Задачі, що приводять до визначеного інтеграла

Вид материала

Задача

Подобный материал:

• § Деякі застосування визначеного інтеграла, 152.92kb.
• Заїка С. О., Лобурець А. Т., Величко, 29.26kb.
• Урок математики в 2 класі, 47.58kb.
• Графічне інтегрування, 64.29kb.
• 1. Задачі та комп’ютерні ресурси, 576.6kb.
• Робоча навчальна програма дисципліни "автоматизоване проектування телекомунікаційних, 447.76kb.
• Відомість №4 с г, 413.79kb.
• Львівський національний університет ім. Івана Франка, 449.13kb.
• Тема. Методика роботи над складеними задачами. Система розміщення складених задач, 91.63kb.
• Програма курсу > Конспект лекцій Тести > Задачі Питання до іспиту > Методичні рекомендації, 1834.5kb.

Визначений інтеграл.

§1. Задачі, що приводять до визначеного інтеграла.

1.1. Обчислення шляху при нерівномірному руху та задача про площу криволінійної трапеції.

Нехай тіло рухається рівномірно зі швидкістю V. Тоді шлях S, який тіло пройшло за проміжок часу від моменту t=t₀ до t=t_* знайдемо за формулою S=Vt, де t=t_*-t₀ - тривалість руху.

Геометрично це буде площа прямокутника:



При рівноприскореному русі V=V₀+at (V₀ -початкова швидкість, a -прискорення) і шлях S=V₀t+_

Геометрично це площа трапеції:



Нехай тепер V=V(t) - довільна неперервна функція. Задача про знаходження шляху можна розв`язати так. Проміжок [t₀, t_*] довільно розіб'ємо на n - малих проміжків точками t₀, t₁,…. t_n=t_*



Якщо елементарній проміжок [t_i-1; t_t] малий, то на ньому мало змінюється функція V(t), рух близький до рівномірного, його швидкість V(t)_V(τ_i) де τ_i є [t_i-1; t_i].Шлях пройдений за час _ є _. Повний шлях за час t=t_*-t₀ є



В цій сумі кожній доданок є площа прямокутника з основою _ і висотою V(_, а вся сума-площа східчастої фігури, яка складена з таких прямокутників. Приблизно вона дорівнює площі криволінійної трапеції , яка розташована відразу [t₀; t_*] під кривою V=V(t). Точний результат буде, коли всі _. Цю границю називають визначеним інтегралом.





Ця формула виражає шлях S при русі із швидкістю V(t), разом з тим визначає площу фігури, розташованою під кривою V=V(t) на відрізку [t₀; t_*].


1.2. Визначення.

Нехай на відрізку [a; b], де a < b задана функція f(x). Довільним засобом розіб’ємо відрізок на проміжки точками x₀=a, x₁, x₂…, x_n=b, так, що x₁< x_x<….. Oзначимо _, _. χ – ранг дроблення. На кожному проміжку [x_i-1; x_i] довільно вберемо точку ξ_i і знайдемо в ній значення функції f(x), тобто f(ξ_i) і побудемо так звану інтегральну суму





Величина S_n залежить від :

- функції f(x);

- відрізка [a; b];

- способу розбиття відрізку;

- вибору точок ξ_i.

Якщо при нескінченному змільченні розбиття, коли всі _ інтегральна сума має скінченну границю, котра не залежить ні від засобу дроблення відрізку, ні вибору точок ξ_i, то цю границю називають визначеним інтегралом.

від функції f(x) по відрізку [a; b].



Число а, та b – нижня та верхня межі інтегрування, х- змінна інтегрування.

Зробимо слідуючі висновки:

1. Площа S криволінійної трапеції, обмеженої прямими y=0; x=a; x=b і графіком функції y = f(x)_, дорівнює визначеному інтегралу від цієї функціії:
   

В цьому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу.

2. Шляхом S, пройдений точкою за проміжок часу від t=a до t=в, дорівнює визначеному інтегралу від швидкості V(t):
   

Це фізичний зміст визначеного інтегралу.

Сформулюємо умови інтегровності функції.

Теорема 1. (необхідна умова інтегрованості).

Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a; b], то вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема 2. (достатня умова).

Якщо функція f(x) перервана на відрізку [a; b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 3. Всяка обмежена і монотонна на відрізку функція інтегрована на цьому відрізку.

І ще одна властивість:

Величина визначеного інтеграла не залежить від означення змінної інтегрування:




1.3. Визначений інтеграл як функція верхньої границі.

Роздивимось на відрізку [a; b] неперервну функцію f(x)_ та криволінійну трапецію, яка розташована під кривою y=f(x). Нехай змінна х є (а; b). Площа трапеції з основою [а; х] є функцію х :



(Ми змінили змінну інтегрування згідно означеному вище).

Надамо x приріст _ так, щоби x+_ є [а; b].



Функція S_ax(x) отримає приріст _ геометрично _ є площа криволінійної трапеції з основою [х; х+_]. Означаємо через m та M саме мале та саме велике значення функції f(x) на проміжку [х; х+_]. Площу _ будемо порівнювати з площами прямокутників висотою m та M, які збудовані на тій самій основі.

Маємо нерівності



При _ величини m і M змінюються, вони прямують до значення функції у точці х, тобто m→f(x), M→f(x), а _

В границі отримуємо







Таким чином:

• похідна визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній границі дорівнює під інтегральній функції ,аргумент є верхня границя
  

Дивлячись на цю рівність, можна сказати, що _ є однією з первісних для функції f(x).


1.4.Формула Ньютона – Лейбніца.

Нехай F(x) – яка-небудь первісна для функції f(x) на проміжку [а; b]. Так як дві первісні для функції f(x) на одному і тому ж проміжку можуть відрізнятися тільки сталими, то згідно попередньому розділу для всіх х з даного проміжку буде



При x=a маємо _ і





Поклавши при х=b, отримаємо основну формулу інтегрального числення – формулу Ньютона-Лейбніца.



Приклади:






1.5.Властивості визначеного інтеграла.

_ Ці властивості приймаються.

_ за означенням.



0] Дійсно, в силу визначення



4. Якщо ф-ії f(x) та g(x) інтегровані на відрізку [а;в] то



0]Дійсно:



Переходячи до границі при 111 ,згідно означенню визначеного інтеграла отримаємо наведену формулу

5.Якщо ф- ія f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b],[a;c] [c;b] ,то справедлива рівність

_ (теорема про адитивність)

0]Зміст цієї рівності при a_c Криволінійної трапеції з основою [a;b] дорівнює сумі площин _ і _.Разом з тим,вона вірна і для довільних a;b;c і будь який інтегрованій ф-ії f(x),як згідно формули Ньютона-Лейбніца.




6.Якщо всюди на відрізку [a; b] маємо f(x)_ (a
_ теорема про інтегрування нерівностей

0]При невід’ємних функціях f(x) та g(x) наведене співвідношення легко уявити , порівнюючи площі відповідних криволінійних трапецій.

В загальному випадку рахуючи, що всі _,маємо





Тоді_



Якщо g(x)_ , f(x)_ витікає:

_ тобто

При a<b інтеграл від невід’ємних функції є величина невід’ємна.

Приклад :на відрізку[0; 1],_ то без всяких підрахунків напишемо, що



7.Якщо m і M-відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [a; b] (a(теорема про інтеграла по області)

При _ геометричний зміст відношення буде такий:

Площа криволінійної трапеції не менша площі “вписанного” прямокутника з висотою m і не більше площі “описаного” прямокутника з висотою M збудований на тій же самій основі [a; b].

В загальному випадку _.Звідси згідно властивості (6)





m(b-a)_

8.Має місце теорема про середне значення:

- якщо ф-ія f(x) неперервна на [a; b] ,то на цьому відрізку знайдеться хоча б одна точка x=c,що



0]Оскільки ф-ія F(x) неперервна на [a; b],то для неї на цьому проміжку існує первісна F(x), тобто така ,що F'(x)=f(x).Застосуемо теорему Ньютона-Лейбніца і Т.Лагрешта (f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)) і отримаємо:

_

При _ ця рівність стверджує ,що площа криволінійної трапеції дорівнює площі прямокутника з тією ж основою [a; b] і висотою f(x),де c- деяка точка з (a; b).

f(c) = _ – середнє значення функції на [a; b]

Приклад: для ф-ії f(x)=sinx її середне значення на проміжку [0; _ буде _




На проміжку [0; _ існують дві точки C₁ і C₂ ,в яких ф-ія sin x набувають свого середнього значення

1.6.Формула інтегрування частинами.

Теорема. Якщо функції U=U(x) і V=V(x) мають на відрізку [a; b] неперервні похідні, то справедлива формула:



0] Згідно формули Ньютона Лейбніца, маємо:



Звідси





Приклади:





1.7.Заміна змінної (метод підстановки)

Теорема. Нехай виконуються умови :

1) функція f(x) неперервна на відрізку [a; b];

2)функція x=φ(t) і її похідна x'=φ'(t) не перервні на відрізку [α;β];

3) φ(α)=a; φ(β)= t (α; β): a<φ(t)<β.

Тоді виконується рівність



0]Оскільки функція f(x) неперервна на [a; b],то вона має первістну. Позначимо її через F(x), xє[a; b],тоді з теореми про заміну змінної в невизначеному інтегралі випливає,що F(φ(t)) буде первісною для функції f(φ(t)) φ'(t), t є[φ; β].Застосувавши формулу Ньютона –Лейбніца ,маємо:





В визначеному інтегралі при переході до нової змінної одночасно слід перераховувати границі інтегрування

Приклади.