Тест №1 (из 6 заданий); Тест №2 (из 5 заданий); Тест №3 (в двух вариантах из 10 заданий); Конспект четырехурочного цикла по теме: «Решение неравенств с одной переменной». 8 класс
Вид материала | Конспект |
- Тест для итоговой аттестации выпускников старшей школы История Казахстана, 127.43kb.
- Тест по рассказу А. Платонова "Корова", составленный из тестовых заданий, предложенных, 16.83kb.
- Типовой тест по русскому языку как иностранному II сертификационный уровень. Общее, 627.03kb.
- Школьный тест умственного развития [19], 511.35kb.
- Комплексный рисуночный тест «Дом-дерево-человек». Тест «Свободный рисунок». Тест «Картина, 311.39kb.
- Тест: Определение основных мотивов выбора профессии > Тест: Ваша мотивация к успеху, 4748.45kb.
- Тест форма a (для мужчин) Ябольше думаю о получении хорошей оценки, чем опасаюсь получения, 36.68kb.
- Педагогический тест это система специально подобранных проверочных заданий специфической, 93.97kb.
- Быстрый Алкогольный Скрининговый Тест (баст) Паддингтонский Алкогольный Тест (пат), 230.88kb.
- Тест № Волокнистые материалы. 2 Тест № Технология получения тканей. 4 Тест № Строение,, 180.5kb.
Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики
МОУ «Средняя общеобразовательная школа №37
с углубленным изучением отдельных предметов г. Чебоксары
Методическая разработка
«Неравенства и системы неравенств
за курс средней школы»
автор: Алексеева Галина Николаевна
учитель математики МОУ СОШ №37
Чебоксары - 2008
Содержание
Введение.
1. Неравенства и системы неравенств за курс средней школы.
- Неравенства с одной переменной и их решения;
- Линейные неравенства с одной переменной;
- Квадратичные неравенства;
- Системы линейных неравенств с одной переменной;
1.5 Решение двойных неравенств. Дробные неравенства;
1.6 Иррациональные неравенства;
1.7 Неравенства с модулем;
1.8 Решение рациональных неравенств методом интервалов;
1.9 Показательные неравенства;
2.1 Логарифмические неравенства;
2.2 Метод интервалов (обобщенный);
2.3 Графический способ решения неравенств с одной переменной;
2.4 Тригонометрические неравенства;
2.5 Неравенства с двумя переменными;
2.6 Графический способ решения неравенств с двумя переменными.
2. Приложения.
1. Тест №1 (из 6 заданий);
2. Тест №2 (из 5 заданий);
3. Тест №3 (в двух вариантах из 10 заданий);
4. Конспект четырехурочного цикла по теме: «Решение неравенств с одной переменной». 8 класс;
5. Ожидаемый результат;
6. Заключение;
7. Список использованной литературы.
Введение.
Цель современного образования – обучение и всестороннее развитие личности, способной к творчеству. Для достижения этой цели существует много программ, множество технологий обучения.
В условиях современного развития и расширения доступности открытых информационных систем, передача «готовых знаний» перестает быть главной задачей учебного процесса, снижается функциональная значимость и привлекательность традиционной организации обучения. Основная задача обучения математике в школе - обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, не-обходимых в повседневной жизни дисциплин и продолжения образования. Хотелось бы сказать, что хорошее математическое образование и развитие математических способностей необходимы не только тому, кто впоследствии займется научными исследованиями в области математики, но и тому, кто станет экономистом, организатором производства и так далее.
Неравенства встречаются на протяжении всего курса математики. С точки зрения математической логики неравенство является высказыванием. С помощью неравенства задаются основные числовые множества, формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Но бывает, что для доказательства неравенства приходится использовать весьма тонкие геометрические или аналитические соображения. Как опытному шахматисту помогает знание основных дебютов, так и математику полезно знать некоторое часто встречающиеся классические тождественные неравенства. Среди них – красивые неравенства, в которые переменные входят симметричным образом. Методы математического анализа, в свою очередь, удобное средство доказательства неравенств для функций от одной переменной.
В ходе своей методической работы я стараюсь добиваться того, чтобы при умелом руководстве учителя, ученик, в ходе своей практической деятельности, с умением использовал свои приобретенные навыки и осознанно умел исправлять допущенные им ошибки и дальше закреплял свой опыт за счет усвоенных устных и письменных форм работы. Конечную цель в обучении я вижу в том, чтобы современный молодой человек был востребованным со своими умениями и навыками в современном и очень сложном мире; чувствовал себя уверенно и сумел стать настоящим профессионалом в своем деле, коим он станет именно благодаря своим знаниям в области математики.
1.Неравенства и системы неравенств с одной переменной
1.1 Неравенства с одной переменной и их решения
Неравенством с одной переменной (неизвестным) называются два выражения с переменной( неизвестным), соединенные знаком неравенства:>(больше), <(меньше),≥(больше или равно; не меньше),≤ (меньше или равно; не больше).
Решением неравенства называется значение переменной ( неизвестного), при котором неравенство превращается в правильное числовое неравенство. Например, число 5 является решением неравенства x2-6х<0, поскольку 52-6∙5<0
Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что их нет. Решениями неравенства является некоторое подмножество действительных чисел.
Некоторые подмножества действительных чисел, их обозначение, изображение на координатной прямой и запись в виде неравенства.
Название | Обозначение | Изображение | Запись в виде неравенства |
Числовая прямая | (−∞;+∞),R | ![]() | −∞ <х< +∞ |
Закрытый промежуток( отрезок) | [a;b] | ![]() | а≤х≤b |
Открытый промежуток(интервал) | (a;b) | ![]() | а<х |
Полуоткрытый промежуток | [a;b) | ![]() | а≤х |
(a;b] | ![]() | а<х≤b | |
Бесконечный промежуток(луч) | (−∞;а] | ![]() | х≤а |
(−∞;а) | ![]() | х<а | |
(а;+∞) | ![]() | х>а | |
[а;+∞) | ![]() | х≥а |
1.2. Линейные неравенства с одной переменной
Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида ах+b>0, ах+b<0, ax+b≥0, ax+b≤0.
С
![](images/214534-nomer-7e61bde7.png)
1.3 Квадратичные неравенства
Квадратичными неравенствами называются неравенства вида ax2+bx+c>0 , ax2+bx+c<0 , ax2+bx+c≥0 , ax2+bx+c≤0 , (a≠0).
Решения квадратичных неравенств
Схема | Квадратичное неравенство | |||
ax2+bx+c>0 | ax2+bx+c<0 | ax2+bx+c≥0 | ax2+bx+c≤0 | |
a>0, D>0 ![]() | (-∞; x1) U U(x2;+∞) | (x1 ; x2) | (-∞; x1] U U[x2;+∞) | [x1 ; x2] |
![]() | (-∞; x0) U U(x0;+∞) | Ǿ | (-∞;+∞) | x0 |
![]() | (-∞;+∞) | Ǿ | (-∞;+∞) | Ǿ |
![]() | (x1 ; x2) | (-∞; x1) U U(x2;+∞) | [x1 ; x2] | (-∞; x1] U U[x2;+∞) |
![]() | Ǿ | (-∞; x0) U U(x0;+∞) | x0 | (-∞;+∞) |
![]() | Ǿ | (-∞;+∞) | Ǿ | (-∞;+∞) |
1.4 Системы линейных неравенств с одной переменной
![](images/214534-nomer-m152478d2.gif)
![](images/214534-nomer-m152478d2.gif)
![](images/214534-nomer-m152478d2.gif)
![](images/214534-nomer-m152478d2.gif)
Системы вида : a2x>b2 a2x2 a2x2 a2x>b2
называются системами двух линейных уравнений с одной переменной. (Вместо знаков>,< могут быть знаки ≥,≤.)
Чтобы решить систему неравенств, надо каждое неравенство системы решить отдельно, а потом найти решение системы как пересечение множеств решений неравенств.
Возможные случаи решения систем линейных неравенств
Системы линейных неравенств (a>b) | Решение и его геометрическая иллюстрация | Пример |
![]() x>b | ![]() x€(a;+∞) | ![]() x€(3;+∞) |
![]() x | ![]() | ![]() |
![]() x>b | ![]() | ![]() x€(1;4) |
![]() x | Решений нет ![]() | Решений нет ![]() |
Неравенства вида f(x)g(x)>0 и f(x)g(x)<0
Неравенство f(x)g(x)>0 равносильно двум системам:
![](images/214534-nomer-m73953ce3.gif)
![](images/214534-nomer-m73953ce3.gif)
g(x)>0 или g(x)<0 .
Неравенство f(x)g(x)<0 равносильно двум системам:
f
![](images/214534-nomer-m73953ce3.gif)
![](images/214534-nomer-m73953ce3.gif)
g(x)>0 или g(x)<0 .
1.5 Решение двойных неравенств
Двойное неравенство f(x)
![](images/214534-nomer-m6035976c.gif)
![](images/214534-nomer-5b902363.gif)
![](images/214534-nomer-m1da1f456.gif)
![](images/214534-nomer-m1da1f456.gif)
g(x)
Пример решения: -3<2x-1≤3 Тогда x€(-1;2]
Ответ. (-1;2]
Дробные неравенства
Н
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m35560c48.gif)
f(x) > 0, f(x) <0,
g(x) > 0 или g(x) < 0.
Н
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m35560c48.gif)
f(x) > 0, f(x) <0,
g(x) < 0 или g(x) >0.
Неравенство
![](images/214534-nomer-m35560c48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
f(x)≥ 0, f(x)≤ 0,
g(x) >0 или g(x) <0.
Н
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m35560c48.gif)
f(x)≥ 0, f(x)≤ 0,
g(x) <0 или g(x) >0.
П
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m5c30c059.gif)
![](images/214534-nomer-m2a3c8d2e.png)
1
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m370c43fc.gif)
![](images/214534-nomer-m4986abe4.png)
2) x – 7 < 0; x<7 Тогда x€ (-∞;2).
О
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m6b5d7b68.png)
2x – 1≤0, 2x≤1, x≤0,5
1.
![](images/214534-nomer-1e16962c.gif)
![](images/214534-nomer-c4fe31f.png)
Тогда x€ (-∞;0,5].
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
![](images/214534-nomer-m2443e48.gif)
2x – 1≥0, 2x≥1, x≥0,5,
2) 3 – x <0; x>3; x>3.
Тогда x€ (3;+∞).
Ответ. (-∞;0,5] U[3;+∞).
1.6 Иррациональные неравенства
П
![](images/214534-nomer-5b4df48d.gif)
![](images/214534-nomer-4d78818e.gif)
![](images/214534-nomer-m36aae544.gif)
![](images/214534-nomer-6ddccef3.gif)
![](images/214534-nomer-2d659184.gif)
![](images/214534-nomer-38e09f7d.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m1a2b03c8.gif)
0≤x2n
Решений нет
ненет
Решений нет
![](images/214534-nomer-m62c7a354.gif)
![](images/214534-nomer-m62c7a354.gif)
![](images/214534-nomer-m62c7a354.gif)
![](images/214534-nomer-4d78818e.gif)
![](images/214534-nomer-m36aae544.gif)
![](images/214534-nomer-m12cc62ec.gif)
![](images/214534-nomer-38e09f7d.gif)
![](images/214534-nomer-m1a2b03c8.gif)
x>a2n
x>0
ненет
x≥0
![](images/214534-nomer-2d659184.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m62c7a354.gif)
![](images/214534-nomer-m62c7a354.gif)
![](images/214534-nomer-m62c7a354.gif)
![](images/214534-nomer-28e3c56c.gif)
x2n+1
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-28e3c56c.gif)
x>a2n+1
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
Неравенства
![](images/214534-nomer-m55170f0d.gif)
![](images/214534-nomer-m55170f0d.gif)
Пример решения:
![](images/214534-nomer-5ff23da6.gif)
Ответ.(2;3).
![](images/214534-nomer-6dd015ee.gif)
g(x)>0,
Неравенство
![](images/214534-nomer-m688fdda3.gif)
f(x)≥0.
![](images/214534-nomer-3818388a.gif)
![](images/214534-nomer-3818388a.gif)
![](images/214534-nomer-3818388a.gif)
4-x>0, x<4, x<4,
4x-x2< (4-x)2, 4x-x2<16-8x+x2 , 2x2-12x+16>0,
П
![](images/214534-nomer-240b32e2.gif)
![](images/214534-nomer-60203059.gif)
x<4, x є (-∞;4),
(x-2)(x-4)>0, x є (-∞;2)U(4; -∞). Тогда x є [0;2). X(4-x)≥0; x є (0;4)
Ответ.[0;2)
Неравенство
![](images/214534-nomer-m688fdda3.gif)
g
![](images/214534-nomer-m163dbae9.gif)
![](images/214534-nomer-m163dbae9.gif)
f(x)>g2n(x) или f(x) ≥0.
Пример решения:
![](images/214534-nomer-m6800a1d5.gif)
![](images/214534-nomer-m163dbae9.gif)
![](images/214534-nomer-m163dbae9.gif)
![](images/214534-nomer-m163dbae9.gif)
![](images/214534-nomer-m163dbae9.gif)
X2-5x+4>(2x-8)2; 3x2-27x+60<0; x2-9x+20<0; 4
Тогда x є (4;5) .
![](images/214534-nomer-m54ab63b4.gif)
![](images/214534-nomer-m54ab63b4.gif)
![](images/214534-nomer-m54ab63b4.gif)
X2-5x+4 ≥0; (x-1)(x-4) ≥0; x є (-∞;1] U [4;+∞);
Тогда x є (-∞;1]
Ответ. (-∞;1] U [4;+∞).
Н
![](images/214534-nomer-518ece5b.gif)
![](images/214534-nomer-518ece5b.gif)
![](images/214534-nomer-m688fdda3.gif)
![](images/214534-nomer-69685928.gif)
f(x)>g(x)
g(x) ≥0.
![](images/214534-nomer-518ece5b.gif)
![](images/214534-nomer-518ece5b.gif)
Пример решения:
![](images/214534-nomer-m3c61d4c4.gif)
![](images/214534-nomer-m7daeab2c.gif)
(
![](images/214534-nomer-5b902363.gif)
(x-2)(x+2) ≥0, x є (-∞;-2] U [2;+∞).
Тогда x є (-∞;-2] U [2;+∞).
Ответ. (-∞;-2] U [2;+∞).
1.7 Неравенства с модулем
Простейшие неравенства с модулем
|x-b|
![](images/214534-nomer-49ebcd95.gif)
![](images/214534-nomer-m1bafb703.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m32582337.gif)
![](images/214534-nomer-m3acc2643.gif)
Решений нет
![](images/214534-nomer-14adb361.gif)
![](images/214534-nomer-me59e87.gif)
![](images/214534-nomer-me59e87.gif)
![](images/214534-nomer-m5a7cfdf3.gif)
![](images/214534-nomer-m53895bce.gif)
b-a
|x-b|≥a
![](images/214534-nomer-49ebcd95.gif)
![](images/214534-nomer-m1bafb703.gif)
![](images/214534-nomer-m32582337.gif)
xєR
![](images/214534-nomer-me59e87.gif)
![](images/214534-nomer-m5a7cfdf3.gif)
![](images/214534-nomer-m53895bce.gif)
![](images/214534-nomer-me59e87.gif)
![](images/214534-nomer-me59e87.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-me59e87.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-me59e87.gif)
x≤ b-a или x≥b+a
Н
![](images/214534-nomer-24c52bc3.gif)
![](images/214534-nomer-56f477af.gif)
![](images/214534-nomer-56f477af.gif)
П
![](images/214534-nomer-56f477af.gif)
![](images/214534-nomer-56f477af.gif)
Тогда x є (-6;-3)U(-2;1).
Ответ. (-6; -3)U(-2;1).
![](images/214534-nomer-2f3a3180.gif)
Неравенство |f(x)| > a, где a ≥ 0, равносильно объединению неравенств f(x) <- a , f(x) > a.
П
![](images/214534-nomer-576cf212.gif)
![](images/214534-nomer-m62fb6cc1.gif)
![](images/214534-nomer-m62fb6cc1.gif)
![](images/214534-nomer-576cf212.gif)
![](images/214534-nomer-m62fb6cc1.gif)
![](images/214534-nomer-m62fb6cc1.gif)
![](images/214534-nomer-m62fb6cc1.gif)
![](images/214534-nomer-m62fb6cc1.gif)
О
![](images/214534-nomer-576cf212.gif)
Н
![](images/214534-nomer-m62fb6cc1.gif)
![](images/214534-nomer-m62fb6cc1.gif)
![](images/214534-nomer-m7e85cfc2.gif)
![](images/214534-nomer-m7b265414.gif)
Пример решения: |3x - 2| > 2x + 1, 3x – 2 > 2x + 1, x > 3, 3x – 2 < - 2x -1; 5x < 1;
,
![](images/214534-nomer-4269354.gif)
![](images/214534-nomer-106c929.gif)
Неравенство |f(x)| < g(x) равносильно системе f(x) < g(x), f(x) > -g(x).
![](images/214534-nomer-m7b265414.gif)
![](images/214534-nomer-m7b265414.gif)
![](images/214534-nomer-m7b265414.gif)
Пример решения: |2x – 5| ≤ x, 2x – 5 ≤ x, x ≤ 5, x ≤ 5,
2x – 5 ≥- x; 3x>
![](images/214534-nomer-586f607e.gif)
![](images/214534-nomer-8c95497.gif)
Тогда x є[1
![](images/214534-nomer-8c95497.gif)
![](images/214534-nomer-8c95497.gif)
Неравенство |f(x)|>g(x)| равносильно неравенству f2(x)>g2(x) или неравенству (f(x)-g(x))(f(x0+g(x))>0.
Пример решения: |3+x|≥|x|, (3+x)2 ≥x2, 9+6x+x2 ≥ x2 ,6x ≥-9, x≥-
![](images/214534-nomer-6b3c2ac1.gif)
Если неравенство содержит несколько модулей, то находят значения x , при которых выражение, стоящее под знаком модуля, равно нулю. Найденные значения x разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых выражение под модулем сохраняет знак. А потом на каждом интервале раскрывают модули и решают полученную систему. Объединение найденных решений составляет множество решений данного неравенства.
Пример решения: |x-1|+|x-2|>x+3
Рассмотрим три случая.
![](images/214534-nomer-3b1a9c18.gif)
![](images/214534-nomer-3b1a9c18.gif)
- 1-x-x+2>x+3; x<0; x<0;
![](images/214534-nomer-3b1a9c18.gif)
![](images/214534-nomer-3b1a9c18.gif)
2) x-1-x+2>x+3 ; x<-2; решений нет;
![](images/214534-nomer-3b1a9c18.gif)
![](images/214534-nomer-3b1a9c18.gif)
x>2 x>2
- x-1+x-2>x+3; x>6; x>6.
Ответ. (-∞;0) U (6;+
![](images/214534-nomer-e20d6d7.gif)
![](images/214534-nomer-576cf212.gif)
1.8 Решение рациональных неравенств методом интервалов
Чтобы решить неравенство f(x)>0 (f(x)<0), где
![](images/214534-nomer-5a18dc9f.png)
f(x )
надо:
1)Изобразить числа a1 ,a2, …, an на координатной прямой (эти числа, расположенные в порядке возрастания, разобьют координатную прямую на n+1 промежутков, на которых функция f(x) сохраняет свой знак, т.е. если a1 и ak - соседние точки, то для x є(a1 , ak) функция сохраняет знак):
2) Определить знаки функции f(x) на каждом из промежутков;
3) Записать ответ.
Такой метод решения неравенств называется методом интервалов.
Пример решения:
(
![](images/214534-nomer-259b8589.png)
Из рисунка видно, что (x+4)(x+2)(x-1)(x-3)<0, если x є (-4;-2) U( 1;3).
1.9 Показательные неравенства
Простейшие показательные неравенства
ax0, a ≠1
Решений нет
![](images/214534-nomer-2ad10dc.gif)
![](images/214534-nomer-79cde5fb.gif)
![](images/214534-nomer-m27df01e0.gif)
![](images/214534-nomer-m31bab200.gif)
x
x>logab
v
![](images/214534-nomer-2e293b29.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-2e293b29.gif)
![](images/214534-nomer-m64a5f1cc.gif)
![](images/214534-nomer-m28a78a1a.gif)
![](images/214534-nomer-m736eec21.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
ax0, a ≠1
x є R
![](images/214534-nomer-2ad10dc.gif)
![](images/214534-nomer-79cde5fb.gif)
![](images/214534-nomer-m3e212f7c.gif)
![](images/214534-nomer-m31bab200.gif)
x>logab
x
v
![](images/214534-nomer-2e293b29.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-2e293b29.gif)
![](images/214534-nomer-m64a5f1cc.gif)
![](images/214534-nomer-m28a78a1a.gif)
![](images/214534-nomer-m736eec21.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
ax>b, a>0, a ≠1
Решений нет
![](images/214534-nomer-2ad10dc.gif)
![](images/214534-nomer-79cde5fb.gif)
![](images/214534-nomer-m3e212f7c.gif)
![](images/214534-nomer-m31bab200.gif)
f(x)
f(x)>logab
v
![](images/214534-nomer-2e293b29.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-2e293b29.gif)
![](images/214534-nomer-m64a5f1cc.gif)
![](images/214534-nomer-m28a78a1a.gif)
![](images/214534-nomer-m736eec21.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
af(x)0, a ≠1
x є R
![](images/214534-nomer-2ad10dc.gif)
![](images/214534-nomer-79cde5fb.gif)
![](images/214534-nomer-m3e212f7c.gif)
![](images/214534-nomer-m31bab200.gif)
f(x)>logab
f(x)
v
![](images/214534-nomer-2e293b29.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m30d19447.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
![](images/214534-nomer-2e293b29.gif)
![](images/214534-nomer-m64a5f1cc.gif)
![](images/214534-nomer-m28a78a1a.gif)
![](images/214534-nomer-m736eec21.gif)
![](images/214534-nomer-m3fd2b769.gif)
af(x)>b, a>0, a ≠1
Неравенство af(x)>ag(x) (af(x)>ag(x))), если f>1, равносильно неравенству f(x)>g(x) (f(x)>g(x)).
Примеры решений:
- 78- x2≤72x; 8-x2≤2x; -x2-2x+8≤0; x2+2x-8≥0; (x+4)(x-2) ≥0.
Отсюда xє (-∞;-4)U[2;+∞). Ответ. (-∞;-4)U[2;+∞).
![](images/214534-nomer-1281f6ad.gif)
![](images/214534-nomer-5fa5410b.gif)
![](images/214534-nomer-1281f6ad.gif)
![](images/214534-nomer-5fa5410b.gif)
-
x2-2 ≥
x ; x2-2≤x; x2-x-2≤0; (x-2)(x+1) ≤0.
Отсюда xє [-1;2] Ответ. [-1;2]
Логарифмические неравенства
2.1.Простейшие логарифмические неравенства
![](images/214534-nomer-63cfe8e5.png)
![](images/214534-nomer-632cf81b.gif)
![](images/214534-nomer-2ecb9617.png)
![](images/214534-nomer-m648b096d.gif)
![](images/214534-nomer-m13c36297.gif)
Неравенство loga f(x)
![](images/214534-nomer-5321bd49.gif)
1)системе f(x)
f(x)>0 , если a>1;
2
![](images/214534-nomer-282ca819.gif)
g(x)>0, если 0
Пример решения:
L
![](images/214534-nomer-m4e90db38.gif)
![](images/214534-nomer-m4e90db38.gif)
![](images/214534-nomer-m2d6bc547.gif)
5x-8>0; 5x>8; x>1,6.
Тогда x€ (1,6;5). Ответ. (1,6;5).
Неравенство logh(x)f(x)
Р
![](images/214534-nomer-m34cd8436.gif)
![](images/214534-nomer-3cdd621b.gif)
h(x)>1, h(x)>0
f(x)
f(x)>0 f(x)>g(x)
g(x)>0.
Пример решения: logx+1 (x+3)>1, logx+1 (x+3)> logx+1 (x+1).
![](images/214534-nomer-m7d1b4ba9.gif)
![](images/214534-nomer-m4a4d0d07.gif)
![](images/214534-nomer-4241dd91.gif)
1) x+3>x+1, x+1>1, x>0 ,
x+1>0 0x>-2 0x> -2 x>0; x€ (0;+∞).
![](images/214534-nomer-m554bd9bb.gif)
![](images/214534-nomer-m554bd9bb.gif)
x+1>0, x>-1,
x+1<1, x<0,
2) x+3
x+3>0. X>-3. Нет решений, поскольку неравенство 0 х<-2 не имеет решений.
Ответ. (0;+∞).
2.2. Метод интервалов (обобщенный)
Используется при решении неравенств
![](images/214534-nomer-14d6f212.png)
f(x)>0; f(x)<0; f(x)≥0;
f(x)≤0. Метод основан на том, что непрерывная на промежутке функция может изменять знак только в тех точках, где ее значение равно нулю(но может и не изменять)
Решая неравенство методом интервалов, надо:
1)найти область определения функции y=f(x);
2)найти значение x, при которых функция равна нулю (найти нули функции):f(x)=0;
3) разбить область определения на промежутки, каждый из концов которого является корнем уравнения f(x)=0 или конечной точкой промежутка определения функции y=f(x);
4) определить знак f(x) на каждом из образовавшихся промежутков;
5) объединить промежутки, на которых функция f(x) удовлетворяет неравенству, во множество решений.
Пример решения:
(3х-6)log0,5 x>0.
Пусть y=(3x-6)log0,5x. D(y)=(0;+∞).
![](images/214534-nomer-4880bd02.gif)
![](images/214534-nomer-4880bd02.gif)
![](images/214534-nomer-4880bd02.gif)
Найдем нули функции: (3x-6)log0,5 x=0; 3x-6=0, x=2,
Log0,5x=0; x=1. х=1
Разобьем область определения функции на промежутки точками 2 и 1 и найдем знаки функции на каждом промежутке.
![](images/214534-nomer-3815d622.png)
0 1 2
Итак, x€ (1;2). Ответ.(1;2).
2.3.Графический способ решения неравенств с одной переменной
Д
![](images/214534-nomer-m4ac5e436.png)
Пример решения: loga x≤ 4-x.
Построим графики функции y=loga x и y=4-x в одной системе координат. Графики пересекаются в точке А с абсциссой x=3. Из рисунка видно, что множеством решений данного неравенства является промежуток (0;3]. Ответ. (0;3].
2.4. Тригонометрические неравенства
Решение неравенств sint >a, sint
Нера- венство | Значение | |||
a< -1 | -1≤a<1 | a≥1 | ||
sint>a | t € R | arcsin a +2∏n n€ Z | Решений нет | |
| | |||
| ||||
| |
Нера- венство | Значение | ||
a≤ -1 | -1≤a<1 | a>1 | |
Sint | Решений нет | -∏-arcsin a +2∏n n€ Z | t€R |
Решение неравенств cost>b, cost
Нера- венство | Значение | |||
b< -1 | -1≤b<1 | b≥1 | ||
cost>b | t€R | -arccosb +2∏ n€ Z | Решений нет | |
| | |||
| ||||
| |
Нера- венство | Значение | ||
b≤ -1 | -1≤b<1 | b>1 | |
Cost | Решений нет | arccosb +2∏ n€ Z | t€R |
Решение неравенств tgt>a, tgt
Неравенство | a€R |
tgt>a | arctg a+∏n ![]() |
Tgt | - ![]() |
Решение неравенств ctgt>a,ctgt
Неравенство | a€R |
ctgt>a | ∏n |
Ctgt | Arcctg a+∏n |
2.5.Неравенства с двумя переменными
Решение и график неравенства
Решением неравенства f(x,y)>0 f(x, y)<0 , f(x, y) ≥0, f(x, y) ≤0) называется упорядоченная пара чисел, которая превращает его в правильное числовое неравенство.
Графиком неравенства с двумя переменными x и y называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x;y), где каждая пара (x;y) является решением данного неравенства.
Графики некоторых неравенств
![](images/214534-nomer-mf8aa3ff.png)
![](images/214534-nomer-64a3476e.png)
2.6. Графический способ решения систем неравенств с двумя переменными
Чтобы построить на координатной плоскости решение системы неравенств, надо:
- выполнить равносильные преобразования системы так, чтобы удобно было строить графики всех неравенств, которые входят в систему;
- построить эти графики и найти пересечение областей.
Пересечение областей представляет собой решение системы неравенств.
![](images/214534-nomer-277eaeed.png)
С
![](images/214534-nomer-34d9cc3b.gif)
п
![](images/214534-nomer-m23848eb3.png)
Множеством решений первого неравенства является круг с радиусом 2 и центром в начале координат. Множеством решений второго неравенства является полуплоскость. Множеством решений системы является пересечение этих множеств, т.е. полукруг.
![](images/214534-nomer-48086398.gif)
![](images/214534-nomer-m5d99d011.gif)
![](images/214534-nomer-m62d7b282.gif)
![](images/214534-nomer-m52b24a2d.gif)
![](images/214534-nomer-b57284a.gif)
0>4>0>7>7>0>0>0>0>0>0>0>