Geum.ru

М. В. Николаенко, Ю. А. Малышев применение компьютерных моделей при техническом конструировании студентами физиками

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
М.В. НИКОЛАЕНКО, Ю.А. МАЛЫШЕВ


ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

ПРИ ТЕХНИЧЕСКОМ КОНСТРУИРОВАНИИ

СТУДЕНТАМИ ФИЗИКАМИ


Умение пользоваться экспериментом для объяснения физических явлений не только оптимизирует процесс усвоения знаний студентов, но и способствует развитию их творческой инициативы. Однако творческая активность стимулируется не столько привлечением экспериментов к объяснению физических явлений, сколько умением самостоятельно разрабатывать и изготавливать новые лекционные демонстрации, лабораторные работы и пр. физико-технические конструкции.

В связи с этим, возникает проблема оптимизации учебного процесса по курсу «Техническое конструирование и моделирование», призванного для обучения студентов – будущих преподавателей физики методам технически грамотной разработки и изготовления конструкций и моделей для школьного физического эксперимента и для кружков детского технического творчества.

В работе [1] показано, что важнейшим звеном процесса конструирования является этап создания эскизного проекта, грамотная разработка которого опирается на рабочие формулы, описывающие физические явления в конструкции и особенности взаимодействия её элементов.

Очевидно, что любого рода конструкции являются сложными устройствами, поэтому вывод их рабочих формул даже для прикидочных расчетов оказывается очень трудоёмким делом, заниматься которым в полном объеме с привлечением методов математической физики при ограниченном числе часов, отпущенных на курс «Техническое конструирование и моделирование», не представляется возможным. Однако важность данной задачи заставляет искать методы расчетов сложных конструкций адекватные знаниям и возможностям студентов.

На наш взгляд, наиболее перспективным методом анализа при конструировании сложных устройств силами студентов является метод компьютерного моделирования [2]. Попытаемся объяснить наше утверждение на примере разработки устройства для демонстрации колебаний в сложных системах.

Рассмотрим, к примеру, задачу о колебаниях математического маятника, точка подвеса которого прикреплена к другому телу, имеющему возможность свободно (без трения) перемещаться горизонтально по оси ОХ (рис.1). Как сконструировать данное устройство?

Для решения поставленной задачи конструирования мы должны вначале увидеть движение всей системы, если, к примеру, отклонить тело массы m2 на угол φ0 и отпустить. Чтобы рассчитать элементы предложенной конструкции, мы должны получить уравнения, описывающие процесс движения тела – опоры массы m1 и тела маятника массы m2.

Как известно [3], разработка компьютерной модели начинается с записи основных законов, которыми можно наиболее полно описать процессы в разрабатываемом устройстве. В данном случае эти законы выражены уравнениями Лагранжа:



Рис.1. Система двух тел


Для их решения выберем в качестве независимых обобщенных координат, полностью описывающих процесс в исследуемой системе переменные х1 и φ.

В таком случае получаем систему уравнений Лагранжа

(1)

Из рис.1. следует, что



При данных определениях координат кинетическая энергия системы имеет вид:

(2)

Потенциальная энергия равна:

(3)

Вычислим все производные от и и подставим полученные выражения в (1), Получим систему из двух уравнений:

(4)

Выражая из второго уравнения системы и подставляя его в первое уравнение, мы получим систему двух нелинейных уравнений:

(5)

Решение этой системы уравнений в аналитических функциях трудно и потому чрезвычайно осложняет анализ физического процесса движения предложенной, казалось бы, простой конструкции.

Таким образом, как уже говорили, мы сталкиваемся с педагогической проблемой целесообразности дальнейшего математического анализа уравнений (5). Решить эту проблему мы можем с помощью методов компьютерного моделирования, основанных на численном решении подобных уравнений.

При использовании компьютера нам остается лишь подготовить уравнения системы (5) к виду, понятному компьютеру и запрограммировать его на расчет координат интересующих нас объектов и на построение графиков движения тела-опоры и тела маятника.

Подготовим уравнения системы (5) к виду понятному компьютеру. Для этого, введя обозначения , преобразуем их к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

, (6)

где

(7)

Используем наиболее простой для обучения метод Эйлера решения уравнений системы (6). В соответствии с этим методом решение уравнений (6) следует проводить по схеме:

(8)

Процедура Эйлера на языке программирования выглядит так:


procedure Eiler;

begin

x:=x+v*dt;

v:=v+F1*dt;

fi:=fi+omega*dt;

omega:=omega+F2*dt;

t:=t+dt;

end;


При организации цикла расчета обобщенных координат следует иметь в виду, что , T- время наблюдения процесса. При k=1, x1(t1)=0, φ(t1)=φ0. Для организации цикла расчета по схеме (8) индекс к должен пробегать значения от 1 до N.

Программа (компьютерная модель) расчета координат тел m1 и m2 и построения графиков их движения и была организована на языке Дельфи. Полученные графики явились, фактически, результатом компьютерного эксперимента

Наблюдение графиков зависимости х1(t) показало, что движение по х тела m1 может быть представлена в виде суммы двух движений, одного, в виде линейного полинома:

(9)

и другого, имеющего вид гармонических колебаний

, (10)

так что полное уравнение движения тела-опоры массой m1 должно быть записано в виде:

. (11)

Рассчитать коэффициенты полинома (линейной регрессии) (9) и мы можем, решая систему линейных уравнений:

,

что проделано в программе исследований. Однако при этом мы не получим выражений для и , содержащих в явном виде параметры m1, m2, , , и следовательно не сможем оценить их влияния на конструкцию демонстрационного устройства. Для этого надо провести многофакторный анализ, используя статистические методы планирования эксперимента. Однако в данном случае необходимые нам знания о связи и с m1, m2, и ,мы можем получить из физических соображений.

Если в начальный момент времени тело m1 находилось в начале координат, то (11) будет иметь вид: . (12)

Так как поступательное движение (9) определяется импульсом, полученным от тела-маятника m2, длиной , то нетрудно определить значения коэффициентов и: и , где и константы. Для определения значения необходим многофакторный анализ поведения графиков и в зависимости от изменений исследуемых параметров.

Итак, полученные в результате компьютерного эксперимента графики, позволили нам получить приближенное аналитическое выражение для оценки характера движения. Конечно, выражение (12) можно было бы получить и без компьютерного эксперимента, но это лишь пример, иллюстрирующий метод, который может оказаться единственно доступным в других случаях, как, например, при наблюдении колебаний двойного маятника (опора одного маятника является телом другого).

Формула (12) является рабочей формулой, позволяющей сделать определенные выводы о соотношении масс , о длине маятника и соответственно о конструкции и геометрических размерах устройства, предназначенного для показа данного явления в большой аудитории.

Для получения более строгих зависимостей характера движения элементов системы рис.1 от масс, длин и др. необходимо использовать статистические методы обработки результатов компьютерного эксперимента, проводимого по определенным методикам (методикам планирования эксперимента).

___________________

1. Гуржий В.С., Николаенко В.Н., Чабан В.И. Проектирование и изготовление конструкций физико-технических устройств и моделей студентами физиками // Инновационные тенденции в системе высшего и среднего образования: Материалы второй международной заочной научно-практической конференции. – Саратов: Изд-во «Научная книга», 2005.

2. Х. Голд, Я. Тобочник. Компьютерное моделирование в физике. – М.: Изд-во «Мир», 1990.

3. Железовский Б.Е., Каменский Ю.В., Николаенко В.Н. Технология компьютерного моделирования в экспериментальной физике: Ч.1: Компьютерное моделирование в механике. Учебно-методическое пособие для студентов вуза. – Саратов: «Научная книга», 2008.