Geum.ru

Удк 51(092) об историчеком процессе развития геометрии как науки

Вид материалаДокументы

Содержание


Первый этап
Четвертый период
Подобный материал:
УДК 51(092)

ОБ ИСТОРИЧЕКОМ ПРОЦЕССЕ

РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ КАК НАУКИ

Янкович Елена Ивановна

Пермский государственный педагогический университет,

магистрант 2 г. обуч., ElenaYankowitch@yandex.ru


Показано формирование многообразия геометрий на каждом из четырех этапов развития. Отмечены имена ученых, внесших вклад в обоснование геометрической науки.


Геометрия является одной из древнейших наук и в историческом плане появилась первой. В её развитии выделяют четыре этапа. Переход от одного из них к другому характеризовался качественным скачком.

Первый этап – предыстория (... – VII–VI до н.э.). Появление термина «геометрия» греческий ученый Евдем Родосский (IV в. до н.э.) объяснил следующим образом: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли, которое было необходимо им вследствие разлива реки Нил, постоянно смывающего границы... Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постоянно становится предметом рассмотрения и наконец делается достоянием разума» [1, с. 143].

Первые геометрические знания возникали на ранних ступенях развития общества, в процессе абстрагирования от всех свойств и отношений тел, кроме их взаимного расположения и величины. Аналогичное касалось и пространственных тел: они являлись абстракцией, при которой сохранились лишь их формы и размеры без учета всех других свойств. Геометрические знания того времени представлялись в виде правил эмпирического происхождения, а логические доказательства были еще примитивными.

Одновременно в древней Греции появилось и учение об измерении участков земли, для которого был введен термин «геодезия». В геометрии же измеряли длины, площади, объемы, с ее помощью производился расчет земляных и строительных работ, осуществлялось строительство культовых сооружений, оросительных каналов и др.

Выдающимся достижением в Греции явилось изобретение комедии и трагедии. В связи с этим потребовалось умение изображать пространственные фигуры на плоской поверхности («скенография»). Впоследствии такое учение было представлено Витрувием в его знаменитом произведении «Десять книг об архитектуре».

К VI в. до н.э. объем геометрических знаний значительно вырос. В связи с этим требовалось их систематизировать, обобщить и представить в виде целостного учения. Это все и привело ко второму периоду развития геометрии, когда она была оформлена как самостоятельная научная дисциплина с ее дедуктивным изложением. Попытки такого построения предпринимались и раньше, но все они были забыты после появления «Начал» Евклида (III в. до н.э.). В 13 его томах элементарная геометрия представлена так, как ее понимают теперь. Геометрию же, развивавшуюся на основаниях (аксиомах) последней, но уточненную и обогащенную как в предмете, так и методах исследования, называют евклидовой. В ней выделялись следующие неопределяемые понятия: точка, прямая и плоскость. Относительно них определялись отношения «лежать» («не лежать») или «принадлежать» («не принадлежать»). Кроме того, давались определения (отрезка, угла, окружности и др.). Зачем формулировались аксиомы и постулаты (требования). Все остальные положения доказывались без всяких ссылок на интуицию и наглядность, они назывались теоремами.

В период упадка античного общества была создана геометрия на сфере. Наибольшую роль при этом сыграла «Сферика» Менелая (I в.), построенная по образцу «Начал» Евклида. Она состоит из трех книг. В ней впервые введено понятие сферического треугольника, которое не встречается в более ранних греческих исследованиях. Значительная часть сочинения посвящена исследованию свойств этой фигуры. Еще одним трудом в рассматриваемом направлении стал «Альмагест» Птолемея (II в.), где он подробно изложил теорию видимого движения Солнца, Луны и планет, основанную на эпициклах и эксцентрических кругах. Там же ученый привел список более тысячи звезд с указанием их эклиптических координат и яркости. После упадка античного общества математика и геометрия, в частности, перестали развиваться.

Возрождение наук и искусств Западной Европе стимулировало дальнейшее развитие геометрии. Принципиально новый шаг был сделан Р. Декартом и П. Ферма, которые ввели метод координат в геометрию, позволивший связать ее с развивавшееся тогда алгеброй (1637). В результате была создана аналитическая геометрия, изучавшая геометрические фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в рассматриваемой системе координат, используя при этом методы алгебры. [1, с. 144] . И с этого момента (первая половина XVII в.) начинается третий период развития геометрии. Позже (XVIII в.) связь последней с зародившимся тогда анализом бесконечно малых привела к формированию дифференциальной геометрии в исследованиях Л.Эйлера и Г.Монжа. Ее название связано с используемым методом, исходящим из дифференциального исчисления.

К первой половине XVII в. относится зарождение проективной геометрии благодаря исследованиям Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из проблемы изображения пространственных тел на плоском чертеже. В ней изучались те свойства плоских фигур, которые сохранялись при проектировании объектов из любой точки с одной плоскости на другую. Кроме того, учение о геометрическом изображении в связи с задачами черчения было развито и приведено в систему Г.Монжем (1799), ставшую впоследствии начертательной геометрией.

Окончательное оформление и систематическое изложение новых геометрий было дано уже в XVIII – XIX вв.: Л. Эйлером (1747) для аналитической геометрии, Г. Монжем (1795) для дифференциальной и Ж. В. Понселе (1822) для проективной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы геометрии (неопределяемые понятия, определения, аксиомы) оставались теми же, в то время как круг изучаемых фигур, их свойств и применяемых методов значительно расширился [1, с. 144].

Четвертый период в развитии геометрии связан с открытием неевклидовых геометрий. «Начала» Евклида на протяжении более двух тысяч лет подвергались тщательному изучению и анализу. Имеется огромная литература, содержащая комментарии к этому труду. Особое внимание привлекал к себе V постулат. Его применение разграничивает геометрические предложения на те, которые доказываются без помощи V постулата; и на предложения, доказываемые с его использованием. Предложения первой группы относятся к абсолютной геометрии, а второй – образуют так называемую евклидову геометрию.

Математики с давних времён пытались либо исключить этот постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы; либо заменить его таким, столь же очевидным, как и другие постулаты. За два тысячелетия было предложено много «доказательств» этого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: либо оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержалось утверждение, которое не удавалась доказать без использования того же пятого постулата, либо приходили к утверждению, эквивалентному ему.

Возможны два отрицания этого постулата, благодаря чему появлялись две геометрические теории, отличные от евклидовой геометрии:
  1. через точку, не лежащую на данной прямой проходит, по крайней мере, две прямые не пересекающие данную.
  2. Через точку, не лежащую на данной прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной.

В первом случае получается геометрия, носящая имя Н. И. Лобачевского (1826). Он продвинулся в построении новой геометрической теории дальше всех: заменив пятый постулат его отрицанием, построил новую геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий, и доказывал соответствующие теоремы подобно тому, как это осуществлялось в геометрии Евклида.

Во втором случае получается геометрия, построенная Б. Риманом (1854). Её называют эллиптической геометрией Римана. Заметим, что к ее построению возможно несколько подходов: аксиоматический, аналитический и тензорный. В первом случае фундаментом для построения теории являлись четыре группы аксиом: принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности.

В основу аналитического построения положен метод координат, при котором в выбранной системе координат каждой упорядоченной паре действительных чисел ставится в соответствие точка и наоборот. Затем рассматриваются геометрические места точек, описываемые уравнением с двумя неизвестными или их системами; изучаются и другие геометрические фигуры. Заметим, что между сферической и римановой геометриями имеется много общего, однако, в первой две диаметрально противоположные точки считаются различными, в то время как во второй они отождествляются [2].

Тензорный подход основан на результатах тензорного исчисления, предметом изучения которого являются дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей дифференцируемого многообразия, и общие геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т.д. Указанный выше подход был осуществлен в первой половине прошлого столетия.

Важным стимулом для дальнейшего развития и систематизации геометрии явилась связь ее с теорией групп. Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» (1872) определил содержание геометрии следующим образом: дано многообразие и в нем группа преобразований; следует установить геометрию инвариантов этой группы [4].

Параллельно с этими исследованиями в конце XIX в. стал развиваться логический анализ основ геометрии. Выяснение требований к системе аксиом (непротиворечивость, минимальность и полнота) было выполнено в «Основаниях геометрии» Д. Гильбертом (1899) [5].

Основные особенности четвертого периода в истории геометрии состоят в появлении, развитии новых геометрических теорий и в соответствующем обобщении предмета геометрии. Возникло новое понятие пространств разного рода. При этом одни из них строились внутри евклидовой геометрии и впоследствии стали самостоятельными научными дисциплинами (проективная, аффинная, конформная и пр.). Другие же теории с самого начала стали строиться на основе изменения и обобщения понятий евклидовой геометрии (например, многомерная геометрия) [3].

Таким образом, в математике оказалось возможным построение разнообразных пространств с содержательной геометрией.

Следующим новым шагом в построении геометрии стало обобщение понятия пространства, которое сформулировал Б. Риман. Он ввел в нем метрику, где измерение расстояний производится по заданному закону «бесконечно малыми шагами». Развитие идеи ученого привело в дальнейшем к разнообразным обобщениям способов задания метрики и исследовании соответствующих пространств (Риманово, Финслерово и др.). В рамках этого направления, Риманова геометрия нашла многочисленные приложения в теории относительности, механике и других науках [4].

Изучение довольно общей математической структуры, связанной с понятием непрерывности, привело в тот же период к выделению из геометрии большой самостоятельной части – топологии. В ней изучаются свойства фигур, зависящие лишь от взаимного прикосновения их частей и тем самым сохраняющихся при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т.е. происходящих без разрывов и склеиваний.

При изучении истории геометрии невозможно обойтись без упоминания алгебраической геометрии, ставшей самостоятельной научной дисциплиной, а также тензорного анализа – одного из мощных методов исследования многомерных римановых пространств.

Современное понимание пространства как непрерывной совокупности однородных объектов обусловлено глубокой взаимозависимостью геометрии с другими дисциплинами естественно научного цикла. Наиболее отчетливо такая связь проявилась в развитии геометрии XX столетия, она стала широко разветвленной структурой, а ее границы и взаимопроникновение в связи с усилением самой математики оказались менее четкими.

Библиографический список
  1. Математический энциклопедический словарь / гл.ред. Ю.В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988.
  2. Каган В.Ф. Основания геометрии / Каган В.Ф. М.: ГТТЛ, 1956. Ч. II.
  3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии / Ф. Клейн. М. – Л.: ОНТИ, 1937.
  4. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. М. – Л.: ГТТИ, 1948.
  5. Клейн Ф. Элементарная геометрия с точки зрения высшей. Т. II. М.: ОНТИ, 1935.
  6. История математики с древнейших времен до начала нашего времени. Т. I – III / под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1971–1973.
  7. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии / Д.И. Перепелкин. Ч. I, II. М.: Гостехиздат, 1948.


ABOUT HISTORICAL PROCESS

OF DEVELOPMENT THE GEOMETRICAL SCIENCES

Yankowitch Elena Ivanovna

Perm State Pedagogical University

magisters of 2-nd year ed., ElenaYankowitch@yandex.ru


The formation of variety geometries in every of four stages of their development was shown. The names of scientists who carried in contrihution to different geometries was marked.