Рабочая программа дисциплины численные методы и пакеты прикладных программ Программа курса основной образовательной программы магистратуры

Вид материала

Рабочая программа

Содержание Рабочая программа дисциплины Составитель рабочей программы 1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины 1.3. Связь с предшествующими дисциплинами 1.4. Связь с последующими дисциплинами 2. Содержание дисциплины Всего часов аудиторных занятий Всего часов самостоятельной работы Всего часов по дисциплине Лекционный курс Тема 1. Вычислительные методы линейной алгебры Тема 2. Интерполирование функций Тема 3. Численное интегрирование и дифференцирование Тема 4. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Тема 6. Численные методы решения уравнений в частных производных Тема 7. Компьютерное моделирования задач механики деформируемого твердого тела с использованием пакетов прикладных программ. 2.4. Практические занятия 3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний 3.2. Комплекты тестовых заданий ... Полное содержание

Подобный материал:

• Рабочая программа дисциплины (модуля) «Численные методы» послевузовского профессионального, 307.27kb.
• Рабочая программа дисциплины история и методология механики Программа курса основной, 125.9kb.
• Рабочая программа дисциплины современные проблемы механики Программа курса основной, 129.67kb.
• Рабочая программа дисциплины философские вопросы естествознания Программа курса основной, 155.12kb.
• Рабочей программы дисциплины Пакеты прикладных программ для экономистов по направлению, 36.76kb.
• Рабочая программа дисциплины Пакеты прикладных программ для экономистов Направление, 88.37kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины в. 8 Численные методы Уровень основной образовательной, 55.63kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины в. 3 Численные методы Уровень основной образовательной, 51.78kb.
• Рабочая программа дисциплины «Динамические системы» од. А. 08; цикл од. А. 00 «Дисциплины, 126.64kb.
• Рабочая программа дисциплины «Системный анализ» од. А. 07; цикл од. А. 00 «Дисциплины, 125.22kb.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Механико-математический факультет


Кафедра информатики и вычислительной математики

	УТВЕРЖДАЮ
	Проректор по учебной работе
	________________В.П. Гарькин
	«____»_______________ 2010 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Численные методы и пакеты прикладных программ


Программа курса основной образовательной программы магистратуры 010900.68 Механика деформируемого твердого тела направления механика 010900 - Механика


Самара

2010

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010901 Механика, утвержденного 15 марта 2000 г. (номер государственной регистрации 415 ЕН/СП).

Составитель рабочей программы: к.ф.-м.н., доцент В.П. Сироченко

Рецензент: д.ф.-м.н., профессор. В.И. Астафьев


Рабочая программа утверждена на заседании кафедры информатики и вычислительной математики (протокол № от «____» _____________ 2010 г.)


Заведующий кафедрой

____ _____________ 2010 г. _______________ А.Н. Степанов


СОГЛАСОВАНО


Декан

факультета

____ _____________ 2010 г. _______________ С.Я. Новиков


Начальник

методического отдела

____ _____________ 2010 г. _______________ Н.В. Соловова


ОДОБРЕНО

Председатель

методической

комиссии факультета


____ _____________ 2010 г. _______________ Е.Я. Горелова


1. Цели и задачи дисциплины, её место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины

1.1. Цели и задачи изучения дисциплины


Цель дисциплины – подготовить студентов к разработке компьютерно ориентированных вычислительных алгоритмов решения задач, возникающих в процессе математического моделирования законов реального мира и применения познанных законов в практической деятельности.


Задачи дисциплины:

• дать понятие о математическом моделировании и вычислительном эксперименте;
  
• раскрыть роль численных методов в исследовании сложных математических моделей;
  
• проанализировать причины возникновения погрешности при численном решении математических задач;
  
• сформулировать основные требования к численным методам: корректность, сходимость, точность;
  
• изложить основные численные методы решения задач математического анализа, алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, математической физики;
  
• рассмотреть особенности применения численных методов для решения практических задач механики деформируемого твердого тела;
  
• продемонстрировать возможности компьютерного моделирования задач механики деформируемого твердого тела с использованием прикладных программных пакетов.
  

1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины


Студенты, завершившие изучение данной дисциплины, должны:

Иметь представление:

• о роли численных методов в исследовании сложных математических моделей реальных процессов и объектов;
  
• о погрешности вычислений, интерполяции, сплайнах, численном интегрировании, прямых и итерационных методах решения систем линейных алгебраических уравнений, численных методах решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, методах решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, методе конечных элементов, численных методах решения гиперболических, параболических и эллиптических уравнений, численных методах решения интегральных уравнений.
  

Знать:

• основные понятия вычислительной математики;
  
• элементы теории погрешностей;
  
• основные численные методы и алгоритмы решения типовых задач математического анализа, алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, математической физики.
  

Уметь:

• разрабатывать вычислительные алгоритмы решения задач, возникающих в процессе математического моделирования объектов и явлений;
  
• использовать приближенные методы для решения прикладных задач.
  

1.3. Связь с предшествующими дисциплинами


Для усвоения дисциплины «Численные методы и пакеты прикладных программ» требуется знание основ математического анализа (теория пределов, дифференциальное исчисление функций, интегрирование), функционального анализа (линейные, нормированные пространства, линейные операторы), линейной алгебры (векторы, матрицы, определители, системы линейных уравнений). Студент должен владеть основными понятиями из курсов обыкновенных дифференциальных уравнений (постановка и условия разрешимости задачи Коши, краевых задач), уравнений с частными производными (постановки основных краевых задач для уравнений параболического, гиперболического, эллиптического типов, условия их разрешимости).


1.4. Связь с последующими дисциплинами


Понятия и методы, рассмотренные в дисциплине «Численные методы и пакеты прикладных программ», будут использоваться в дисциплинах специализации, при подготовке магистерской диссертации, в последующей профессиональной деятельности в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии.


2. Содержание дисциплины


2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)


Очная форма обучения, 10 семестр – экзамен

Вид учебных занятий	Количество часов
Всего часов аудиторных занятий	32
Лекции	12
Лабораторные занятия (семинары)	20
Всего часов самостоятельной работы	36
Подготовка к лекционным и лабораторным занятиям	26
Подготовка к экзамену	10
Всего часов по дисциплине	68

2. Разделы дисциплины и виды занятий
   

№ п/п	Название раздела дисциплины	Количество часов
		Лекции	Лабораторные занятия
	Введение	1	0
1	Вычислительные методы линейной алгебры	1	2
2	Интерполирование функций	1	2
3	Численное интегрирование и дифференцирование	1	2
4	Решение нелинейных уравнений и систем уравнений	2	4
5	Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений	2	2
6	Численные методы решения уравнений в частных производных	2	4
7	Компьютерное моделирование задач механики деформируемого твердого тела с использованием пакетов прикладных программ	2	2
	Контрольные работы		2
	Итого:	12	20

2. Лекционный курс

Введение


Численные методы как раздел современной математики. Роль компьютерно ориентированных численных методов в исследовании сложных математических моделей. Погрешность результата численного решения задачи. Требования к численным методам: корректность, сходимость, точность.


Тема 1. Вычислительные методы линейной алгебры


Нормы векторов и матриц, согласованные нормы. Основные задачи линейной алгебры. Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера. Метод исключения Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Метод квадратного корня. Вычисление определителя. Вычисление обратной матрицы

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными и ленточными матрицами. Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Алгоритм и обоснование метода (корректность и устойчивость). Варианты метода прогонки: немонотонная прогонка, встречная прогонка, циклическая прогонка.

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации. Теорема о достаточном условии сходимости. Необходимое и достаточное условие сходимости метода простой итерации. Метод простой итерации для систем с симметричными положительно определенными матрицами. Оптимизация итерационного параметра. Метод Зейделя. Итерационные методы вариационного типа. Метод наискорейшего градиентного спуска. Метод сопряженных градиентов.

Погрешность приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений. Обусловленность матриц и систем. Методы регуляризации решения плохо обусловленных систем уравнений. Вариационный подход к решению плохо обусловленных систем.


Тема 2. Интерполирование функций


Постановка задачи интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Лагранжа, его существование и единственность. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа. Количество арифметических операций как один из критериев оценки качества алгоритма. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями. Многочлены Чебышева и их свойства. Минимизация остаточного члена погрешности интерполирования. Оптимальный выбор узлов интерполирования. Применение аппарата интерполирования. Обратная интерполяция. Сходимость интерполяционного процесса. Другие постановки задачи интерполирования: интерполирование с кратными узлами, рациональная интерполяция, двумерная интерполяция. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Общая постановка задачи интерполяции.

Сплайны. Экстремальные свойства сплайнов. Построение кубического интерполяционного сплайна. Приближение функций сплайнами.


Тема 3. Численное интегрирование и дифференцирование


Простейшие квадратурные формулы: прямоугольников, трапеций, Симпсона. Оценка погрешности квадратурных формул. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Оценки погрешности этих формул.

Квадратурные формулы Гаусса. Построение формул Гаусса. Положительность коэффициентов формул Гаусса. Погрешность формул Гаусса. Квадратурные формулы Гаусса, отвечающие простейшим весовым функциям: постоянному весу, весу Якоби, весу Лагерра, весу Эрмита.

Сходимость квадратурных формул. Составные квадратурные формулы. Оценка их погрешности. Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Правило Рунге практической оценки погрешности. Автоматический выбор шага интегрирования.

Вычисление интегралов от функций с особенностями: аддитивное и мультипликативное выделение особенностей, построение специальных формул.

Численное дифференцирование. Построение формул численного дифференцирования: применение интерполирования, метод неопределенных коэффициентов. Вычислительная погрешность формул численного дифференцирования.


Тема 4. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений


Метод простой итерации для решения нелинейных уравнений. Сходимость метода.

Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация метода Ньютона в случае скалярного уравнения. Сходимость метода Ньютона.

Другие методы решения одного уравнения: метод секущих, метод парабол, метод вилки.


Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений


Постановка задачи Коши. Метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Рунге-Кутта. Общая формулировка методов. Погрешность аппроксимации, точность. Сходимость методов. Семейства методов второго, третьего, четвертого порядков.

Многошаговые разностные методы. Явные и неявные методы. Методы Адамса. Погрешность аппроксимации многошаговых методов. Устойчивость и сходимость методов. Примеры многошаговых разностных методов.

Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Условно и абсолютно устойчивые разностные методы. Область устойчивости. А-устойчивые разностные методы. А()-устойчивость. Метод Гира. Чисто неявные разностные методы.

Постановка краевых задач. Метод пристрелки. Метод параллельной пристрелки.


Тема 6. Численные методы решения уравнений в частных производных


Основные понятия теории разностных схем. Сетки и сеточные функции. Нормы в пространстве сеточных функций. Аппроксимация дифференциальных операторов разностными операторами. Порядок аппроксимации. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Постановка разностной задачи. Явные и неявные разностные схемы. Аппроксимация дифференциальной задачи разностной задачей. Корректность разностной задачи. Абсолютная и условная устойчивость. Сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи. Точность. Теорема сходимости.

Методы построения разностных схем. Метод разностной аппроксимации. Метод неопределенных коэффициентов. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса).

Методы исследования устойчивости разностных схем. Необходимый спектральный признак Неймана. Принцип “замороженных” коэффициентов. Принцип максимума для разностных схем.

Разностные схемы для одномерных параболических уравнений. Семейство разностных схем с весами для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Порядок аппроксимации схемы при различных значениях веса и правой части. Применение принципа максимума для исследования устойчивости. Равномерная сходимость схемы. Монотонные разностные схемы.

Разностные схемы для одномерных гиперболических уравнений. Разностные схемы для уравнения переноса. Семейство схем с весами для уравнения колебаний струны. Погрешность аппроксимации и устойчивость схемы при различных значениях веса и правой части. Условие устойчивости Куранта.

Разностные схемы для эллиптических уравнений. Разностные аппроксимации для двумерного уравнения Пуассона. Схемы повышенного порядка аппроксимации. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Исследование корректности с помощью принципа максимума. Сходимость и оценка порядка точности для различных схем.

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Явная и неявная разностные схемы для двумерного уравнения теплопроводности. Неоднородные разностные схемы. Разностные схемы метода дробных шагов. Схема переменных направлений. Исследование аппроксимации и устойчивости. Аппроксимация граничных условий на дробном шаге. Метод приближенной факторизации. Экономичные факторизованные схемы для многомерных параболических и гиперболических уравнений.

Методы решения сеточных уравнений. Прямые методы решения сеточных краевых задач. Метод Гаусса. Метод матричной прогонки. Быстрое дискретное преобразование Фурье и его применение к решению разностного уравнения Пуассона. Метод простой итерации решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Метод установления. Итерационные схемы дробных шагов и приближенной факторизации.

Другие методы решения уравнений в частных производных. Метод характеристик для гиперболических уравнений. Метод прямых. Вариационные и проекционные методы: Ритца, Галеркина, наименьших квадратов, коллокации. Вариационно-разностные и проекционно-разностные методы (методы конечных элементов).


Тема 7. Компьютерное моделирования задач механики деформируемого твердого тела с использованием пакетов прикладных программ.


Общая характеристика пакетов прикладных программ для моделирования задач механики. Устройство пакета программ. Правило проведения вычислений. Визуализация результатов расчетов.

Обзор пакетов программ для задач механики сплошных сред. Назначение и возможности пакетов ABAQUS, ADINA, ANSYS, DYNA2D/3D, JAS3D, NASTRAN, NIKE2D/3D, PRONTO3D.


2.4. Практические занятия

Практические занятия по дисциплине не предусмотрены.


2.5. Лабораторные занятия

№ п/п	Номер темы	Количество часов	Наименование лабораторного занятия
1	1	2	Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Методы Гаусса, квадратного корня, прогонки.
2	1	2	Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Методы Якоби, Зейделя, релаксации.
3	2	2	Интерполяционные многочлены Лагранжа, Ньютона.
4	2	2	Интерполирование сплайн-функциями
5	3	2	Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
6	3	2	Формулы численного дифференцирования. Вычислительная погрешность
7	4	2	Решение нелинейных уравнений
8	4	2	Решение систем нелинейных уравнений
9	1-4	2	Контрольная работа
10	5	2	Методы Рунге-Кутта решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
11	5	2	Разностные методы Адамса решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
12	5	2	Численные методы решения жестких систем дифференциальных уравнений.
13	6	2	Разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности.
14	6	2	Разностные схемы для уравнения колебаний струны.
15	6	2	Разностные схемы для уравнения Пуассона.
16	6	2	Экономичные разностные схемы для многомерного уравнения теплопроводности.
17	7	2	Пакеты прикладных программ.
18	5-7	2	Контрольная работа.

3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний


3.1. Контрольные работы

Тематика контрольных работ	Сроки проведения	Темы дисциплины
Численные методы решения задач алгебры и анализа	5-е лабораторное занятие	1-4
Численные методы решения дифференциальных уравнений	10-е лабораторное занятие	5-7

3.2. Комплекты тестовых заданий

Тестирование по дисциплине не предусмотрено.


3.3. Самостоятельная работа


3.3.1. Поддержка самостоятельной работы

1. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учеб. пособие / Под ред. В.А. Садовничего. –М.: Высшая школа, 2000. – 190 с.
   
2. Дробышевич В.И., Дымников В.П., Ривин Г.С. Задачи по вычислительной математике. –М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980.
   
3. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб. пособие / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. 2-е изд. стер. —М.: Высш. шк., 2006. —480 с.
   
4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах: Учебное пособие. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань»,
   
5. Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам: Учеб. пособие.—М.: Университетская книга, Логос, 2006. —184 с.
   
6. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам: Учебное пособие. Изд. 3-е, стереотипное. —М.: КомКнига, 2007. —208 с.
   

3.3.2. Тематика рефератов

Написание рефератов по дисциплине не предусмотрено.


3.4. Курсовая работа, её характеристика; примерная тематика

Курсовая работа по дисциплине не предусмотрена.


Итоговый контроль проводится в виде зачета в 10-м семестре и экзамена в 11-м семестре. Зачет ставится на основании выполнения всех лабораторных работ, результатов контрольных работ. Экзаменационная оценка ставится на основании письменного и устного ответов по экзаменационному билету.


4. Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ

Компьютерный класс, используемый при проведении лабораторных занятий.


5. Активные методы обучения

Активные методы обучения не предусмотрены.


6. Материальное обеспечение дисциплины.

Материальное обеспечение дисциплины не требуется.


7. Литература


7.1. Основная (одновременно изучают дисциплину 10 студентов)

1. Бахвалов, Н. С. Численные методы. Учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 6-е изд. - М. : Бином. Лаборатория знаний, 2008. - 637 с. : ил. (Классический университетский учебник). (Гриф минобразования; 57 экземпляров))
   
2. Самарский А.А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. -М.: Лань, 2005. – 288 с. (Гриф минобразования; 6 экземпляров)
   
3. Самарский А.А. Численные методы математической физики : Учеб. пособие для вузов / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - 2-е изд. - М. : Научный мир, 2003. - 315 с. : ил. (Реком. УМО , 1 экземпляр)
   
4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. –М.: Едиториал УРСС, 2003. -784 с. (6 экземпляров)
   
5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам: Учебное пособие. Изд. 3-е, стереотипное. —М.: КомКнига, 2007. —208 с. (4 экземпляра)
   
6. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие / И.Б. Петров, А.И Лобанов. —М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006., —523 с. (4 экземпляра)
   
7. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие. 2-е изд. исправл. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. —296 с. (81 экземпляр)
   
8. Формалев В.Ф. Ревизников Д.Л. Численные методы. Изд. 2-е, испр., доп. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. —400 с. (6 экземпляров)
   
9. Ракитин В.И. Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 264 с. (18 экземпляров)
   
10. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера. Практическое руководство. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 456 с. (25 экз.)
    
11. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие / И.Б. Петров, А.И Лобанов. —М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006., —523 с.
    
12. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие. 2-е изд. исправл. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. —296 с.
    
13. Самарский А.А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. -М.: Лань, 2005. – 288 с. (Гриф минобразования; 6 экземпляров)
    
14. Формалев В.Ф. Ревизников Д.Л. Численные методы. Изд. 2-е, испр., доп. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. —400 с.
    
15. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров: Справ. Пособие. —М.: Машиностроение-1. 2004. —512 с.
    

7.2. Дополнительная

1. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободными границами. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. – 164 с.
   
2. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. – 156 с.
   
3. Ворожцов Е.В. Разностные методы решения задач механики сплошных сред: Учеб. пособие. —Новосибирск.: Изд-во НГТУ, 1998. —86 с.
   
4. Ворожцов Е.В. Сборник задач по теории разностных схем: Учеб. пособие. —Новосибирск.: Изд-во НГТУ, 2000. —41 с.
   
5. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. – 512 с.
   
6. Марчук Г.И. Методы расщепления. -М.: Наука, 1988.
   
7. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. —М.: Изд-во МГУ, 1995. —366 с.
   
8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. –М.: Едиториал УРСС, 2003. -784 с. (6 экземпляров)
   
9. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 1989. – 616 с.
   
10. Вабищевич П.Н. Численное моделирование: Учебное пособие.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.- 152 с. (4 экземпляра)
    
11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. – 608 с. (Гриф минобразования; 16 экземпляров)
    
12. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. – 430 с. (Гриф минобразования; 10 экземпляров)
    
13. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986. – 258 с. (Гриф минобразования; 4 экземпляра)
    

7. 3. Учебно-методические материалы по дисциплине


ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ

за___________/___________учебный год


В рабочую программу дисциплины “Численные методы и пакеты прикладных программ” магистерской программы по профессионально-образовательной программе 010900.68 – Механика деформируемого твердого тела направления 010900 – Механика вносятся следующие дополнения и изменения: