Программа государственного экзамена по направлению 010200 Математика. Прикладная математика магистерской программы

Вид материала

Программа

Подобный материал:

• Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру по магистерской программе «Геометрия, 98.69kb.
• Программа государственного экзамена по направлению 010500 Прикладная математика и информатика, 78.19kb.
• Программа вступительного экзамена вмагистратуру по направлению 010400 "прикладная, 204.27kb.
• «Математика. Прикладная математика», 366.03kb.
• Программа вступительного экзамена по дисциплине "математика и информатика" в магистратуру, 56.44kb.
• Программа вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010200. 68 Математика., 1967.42kb.
• Программа государственного экзамена по направлению 010500. 62 прикладная математика, 57.44kb.
• Рабочая программа, 160.99kb.
• Рабочая программа, 182.62kb.

Утверждена на Ученом Совете механико-математического факультета СГУ 27. 10. 11 г. (протокол № 2) Декан механико-математического факультета, кандидат физико-математических наук, доцент- Захаров А.М.

Председатель научно-методической комиссии, кандидат физико-математических наук – Тышкевич С.В.

Программа государственного экзамена

по направлению 010200 – Математика. Прикладная математика

магистерской программы

010200.04 – «Геометрия и топология»

на 2011/2012 уч. год


Дифференцируемые многообразия

1. Когомологии Де Рама: определение, свойства, гомотопическая инвариантность.
   
2. Последовательность Майера-Вьеториса, ее вывод и применение для вычислений когомологий Де Рама.
   
3. Главные и векторные расслоения, их координатное описание. Примеры (касательное и кокасательное расслоения, расслоение Хопфа).
   

Дополнительные главы алгебры

1. Теорема Стоуна для булевых алгебр.
   

Риманова геометрия

1. Определение и примеры римановых многообразий. Измерение длин дуг, углов и объемов на римановом многообразии.
   
2. Алгебраические и дифференциальные свойства тензора кривизны риманова многообразия.
   
3. Определение и основные свойства секционной кривизны. Пространства
   

постоянной кривизны. Теорема Шура.


Выпуклый анализ

1. Выпуклая оболочка множества в линейном пространстве. Теорема Каратеодори.
   
2. Условие непустоты внутренности выпуклого множества в конечномерном линейном пространстве. Относительная внутренность.
   
3. Виды отделимости выпуклых множеств. Теорема о сильной отделимости выпуклых множеств в конечномерном линейном пространстве.
   

Группы и алгебры Ли

1. Левоинвариантные векторные поля на группе Ли и их свойства. Определение алгебры Ли. Алгебра Ли группы Ли. Алгебра Ли полной линейной группы.
   
2. Связь между гомоморфизмами групп Ли и гомоморфизмами их алгебр Ли.
   
3. Подгруппы Ли и теорема об их алгебрах Ли.
   
4. Группа Ли преобразований. Теорема о гомоморфизме алгебры Ли группы Ли преобразований в алгебру Ли векторных полей.
   
5. Кольцо конечномерных представлений алгебры Ли sl(2,C).
   
6. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта.
   

Алгебраическая топология

1. Фундаментальная группа: определение, свойства и примеры вычислений.
   
2. Накрытия и их классификация с помощью фундаментальной группы.
   
3. Сингулярные гомологии и когомологии: определение и свойства. Гомотопическая инвариантность сингулярных гомологий.
   

Теория связности

1. Связности в главном расслоенном пространстве P(M,G). Форма связности и её свойства.
   
2. Формы кривизны связности в главном расслоении. Структурные уравнения. Тождество Бианки.
   
3. Аффинная связность. Кривизна и кручение аффинной связности. Необходимые и достаточные условия для локально плоской аффинной связности.
   

Теория категорий

1. Категории, функторы и функторные морфизмы (естественные преобразования). Определения и примеры. Эквивалентность категорий.
   
2. Универсальные объекты. Сумма и произведение в категории. Примеры.
   
3. Представимые функторы. Лемма Йонеды.
   

Гамильтоновы структуры на симплектическом многообразии

1. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии. Их координатное представление. Геодезический поток на римановом пространстве как гамильтоново векторное поле.
   
2. Скобки Пуассона на симплектическом многообразии. Их координатное представление. Теорема Пуассона о первом интеграле.
   
3. Алгебраическое определение производной Ли от дифференциальной формы. Ее свойства. Определение гамильтонова векторного поля с помощью этой производной.
   

Литература


Основная литература

1. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры. М.: Изд-во МЦНМО, 2005 г.
   
2. Спивак, Майкл. Математический анализ на многообразиях : учеб. пособие; пер. с англ. И. А. Березанского. - 2-е изд. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2005. - 158с.
   
3. Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, изд.во МЦНМО, 2003.
   

Дополнительная литература

1. Владимиров Д.А. «Теория булевых алгебр», - СПб: Изд-во СПбГУ, 2000, 616 с.
   
2. Постников М.М. Риманова геометрия (Лекции по геометрии. семестр V) - М.: Факториал Пресс, 1998.
   
3. Магарил-Ильяев,Г. Г    Выпуклый анализ и его приложения - М. : Эдиториал УРСС, 2000. - 174 с.
   
4. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
   
5. Розен В.В. Выпуклый анализ в линейных пространствах. Саратов: Изд-во СГУ, 1996.
   
6. Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1995.
   
7. Маклейн, Саундерс.     Категории для работающего математика . - 2- е изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 351 c.
   
8. Вик, Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию; пер. с англ. П. А. Колгушкина под ред. А. В. Чернавского. - 2-е изд. - М. : Изд-во МЦНМО, 2005. - 287 с.