Geum.ru

Экзаменационные вопросы 1 семестр

Вид материалаЭкзаменационные вопросы

Содержание


Арифметика кольца целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел. Деление с остатком.
Алгебраические структуры. Полугруппы и группы. Двуместные алгебраические операции (бинарные операции).
Поле рациональных дробей. Правильные и простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейши
Подобный материал:
Алгебра

Направление подготовки 090301 Компьютерная безопасность

Экзаменационные вопросы 1 семестр

  1. Краткий исторический обзор развития алгебры: основные периоды ее становления, изменения предмета алгебраических исследований.
  2. История задачи о разрешимости уравнений в радикалах.
  3. Примеры применения алгебры в других разделах математики.

  4. Множества, операции над ними.

  5. Отображения, их основные типы.

  6. Суперпозиция отображений.

  7. Обратимость отображений.

  8. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности.
  9. Классы эквивалентности и фактормножества. Факторизация отображений.
  10. Отношения частичного порядка. Линейный порядок.
  11. Математическая индукция.

  12. Арифметика кольца целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел. Деление с остатком.

  13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное системы целых чисел. Алгоритм Евклида.
  14. Простые числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
  15. Основная теорема арифметики.

  16. Алгебраические структуры. Полугруппы и группы. Двуместные алгебраические операции (бинарные операции).

  17. Полугруппы и моноиды.
  18. Свободные полугруппы и моноиды.
  19. Изоморфизм полугрупп и моноидов
  20. Задание полугрупп и моноидов образующими элементами и определяющими соотношениями.
  21. Проблемы равенства и изоморфизма для конечно определенных полугрупп и моноидов. Теоремы А.А. Маркова - Э. Поста.
  22. Обобщенная ассоциативность. Степени элемента полугруппы. Операции над степенями.
  23. Подполугруппы и подмоноиды.
  24. Гомоморфизмы полугрупп и моноидов.
  25. Обратимые элементы в моноиде, их основные свойства.
  26. Группы: определение, примеры, основные свойства.
  27. Изоморфизм групп: определение и примеры.
  28. Свободные группы. Задание групп образующими элементами и определяющими соотношениями.
  29. Алгоритмические проблемы для конечно определенных групп. Понятие о теоремах П.С. Новикова и С.И. Адяна - М. Рабина.
  30. Понятие о фундаментальной группе множества в .
  31. Узлы и их группы. Понятие о теореме Зейферта-ван Кампена.
  32. Подгруппы. Образующие элементы подгрупп.
  33. Смежные классы, их свойства. Теорема Лагранжа.
  34. Циклические группы, их подгруппы. Порядок элемента.
  35. Симметрическая и знакопеременная группы.
  36. Матричные группы. Примеры их заданий образующими элементами и определяющими соотношениями.
  37. Гомоморфизмы: определение, примеры. Ядро и образ гомоморфизма.
  38. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме.
  39. Кольца и поля: определения, примеры и основные свойства.
  40. Изоморфизмы колец и полей. Кольца классов вычетов. Матричные кольца. Характеристика поля.
  41. Подкольца. Делители нуля.
  42. Идеалы колец. Главные идеалы. Кольца главных идеалов.
  43. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме для колец.
  44. Области целостности. Поле отношений целостного кольца.
  45. Теория делимости в областях целостности. Факториальные кольца.
  46. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексных чисел. Возведение в степень и извлечение корней. Корни из единицы.
  47. Кольцо многочленов (полиномов) от одной переменной над произвольным кольцом. Отношение делимости в кольцах многочленов.
  48. Кольцо многочленов над полем. Деление с остатком. Наибольший общий делитель системы многочленов. Алгоритм Евклида.
  49. Неприводимые многочлены. Разложение многочленов в произведения неприводимых.
  50. Евклидовы кольца. Факториальность евклидовых колец.
  51. Кольца многочленов от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.
  52. Дискриминант многочлена. Результант двух многочленов. Кольца как примеры колец, в которых не все идеалы главные.
  53. Формально-алгебраический и функциональный взгляд на понятие многочлена.
  54. Интерполяционные многочлены. Интерполяционная формула Лагранжа.
  55. Неприводимые многочлены над Q и Z. Лемма Гаусса. Критерий Эйзенштейна.

  56. Поле рациональных дробей. Правильные и простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших.

  57. Корни многочленов. Связь корней многочленов с делителями первой степени, теорема Безу.
  58. Кратность корня, ее понижение при дифференцировании.
  59. Теорема Гаусса об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел, ее следствия.
  60. Неприводимые многочлены с комплексными и действительными коэффициентами.
  61. Формулы Виета. Разложение многочленов с комплексными и действительными коэффициентами в произведение неприводимых.
  62. Корни многочленов с действительными коэффициентами. Локализация корней. Теорема Штурма.
  63. Поле разложения многочлена.
  64. Конечные поля Галуа.