А. М. Мубараков доктор пед наук, профессор. Н. Э. Пфейфер доктор пед наук, профессор пгу им. С. Торайгырова. Н. Е. Тарасовская доктор биологических наук, профессор. Химич Г. З., Хлущевская О. А. Введение в биометрию. Учебное пособие

1   2   3   4

Графическое изображение вариационного ряда называется вариационной кривой, наиболее часто

Рис. 1. Число колосков в

колосе пшеницы

встречающаяся в вариационном ряду вари­анта — модой. В нашем

.примере мода равна 15 Варианта, расположенная в середине вариационного ряда, называется медианой. Мода изображается Мо, медиана —. Ме. В биологических исследованиях мода имеет большое значение.


Например, среди клеверов есть одноукосные и мно­гоукосные формы. Они различаются по количе­ству междоузлий. При проведении апробации клевера нак надо знать не среднее количество междоузлий, а число расте­ний, обладающих определенным количеством междоузлий, т. е. относящихся к одноукосным или многоукосным фор­мам. Мода дает нам необходимые показатели.


РАЗБИВКА ВАРИАНТ НА КЛАССЫ. СОСТАВЛЕНИЕ ГИСТОГРАММ, ЗАМЕНА ГИСТОГРАММ КРИВЫМИ. ДВУХВЕРШИННЫЕ И МНОГОВЕРШИННЫЕ КРИВЫЕ, ПРОТУБЕРАНЦЫ ОШИБОК


Исследуя непрерывную изменчивость, а также анализи­руя данные, полученные при изучении прерывной изменчи­вости при большом размахе варьирования, необходимо раз­бивать варианты на классы. Например, число икринок у рыб одного вида и возраста нередко изменяется более чем на 500. Совершенно ясно, что выписывать столбиком все вари­анты невозможно.

При непрерывной изменчивости варианты чаще всего представлены смешанными числами: высота растений — 1,25; 2,15; 3,45 м и т. д. Содержание белка в зерне пшени­цы — 15,2; 16,1; 16,5% и т. д. Между двумя целыми чис­лами может располагаться 100 вариант, различающихся на 0,01 м или 0,р1%.

В этих случаях варианты разбиваются на классы. При этом следует соблюдать следующие правила:

1. Границы классов должны быть такими, чтобы каждая варианта могла быть отнесена только к одному классу:

5—9, 10—14, 15—19 и т. д., но не 5—10, 10—15, 15—20 и т. д.

2. Размеры всех классов должны быть равными.

3. Первый и последний классы могут быть неполными. Например, при размере класса 10 и амплитуде изменчивости 76 размер последнего класса 70—79, хотя варианты 77—79 в нашем примере отсутствуют.

4. Количество классов должно быть не более 10—15 и не менее 6—7.

5. Для определения размера классов находят минималь­ную и максимальную варианты, определяют амплитуду изменчивости и делят ее на установленное количество клас­сов, округляя полученное число до целого. Например: изме­рения высоты стеблей кукурузы 25/VIII 1972 г. дало резуль­таты, приведенные в таблице 6.


Таблица 6

№ пп	Высота	№ пп	Высота	№ пп	Высота	№ пп	Высота
1	132	17	125	33	147	49	142
2	160	18	144	34	238	50	141
3	100	19	116	35	131	51	115
4	155	20	138	36	166	52	144
5	126	21	123	37	132	53	128
6	129	22	134	38	114	54	124
7	125	23	118	39	133	55	108
8	106	24	179	40	103	56	132
9	164	25	153	41	126	57	143
10	114	26	116	42	143	58	147
11	127	27	131	43	141	59	131
12	163	28	173	44	125	60	154
13	111	29	133	45	154	61	102
14	131	30	110	46	116	62	157
15	128	31	152	47	105	63	118
16	136	32	144	48	133	64	123

Амплитуда варьирования 100—179=79 см. Если при­мем размер класса за 10, то 79:10 ==7,9 ==8 классов. Наме­тим границы классов и составим таблицу 4.

При разноске мы зачеркиваем в нашей таблице очеред­ную цифру и ставим точку или черточку против соответст­вующего класса. Так, в класс 100—109 мы отнесем вари­анты 100, 102, 103, 105, 106, 108. Мы получили вариацион­ный ряд. Мода его — класс 130—139.

Графическое изображение вариационного ряда, разбито­го на классы, называется гистрограммой. При составлении гистрограммы на горизонтальной оси наносятся размеры классов, на вертикальной - частоты. Гистрограмму можно превратить в вариационную кривую. Для этого надо соеди­нить прямыми линиями середины классов. Изобразим при помощи гистрограммы полученные нами данные по высоте растений кукурузы (рис. 2).

При анализе количественных данных исследователь обычно получает много чисел. Построение гистограмм и ва­риационных кривых помогает осмыслить эти числа, наме­тить определенные закономерности. Графики часто поме­щают в печатных изданиях и в отчетах о научно-исследова­тельской работе. Для удобства сравнения на одном чертеже помещают несколько кривых. На рабочих чертежах удобно эти кривые чертить цветной тушью или карандашами. Для печати кривые обычно чертят черной тушью, но разными шрифтами. Каждый чертеж сопровождается экспликацией, показывающей, как изображен тот или другой вариант опы­та. Например, мы провели измерение высоты пяти гибридов кукурузы. Экспликация будет выглядеть следующим обра­зом:

_________________________ Гибрид ВИР 156 (контроль)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Юбилейный

……………………………….. Днепровский 56

-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х-х Краснодарский 4

-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0 Южный 3


Таблица 7



Рис.2 Высота растений кукурузы в см.


На одном чертеже неудобно располагать больше 5—6 ва­риантов опыта, поэтому если сравнивается большее коли­чество вариантов опыта, то составляется несколько графи­ков, причем вариант, служащий контролем, помещается на каждом чертеже. Чтобы на одном чертеже можно было по­местить несколько кривых, при разбивке вариант на классы надо границы классов устанавливать не по минимальной варианте каждого варианта опыта, а брать границы классов, общие для всех вариантов. Например, если минимальная высота растений в одном варианте опыта 100, в другом — 113, в третьем —98 см, а размер класса принят за 10 см, то границы классов должны быть 90—99, 100—109, 110—119 и т. д. То, что первые классы могут отсутствовать или быть неполными, не имеет значения.

Для большинства признаков сельскохозяйственных и биологических объектов характерно нормальное распреде­ление. Его отличительной чертой является то, что, чем боль­ше отклоняется значение отдельной варианты от средней, тем реже она наблюдается. Например, большинство людей имеет средний рост. Великаны (более 200 см) и карлики (менее 100 ел») встречаются крайне редко.

Наиболее часто отклоняются от нормального скошенное (асимметрия), крутовершинное (эксцесс), двух- и многовер­шинное распределения (рис. 3).

Основной причиной возникновения двух- и многовер­шинных кривых является неоднородность взятого для иссле­дования материала. Еще в начале возникновения науки био­метрии известный голландский ученый Гуго де Фриз провел биометрическое изучение длины лепестков и чашелистиков у растения семейства онагриковых — Энотера Ламаркиана.







Рис. 3 Типы распределений. Пунктиром показано нормальное распределение.


Вместо ожидаемых (на основании работ Ф. Гальтона) одновершинных нормальных кривых он в обоих случаях получил двухвершинные (или, как их еще называют, бимодальные) кривые. Подробно изучив взятые для опыта растения, он установил, что вид Энотера Ламаркиана состоит из двух хорошо отличимых видов: обычной Энотеры Ламаркиана и Энотеры гирас, отличающейся большими размерами всех органов

Для двух- и многовершинных кривых характерно постепенное нарастание час­тот, затем также постепенное их сниже­ние и вновь наступающее нарастание.

В практической работе иногда наблю­дается резкое снижение или возрастание частоты отдельных вариант (рис. 4).




Рис. 4 Протуберанц ошибки.

Такие выступы на кривых называются протуберанцами ошибок. Причины их возникновения:

1. Недостаточное количество объектов исследования.

2. Слишком мелкие градации изучаемых признаков.

3. Допущенные ошибки в измерениях или подсчетах. Например, изучая количество зерен в колосьях пшеницы определенного сорта, мы получили данные, представленные в таблице 8.

Если мы объединим количество зерен в классы по два, то кривая примет нормальный вид (рис. 5). Это естественно, так как разница в одно зерно может быть случайной.

Кол-во зерен	Частота
25	4
26	8
27	2
28	16
29	11
30	13
31	14
32	8

Таблица 8


Рис.5 Устранение протуберанца ошибки


ВЫЧИСЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО,

ОШИБКИ СРЕДНЕГО, ОСНОВНОГО (КВАДРАТИЧЕСКОГО) ОТКЛОНЕНИЯ, КОЭФФИЦИЕНТА ВАРИАЦИИ

Одна из основных задач статистической обработки мате­риала— найти показатели, характеризующие особенности эмпирических совокупностей, дающие возможность сравни­вать их друг с другом.

Статистические совокупности с достаточной полнотой характеризуют два показателя:

1. Средняя величина признака;

2. Степень варьирования, или рассеяния.

Рассмотрим понятие «средняя величина признака». В статистике используются средняя арифметическая, средняя взвешенная, средняя гармоническая, средняя геометриче­ская. Наибольшее значение в биологических и сельскохозяй­ственных исследованиях имеет средняя арифметическая.

Средней арифметической называется такая величина, сумма отрицательных и положительных отклонений от которой равна нулю. Например, количество плодов на растениях составляет 4; 5; 9. Среднее количество плодов — 6; 4 откло­няется от 6 на минус 2; 5— на минус 1; 9— на плюс 3:

—2—1+3=0

Чтобы найти арифметическое среднее, надо сложить все I варианты и разделить их на число наблюдений. Средняя арифметическая в вариационной статистике обозначается как М или (читается как икс покрытое). Фор­мула определения среднего арифметического


, (что одно и то же).

При небольшом количестве наблюдений или при исполь­зовании электронных счетных машин вычисление среднего арифметического производится таким образом.

При обработке сложных вариационных рядов при боль­шом количестве вариант такой способ вычисления слишком трудоемок. Применяется способ вычисления среднего «по способу моментов», или «от произвольного начала». Рас­смотрим этот способ вычисления на примере простого вариа­ционного ряда (табл. 9). (Вариационный ряд, в котором каж­дая варианта встречается один раз, называется простым, несколько раз — сложным).

Отклонения от произвольно взятого среднего обозна­чаются а

или . В качестве произвольно взятого среднего (или условного среднего) берем любую варианту, лежащую в средине или близко к средине вариационного ряда. Отгра­ничиваем ее прямыми линиями. Мы взяли в нашем примере в качестве произвольного среднего варианту 13. Вычислим отклонения от произвольной средней каждой варианты. По­скольку наш ряд построен в восходящем порядке, варианты, лежащие выше произвольного среднего, имеют знак —, ни­же его +.

Найдем, алгебраическую сумму отклонений:


—6+10==+4.


Мы знаем, что сумма отрицательных и положительных отклонений от среднего равна 0. Разделив полученную нами сумму отклонений на число наблюдений (8), получаем по­правку b.

b = 4 : 8 = 0,5


Формула поправки , а истинное среднее равно произвольно взятому среднему Мо + поправка.

М = Мо + b.


Таблица 9.

	Отклоне­
	ния от
Вариан­та х	произ­вольно взятого среднего
10 11 12 13	-3 -2 —1 —6
14 15 16 17	1 2 3 4
	10

Таблица 10

х	f		f ( )
10	2	-3	- 6
11	4	-2	- 8
12	5	-1	- 5
13	8		-.19
14	6	1	6
15	4	2	8
16	3	3	9
17	2	4	8
	34		31

Нельзя забывать, что речь идет об алгебраической сум­ме: если мы получили поправку b с отрицательным знаком, то М=Мо+ ( - b), т. е. Мо - b.

В нашем примере М или x = 13+0,5=13,5. Проверим наше вычисление:

10+11+12+13+14+15+16+17=108; M= 108: 8 = 13,5 (n = 8).


Мы получили одинаковые результаты, что и при вычисле­нии с помощью произвольно взятой средней.

Если в качестве произвольного среднего мы возьмем варианту 14, то сумма отрицательных отклонений будет равна —10; сумма положительных +6, поправка b = (- 10 +6) : 8 = - 0,5.

Среднее =14+(—0,5) =13,5.

Для проверки правильности вычисления среднего реко­мендуется повторить вычисление, взяв за произвольное сред­нее другую варианту.

В сложных вариационных рядах, где варианты встре­чаются по несколько раз, также берут одну из вариант, лежащих в средине ряда, за произвольную среднюю, вычис­ляют отклонение от среднего (х - или а), умножают откло­нения на соответствующие частоты, находят суммы положи­тельных и отрицательных отклонений (а-f), делят на коли­чество наблюдений и найденную таким образом поправку добавляют или вычитают из произвольно взятого среднего (в зависимости от знака). Рассмотрим пример (табл. 10).

Поправка b = (-19 + 31) : 34= 0,35, n=34. Вычисления про­изводятся с точностью до 0,01. Средняя равна 13+0,35== =13,35.

При вычислении среднего в рядах, разбитых на классы, во избежание получения слишком больших чисел при рас­четах, отклонения от произвольно взятого среднего каждого класса принимают за единицу, а затем полученную поправ­ку умножают на размер классового промежутка, обозначае­мого К или l, и добавляют или вычитают (в зависимости от знака) к центральному значению класса, взятого в качестве произвольного среднего. Центральное значение класса обоз­начается W, X или х.. В качестве примера вычислим среднее по данным таблицы 11.

Сумма произведений частот на отклонение с отрицатель­ным знаком равна —20, с положительным знаком 34. Алге­браическая сумма составляет 14.

Найдем b, для этого 14 разделим на 41 (41=Σf = n), получим 0,34. W— централь­ное значение класса, принятого за среднее, равно 37. Отсюда М=37+0,34 •5 = 38,70.

Формула вычисления среднего вариационного ряда, раз­битого на классы:

М = W + b •l.

При вычислении следует следить за правильностью зна­ков плюс или минус у b

Таблица 11

Классы	Центр.зна­чение клас­	Частота f	Очклонение от среднего,	f (х -)
	са w		х -
20-24	22	2	—3	—в
25-29	27	4	-2	-8
30—34	32	6	-1	—6
36-39	37	10		20
44-44	42	8	1	8
45-49	47	7	2	14
50-54	52	4	3	12
		41		34

ВЗВЕШЕННОЕ СРЕДНЕЕ

Часто для практических и научных целей необходимо объединить полученные для однородного материала средние и на этой основе найти одно общее среднее, характеризую­щее весь изученный материал. Число наблюдений, послу­жившее для вывода каждого отдельного среднего, назы­вается его весом.

Рассмотрим самый обычный пример.

Передовая бригада совхоза на площади 200 га получила урожай озимой пшеницы 60 ц/га. На остальной площади — 10 000 га — средний урожай составил 30 ц/га. Каков сред­ний урожай озимой пшеницы в совхозе?

200 га дали в среднем урожай по 60 ц/га

10 000 га » » по 30 ц/га

Средний урожай ?

Если для определения среднего урожая мы воспользуем­ся арифметическим средним —(60+30) : 2 = 45, то получим явно завышенный урожай — 459 000 ц. Фактически же сов­хоз собрал: (60Х200)+(ЗОХ10000) = 312000 ц.

Выражения 60; 30 ц/га и т. п. означают, что в среднем с каждого гектара из 200 га, закрепленных за передовой бригадой, получено по 60 ц, со всей остальной площади — 10 000 га — по 30 ц. Следовательно, 200 является весом среднего 60 ц, а 10 000 — весом среднего 30 ц. Для получе­ния правильного представления о полученном среднем урожае мы должны вычислить взвешенное среднее, т. е. помно­жить каждое среднее на его вес, найти сумму произведений и разделить ату сумму на сумму весов:


(60 • 200) + (30 • 10000) ׃ 200 +10000 = 30,5 ц/га

Рассмотрим еще один пример. На овцеводческой ферме 10 баранов-производителей дали в среднем по 11 кг шерсти, 400 молодых маток — по 5 кг, 600 старых маток — по 7 кг. Каков средний настриг шерсти на ферме?


(11 •10) + (5 •400) + (7 • 600) ׃ (10 + 400 +600 = 6,24 кг.


Формула для вычисления взвешенного среднего: