А. М. Мубараков доктор пед наук, профессор. Н. Э. Пфейфер доктор пед наук, профессор пгу им. С. Торайгырова. Н. Е. Тарасовская доктор биологических наук, профессор. Химич Г. З., Хлущевская О. А. Введение в биометрию. Учебное пособие

Основное или квадратическое отклонение а выражается в тех же единицах, что и среднее. Следовательно, оно всегда является числом именованным. Чем меньше амплитуда из­менчивости, тем меньше сигма. При отсутствии изменчи­вости (гипотетический случай) сигма равна 0. Изменчивость живых организмов по росту, весу и другим показателям очень значительна, и абсолютное значение сигмы может варьировать в широких пределах.

Представим себе гипотетический случай, когда 100 семян одного сорта, абсолютно одинаковых по весу, химическому составу и другим показателям, высеваются в идеально вы­ровненных условиях и подвергаются совершенно одинако­вым воздействиям внешней среды. В таком случае мы впра­ве ожидать, что вырастут 100 растений совершенно одина­ковых. Графически ряд будет представлен одной вертикаль­ной линией. Однако абсолютно одинаковых семян не бывает. Изменчивость только одного показателя (качества семян) даст уже варьирующий сжатый ряд. Не существует в при­воде и совершенно одинаковых условий почвенного плолородия, освещения и пр. Изменчивость возрастает, ряд стано­вится более широким.

Однако математиками установлено, что при нормальном распределении, свойственном большинству биологических объектов, изменчивость 95% вариант укладывается в преде­лах минус 2σ—плюс 2σ, 98% —в пределах минус Зσ, — плюс Зσ, 99 % — в пределах минус 3,5σ — плюс 3,5σ.

Коэффициент вариации. Для сравнения степени измен­чивости по различным признакам, а также степени измен­чивости отдельных объектов используется коэффициент ва­риации, который представляет собой квадратическое отклонение, выраженное в процентах, от средней величины. Обозна­чается коэффициент вариации С или с_у .



С его помощью мы можем сравнивать изменчивость раз­личных объектов по самым различным показателям. Уста­новление коэффициента изменчивости имеет большое значе­ние при многих биологических исследованиях. Например, селекционер, работающий над созданием новых сортов, изу­чает коэффициент изменчивости различных признаков у исходного материала. Ясно, что отбор даст лучшие резуль­таты, если будет проводиться по признакам, имеющим боль­шую изменчивость. У готового сорта, наоборот, большой коэффициент (изменчивости по основным признакам недо­пустим — сорт должен иметь устойчивые показатели. Боль­шое значение изучению коэффициента вариации придают исследователи, работающие по акклиматизации животных и растений, морфологии, систематике и т. д.

ОШИБКА СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО

Квадратическое (основное) отклонение (сигма) исполь­зуется для вычисления очень важного статистического пока­зателя — ошибки среднего арифметического. Точное сред­нее арифметическое может быть определено, если мы иссле­дуем всю генеральную совокупность. Практически же мы имеем дело с более или менее большими по объему выборка­ми. В таких случаях среднее всегда бывает не вполне точ­ным.

Возьмем 100 растений, измерим их высоту, вычислим среднюю арифметическую. Допустим, что средний рост рас­тений данной выборки 50,5 см. Разобьем эти растения на группы по 20 экз. в каждой. Вновь проведем измерения и вычислим средние. Эти новые средние точно не совпадут с уже установленным средним 50,5, а будут в каждом отдель­ном случае отклоняться от него в ту или другую сторону: 49,8; 50,9; 50,1; 51,3; 50,4 в зависимости от того, попадут ли во взятую для измерения группу более высокие или более низкие растения. Поэтому, называя среднее арифметичес­кое, необходимо указать и возможные колебания этой сред­ней величины. Это достигается путем вычисления ошибки среднего арифметического, которая обозначается т или Sх и определяется по формуле



Приводя среднее арифметическое, указывают и его ошибку:



Это показывает, что среднее в исследованной выборке колеблется от 140 до 150.

Ошибка средней арифметической зависит от двух вели­чин: от степени разнообразия признака в генеральной сово­купности и от размера выборки: чем больше выборка, тем меньше ошибка. Поэтому при вычислении ошибки квадратическое отклонение делится на корень квадратный из числа наблюдений.

Часть никогда не может полностью характеризовать це­лое, поэтому характеристика генеральной совокупности на основе выборочных данных всегда будет иметь некоторую большую или меньшую ошибку. Такие ошибки являются ошибками обобщения, связанными с перенесением результа­тов, полученных при изучении выборки, на всю генераль­ную совокупность, и называются ошибками репрезентатив­ности. (Репрезентативность происходит от французского сло­ва representatiue — представительный).

Помимо ошибок репрезентативности при исследовании могут встретиться ошибки самого разнообразного характера. К ним относятся:

1. Методические ошибки (нарушение правильной мето­дики проведения фиксации материала для цитологических и биохимических исследований, невыравненность условий в опытных вариантах и контроле).

2. Ошибки точности (использование непроверенных изме­рительных приборов, расчеты с недостаточной точностью и т. д.).

3. Случайные ошибки (ошибки, просчеты, путаница в материале и т. д.).

4. Ошибки, связанные с неправильным отбором проб для изучения.

Все эти причины повлекут за собой очень сильное увели­чение ошибки среднего. (Иногда у начинающих работников ошибка бывает почти равна среднему. Ясно, что такие дан­ные должны выбраковываться).


УПРОЩЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОШИБКИ СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО

При обработке данных по многочисленным вариантам опыта и небольшом количестве повторностей можно приме­нить упрощенный способ вычисления ошибки среднего ариф­метического по Петерсу с использованием фактора Молденгауэра (константы К) по формуле



где [ [а] ]— сумма отклонений независимо от знака, а К —

— константа, изменяющаяся в зависимости от количества повторностей, вычисленная по формуле:



В книге П. Н. Константинова «Методика полевых опытов (с элементами теории ошибок)», 1939, дана таблица констант К для ошибок среднего. Приводим выписку из нее (табл. 18).

Таблица 18



(При большем количестве повторностей использование упрощенного способа вычисления ошибки экономит немного времени). Допустим, мы изучали действие различных микро­элементов в разных дозах на урожайность пшеницы. У нас было 40 вариантов опытов. Каждый вариант испытывался в четырех повторностях.

В первом варианте (контроль) был получен следующий урожай (табл. 19).

Для проверки правильности вычисления среднего в отклонений мы сначала суммируем положительные и отрицательные отклонения:

—0,6+(—0,8) = —1,4;

+0,8+0,6 = +1,4.

Эти вычисления нужны только для проверки и в даль­нейших расчетах не участвуют.

Суммы положительных и отрицательных отклонений равны, значит, вычисления сделаны правильно. (В случае. когда среднее и отклонение вычисляются с округлением, между суммой положительных и отрицательных отклоне­ний может быть небольшая разница, выражающаяся в десятых долях. Этой разниией можно пренебречь).

Находим сумму отклонений независимо от знака (в нашем примере она равна 3,0) и умножаем ее на константу К для четырех повторностей, равную 0,1809.

3,0 ∙ 0,1809 = 0,5427


Таблица 19 Таблица 20




Среднее равно 26 ± 0,54 ц. Рассмотрим еще один пример (табл. 20).

24 • 0,0934 = 2,24 =15 ± 2,24

Вычислим ошибку обычным способом (табл. 21):



Разница в определении ошибки среднего составляет 0,03, что не имеет существенного значения.

Точность опыта имеет большое значение, так как она определяет степень надежности полученных данных.

Точность опыта обозначается Р или m% и вычисляется по формуле

P = m• 100 /

т. е. путем вычисления про­центного отношения ошиб­ки к средней величине.

В только что разобран­ном примере =15; т=2,2, Р или

m% = 2,2 • 100 / 15 = 14,6% - опыт недостоверен.

Опыт считают достаточно точным, если Р меньше 3 %, и удовлетворительным при Р, равной 5%. При Р, равной б—7% и более, к полученным выводам следует отнестись очень осторожно. Опыт следует повторить с соблюдением всех требований методики.


Таблица 21




ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ РАЗЛИЧИЙ МЕЖДУ СРЕДНИМИ

Конечной целью каждого опыта является установление достоверности различий между изучаемыми вариантами опыта (различие в урожайности сортов, возделывавшихся в производстве, и новыми, выведенными селекционерами;

различие в урожайности культур под влиянием внесения удобрений; различие по количественным показателям меж­ду разными видами животных и растений и т. д.).

Мы уже говорили, что средние арифметические для вы­борок всегда несколько колеблются и при указании среднего следует приводить ошибку среднего, показывающую возможные колебания: '.



Видно, что среднее колеблется от 22,8 до 27,2. Но по­скольку ошибка {т) вычисляется на основе квадратического отклонения (σ), то все возможные значения средней вели­чины лежат в пределах

± 3 т или, точнее, ± 3,5 т, так же как все варианты ряда, лежат в пределах - 3σ или х +З,5 σ. Отсюда значение 3 т или 3,5 т называется предельной ошиб­кой среднего арифметического.

Достоверность разности между двумя средними величи­нами определяют по отношению этой разности к ее ошибке. Ошибка разности равна корню квадратному из суммы квад­ратов ошибок:



Например, в опыте по изучению влияния фосфорного удоб­рения на урожай яровой пшеницы в условиях недостатка влаги получены следующие данные (опыт проведен в четы­рехкратной повторности):



Достоверно ли полученное превышение? Определяем раз-гость между средними:



Вычисляем ошибку разности:



Находим отношение разности к ее ошибке:



В старых руководствах по биометрии указано, что раз­ность достоверна в тех случаях, когда это отношение равно или более трех. Точнее, достоверность разности определяется по критерию Стьюдента t. (Значение критерия Стьюдента приведено в таблице 45, с. 62). t равно отношению разности к ее ошибке.

Рассматриваемый опыт приведен в четырех повторностях. Следовательно, число степеней свободы равно 4+4— —2 = 6. При 6 степенях свободы разность при вероятности 0,95 (на уровне 5%) достоверна при t, равном 2,45, при вероятности 0,99 (на уровне 1%) при t равном 3,71. Следова­тельно, разность между урожаем контрольного и опытного вариантов достоверна при уровне вероятности, несколько превышающем 0,99.


УЧЕНИЕ О КОРРЕЛЯЦИЯХ


Слово корреляция происходит от латинского correlation, что означает связь, соотношение, сопряженность. В практи­ке биологических исследований часто возникает необходи­мость изучить связь между признаками одного организма или зависимость между признаками организма и условиями внешней среды.

В курсе высшей математики излагаются основные поло­жения функциональной зависимости между двумя перемен­ными, при которой каждому значению одной переменной — аргументу — соответствует тоже одно вполне определенное значение другой переменной — функции.

В качестве примера функциональной зависимости можно привести площадь треугольника, которая всегда определяет­ся его высотой и основанием, площадь круга, определяю­щуюся его радиусом, и т. д.

При изучении живых объектов — растений, животных, микроорганизмов — связь между признаками проявляется в виде так называемой корреляционной связи, или корреля­ции, при которой каждому значению одного признака соот­ветствует не одно, а несколько значений другого признака, т. е. его распределение.

Например, хорошо известна связь между ростом челове­ка и его весом, но при одинаковом росте (например, в 160 см) вес тела может колебаться в известных пределах и состав­лять, допустим, 55, 60, 65 кг. Задача исследования корреля­ционной связи заключается в том, чтобы определить харак­тер и измерить тесноту связи между отдельными призна­ками или развитием признаков и условиями среды.

При изучении корреляции решающее значение имеет всесторонний качественный анализ материала. Например, изучая зависимость между содержанием белка в зерне и условиями возделывания культуры, необходимо сопоставить эти показатели в образцах одного сорта, выращенного при различных, но вполне определенных в каждом отдельном случае условиях. Так, если мы хотим установить зависи­мость содержания белка в зерне озимой пшеницы Безостая 1 от применения азотных удобрений, необходимо, чтобы остальные условия (тип почвы, предшественники, приемы обработки почвы, сроки посева и т. д.) были одинаковыми, а изменялась только доза внесения азотных удобрений.

Прежде чем приступить к вычислению корреляционной зависимости, необходимо проанализировать возможность связи между изучаемыми явлениями, иначе можно полу­чить совершенно ложные результаты. Так, в работе Устино­ва была установлена корреляция между урожайностью и числом пожаров.

Известно, что засуха всегда снижает урожай, что опас­ность пожаров увеличивается в сухие годы. Таким образом, два совершенно независимых явления (пожары и урожай) определяются третьей величиной — количеством осадков, но сопоставлять эти два явления нет никаких оснований.

Зависимость урожая от количества осадков может быть различной в разных географических пунктах. В районах недостаточного увлажнения, при отсутствии орошения, уменьшение количества осадков всегда снижает урожай, хотя степень этого снижения может быть различной в зави­симости от уровня агротехники; в районах избыточного увлажнения, наоборот, увеличение количества атмосферных осадков может быть неблагоприятным для урожая, особенно при недостатке тепла. Следовательно, установление корре­ляции между этими величинами представляет интерес в определенных географических условиях.

Для разработки рациональной системы орошения боль­шое значение имеет установление связи между обеспечен­ностью растений влагой в определенные периоды развития и урожайностью и т. д.

Корреляция может быть прямой или положительной, если с возрастанием одного показателя увеличивается вто­рой или, наоборот, с уменьшением одного показателя умень­шается второй.

Такая корреляция выражается словами «чем больше, тем больше» или «чем меньше, тем меньше». Например, чем больше вес клубней картофеля в одном гнезде, тем выше урожай; чем меньше длина туловища животного опреде­ленного вида, тем меньше его вес.

Корреляция является обратной или отрицательной, если с увеличением одного показателя уменьшается второй или с уменьшением первого показателя увеличивается второй. Такая зависимость выражается словами: «чем меньше, тем больше» или «чем больше, тем меньше». Например, чем больше растений кукурузы в гнезде, тем меньше початков на растении.

Как прямая, так и обратная корреляция может быть линейной, если с увеличением одного показателя планомер­но увеличивается или уменьшается второй показатель, или криволинейной, если с увеличением одного показателя до известных пределов второй показатель также повышается, а затем начинает снижаться. Например, при увеличении нор­мы высева до определенного для конкретных условий уров­ня урожай повышается, но дальнейшее увеличение нормы высева вызывает излишнее загущение посева, и урожай сни­жается. Степень сопряженности выражается в виде отвле­ченного числа, которое при корреляции называется коэффи­циентом корреляции, при криволинейной зависимости — корреляционным отношением.

Корреляция может быть выражена графически. Рассмот­рим примеры вычисления коэффициента корреляции и гра­фического ее выражения на гипотетическом примере, при­веденном в книге П. Н. Константинова «Методика полевых опытов (с элементами теории ошибок)».

Взято два показателя: вес многолетних растений и их кустистость (число стеблей на одно растение). Обозначим эти показатели как х и у.

Первый пример.

Кустистость растений (х): 4; 6; 10; 12, в среднем 8.

Вес растений в г (у): 30; 34; 42; 46, в среднем 38.


Таблица 22



Мы видим, что с увеличением кустистости планомерно увеличивается и вес, т. е. существует прямая зависимость. Изобразим ее графически (табл. 22): расположим по гори­зонтали показатели кустистости (х), по вертикали — вес растений (у).

Поместим растения в клетки, соответствующие обоим показателям. Первое растение имело кустистость 4, вес 30 г помещаем его в первую клетку и т. д.

Такое сопряженное изображение обоих вариационных рядов называется корреляционной решеткой. Мы видим что при полной прямой положительной корреляции варианты располагаются по диагонали, идущей из верхнего левогo угла решетки в правый нижний угол.

Второй пример.

Кустистость растений (х): 4; 6; 10; 12, в среднем 8. Вес растений в г (у): 46; 42; 34; 30, в среднем 38. В этом случае наблюдалась бы совершенно невероятная обратная зависимость между кустистостью и весом растений. Построим корреляционную решетку (табл. 23).


Таблица 23



При обратной (отрицательной) корреляции варианты рас­полагаются в корреляционной решетке по диагонали, иду­щей из верхнего правого угла в левый нижний угол.

Третий пример.

Кустистость растений (х): 4; 6; 10; 12, в среднем 8. Вес растений в г (у): 42; 30; 46; 34, в среднем 38. Нетрудно заметить, что в этом случае отсутствует опре­деленная связь между кустистостью и весом растений: минимальной кустистости соответствует максимальный вес, затем кустистость возрастает, а вес резко падает, далее кус­тистость продолжает увеличиваться, возрастает и вес. При дальнейшем увеличении 'кустистости вес снова уменьшается.


Таблица 24­




Графическое изображение представлено в таблице 24.

При отсутствии корреляции варианты располагаются бес­порядочно по всей решетке.

Полная прямая или обратная корреляция встречается редко. Рассмотрим пример неполной прямой корреляции. Кустистость растений (х): 4; 6; 10; 12. Вес растений в г (у}: 30; 42; 34; 46.

За исключением одного случая, вес растений увеличивается по


Таблица 25­



мере повышения кустистости. Графическое изо­бражение дает такие результаты (табл. 25).

При неполной прямой корреляции варианты группи­руются вокруг диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний. При неполной отрицательной корреляции варианты



Рис. 6. Графическое изображение расположения вариант в корреляционной решетке.

располагаются вокруг диагонали, идущей из правого верхнего угла корреляционной решетки в левый нижний.

Иногда в печатных работах, не приводя коэффициента корреляции, ограничиваются графическим изображением расположения вариант (рис. 6).

Однако такой способ слишком громоздок и неприменим в случаях, когда надо показать корреляцию по ряду при­знаков. Кроме того, он дает лишь ориентировочное представ­ление о тесноте связи между изучаемыми признаками, поэ­тому прибегают к вычислению коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции обозначается r. Он является отвлеченным числом и имеет значение от 1 (полная положи­тельная корреляция) до —1 (полная отрицательная корре­ляция) с переходом через 0 (отсутствие корреляции). Так же, как и для других биометрических показателей, вычисля­ется ошибка коэффициента корреляции — т_r. или S_{r .}

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

Рассмотрим приведенные выше упрощенные примеры зависимости между кустистостью и весом растений. Вычис­лим по обоим рядам отклонение от среднего. Отклонение обозначается как a_x и a_y или (х—)_а и (х—)_y

Первый пример.

Кустистость растений (х): 4; 6; 10; 12, в среднем 8. Вес растений в г (у): 30; 34; 42; 46, в среднем 38. Отклонение от среднего: по ряду х: а_x — 4; —2; +2; +4;

по ряду у: aу—8; —4; +4; +8.

Произведение отклонений 32; 8; 8; 32. Сумма произведений

равна 80.

Второй пример.

Кустистость растений (х): 4; 6; 10; 12, в среднем 8. Вес растений в г (у): 46; 42; 34, в среднем 38. Отклонение от среднего: по ряду х: а_x — 4; —2; +2; +4; по ряду у: aу +8; +4; —4; —8. Произведение отклонений —32; —8; —8; —32. Сумма произведений равна —80.

Третий пример.

Кустистость растений (х): 4; 6; 10; 12, в среднем 8. Вес растений в г (у): 42; 30; 46; 34, в среднем 38. Отклонение от среднего: по ряду х: а._х —4; —2; +2; +4;

по ряду у: а_.у +4; —8; +8; —4.

Произведение отклонений —16; +16; +16; —16. Сумма

произведений равна 0.

Четвертый пример.

Кустистость растений (х): 4; 6; 10; 12, в среднем 8. Вес растений в г (у): 30; 42; 34; 46, в среднем 38. Отклонение от среднего: по ряду х: а_,х —4; —2; +2; +4;

по ряду у: а_,у —8; +4; —4; +8.

Произведение отклонений 32; —8; —8; + 32. Сумма про­изведений равна 48.

Мы видим, что сумма попарных произведений отклоне­ний характеризует степень связи в изменчивости двух рядов:

при полной положительной корреляции Σ a_x a_y = 80,

при полной отрицательной корреляции Σ a_x a_y = - 80,

при частичной положительной корреляции Σ a_x a_y = 48,

при отсутствии корреляции Σ a_x a_y = О.

При сравнении различных рядов числовое выражение суммы попарных произведений отклонений от среднего будет меняться. Необходимо выразить эту зависимость в относи­тельных числах, для этого надо разделить полученные сум­мы на постоянное и наибольшее число. Таким числом явля­ется среднее геометрическое (G), т. е. корень n-ой степени из произведения n-то количества дат:



В нашем случае среднее геометрическое равно корню квадратному из произведения сумм квадратов отклонений от среднего по обоим рядам.

Вернемся к нашим примерам.

Первый пример. Возведем в квадрат отклонения от сред­них по обоим рядам и суммируем их,



Для небольших рядов вычисление коэффициента корреляции производится по этой формуле. Для вычисления в больших рядах эта формула преобразуется.

Мы знаем, что квадратическое отклонение σ равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений, деленной на число наблюдений:






При наличии большого числа наблюдений непосредствен­ное вычисление коэффициента корреляции по данной форму­ле слишком громоздко. Обычно прибегают к составлению

Таблица 26



корреляционной решетки. Делается это следующим образом. При сборе данных изучаемые показатели записываются по каждому объекту. Например, изучая связь между высотой растения и числом листьев, записываем (табл. 26).

Мы получили данные по двум показателям: х — высота растений и y — число листьев. Построим вариационные ря­ды и расположим их: один — в горизонтальном и второй — в вертикальном направлении. Наименьший показатель высо­ты растений (ряд х) 9, наибольший — 18. Наименьший пока­затель числа листьев (ряд у) 3, наибольший — 12. В обоих случаях амплитуда изменчивости равна 9.

Разбивать варианты на классы нет необходимости. По­строим корреляционную решетку (табл. 27).


Таблица 27



Сделаем разноску. Для этого, пользуясь принятым в ста­тистике приемом, обозначим частоты точками. Первое расте­ние имело высоту 15 см и число листьев 9. Ставим точку на пересечении графы 15 и строчки 9. У второго растения высо­та 10 см и число листьев 6. Ставим точку на пересечении графы 10 и строчки 6 и т. д. После разноски заменяем услов­ные знаки цифрами.

Подсчитываем сумму дат по вертикали и горизонтали. Находим общую сумму (она должна быть одинаковой при подсчете по вертикали и горизонтали и равна числу наблюде­ний). У нас эта сумма равна 30, что соответствует числу взя­тых для опыта растений. Следовательно, разноска произве­дена правильно.

В качестве условных средних возьмем 14 по ряду x и 17 по ряду y. (Можно взять и другие даты). Отграничим услов­ные средние волнистыми чертами или красным карандашом. Вычислим отклонения от условного среднего и запишем их в рубрики а_x и а_y Корреляционная решетка подготовлена для дальнейших вычислений. Даже не производя вычислений, по расположению вариант мы видим, что между двумя изучав­шимися величинами существует хорошо выраженная поло­жительная корреляция (даты расположены вокруг диагона­ли, идущей из левого верхнего угла в правый нижний).

Линиями, отграничивающими средние, решетка разбита на четыре квадрата. Обозначим их I, II, III, IV.

Для вычисления коэффициента корреляции нам необхо­димо найти сумму произведений отклонений на частоты (Σа_ха_н). Удобнее находить эту сумму по квадратам.




Нам надо найти b_x, b_y,, σ_x , σ_y. Вычислим эти показатели для рядов x и у. (Табл. 28 и 29). Таблица 28






Таблица 29



Определим ошибку коэффициента корреляции по формуле:



В нашем примере



Следовательно, мы записываем результаты наших расчетов в виде



Мы убедились, что между высотой растений и числом листьев существует ясно выраженная положительная корре­ляция.

Разберем другой пример. Определим коэффициент корре­ляции между количеством колосков и количеством зерен в колосе пшеницы (табл. 30).

Таблица 30



Число колосков в колосе колеблется от 14 до 22, амплиту­да изменчивости равна 8. Разбивать варианты на классы не надо.

Количество зерен в колосе колеблется от 30 до 50, ампли­туда изменчивости составляет 20. Этот ряд необходимо раз­бить на классы таким образом, чтобы число классов было близко к числу вариант первого ряда. Примем размер класса равным 3. Построим корреляционную решетку (табл. 31). Число колосков — х, число зерен в колосе у.

Таблица 31






Сумма произведений частот на отклонения Σ a_x a_y f = 108. Находим b и σ по рядам х и у (табл. 32, 33).

Таблица 32



Таблица 33



Примечание. При вычислении коэффициента корреляции r умножение на размер класса не производится.



Таким образом,



Между числом колосков и числом зерен в колосе имеется хорошо выраженная положительная корреляция.

КОРРЕЛЯЦИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

Между качественными признаками часто наблюдается корреляция. Из повседневных наблюдений мы знаем, что большинство людей, у которых темные волосы, имеют и тем­ные глаза и, наоборот, у большинства блондинов светлые глаза. Исключения встречаются, но сравнительно редко.

Часто установление корреляции между качественными признаками представляет интерес для исследователя. Назо­вем в качестве примера корреляцию между формой куста злаков и характером расположения корневой системы, окрас­кой и качеством шерсти у пушных животных, типом телосло­жения и молочностью у коров и т. д.

Математик Юл разработал способ определения корреля­ции между качественными показателями.

При сборе данных показатели, степень взаимосвязи меж­ду которыми мы хотим определить, записываются парал­лельно по каждому объекту (табл. 34).

Составляют корреляционную решетку, имеющую 4 поля. Затем делают разноску, пользуясь обычными, принятыми в статистике знаками  После окончания разноски знаки за­меняют цифрами. Допустим, мы получили следующие дан­ные (табл. 35):

Таблица 34 Таблица 35



Формулу Юла можно применять и для упрощенного вы­числения корреляции между количественными признаками после того, как составлены обычные корреляционные решетки. Возьмем в качестве примера вычисление коэффициента корреляции между весом семян и общим весом растений житняка, приведенное в книге П. Н. Константинова. Вес се­мян —у, общий вес —х (табл. 36. 37, 38).

Таблица 36



Таблица 37





Находим b и σ по ряду у.

Таблица 38



Применим к вычислению коэффициента корреляции фор­мулу Юла. Для этого разобьем корреляционную решетку на 4 поля, приняв за границы полей линии, отграничивающие условные средние.

В первом квадрате нашей корреляционной решетки (табл. 39) 34 варианты. Записываем их в левую верхнюю клетку. Во втором квадрате 1 варианта, записываем ее в пра­вую верхнюю клетку (ниже среднего по ряду х и выше сред­него по ряду у). В третьем квадрате 3, в четвертом — 24 ва­рианты. Записываем их в соответствующие клетки. Находим суммы по вертикали и горизонтали. Заносим все эти данные в решетку. Число наблюдений уменьшилось потому, что мы отбросили варианты, расположенные на средних линиях. Находим коэффициент корреляции по формуле Юла:



Таблица 39



Результат указывает на наличие очень высокой степени корреляции и близок к определенному нами при детальных расчетах. Такой способ вычисления применяют в тех слу­чаях, когда требуется дать приблизительную характеристику взаимной связи большого количества пар признаков.

КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ОТНОШЕНИЕ

Поставленный опыт по изучению влияния нормы высева семян на урожай ярового ячменя дал такие результаты (табл. 40)

. Таблица 40



Попробуем изобразить (табл. 41) намечающиеся законо­мерности на корреляционной решетке (х — урожай, у — нор­ма высева).

Таблица 41



Корреляция отсутствует. Между тем, анализируя данные таблицы, видим, что между нормой высева и урожайностью имеется вполне определенная связь: с увеличением нормы высева от 100 до 150 кг]га урожайность растет. Дальнейшее увеличение нормы высева влечет за собой ее снижение.

Связь между изменением двух признаков, при которой равномерному изменению признака соответствуют неравно­мерные изменения второго признака, причем эта неравномер­ность имеет определенный и закономерный характер, назы­вается криволинейной. Степень взаимной зависимости двух переменных величин при криволинейной связи показывает корреляционное отношение.

На существование прямолинейной (корреляционной) или криволинейной связи между двумя переменными указывает расположение вариант в корреляционной решетке: при нали­чии прямолинейной корреляции варианты группируются во­круг той или иной диагонали, образуя в общем очертании эллипс, размеры меньшего диаметра которого зависят от тес­ноты связи между признаками. При криволинейной связи общее очертание расположения вариант в корреляционной решетке имеет вид неправильно изогнутой фигуры.

Корреляционное отношение обозначается греческой бук­вой η (эта). Оно имеет значение от 0 до 1.

Рассмотрим определение корреляционного отношения сначала на упрощенном примере, взятом из книги «Биомет­рия» Н. А. Плохинского.

Имеется группа из 6 особей, у каждой особи измерено два признака — V₁ и V₂. В результате получены следующие данные:



Особи по первому признаку могут быть разбиты на груп­пы с одинаковым значением этого признака (4, 6, 8). К каж­дой такой группе по второму признаку относится по 2 особи. Найдем среднее значение второго признака для каждой груп­пы. Теперь к имеющимся двум рядам мы можем приписать третий, состоящий из частных средних по второму признаку.



Сопоставляя частные средние по второму признаку с ря­дом значений первого признака, видим, что при увеличении первого признака на одну и ту же величину (2) второй при­знак сначала резко увеличивается (с 6 до 16), а затем так же резко уменьшается (с 16 до 8).

Степень разнообразия частных средних можно выразить суммой квадратов отклонений частных средних от общей средней по второму признаку.

Определим это общее среднее:



Отклонения частных средних от общего среднего равно —4, —4, +6, +6, —2, —2. Возведя эти данные в квадрат, полу­чаем 16, +16, +36, +36, +4, +4. Сумма квадратов отклоне­ний равна 112.

Найдем отклонения от общей средней по каждой дате второго признака:

—2, —6, +4, +8. Возведем эти данные в квадрат:

+4, +36, +16, +64== 160. Запишем все ати показатели в общую таблицу (табл. 42).

Таблица 42



Общее среднее равно 10.

Сумма квадратов отклонений частных средних от общего среднего по второму признаку (V₂) равна 16+16+36+36+ +4+4 ==112 (частное разнообразие). Сумма квадратов отклонений каждого признака второго ряда от общего сред­него равна 4+36+16+64+36+4 ===160 (общее разнообра­зие).

Отношение частного разнообразия к общему равно квад­рату корреляционного отношения второго признака по первому:



отсюда корреляционное отношение второго признака по пер­вому в рассматриваемом примере равно



что указывает на сильную связь второго призняка с первым. Рассмотрим теперь приведенный в таблице 40 пример влияния норм высева на урожайность ячменя. Для сокраще­ния расчетов возьмем пять вариантов опыта. Нормы высева: 100, 125, 150, 175 и 200 кг/га. —V₁ нормы высева, V₂— уро­жайность. Нормы высева предусмотрены схемой опыта и безусловно одинаковы для всех трех повторностей. Урожаи по повторностям варьируют. Каждому значению V₁ соответ­ствуют три значения V₂. Составим таблицу 43.




Поскольку частное среднее первого признака (урожай­ности) для всех трех повторностей одинаково при одном и ром же значении второго признака (нормы высева), то и от­клонение от среднего для каждой группы общее. При вычи­щении суммы квадратов отклонений мы производим умножение полученных по группам квадратов отклонений на частоты (в данном случае на три, так как опыт проведен в трехкратной повторности).

Отношение V₂/V₁ указывает на зависимость изменения дорого признака (урожайности) от первого (нормы высева). 3 данном случае возможна только зависимость V₂/V₁ , пото­пу что норма высева не может изменяться в зависимости от урожайности, но в ряде случаев вычисляют как V₂/V₁ так и V₁/V₂. Тогда вычисление проводят так же, как и в разобранных примерах, но группировку данных проводят по V₂.

В результате вычисления (табл. 43) получено корреляционное отношение V₂/V₁ равное 0,96. Это показывает, что норма высева оказывает большое влияние на урожай. Ошибка корреляционного отношения вычисляется по формуле:

Корреляционное отношение считается существенным в тех случаях, если оно превосходит свою ошибку в три раза и более.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

При постановке полевых, вегетационных и лаборатор­ных опытов, так же как и при изучении живых объектов в естественной обстановке, мы всегда наблюдаем некоторое разнообразие изучаемых показателей. Как уже было отмече­но, показателем степени разнообразия служит основное отклонение — σ (сигма). Еще более чувствительным показа­телем степени разнообразия (варьирования, дисперсии, раз­броса данных) служит σ² (варианса, девиата, дисперсия) — сумма квадратов отклонений, деленная на число степеней свободы:



Использование этого показателя для обработки экспери­ментальных данных, получившее название «дисперсионный анализ», было впервые разработано и применено английским ученым Р. А. Фишером. В настоящее время дисперсионный анализ широко применяется для обработки данных в биоло­гии, промышленности и сельском хозяйстве.

Рассмотрим суть дисперсионного анализа. При постанов­ке опытов мы всегда преследуем цель выявить действие опре­деленного фактора (или факторов) на результативный при­знак — влияние различных форм и доз удобрений на уро­жайность, химический состав и другие хозяйственно-ценные свойства культур; сравниваем урожайность и качество раз­личных сортов, изучаем влияние факторов внешней среды на физиологические свойства организмов и т. д. Планируя опыт, мы предусматриваем проведение его в определенном количестве повторностей.

На результативный признак оказывают влияние:

1. Факторы, взятые для изучения.

2. Выровненность условий в отдельных повторностях опыта.

3. Случайные, не предусмотренные в процессе проведения опыта явления.

Основная задача дисперсионного анализа — выявить сте­пень влияния перечисленных факторов на результаты опыта.

Рассмотрим применение дисперсионного анализа на мо­дельном примере: мы берем модельные данные для того, чтобы не отвлекать внимания на сложные расчеты, неминуе­мо возникающие при обработке фактически полученных дан­ных, где всегда встречаются дробные и смешанные числа.

Допустим, мы хотим сравнить в полевых условиях уро­жайность пяти сортов: А, Б, В, Г, Д. Д — стандарт, лучший районированный в данной области сорт. Остальные сорта выведены селекционером. Нам необходимо установить, какие из новых сортов достоверно превышают по урожайности стандарт. Обычно такой опыт проводят в шести повторнос­тях, мы сокращаем число повторностей до трех, чтобы упро­стить расчеты (табл. 44).


Таблица 44



При подсчете суммы урожая по сортам и повторностям итог должен быть одинаковым. В нашем примере он равен 60. У нас было 15 вариантов (5 сортовЗ повторности). Сле­довательно, средний урожай равен 4. Вычисляем отклонения от среднего по каждой делянке, записываем их в трех столб­цах, идущих за суммой урожая по сортам. Возводим эти отклонения в квадрат и суммируем их по столбцам и стро­кам. Итог должен сойтись. Мы получили 44 — это сумма квадратов отклонений по опыту в целом.


При наличии счетной техники это же вычисление можно

сделать по формуле




т. е. сумма квадратов от­клонений в целом по опыту равна сумме квадратов всех дан­ных опыта минус квадрат суммы данных, деленное на число вариантов (сорта  повторности). Нетрудно убедиться, что мы получим такие же данные:



Вычислим сумму квадратов отклонений (табл. 45) по сор­там (по вариантам опыта).


Таблица 45



Умножаем полученную сумму на количество повторностей


103=30.


Сумма квадратов отклонений по вариантам опыта (сор­там) равна 30. При использовании счетных машин этот пока­затель вычисляется по формуле:



На нашем примере:




(пb — число повторностей, n — число вариантов опыта).

Сумма квадратов отклонений по сортам равна 30.

Вычислим сумму квадратов отклонений по повторностям

(табл.46).


Таблица 46



Полученную сумму квадратов отклонений умножаем на количество сортов:

0,96 5 = 4,8.

Сумма квадратов отклонений по повторностям равна 4,8. При использовании счетных машин этот показатель вычис­ляется по формуле:



В нашем примере

(nv — число сортов).

Сумма квадратов отклонений, обусловленных случайны­ми причинами, вычисляется по разности; общая сумма квадратов отклонений по опыту минус сумма квадратов отклонений по сортам (вариантам), минус сумма квадратов отклонений по повторностям.

44—30—4,8 = 9,2.

Составим таблицу дисперсионного анализа (табл. 47). Число степеней свободы для случайного варьирования равно произведению чисел степеней свободы по сортам и повтор­ностям :

4 Х 2 = 8.

F равно частному от деления вариансы по вариантам опыта на вариансу случайную:

7,5 : 1,15 = 6,52.

Табличное F при двух уровнях вероятности находят по таб­лице, имеющейся во всех руководствах по биометрии.

Таблица 47



Если фактическое F больше табличного, то различия между вариантами опыта реальны. Мы видим, что по сортам F больше табличного при вероятности 0,95, по повторностям F меньше табличного. Следовательно, между урожайностью сортов есть различия, повторности же выровнены, разница между ними лежит в пределах ошибки опыта.

Для сравнения урожайности сортов необходимо вычис­лить наименьшую существенную разность — НСР. Для этого определяем σ (основное отклонение), равное корню квадрат­ному из вариансы случайной:



Ошибка среднего вычисляется по формуле



При дисперсионном анализе она равна σ, деленной на ко­рень квадратный из числа повторностей.

Определим обобщенную ошибку среднего. Для этого раз­делим σ на корень квадратный из числа повторностей:



Поскольку ошибка для всех сравниваемых вариантов одна, формула ошибки разности



превращается в формулу



В нашем примере



Достоверность разности определяется с помощью крите­рия t Стьюдента, который представляет собой отношение раз­ности к ее ошибке при различном числе степеней свободы и различном уровне вероятности. Приводим таблицу 48.


Таблица 48




Наименьшая существенная разница (НСР) между изучае­мыми вариантами опыта определяется путем умножения ошибки разности на t при принятой вероятности и числе сво­боды по случайной вариансе. В нашем опыте при вероятно­сти Р = 0,95






Вернемся к результатам опыта (табл. 49).

Сорта А и Г дали достоверное Таблица 49




превышение над стандартом

А — при вероятности 0,95, Г — при вероятности 0,99. Уро­жайность сортов В и Б достовер­но не отличается от стандарта (разница меньше НСР).

Возьмем другой пример. Ис­пытывалось три сорта в пяти­кратной повторности. Получены следующие данные (табл. 50). Средний урожай по опыту

Возводим отклонения в квадрат и суммируем. Сумма квад­ратов отклонений — 44. Сумма квадратов отклонений по сортам — 4,8, по повторвостям — 30.

Составим таблицу дисперсионного анализа (табл. 51).

Таблица 50



F по сортам значительно меньше табличного. Следова­тельно, опыт не позволил выявить особенности сортов. По повторностям F больше табличного: в пределах одного сорта

Таблица 51



получены достоверные различия по повторностям. Отсюда вывод: опыт не удался потому, что условия по повторностям были не идентичны. При повторении опыта следует выбрать более выровненный участок.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет не толь­ко убедиться в существовании достоверных различий по изучаемым вариантам, но и понять причину неудачи (если F по повторностям было бы меньше табличного, то отсутствие разницы между сортами по урожайности можно было объяс­нить фактическим отсутствием такой разницы. Это говорило бы о том, что включенные в опыт сорта не отличались по урожайности).


Таблица 52



Рассмотрим применение дисперсионного анализа на фак­тическом материале (табл. 52). В таблице 52 показаны уро­жайность сортов яровой пшеницы, испытывавшихся в кон­курсном сортоиспытании, и расчеты, позволившие опреде­лить сумму квадратов отклонений по опыту в целом.

Определим сумму квадратов отклонений по сортам (табл. 53).

Определим сумму квадратов по повторностям (табл. 54). Составим таблицу дисперсионного анализа (табл. 55).

Наличие сортовых различий доказано (F больше F табличного).


Таблица 53




Таблица 54



Таблица 55




Различия по повторностям незначительны (F мень­ше F табличного):



Сопоставим урожайность испытывавшихся сортов с уро­жайностью стандарта (табл.56).

Таблица 56

Задачи

1. В опытах по изучению влияния облучения привоев яб­лони гамма лучами подсчитано число листьев на 1 м одно­летнего прироста. Получены следующие данные.

Число листьев на 1 м однолетнего побега:



Проведите необходимые вычисления, чтобы доказать:

а) Повлияло ли облучение на облиственность побегов?

б) Усилило ли облучение степень изменчивости по этому признаку?


2. Поражение пыльной головней исходного сорта яровой пшеницы и заложенных из него линий характеризовалось следующими показателями (табл. 57).

Таблица 57



Примечание. Данные взяты из работы О. С. Хохрикова (1971.).