Geum.ru

Задача анализа, т е. определение количественных

Вид материалаЗадача
Подобный материал:
1   2   3   4   5


zi

Pzi = ROi * Ri(zi) * P0i, (VII-71)

где ROi = LAi / MUi;

+

| 1/zi! при zi <= mi,

Ri(zi) = < (zi-mi)

| 1/(mi!*mi ) при zi > mi,

+


+ i (mi+1) +-1

| mi ROi ROi |

P0i = |1 + SUMMA ----- + ------------- |

| i = 1 i! mi!*(mi-ROi) |

+ +


Подставляем в (УП-71) выражение для вероятностей состояний

отдельных СМО (УП-72) с учетом коэффициентов передач (УП-62),

получим

n | ALFAi*LAо |zi

П { | --------- | *Ri(zi)*P0i }

i=1 | MUi |

P(z1, ..., zi, ..., zn) = -------------------------------------

n | ALFAi*LAо |zi

SUMMA { П | --------- | *Ri(zi)*P0i }

A(M,n) i=1 | MUi |


n

В этом выражении произведение вероятностей П {P0i} и

i=1

n zi n M

произведение П {LAо } = LAо ** ( SUMMA zi) = LAо не зависят от

i=1 i = 1

индекса A(M,n) суммирования, поэтому их можно вынести за знак

суммирования и сократить на них числитель и знаменатель;

окончательно получаем


n | ALFAi |zi

П { | ----- | *Ri(zi)

i=1 | MUi | (VII-73)

P(z1,...,zi,...,zn) = -----------------------------

n | ALFAi |zi

SUMMA { П | ----- | *Ri(zi)

A(M,n) i=1 | MUi |


Располагая вероятностями состояний замкнутой сети, можно

найти показатели эффективности как отдельных СМО, составляющих

сеть, так и сети в целом.

Среднее число занятых каналов в системе Si определяется

выражением

+ +

- mi | mi |

Ki = SUMMA{r*P(zi = r)} + mi*|1 - SUMMA{P(zi = r)}| (VII-74)

r = 0 | r = 0 |

+ +


где P(zi = r) - вероятность того, что в системе Si находится

точно r заявок, а оставшиеся (M - r) заявок распределяются среди

других систем любыми возможными способами


P(zi = r) = SUMMA P(z1, z2, ..., zi, ..., zn),

zi=r


где суммирование ведется по тем состояниям множества A(M,n), для

которых справедливо zi = r.

Расчет средней длины очереди для системы Si можно выполнить

в соответствии с выражением


- zi

li = SUMMA {(r - mi)*P(zi = r)} (VII-75)

r=mi+1


Здесь суммирование ведется по тем состояниям из множества

A(z,n), в которых число заявок zi в системе Si превышает число

каналов обслуживания mi и, следовательно, очередь имеет ненулевую

длину. -----

Среднее число заявок, пребывающих в СМО Si, i = 1, n,

-

удобно искать как сумму средней длины очереди li и среднего

-

числа занятых каналов обслуживания Кi:


- - -

zi = li + Ki (VII-76)

-

Вычисленные в соответствии с (УП-76) значения zi должны

n -

удовлетворять равенству: SUMMA zi = M .

i = 1 -

Зная среднее число занятых каналов Ki и интенсивность

потока обслуживаний одним каналом MUi, интенсивность входящего

----

потока СМО без потерь LAi, i = 1, n можно найти по выражению


-

LAi = Ki*MUi (VII-77)


-

Тогда средние времена ожидания tожi и пребывания в системе

- ----

tсi в СМО без потерь Si, i = 1, n равны


- -

tожi = li / LAi, (VII-78)

- -

tсi = zi / LAi,


Перейдем к определению показателей эффективности сети в

целом. Зная интенсивность входящего потока какой-либо из систем

----

LAi = ALFAi*LAо и коэффициенты передач ALFAi, i = 1, n,

можно найти производительность замкнутой сети LAо:


LA1 LAi LAn

LAо = ----- = ... = ----- = ... = ----- (VII-79)

ALFA1 ALFAi ALFAn


Среднее время ожидания заявки за все время ее пребывания в

сети определяется выражением


- n -

tож = SUMMA(ALFAi * tожi) (VII-80)

i = 1


Аналогично среднее время пребывания заявки в замкнутой сети

можно вычислить по выражению


- n -

tс = SUMMA(ALFAi * tсi)

i = 1


Пример VII-8.


Замкнем вычислительную систему, рассмотренную в примере

УП-7, и переведем ее в пакетный режим обработки, структура

полученной таким образом замкнутой сети показана на рис. УП-15.

Изменим в условиях примера УП-7 только один параметр сети:

вместо неизвестной интенсивности входящего потока заявок LAо

зафиксируем число заявок, циркулирующих в сети, и примем его

равным М = 3.

LAо

+------------------------------------------------------------+

|P01 ----------------------------- P10 |

+-->\ |S1 Q1 +----+ | /->----+

\------>+-+-+---+-+----->| K1 |-----------------/

/ | +-+-+---+-+ +----+ | \

+->/ ----------------------------- \--+

| |

| ----------------------------- |

| P21 | +----+ Q2 S2| P12|

|<------------------------| K2 |<----+-+-+---+-+<-------|

| | +----+ +-+-+---+-+ | |

| ----------------------------- |

| ----------------------------- |

| | +----+ S3| |

| | +| K31|<+ | |

| | |+----+ | | |

| P31 | | | Q2 | P13|

|<---------------------|-| . . . |<--+-+-+---+-+<-------+

| | | +-+-+---+-+ |

| |+----+ | |

| +| K3m|<+ |

| +----+ |

-----------------------------


Рис. VII-15


Поскольку матрица вероятностей передач осталась неизменной,

сохранят свои значения и для замкнутой сети коэффициенты передач

ALFA1 = 10, ALFA2 = 4, ALFA3 = 5. Используя (УП-73), найдем

выражение для расчета вероятностей состояний сети:


Р(z1, ..., zi, ..., zn) =


z1 z2 z3

[(ALFA1/MU1) *R1(z1)]*[(ALFA2/MU2) *R2(z2)]*[(ALFA3/MU3) *R3(z3)]

----------------------------------------------------------------------

z1 z2 z3

SUMMA {[(ALFA1/MU1) *R1(z1)][(ALFA2/MU2) *R2(z2)][(ALFA3/MU3) *R3(z3)]

A(3,3)


и вычислим вероятности состояний:


Р(3, 0, 0) = 125/48000 = 0,0026;

Р(2, 1, 0) = 125/48000 = 0,0026;

Р(1, 2, 0) = 125/48000 = 0,0026;

Р(0, 3, 0) = 125/48000 = 0,0026;

Р(0, 2, 1) = 1250/48000 = 0,0260;

Р(0, 1, 2) = 6250/48000 = 0,1302;

Р(0, 0, 3) = 31250/48000 = 0,6512;

Р(1, 0, 2) = 6250/48000 = 0,1302;

Р(2, 0, 1) = 1250/48000 = 0,0260;

Р(1, 1, 1) = 1250/48000 = 0,0260.


-

Определим среднее число занятых каналов Ki для каждой из

СМО в соответствии с выражением (УП-74):


-

K1 = 0 * 0,81 + 1 * 0,1588 + 1(1 - 0,81 - 0,1588) = 0,19;

-

K2 = 0 * 0,81 + 1 * 0,1588 + 1(1 - 0,81 - 0,1588) = 0,19;

-

K3 = 0 * 0,0104 + 1 * 0,078 + 2 * 0,2604 + 2(1 - 0,0104 -

- 0,078 - 0,2604) = 1,9012


Средние длины очередей в каждой из СМО Si найдем, пользуясь

(УП-75):

-

l1 = 1 * 0,0286 + 2 * 0,0026 = 0,0338;

-

l2 = 1 * 0,0286 + 2 * 0,0026 = 0,0338;

-

l3 = 1 * 0,6512 = 0,6512.


Для контроля выполнения расчетов воспользуемся контрольным

соотношением


3 - 3 - -

SUMMA zi = SUMMA(li + Ki) = 3,0 = M

i = 1 i = 1


На основании (УП-77) найдем интенсивности входящих потоков

составляющих сеть СМО:

- -1;

LA1 = K1 * MU1 = 0,19 * 2 = 0,38c

- -1

LA2 = K2 * MU2 = 0,19 * 0,8 = 0,152c ;

- -1

LA3 = K3 * MU3 = 1,9012 * 0,1 = 0,19012c .


Теперь нетрудно по (УП-78) найти средние времена ожидания

заявки в СМО Si при каждом обслуживании:

- -

tож1 = l1/LA1 = 0,0338/0,38 = 0,0889c;

- -

tож2 = l2/LA2 = 0,0338/0,152 = 0,2224c;

- -

tож3 = l3/LA3 = 0,6512/0,19012 = 3,4252c.


Производительность замкнутой сети определяется выражением

(УП-79):

LA1 0,38 -1

LAо = --------- = ------ = 0,038с

ALFA1 10


Среднее время ожидания произвольной заявки за все время ее

пребывания в замкнутой сети в соответствии с (УП-80) равно


-

tож = 10 * 0,889 + 4 * 0,2224 + 5 * 3,4252 = 18,9 с.


Значение критерия эффективности замкнутой стохастической

сети в рассматриваемом примере равно


Е = 10 * 18,9 + 20(1 - 0,19) + 10(1 - 0,19) +

+ 2(2 - 1,9012) = 213,5 усл.ед.