводяться прямо протилежно: якщо деякий квантовий стан є доступним для них, то він може бути або вільний, або зайнятий не більше, ніж одним ферміоном.