Рабочая программа дисциплины «Методы вычислений» Направление подготовки

Вид материалаРабочая программа

Содержание


Управление разработкой программных проектов
1. Цели освоения дисциплины
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
4. Структура и содержание дисциплины
Аудиторные – 48 часов
4.2. Содержание лекционных занятий
4.3. Содержание лабораторных занятий
5. Образовательные технологии
6.1. Перечень заданий для самостоятельной работы и проведения текущего контроля.
6.2. Перечень вопросов к промежуточной аттестации
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Подобный материал:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова»


Факультет дизайна и компьютерных технологий


«УТВЕРЖДАЮ»

Проректор по учебной работе


______________ А.Ю. Александров


«______»______________ 20__ г.


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Методы вычислений»


Направление подготовки

231000 Программная инженерия


Профиль подготовки

Управление разработкой программных проектов


Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр


Форма обучения

очная


Чебоксары

2011

Рабочая программа основана на требованиях Федерального государственного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 231000 Программная инженерия, утвержденного Приказом Минобрнауки 09.11.2009 г. № 542.


Составитель: старший преподаватель ______________Кузнецова Н.А.


Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании обеспечивающей кафедры – компьютерных технологий (протокол № _____ от ___________2010 г.).


Зав. кафедрой: профессор ______________ Желтов В.П.


Рабочая программа согласована с Методической комиссией выпускающего факультета – дизайна и компьютерных технологий


Председатель комиссии, декан: профессор ________________ Желтов В.П.


СОГЛАСОВАНО:

Зам. начальника УМУ: доцент _____________М.Ю. Харитонов


1. Цели освоения дисциплины


Цель освоения дисциплины - ознакомление с основными понятиями и методами вычислительной математики, выработка навыков применения численных методов для решения практических задач.


2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата


Дисциплина относится к вариативной части математического и естественнонаучного цикла дисциплин ООП бакалавриата.

Для изучения дисциплины необходимы знания по следующим базовым дисциплинам математического и естественнонаучного цикла и профессионального циклов ООП: «Математический анализ», «Алгебра и геометрия», «Информатика и программирование».


3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

1) общекультурные компетенции:

- владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);

- готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);

2) профессиональные компетенции:

научно-исследовательская деятельность

- готовность к использованию методов и инструментальных средств исследования объектов профессиональной деятельности (ПК-3); - в части использования численных методов решения математических задач, возникающих при исследовании объектов профессиональной деятельности методом математического моделирования;

- умение готовить презентации, оформлять научно-технические отчеты по результатам выполненной работы, публиковать результаты исследований в виде статей и докладов на научно-технических конференциях (ПК-5);


В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
  • Знать: особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ; учет погрешности вычислений; основные численные методы решения задач линейной алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.
  • Уметь: применять алгоритмы численных методов для решения практических задач, учитывать погрешности приближенных вычислений, проектировать эксперимент и анализировать результаты.
  • Владеть: методами численного анализа построенной математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.


4. Структура и содержание дисциплины


4.1. Структура дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.






п/п


Раздел

дисциплины

Семестр

Неделя семестра

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)

Аудиторные – 48 часов

Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

Лекции


Практ. зан.

Лабор. зан.


КСР *


СРС **


Всего


Из ауд. зан. в интер. форме

1

Основы теории погрешностей.

3

1, 2

4




2




6










2

Численные методы линейной алгебры.

3

3. 4

4




2




6










3

Численные методы решения нелинейных уравнений и систем.

3

5, 6

4




2




9










4

Интерполяция функций.

3

7, 8

4




2




6










5

Численные методы приближения и аппроксимации функций.

3

9, 10

4




2




6










6

Численное интегрирование и дифференцирование функций.

3

11, 12, 13, 14

8




4




6










7

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

3

15, 16

4




2




6













Зачет.

3

17













6













Итого







32




16

2

58

108




Зачет


* Контроль самостоятельной работы: аудиторные занятия для проверки самостоятельной работы студентов, приема зачета, проведения текущих консультаций.

** Самостоятельная работа студента, включая курсовой проект, курсовую работу, расчетно-графические работы.


4.2. Содержание лекционных занятий


Введение. – 1 час.

Цели и задачи изучения численных методов, место в учебном процессе. Основные области применения численных методов.


1. Основы теории погрешностей. – 3 часа.

Источники и классификация погрешности. Погрешности основных арифметических операций. Погрешности элементарных функций. Прямая задача теории погрешностей и способы ее решения. Обратная задача теории погрешностей и ее решение.


2. Численные методы линейной алгебры. – 4 часа.

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений: схемы Гаусса, метод прогонки, метод Крамера. Применение метода Гаусса к вычислению определителей и обращению матриц. LU – разложение матриц. Итерационные методы решения СЛАУ и обращения матриц: метод простых итераций, метод Зейделя. Сходимость итерационных методов.


3. Численные методы решения нелинейных уравнений и систем. – 4 часа.

Отделение корней, основные методы отделения корней. Уточнение корней. Метод хорд, дихотомии. Метод касательных. Комбинированный метод. Модифицированный метод Ньютона. Метод итераций. Геометрическая интерпретация методов. Оценка точности методов. Решение систем нелинейных уравнений: методы Ньютона и итераций. Точность и сходимость решения.


4. Численные методы приближения и аппроксимации функций. – 4 часа.

Методы приближения и аппроксимации функций. Общая задача и алгоритмы приближения. Метод наименьших квадратов. Линейная, квадратичная аппроксимация.


5. Интерполяция функций. - 4 часа.

Интерполирование каноническим многочленом Лангранжа. Интерполяционные формулы Ньютона. Интерполяция сплайнами.


6. Численное интегрирование и дифференцирование функций.- 8 часов.

Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Методы прямоугольников, трапеции, Симпсона. Оценка точности численного интегрирования. Выбор оптимального шага при численном интегрировании. Задача численного дифференцирования и её решение. Формулы численного дифференцирования.


7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.- 4 час.

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Метод Адамса.


4.3. Содержание лабораторных занятий


1. Основы теории погрешностей. – 2 часа.

Определение погрешности формулы. Сравнение точностей выражений.


2. Численные методы линейной алгебры. – 2 часа.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, простой итерации, Зейделя.


3. Численные методы решения нелинейных уравнений и систем. – 2 часа.

Решение нелинейных уравнений комбинированным методом хорд и касательных. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона и итераций.


4. Численные методы приближения и аппроксимации функций.- 2 часа.

Метод наименьших квадратов. Линейная, квадратичная аппроксимация.


5. Интерполяция функций. - 2 часа.

Интерполирование многочленом Лангранжа. Интерполяция сплайнами.


6. Численное интегрирование и дифференцирование функций.- 4 часов.

Вычисление интеграла с заданной точностью методами прямоугольников, трапеции, Симпсона. Вычисление первой и второй производной в заданной точке табличной функции с использованием интерполяционных многочленов Ньютона.


7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. - 2 часа.

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса.


5. Образовательные технологии


В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки реализация В процессе изучения дисциплины используются:

• раздаточный материал для изучения лекционного материала;

• учебный материал в электронном виде;

• контрольные программы по курсу для подготовки к сдаче семестровой аттестации и экзамена;

• программное обеспечение в соответствии с содержанием дисциплины;


6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.


6.1. Перечень заданий для самостоятельной работы и проведения текущего контроля.

Варианты тестовых заданий для проведения текущего контроля.


Вариант 1.

1. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.

а) В основе данного метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная система приводится к треугольному виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении неизвестных из системы треугольного вида.

б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению.

в) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам xi= det Ai / det A, det Ai и det A - определители матриц Ai и А соответственно. Матрица Ai образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.

2. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения?

а) Метод Ньютона в ряду итерационных методов нахождения корней нелинейного уравнения наиболее прост в организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – достаточно медленная скорость сходимости.

б) Метод Ньютона относится к числу итерационных методов второго порядка и имеет наибольшую точность нахождения корней нелинейного уравнения. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени при решении сложных нелинейных уравнений.

в) Метод Ньютона весьма быстро сходится, точность каждого приближения в этом методе пропорциональна квадрату точности предыдущего. Основной недостаток метода – необходимость достаточно точного начального приближения.


3. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.

а) Требуется вычислить производные от функций, заданных в табличном виде.

б) Требуется найти значение функции f(x), x ≠ xi (i = 0, 1,…, n), если известны узлы

интерполирования xi (i = 0, 1,…,n) и значения функции f(x) в этих узлах.

в) Требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.


4. Назовите области применения формул численного дифференцирования.

а) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование функции затруднительно.

б) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно.

в) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.


5. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

а) В методе Эйлера решение y(x) дифференциального уравнения y′ = f (x, y) получается как предел последовательности функций yn(x), которые находятся по реккурентной формуле.

б) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…). Вычисления значений y(xi), являющихся решением дифференциального уравнения y′ = f (x, y) , проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение yi с шагом α h, на втором этапе – yi+1.

в) Строится система равноотстоящих точек xi = x0+i·h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения y′ = f (x, y) , вычисляются последовательно по формулам yi+1 = yi + h·f(xi, yi).


Вариант 2.

1. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида разработан метод прогонки?

а) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженной (лишь малая доля элементов матрицы отлична от нуля) матрицей коэффициентов.

б) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

в) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с апериодической матрицей коэффициентов.


2. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.

а) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным уравнением x = φ(x). Итерации образуются по правилу xk+1 = φ(xk), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение x0. Если последовательность чисел xk имеет предел при k → 0 , то этот предел является корнем уравнения x = φ(x).

б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.

в) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется, чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на [а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения x0. Последующие приближения определяется по формуле xk+1 = xk − f (xk )f ′(xk ) , (k = 0, 1, …).


3. Какую функцию называют аппроксимирующей?

а) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям функций.

б) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), производные от которой равны производным функции f(x).

в) Пусть для конечного множества значений аргумента x0, x1, …, xn известны табличные значения функций f(x0), f(x1), …, f(xn). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), значения которой отличаются от данных значений функций на постоянную величину.


4. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.

а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами xi и xi+1, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

б) В квадратурных формулах коэффициенты подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах точно интегрируются все многочлены степени N ≤ 2n −1. Коэффициенты находятся из системы (2n-1) нелинейных уравнений.

в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [xi, xi+1] равной длины. На каждом отрезке [xi, xi+1] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(xi+1/2) (либо f(xi), либо f(xi+1)) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.


5. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.

а) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново.

б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени.

в) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в и организации вычислительного процесса.


Вариант 3.

1. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений перед методом простой итерации?

а) Дает большой выигрыш в точности, так как, во-первых, метод Зейделя существенно уменьшает число умножений и делений, во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов.

б) Метод Зейделя являются абсолютно сходящимся, т.е. для него нет необходимости вводить достаточные условия сходимости в отличие от метода простой итерации.

в) Обычно данный метод дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации. Кроме того, метод Зейделя может оказаться более удобным при программировании, так как при вычислении xi(k+1) нет необходимости хранить значения x1(k), x2(k), x3(k), …, xi-1(k).


2. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.

а) На первом этапе левая часть нелинейного уравнения f(x) = 0 аппроксимируется на интервале [а, b] интерполяционным многочленом Ньютона. На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.

б) На первом этапе проверяется выполнение достаточных условий сходимости. На втором этапе нелинейное уравнение заменяется на интервале [а, b] эквивалентным уравнением. На третьем этапе строится итерационный процесс, позволяющий определить значение корня нелинейного уравнения.

в) На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, т.е. находится какой-либо интервал [a, b] оси Ox, внутри которого находится один корень, и нет других решений нелинейного уравнения. На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится

итерационный процесс, позволяющий уточнить значение корня нелинейного уравнения.


3. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?

а) Метод состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию f(x) многочленом невысокой степени. Для того чтобы не возникало разрывов производной в местах сочленения, на каждом частичном отрезке степень полинома берется «с запасом», а возникающую свободу в выборе коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах участков.

б) Метод состоит в том, что строится полином, сумма квадратов отклонений которого от табличных значений интерполируемой функции yi = f(xi) минимальна.

в) Метод состоит в том, что строится полином, принимающий в точках xi, называемых узлами, значения интерполируемой функции f(xi).


4. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?

а) Суть состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях.

б) Суть состоит в следующем: при заданном числе интервалов разбиения следует расположить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования.

в) Суть состоит в том, что из подынтегральной функции f(x) выделяют некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что функция f(x), элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы разность f(x)–g(x) имела нужное число производных.


6.2. Перечень вопросов к промежуточной аттестации.

Вопросы к зачету по всему курсу.
  1. Источники погрешностей, классификация погрешностей.
  2. Погрешности основных арифметических операций. Погрешности элементарных функций.
  3. Прямая задача теории погрешностей и способы ее решения.
  4. Обратная задача теории погрешностей и ее решение.
  5. Прямые методы решения СЛАУ.
  6. Итерационные методы решения СЛАУ.
  7. Задачи линейной алгебры. Вычисление определителей. Вычисление элементов обратной матрицы. Вычисление собственных значений матрицы
  8. Трансцендентные уравнения. Метод дихотомии.
  9. Трансцендентные уравнения. Метод хорд.
  10. Трансцендентные уравнения. Метод Ньютона (метод касательных).
  11. Трансцендентные уравнения. Метод простых итераций.
  12. Интерполяция каноническим полиномом.
  13. Интерполяция полиномом Лагранжа.
  14. Интерполяция полиномом Ньютона.
  15. Интерполяция сплайнами.
  16. Метод наименьших квадратов.
  17. Безусловная оптимизация функций. Метод золотого сечения.
  18. Безусловная оптимизация функций. Метод координатного спуска.
  19. Безусловная оптимизация функций. Метод градиентного спуска.
  20. Численное интегрирование. Метод прямоугольников.
  21. Численное интегрирование. Метод трапеций.
  22. Численное интегрирование. Метод Симпсона.
  23. Методы Монте-Карло.
  24. Применение сплайнов для численного интегрирования.
  25. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Метод Эйлера.
  26. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Методы Рунге-Кутты решения систем ОДУ.
  27. Методы приближения и аппроксимации функций


7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:
  1. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1987 г. – 152 с.
  2. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1987 г. – 169 с.
  3. Воробьёва Г.Н. Практикум по численным методам М., Наука, 1979г. – 368 с.
  4. Гультяев А.К. Визуальное моделирование в среде MATLAB: Учеб. курс. – СПб.: Питер, 2000. – 360 с.
  5. Данилина Н.И. и др. Вычислительная математика. - М.: Наука, 1985 г. – 259 с.
  6. Дьяконов В.П. Matlab: Учеб. курс / В.П. Дьяконов.- СПб.: Питер, 2001. – 553 с.
  7. Плис А.И., Славина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. 4ч. пособие. Изд. М., Высшая школа, 1994г.
  8. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. (ГРИФ). - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. -320 с.
  9. Самарский А.А. Ведение в численные методы. - М.: Наука, 1989 г. – 151 с.
  10. Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987 г. – 199 с.


б) дополнительная литература:
  1. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта М., Высшая школа 1979, 2ое изд.
  2. Демидович Б.П.и др. Основы вычислительной математики. - М.: Наука,1970
  3. Калиткин Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1992 г.
  4. Конченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М., Наука, 1972г.
  5. Крылов В.И. и др. Вычислительные методы. - М.: Высшая школа, 1979 г.
  6. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль Томск, МП «РАСКО», 1992г.
  7. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы М., Наука, 1987г.
  8. Система компьютерной математики МАТLAB: Справочник / Иванов Е.Г., Васильев А.М., Алешина И.Н. и др. – Чебоксары: ЧГУ, 2001. – 90 с.


в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

- математические пакеты (Maple, MatLab, …),

- среда программирования на каком-либо языке высокого уровня (TPascal, Delphi, C, C++…).


8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Для проведения лабораторных занятий по дисциплине требуется компьютерный (дисплейный) класс на несколько рабочих мест.


Разработчики:

Кафедра компьютерных

технологий ст. преп. Кузнецова Н.А.

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)


Эксперты:

____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)