Geum.ru

Программа государственного экзамена по направлению 010500 Прикладная математика и информатика магистерской программы

Вид материалаПрограмма
Подобный материал:

Утверждена на Ученом Совете

механико-математического факультета СГУ

27. 10. 11 г. (протокол № 2)

Декан механико-математического факультета, кандидат физико-математических наук, доцент- Захаров А.М.

Председатель научно-методической

комиссии, кандидат физико-математических наук – Тышкевич С.В.



Программа государственного экзамена


по направлению 010500 – Прикладная математика и информатика

магистерской программы

010500.03 – обратные и некорректно поставленные задачи

на 2011/2012 учебный год


Современные проблемы прикладной математики и информатики

  1. Обратная задача для дифференциальных уравнений второго порядка заданных на пространственных сетях (регулярный случай).
  2. Спектральные характеристики (решения Вейля и функции Вейля, матрица Вейля). Аналитические, асимптотические и структурные свойства функций Вейля, множество их особенностей, вырожденные случаи.
  3. Постановка обратной задачи. Теорема единственности решения обратной задачи по спектральным характеристикам. Концепция метода спектральных отображений. Процедура "псевдоурезания" графа, возвратная процедура, позволяющая решать обратную задачу пошагово на ребрах графа.


Литература:
  1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2004.
  2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2007.
  3. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения, Саратов: изд-во СПИ, 2001.



Обратные и некорректно поставленные задачи математической физики

  1. Задачи математической физики, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям с особенностью.
  2. Постановка обратной задачи. Единственность решения.
  3. Алгоритм решения обратной задачи.
  4. Необходимые и достаточные условия разрешимости.


Литература:
  1. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Изд-во СПИ, 2001.
  2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2007.
  3. Сташевская В.В., Об обратной задаче спектрального анализа для некоторого класса дифференциальных уравнений, ДАН СССР 93 (1953), 409-412.
  4. Гасымов М.Г., Определение уравнения Штурма-Лиувилля с особенностью по двум спектрам, ДАН СССР 161 (1965), 274-276.
  5. Гасымов М.Г., Амиров Р.Х., Прямые и обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов второго порядка с кулоновской особенностью, ДАН Азерб. ССР 41 (1985), N 8, 3-7.
  6. Carlson R., Inverse spectral theory for some singular Sturm-Liouville problems, J. Diff. Equations 106 (1993), 121-140.



Введение в теорию целых функций и спектральные задачи

  1. Характеристика роста целых функций. Теорема Лиувилля. Порядок и тип целой функции.
  2. Теорема Фрагмена-Линделёфа.
  3. Разложение целой функции в бесконечное произведение. Теорему Адамара и Бореля.
  4. Единственность восстановления уравнения Штурма-Лиувилля по спектрам двух краевых задач.


Литература:
  1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007
  2. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения, Саратов: изд-во СПИ, 2001.
  3. Джрбашан М.М. Интегральные преобразования и представление функций в комплексной области, М: Наука, 1996.
  4. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, М: Гостехиздат, 1956.
  5. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент, М: Наука, 1976.
  6. Привалов И.И., Введение в теорию функций комплексного переменного, М., Наука, 1967.
  7. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций, М: Наука, 1968, т.1, 2.



Методы решения интегральных уравнений

  1. Интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода. Альтернатива Фредгольма.
  2. Интегральные уравнения Вольтерра и их разрешимость.
  3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.


Литература:
  1. В.С. Владимиров, В.В. Жаринов Уравнения математической физики, 2 изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2008
  2. И.Г. Петровский. Лекции по теории интегральных уравнений, 5 изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
  3. В.И Смирнов. Курс высшей математики. Том IV.// Москва, 1957. 812 с.
  4. Ф. Трикоми. Интегральные уравнения. М: Изд-во ИЛ, 1960. 301 с.



Элементарная теория линейных дифференциальных операторов

  1. Определение и основные свойства линейного дифференциального оператора.
  2. Собственные значения, собственные и присоединенные функции дифференциального оператора.
  3. Функция Грина линейного дифференциального оператора и ее свойства.
  4. Асимптотика собственных значений и собственных функций. Разложение по собственным функциям.


Литература:
  1. М.А.Наймарк. Линейные дифференциальные операторы, «Наука», М., 1969.



Обратные задачи Штурма-Лиувилля

  1. Собственные значения и собственные функции оператора Штурма-Лиувилля.
  2. Операторы преобразования и их своиства.
  3. Постановка обратной задачи. Теоремы единственности.
  4. Метод Гельфанда-Левитана.
  5. Метод спектральных отображений.


Литература:
  1. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения, Саратов, Изд-во СПИ, 2001
  2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007
  3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, «Наукова Думка», Киев, 1977.
  4. Левитан Б. M. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. M.: Наука, 1984.


Дополнительные главы математической физики

  1. Метод Крылова.
  2. Свойства функции Грина.
  3. Свойства собственных функций и собственных значений.


Литература:
    1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 7-е изд. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004
    2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – 6 изд. М.: БИНОМ, 2008.


Методы теории приближений решений задач математической физики

  1. Обобщенная формула Эрмита.
  2. Теорема об оценке сверху функции Лебега интерполяционного процесса Уиттекера-Котельникова-Шеннона.


Литература:
  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио-

нального анализа. Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 7-е изд. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004
  1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – 6 изд. М.: БИНОМ, 2008.
  2. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики, 2 изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2008.
  3. Шипачев В.С. Высшая математика. (с 2002г.)



Современные компьютерные технологии

  1. Организация объектных иерархий на примере библиотеки Qt.
  2. Сигналы и слоты, соединение объектов.
  3. Основы технологии OpenMP.
  4. Многопоточность и связанные с ней проблемы. Пример корректной и некорректной реализации взаимодействия потоков.



Литература:

1. Шлее М.."Профессиональное программирование на C++"

2. ru/tech/tech_dev/openmp.php

3. 4.com/art-3-1-464379766.php

4. 4.com/art-3-1-1557922790.php

5. ссылка скрыта

tutorial-introduction/

6. et.ru/progr/cpp/threads.php

7. donntu.edu.ua/projects/qt/qq/qq11-

mutex.php">


Прикладные вопросы теории приближения функций

  1. Критерий равномерной сходимости в точке синк-апроксимации.
  2. Критерий равномерной сходимости синк-апроксимации.



Литература:

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио-

нального анализа. Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 7-е изд. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004

2.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – 6 изд. М.:

БИНОМ, 2008.
  1. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики, 2 изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2008.
  2. Шипачев В.С. Высшая математика. (с 2002г.)


Приближенные методы решения уравнений 1-го рода

  1. Метод М.М. Лаврентьева приближенного решения уравнения 1-го рода с произвольным линейным ограниченным оператором.
  2. Основные положения метода регуляризации А.Н.Тихонова.


Литература:

1. Тихонов А.Н. Обратные и некорректные задачи. М: Наука, 2009.

2. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. Ч.1-2001г.

3. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. Ч.2-2003г.

4. Шишкова Е.В. Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах. Сарат. гос. ун-т им. Н.Г.Чернышевского. Саратов: 2006.


История и методология прикладной математики и информатики

  1. Требования, предъявляемые к математическим моделям физических задач. Источники погрешностей при их реализации.
  2. Историческое формирование современного взгляда на некорректно поставленные задачи.


Литература:

1. Тихонов А.Н. Обратные и некорректные задачи. М: Наука, 2009.

2. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. Ч.1-2001г.

3. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. Ч.2-2003г.

4. Шишкова Е.В. Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах. Сарат. гос. ун-т им. Н.Г.Чернышевского. Саратов: 2006.


Методы регуляризации некорректно поставленных задач

  1. Понятие регуляризирующего семейства операторов. Общие принципы построения методов регуляризации.
  2. Задача восстановления непрерывных функций по их среднеквадратичным приближениям.


Литература:

1. Тихонов А.Н. Обратные и некорректные задачи. М: Наука, 2009.

2. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. Ч.1-2001г.

3. Хромова Г.В., Молоденкова И.Д. Методы приближенного решения задачи восстановления функций. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. Ч.2-2003г.

4. Шишкова Е.В. Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах. Сарат. гос. ун-т им. Н.Г.Чернышевского. Саратов: 2006.


Нелинейные задачи математической физики

  1. Схема решения обратной задачи рассеяния.
  2. Представление Лакса. Эволюция данных рассеяния.
  3. Схема решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений.


Литература:

1. Кабанов С.Н., Бутерин С.А., Игнатьев М.Ю. и др.: Метод обратной задачи в теории нелинейных волн. Учеб. пособие для студентов мех.-мат. фак. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.

2. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ. – М.: Мир, 1987.

3. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: ФИЗМАТЛИТ,

2007.

4. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. (под ред. С.П.

Новикова) — Теория солитонов: метод обратной задачи. – М.: Наука, 1980.

5. Калоджеро Ф., Дегасперсис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений: Пер. с англ. ­ М.: Мир, 1985.

6. Лэм Дж. мл. Введение в теорию солитонов: Пер. с англ. – М.: Мир, 1983.