Тест №1 (из 6 заданий); Тест №2 (из 5 заданий); Тест №3 (в двух вариантах из 10 заданий); Конспект четырехурочного цикла по теме: «Решение неравенств с одной переменной». 8 класс

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

1 2 3

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №37

с углубленным изучением отдельных предметов г. Чебоксары

Методическая разработка

«Неравенства и системы неравенств

за курс средней школы»

автор: Алексеева Галина Николаевна

учитель математики МОУ СОШ №37

Чебоксары - 2008

Содержание

Введение.

1. Неравенства и системы неравенств за курс средней школы.

Неравенства с одной переменной и их решения;
Линейные неравенства с одной переменной;
Квадратичные неравенства;
Системы линейных неравенств с одной переменной;

1.5 Решение двойных неравенств. Дробные неравенства;

1.6 Иррациональные неравенства;

1.7 Неравенства с модулем;

1.8 Решение рациональных неравенств методом интервалов;

1.9 Показательные неравенства;

2.1 Логарифмические неравенства;

2.2 Метод интервалов (обобщенный);

2.3 Графический способ решения неравенств с одной переменной;

2.4 Тригонометрические неравенства;

2.5 Неравенства с двумя переменными;

2.6 Графический способ решения неравенств с двумя переменными.

2. Приложения.

1. Тест №1 (из 6 заданий);

2. Тест №2 (из 5 заданий);

3. Тест №3 (в двух вариантах из 10 заданий);

4. Конспект четырехурочного цикла по теме: «Решение неравенств с одной переменной». 8 класс;

5. Ожидаемый результат;

6. Заключение;

7. Список использованной литературы.

Введение.

Цель современного образования – обучение и всестороннее развитие личности, способной к творчеству. Для достижения этой цели существует много программ, множество технологий обучения.

В условиях современного развития и расширения доступности открытых информационных систем, передача «готовых знаний» перестает быть главной задачей учебного процесса, снижается функциональная значимость и привлекательность традиционной организации обучения. Основная задача обучения математике в школе - обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, не-обходимых в повседневной жизни дисциплин и продолжения образования. Хотелось бы сказать, что хорошее математическое образование и развитие математических способностей необходимы не только тому, кто впоследствии займется научными исследованиями в области математики, но и тому, кто станет экономистом, организатором производства и так далее.

Неравенства встречаются на протяжении всего курса математики. С точки зрения математической логики неравенство является высказыванием. С помощью неравенства задаются основные числовые множества, формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Но бывает, что для доказательства неравенства приходится использовать весьма тонкие геометрические или аналитические соображения. Как опытному шахматисту помогает знание основных дебютов, так и математику полезно знать некоторое часто встречающиеся классические тождественные неравенства. Среди них – красивые неравенства, в которые переменные входят симметричным образом. Методы математического анализа, в свою очередь, удобное средство доказательства неравенств для функций от одной переменной.

В ходе своей методической работы я стараюсь добиваться того, чтобы при умелом руководстве учителя, ученик, в ходе своей практической деятельности, с умением использовал свои приобретенные навыки и осознанно умел исправлять допущенные им ошибки и дальше закреплял свой опыт за счет усвоенных устных и письменных форм работы. Конечную цель в обучении я вижу в том, чтобы современный молодой человек был востребованным со своими умениями и навыками в современном и очень сложном мире; чувствовал себя уверенно и сумел стать настоящим профессионалом в своем деле, коим он станет именно благодаря своим знаниям в области математики.

1.Неравенства и системы неравенств с одной переменной

1.1 Неравенства с одной переменной и их решения

Неравенством с одной переменной (неизвестным) называются два выражения с переменной( неизвестным), соединенные знаком неравенства:>(больше), <(меньше),≥(больше или равно; не меньше),≤ (меньше или равно; не больше).

Решением неравенства называется значение переменной ( неизвестного), при котором неравенство превращается в правильное числовое неравенство. Например, число 5 является решением неравенства x²-6х<0, поскольку 5²-6∙5<0

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что их нет. Решениями неравенства является некоторое подмножество действительных чисел.

Некоторые подмножества действительных чисел, их обозначение, изображение на координатной прямой и запись в виде неравенства.

Название	Обозначение	Изображение	Запись в виде неравенства
Числовая прямая	(−∞;+∞),R		−∞ <х< +∞
Закрытый промежуток( отрезок)	[a;b]		а≤х≤b
Открытый промежуток(интервал)	(a;b)		а<х
Полуоткрытый промежуток	[a;b)		а≤х
Полуоткрытый промежуток	(a;b]		а<х≤b
Бесконечный промежуток(луч)	(−∞;а]		х≤а
	(−∞;а)		х<а
	(а;+∞)		х>а
	[а;+∞)		х≥а

1.2. Линейные неравенства с одной переменной

Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида ах+b>0, ах+b<0, ax+b≥0, ax+b≤0.

Схемы решения линейного неравенства

1.3 Квадратичные неравенства

Квадратичными неравенствами называются неравенства вида ax²+bx+c>0 , ax²+bx+c<0 , ax²+bx+c≥0 , ax²+bx+c≤0 , (a≠0).

Решения квадратичных неравенств

Схема	Квадратичное неравенство
Схема	ax²+bx+c>0	ax²+bx+c<0	ax²+bx+c≥0	ax²+bx+c≤0
a>0, D>0	(-∞; x₁) U U(x₂;+∞)	(x₁; x₂)	(-∞; x₁] U U[x₂;+∞)	[x₁; x₂]
a>0, D=0	(-∞; x₀) U U(x₀;+∞)	Ǿ	(-∞;+∞)	x₀
a>0, D<0	(-∞;+∞)	Ǿ	(-∞;+∞)	Ǿ
a<0, D>0	(x₁; x₂)	(-∞; x₁) U U(x₂;+∞)	[x₁; x₂]	(-∞; x₁] U U[x₂;+∞)
a<0, D=0	Ǿ	(-∞; x₀) U U(x₀;+∞)	x₀	(-∞;+∞)
a>0, D<0	Ǿ	(-∞;+∞)	Ǿ	(-∞;+∞)

1.4 Системы линейных неравенств с одной переменной

a₁x>b₁a₁x>b₁a₁x1 a₁x1

Системы вида : a₂x>b₂a₂x2 a₂x2 a₂x>b₂

называются системами двух линейных уравнений с одной переменной. (Вместо знаков>,< могут быть знаки ≥,≤.)

Чтобы решить систему неравенств, надо каждое неравенство системы решить отдельно, а потом найти решение системы как пересечение множеств решений неравенств.

Возможные случаи решения систем линейных неравенств

Системы линейных неравенств (a>b)	Решение и его геометрическая иллюстрация	Пример
x>a, x>b	x€(a;+∞)	x€(3;+∞)
x x	x€(-∞;b)	x€(-∞;2)
x x>b	x€(b;a)	x€(1;4)
x>a, x	Решений нет	Решений нет

Неравенства вида f(x)g(x)>0 и f(x)g(x)<0

Неравенство f(x)g(x)>0 равносильно двум системам:

f(x)>0, f(x)<0,

g(x)>0 или g(x)<0 .

Неравенство f(x)g(x)<0 равносильно двум системам:

f

(x)<0, f(x)>0,

g(x)>0 или g(x)<0 .

1.5 Решение двойных неравенств

Двойное неравенство f(x)

f(x)-3, 2x>-2 x>-1

g(x)

Пример решения: -3<2x-1≤3 Тогда x€(-1;2]

Ответ. (-1;2]

Дробные неравенства

Н

еравенство >0 равносильно двум системам неравенств:

f(x) > 0, f(x) <0,

g(x) > 0 или g(x) < 0.

Н

еравенство <0 равносильно двум системам неравенств:

f(x) > 0, f(x) <0,

g(x) < 0 или g(x) >0.

Неравенство ≥0 равносильно двум системам неравенств:

f(x)≥ 0, f(x)≤ 0,

g(x) >0 или g(x) <0.

Н

еравенство ≤0 равносильно двум системам неравенств:

f(x)≥ 0, f(x)≤ 0,

g(x) <0 или g(x) >0.

Примеры решения: x – 2> 0, x>2

1

.>0. 1) x – 7 > 0; x<7 Тогда x€ (7;+∞).

x – 2 < 0, x<2

2) x – 7 < 0; x<7 Тогда x€ (-∞;2).

Ответ: (-∞;2) U(7;+∞).

2x – 1≤0, 2x≤1, x≤0,5

1.>0. 1) 3 – x > 0; x<3; x<3

Тогда x€ (-∞;0,5].

2x – 1≥0, 2x≥1, x≥0,5,

2) 3 – x <0; x>3; x>3.

Тогда x€ (3;+∞).

Ответ. (-∞;0,5] U[3;+∞).

1.6 Иррациональные неравенства

П

0≤x2n

Решений нет

ненет

Решений нет

>a, n є N

x>a²ⁿ

x>0

ненет

x≥0

x2n+1

>a, n є N

x>a²ⁿ⁺¹
ростейшие иррациональные неравенства

Неравенства >g(x) и g²ⁿ⁺¹ (x) и f(x)2ⁿ⁺¹(x).

Пример решения: ³+x²-5x+6 3+x²_5x+63, x²-5x+6<0, (x-2)(x-3)<0 Тогда x є (2;3).

Ответ.(2;3).

g(x)>0,

Неравенство < g(x), n є Nравносильно системе f(x)2ⁿ(x),

f(x)≥0.

4-x>0, x<4, x<4,

4x-x²< (4-x)², 4x-x²<16-8x+x² , 2x²-12x+16>0,

Пример решения: ² <4-x, 4x-x²≥0; x(4-x)≥0; x(4-x)≥0;

x<4, x є (-∞;4),

(x-2)(x-4)>0, x є (-∞;2)U(4; -∞). Тогда x є [0;2). X(4-x)≥0; x є (0;4)

Ответ.[0;2)

Неравенство > g(x), n є N равносильно объединению систем

g

(x)≥0, g(x)<0,

f(x)>g²ⁿ(x) или f(x) ≥0.

Пример решения: >2x-8.

1) 2x-8≥0, x≥4, x≥4, x≥4

X²-5x+4>(2x-8)²; 3x²-27x+60<0; x²-9x+20<0; 4
Тогда x є (4;5) .

2) 2x-8≥0, x<4 x є (-∞;4);

X²-5x+4 ≥0; (x-1)(x-4) ≥0; x є (-∞;1] U [4;+∞);

Тогда x є (-∞;1]

Ответ. (-∞;1] U [4;+∞).

Н

еравенство > ), n є N равносильно системе

f(x)>g(x)

g(x) ≥0.

2x²-x-6≥x ²-4, x²-x-2≥0,

Пример решения: ≥ , x²-4≥0; x²-4≥0;

(

x-2)(x+1) ≥0, x є (-∞;-1] U [2;+∞),

(x-2)(x+2) ≥0, x є (-∞;-2] U [2;+∞).

Тогда x є (-∞;-2] U [2;+∞).

Ответ. (-∞;-2] U [2;+∞).

1.7 Неравенства с модулем

Простейшие неравенства с модулем

|x-b|

Решений нет

b-a
|x-b|≥a

xєR

x≤ b-a или x≥b+a

Н

еравенство |f(x)|< a (где a ≥ 0) равносильно двойному неравенству -a < f(x) < a или системе f(x) > -a, f(x) < a.

Пример решения: |x² + 5x| < 6, -6 < x² + 5x < 6. x² + 5x < 6, x² + 5x – 6 < 0, x є (-6;1), x² + 5x > -6; x² + 5x – 6 > 0; x є (-∞;-3)U(-2;+∞).

Тогда x є (-6;-3)U(-2;1).

Ответ. (-6; -3)U(-2;1).

Неравенство |f(x)| > a, где a ≥ 0, равносильно объединению неравенств f(x) <- a , f(x) > a.

Пример решения: |3 – x| > 2, 3 - x > 2, x < 1, x є (-∞; 1)U(5;+∞). 3 – x < - 2; x > 5.

Ответ. ( - ∞; 1)U(5; + ∞).

Н

еравенство |f(x)| > g(x) равносильно объединению неравенств f(x) > g(x), f(x) < -g(x).

Пример решения: |3x - 2| > 2x + 1, 3x – 2 > 2x + 1, x > 3, 3x – 2 < - 2x -1; 5x < 1;

,

x > 3, Ответ: x є (-∞; 0,2)U(3; +∞). Х<0,2

Неравенство |f(x)| < g(x) равносильно системе f(x) < g(x), f(x) > -g(x).

Пример решения: |2x – 5| ≤ x, 2x – 5 ≤ x, x ≤ 5, x ≤ 5,

2x – 5 ≥- x; 3x> x≥1 .

Тогда x є[1 ;5]. Ответ. [1 ;5].

Неравенство |f(x)|>g(x)| равносильно неравенству f²(x)>g²(x) или неравенству (f(x)-g(x))(f(x0+g(x))>0.

Пример решения: |3+x|≥|x|, (3+x)²≥x², 9+6x+x²≥ x²,6x≥-9, x≥- , x≥-1,5. Ответ. [-1,5;+∞)

Если неравенство содержит несколько модулей, то находят значения x , при которых выражение, стоящее под знаком модуля, равно нулю. Найденные значения x разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых выражение под модулем сохраняет знак. А потом на каждом интервале раскрывают модули и решают полученную систему. Объединение найденных решений составляет множество решений данного неравенства.

Пример решения: |x-1|+|x-2|>x+3

Рассмотрим три случая.

x<1, x<1,

1-x-x+2>x+3; x<0; x<0;

1≤x≤2 1≤x≤2,

2) x-1-x+2>x+3 ; x<-2; решений нет;

x>2 x>2

x-1+x-2>x+3; x>6; x>6.

Ответ. (-∞;0) U (6;+).

1.8 Решение рациональных неравенств методом интервалов

Чтобы решить неравенство f(x)>0 (f(x)<0), где

f(x )

надо:

1)Изобразить числа a₁,a₂, …, a_n на координатной прямой (эти числа, расположенные в порядке возрастания, разобьют координатную прямую на n+1 промежутков, на которых функция f(x) сохраняет свой знак, т.е. если a₁и a_k - соседние точки, то для x є(a_{1 ,} a_k) функция сохраняет знак):

2) Определить знаки функции f(x) на каждом из промежутков;

3) Записать ответ.

Такой метод решения неравенств называется методом интервалов.

Пример решения:

(

x+4)(x+2)(x-1)(x-3)<0. Обозначим на координатной прямой нули функции (x+4)(x+2)(x-1)(x-3)=0, найдем знак функции на каждом промежутке.

Из рисунка видно, что (x+4)(x+2)(x-1)(x-3)<0, если x є (-4;-2) U( 1;3).

1.9 Показательные неравенства

Простейшие показательные неравенства

a^x0, a ≠1

Решений нет

xab

x>log_ab

v

a^x0, a ≠1

x є R

x>log_ab

xab

v

a^x>b, a>0, a ≠1

Решений нет

f(x)ab

f(x)>log_ab

v

a^f(x)0, a ≠1

x є R

f(x)>log_ab

f(x)ab

v

a^f(x)>b, a>0, a ≠1

Неравенство a^f⁽^x⁾>a^g⁽^x⁾ (a^f⁽^x⁾>a^g⁽^x⁾)), если f>1, равносильно неравенству f(x)>g(x) (f(x)>g(x)).

Примеры решений:

7^8-^x²≤7²^x; 8-x²≤2x; -x²-2x+8≤0; x²+2x-8≥0; (x+4)(x-2) ≥0.

Отсюда xє (-∞;-4)U[2;+∞). Ответ. (-∞;-4)U[2;+∞).

^x2-2 ≥ ^x ; x²-2≤x; x²-x-2≤0; (x-2)(x+1) ≤0.

Отсюда xє [-1;2] Ответ. [-1;2]

Логарифмические неравенства

2.1.Простейшие логарифмические неравенства

Неравенство log_a f(x)ag(x) равносильно:

1)системе f(x)
f(x)>0 , если a>1;

2

) системе f(x)>g(x),

g(x)>0, если 0

Пример решения:

L

og₈(5x-8)8 (2x+7); 5x-8<2x+7, 3x<15, x<5,

5x-8>0; 5x>8; x>1,6.

Тогда x€ (1,6;5). Ответ. (1,6;5).

Неравенство log_h₍_x₎f(x)h₍_x₎g(x)

Р

авносильно объединению систем неравенств

h(x)>1, h(x)>0

f(x)
f(x)>0 f(x)>g(x)

g(x)>0.

Пример решения: log_x₊₁ (x+3)>1, log_x₊₁ (x+3)> log_x₊₁ (x+1).

x+1>1 ,

1) x+3>x+1, x+1>1, x>0 ,

x+1>0 0x>-2 0x> -2 x>0; x€ (0;+∞).

x+1>0, x>-1,

x+1<1, x<0,

2) x+3
x+3>0. X>-3. Нет решений, поскольку неравенство 0 х<-2 не имеет решений.

Ответ. (0;+∞).

2.2. Метод интервалов (обобщенный)

Используется при решении неравенств

f(x)>0; f(x)<0; f(x)≥0;

f(x)≤0. Метод основан на том, что непрерывная на промежутке функция может изменять знак только в тех точках, где ее значение равно нулю(но может и не изменять)

Решая неравенство методом интервалов, надо:

1)найти область определения функции y=f(x);

2)найти значение x, при которых функция равна нулю (найти нули функции):f(x)=0;

3) разбить область определения на промежутки, каждый из концов которого является корнем уравнения f(x)=0 или конечной точкой промежутка определения функции y=f(x);

4) определить знак f(x) на каждом из образовавшихся промежутков;

5) объединить промежутки, на которых функция f(x) удовлетворяет неравенству, во множество решений.

Пример решения:

(3х-6)log_0,5 x>0.

Пусть y=(3x-6)log_0,5x. D(y)=(0;+∞).

Найдем нули функции: (3x-6)log_0,5x=0; 3x-6=0, x=2,

Log_0,5x=0; x=1. х=1

Разобьем область определения функции на промежутки точками 2 и 1 и найдем знаки функции на каждом промежутке.

0 1 2

Итак, x€ (1;2). Ответ.(1;2).

2.3.Графический способ решения неравенств с одной переменной

Д

ля графического решения неравенства f(x)>g(x) нужно построить графики функций y=f(x) и y=g(x) и выбрать те промежутки оси абсцисс , на которых график функции y-g(x) расположен выше графика функции y=g(x).

Пример решения: log_a x≤ 4-x.

Построим графики функции y=log_a x и y=4-x в одной системе координат. Графики пересекаются в точке А с абсциссой x=3. Из рисунка видно, что множеством решений данного неравенства является промежуток (0;3]. Ответ. (0;3].

2.4. Тригонометрические неравенства

Решение неравенств sint >a, sint

Нера- венство	Значение
	a< -1	-1≤a<1	a≥1
sint>a	t € R	arcsin a +2∏na+2∏n, n€ Z	Решений нет

Нера- венство	Значение
Нера- венство	a≤ -1	-1≤a<1	a>1
Sint	Решений нет	-∏-arcsin a +2∏na+2∏n, n€ Z	t€R

Решение неравенств cost>b, cost

Нера- венство	Значение
	b< -1	-1≤b<1	b≥1
cost>b	t€R	-arccosb +2∏+2∏n, n€ Z	Решений нет

Нера- венство	Значение
Нера- венство	b≤ -1	-1≤b<1	b>1
Cost	Решений нет	arccosb +2∏+2∏n, n€ Z	t€R

Решение неравенств tgt>a, tgt

Неравенство	a€R
tgt>a	arctg a+∏n + ∏n, n€Z
Tgt	- +∏nZ

Решение неравенств ctgt>a,ctgt

Неравенство	a€R
ctgt>a	∏nZ
Ctgt	Arcctg a+∏nZ

2.5.Неравенства с двумя переменными

Решение и график неравенства

Решением неравенства f(x,y)>0 f(x, y)<0 , f(x, y) ≥0, f(x, y) ≤0) называется упорядоченная пара чисел, которая превращает его в правильное числовое неравенство.

Графиком неравенства с двумя переменными x и y называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x;y), где каждая пара (x;y) является решением данного неравенства.

Графики некоторых неравенств

2.6. Графический способ решения систем неравенств с двумя переменными

Чтобы построить на координатной плоскости решение системы неравенств, надо:

выполнить равносильные преобразования системы так, чтобы удобно было строить графики всех неравенств, которые входят в систему;
построить эти графики и найти пересечение областей.

Пересечение областей представляет собой решение системы неравенств.

истема y≤f(x), имеет решение, а именно – множество точек, принадлежащих y≥f(x) заштрихованной области

пример решений:

Множеством решений первого неравенства является круг с радиусом 2 и центром в начале координат. Множеством решений второго неравенства является полуплоскость. Множеством решений системы является пересечение этих множеств, т.е. полукруг.

Blog

Содержание