1. 1 Момент количества движения

Вид материала

Документы

Содержание I – спиновое квантовое число, которое также называют спином ядра. Спин ядра I 1.2 Магнитный и квадрупольный моменты, гиромагнитное отношение. 1.3 Поведение вектора намагниченности в постоянном магнитном поле. 1.4 Уравнение Блоха. 1.5 Импульсный способ регистрации ядерного магнитного резонанса. Ядерный магнитный резонанс в томографии 1.2. Ядерная магнитная восприимчивость 19 ядер водорода - протонов, и примерно 4*1014 2/2 + ... Поскольку  1.3. Переориентация ядер в поле и магнитный резонанс 1.4. Блоховское описание магнитного резонанса Ms. Можно показать, что уравнение движения вектора M 1.5 Оценка величины ЯМР-сигнала 2. Однако с понижением поля интенсивность сигнала уменьшается не столь быстро как B2 2.1. Суммирование ЯМР-сигналов 2. 2. Влияние скорости восстановления намагниченности на время 2.3. Режим накопления томограмм с узкополосным частотным подавлением 2pn(X) =  (В + X dB/dx) 2.5. Томографы медицинского назначения 3.1. Режим спектральных исследований ... Полное содержание

Подобный материал:

• Момент количества движения системы, 47.81kb.
• Магистерские программы по специальности 140100. 68 «Теплоэнергетика» Актуальность энергосбережения, 15.25kb.
• М. Э. Эглит 1 год, 2курс, отделение механики Часть Универсальные закон, 95.13kb.
• Указ президента российской федерации о первоочередных мерах по обеспечению безопасности, 33.61kb.
• 5 Оказание коррекционно-развивающей помощи 60 Сокращение охвата детей логопедической, 1326.88kb.
• Изучив эту главу, Вы сможете, 120.44kb.
• Задачи исследования Составление базы данных всех новостроек, с учетом максимального, 45.97kb.
• Инструкция по учету движения транспортных средств, 768.34kb.
• Ведомственная целевая программа «безопасность дорожного движения» (2011-2013 годы), 271.21kb.
• Правила дорожного движения Правила дорожного движения Российской Федерации в редакции, 565.12kb.

ЯМР интроскопия


(Основы метода)


Часть I


Метод ЯМР релаксометрии


Глава 1

1. 
   Момент количества движения.
   
2. Магнитный и квадрупольный моменты, гиромагнитное отношение.
   
3. Поведение вектора намагниченности в постоянном магнитном поле.
   
4. Уравнение Блоха.
   
5. Импульсный способ регистрации ядерного магнитного резонанса.
   
6. Фурье-спектроскопия ядерного магнитного резонанса.
   

1.1 Момент количества движения. Для объяснения сверхтонкого взаимодействия в оптических спектрах Паули ввел понятие спина ядра. Величина этого момента Р^* выражается следующим образом:


(1.1)


где, - приведенная постоянная Планка , I – спиновое квантовое число, которое также называют спином ядра. Спин ядра I является неизменной, стабильной характеристикой изотопа. Для разных стабильных ядер спин принимает целые или полуцелые значения от I = 0, , 1 .. до I = 6 (спин ⁵⁰V). Так для ядер с I = 0 число протонов Z и число нейтронов N являются четными (например, ). Если же хотя бы одно из чисел Z или N является нечетным, то спин такого ядра отличен от нуля (I ¹ 0). При этом I принимает целочисленные значения для ядер с четным числом нуклонов (Z + N) и полуцелые – с нечетным числом нуклоном.

Если момент P^* поместить в поле осевой симметрии, например, в магнитном поле, то в результате взаимодействия с последним он совершает прецессионное движение вокруг направления поля. Согласно законам квантовой механики абсолютная величина вектора сохраняется неизменной, а его проекция на направление оси симметрии поля P_z принимает ряд дискретных значений


(1.2)


где m – магнитное квантовое число, принимающие для ядер 2I + 1 значений. Максимальную величину P_z, которая достигается при m = I, называют собственным механическим моментом


(1.3)


Так как все три проекции момента количества движения P_x, P_y, P_z не могут быть определенны одновременно, поскольку P_z принимает 2I + 1 ряд конкретных значений, то P_x и P_y должны оставаться неопределенными; они не могут даже быть равны нулю. Это означает, что всегда выполняется условие . Поэтому более точную связь между спином ядра P и P^* можно записать на основе формул (1.1) и (1.3) как


(1.4)


1.2 Магнитный и квадрупольный моменты, гиромагнитное отношение. Магнитный момент ядра (m) связан с моментом количества движения P соотношением


(1.5)


где g - гиромагнитное отношение, которое может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, магнитный момент ядра может быть направлен либо вдоль, либо против направления вектора момента импульса ядра. Возможные значения спина, гиромагнитных отношений и магнитных моментов (в ядерных магнитонах Бора m_N ) даны в таблице 1. Электрические свойства ядер характеризуют зарядом и квадрупольным моментом. Заряд не оказывает влияния на ориентацию ядра в электрическом поле и поэтому не представляет интереса. Вследствие высокой симметрии ядро (сфера или эллипсоид вращения) не может обладать электрическим дипольным моментом (дипольный момент должен быть направлен вдоль оси симметрии, а ядро имеет взаимно перпендикулярные ось и плоскость симметрии). Более высокие, чем квадрупольный, моменты либо отсутствуют (вследствие симметрии ядра), либо малы.

Квадрупольный момент определяется из выражения для энергии электростатического взаимодействия ядра с окружающими полями


(1.6)


где r(xyz) – плотность заряда внутри ядра; V(xyz) – потенциал электрического поля, создаваемое окружающими данное ядро электронами и другими зарядами. Квадрупольным моментом ядро может обладать, если электронная плотность у них характеризуется анизотропным распределением. Именно такое распределение зарядов имеет место у ядер с I>. Плотность зарядов внутри таких ядер имеет анизотропию, соответствующую эллипсоиду вращения r(r,z). В декартовой системе координат (x,y,z) с началом в центре ядра распределение зарядов e характеризуется тензором второго ранга


(1.7)


где диагональные члены имеют вид


(1.8)


а недиагональные –


(1.9)


Если этот тензор соответствует эллипсоиду вращения с осью вращения oz, направленной вдоль ядерных моментов P и m, то все оси такого эллипсоида ox, oy и oz являются главными осями (с порядком C₂), поэтому все недиагональные члены тензора (1.7) будут равны нулю. Так как среди главных осей имеется ось oz с симметрией С_¥, то два диагональные члена будут равны между собой


(1.10)


В случае сферической симметрии в распределении зарядов все три диагональные члена тензора (1.7) равны между собой.

Квадрупольный момент ядра eQ^* является мерой, которая характеризует отклонение от сферической симметрии в распределении плотности зарядов внутри ядра. В соответствии этому определению абсолютную величину квадрупольного момента можно выразить как


(1.11)


Величина , где соответствует эллиптическому, а - сферическому распределению зарядов данного ядра и . Подставив в (1.11) значения диагональных членов из (1.8) получим


(1.12)


где - квадрат расстояния точки до начала координат. Собственный квадрупольный момент соответствует эллипсоиду вращения, ось которого жестко связана с ядерными моментами m^* и Р^* и участвует вместе с ними в прецессионном движении вокруг направления поля взаимодействия (в данном случае – направления градиента электрического поля). Значения принято считать как усредненное по квантовому состоянию m=I . Связь между eQ и eQ^* устанавливается как


(1.13)


Сравнивая (1.12) и (1.13) получим, что


(1.14)


За единицу измерения Q в этом случае принимают величину 10^-24 см², приблизительно равную площади сечения ядра. Положительные значения Q соответствуют вытянутому эллипсоиду вращения, а отрицательные – сплюснутому.

1.3 Поведение вектора намагниченности в постоянном магнитном поле. Рассмотрим энергетические состояния изолированного ядра, обладающего магнитным диполем m, которое помещено в постоянное однородное магнитное поле В₀. В этом случае энергия взаимодействия это


(1.15)


если вектор поля В₀ направлен вдоль оси z лабораторной системы координат (q - угол между направлениями векторов В₀ и m). Согласно законам квантовой механики, вектор момента количества движения не может принимать произвольное положение в пространстве, то вследствие соотношения (1.5) энергия взаимодействия (1.15) имеет дискретный спектр значений. Если наибольшую проекцию магнитного момента m на направление вектора поля В₀ обозначить через m, то возможные значения энергии (1.15) можно выразить с помощью магнитного квантового числа (m), которое характеризует проекции спина и принимает значения в пределах I, I-1, … , -(I-1), -I т.е. всего 2I+1 значений


(1.16)


Теория квантовых переходов дает правило отбора для дипольного магнитного момента в магнитном поле: , т.е. возможны переходы только между соседними энергетическими состояниями


(1.17)


Таким образом, излучение и поглощение электромагнитной энергии при изменении ориентации магнитного диполя в поле В₀ происходит на одной частоте


(1.18)


или в единицах круговой частоты: . Синхронное излучение или поглощение электромагнитной энергии ансамблем ядерных магнитных моментов на частоте и представляет собой явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Из теории квантовых переходов известно, что индуцированные переходы магнитных или электрических диполей вызываются переменными электромагнитными полями круговой поляризации ( на практике обычно создают линейно поляризованное поле, которое может быть представлено в виде суммы двух полей, циркулирующих в противоположных направлениях, причем переходы эффективно вызывает лишь одна компонента, а влияние другой пренебрежимо мало).

1.4 Уравнение Блоха. Поведение макроскопической ядерной намагниченности можно удовлетворительно описать при помощи уравнений классической физики.

Так момент сил L действующий на намагниченность M под влиянием поля В, есть производная по времени от момента количества движения P:

(1.19)


Если принять справедливым соотношение (1.5) для макроскопических величин М и Р, то приходим к уравнению:


(1.20)


В теоретической механике известна связь между значениями производной по времени от произвольного вектора К в неподвижной и вращающейся с частотой w системах координат:


(1.21)


Применяя уравнение (1.21) к ядерной магнитной намагниченности, получим:


(1.22)


Пусть на систему ядерных магнитных моментов действует только постоянное магнитное поле В_0. Тогда из уравнения (1.22) следует, что вектор М вращается (прецессирует) с угловой частотой w₀ вокруг вектора В₀, так как производная (dM/dt)_вр = 0, когда вектор неподвижен во вращающейся системе координат:


(1.23)


В уравнении (1.22) не учтены процессы ядерной магнитной релаксации. Поэтому в него следует добавить соответствующие члены, которые бы описывали стремление ядерной намагниченности установиться вдоль вектора постоянного магнитного поля В₀ , т.е. при традиционной ориентации оси z лабораторной системы координат вдоль вектора поля В₀ необходимо учесть, что , а , . В соответствии с этим получаем:








(1.24)


здесь и обозначают амплитудные значения М_х и М_у , т.е уравнения 1.24 не описывают осцилляцию поперечных компонент. Суммируя уравнения 1.24 и 1.20, получаем:


(1.25)


Уравнение 1.25 называется – уравнением Блоха и записанное в векторной форме символизирует по сути дела систему из трех дифференциальных уравнений для М_x, M_y и M_z, которая в общем случая не имеет аналитического решения, однако для ряда частных условий решение находится весьма просто.


1.5 Импульсный способ регистрации ядерного магнитного резонанса. Основной экспериментальной методикой наблюдения ядерного магнитного резонанса в настоящее время является импульсная, которая состоит в том, что к образцу прикладывается переменное магнитное поле в виде коротких радиоимпульсов и после них (или между ними) регистрируются сигналы магнитного резонанса.


Рассмотрим подробнее способ регистрации сигнала ядерного магнитного резонанса после одиночного импульса. Пусть в начальный момент времени ядерная намагниченность находится в равновесном состоянии, то есть ориентированна вдоль вектора поля В₀ и имеет значение М₀:


(1.26)


Будем воздействовать на образец короткое время радиочастотным полем. При этом будем считать, что воздействие радиоимпульса на ядерную намагниченность гораздо сильней, чем влияние релаксационных процессов. Тогда описание движения вектора М можно получить из уравнений (1.24).


Если радиочастотное поле действует в течение времени t₁, то вектор ядерной намагниченности повернется на угол:

(1.27)


Так как наблюдаемые сигналы ядерного магнитного резонанса связаны с прецессией поперечной компоненты вектора М, то для наибольшего сигнала после импульса желательно иметь угол θ=π/2 (такой импульс называется 90-градсным). После окончания импульса вектор ядерной намагниченности совершает затихающую прецессию, которая наводит сигнал в приемной катушке радиоспектрометра. Этот сигнал называется сигналом свободной прецессии или сигналом ядерной индукции (иногда сигналом свободной индукции).


Обычно переходные процессы в приемной контуре и усилителе после импульса, достигающего сотни и даже тысячи вольт, препятствуют регистрации сигнала ядерного магнитного резонанса в течение некоторого времени t_н (другими словами, приемник нечувствителен в течение этого времени).


Итак, прецессирующая намагниченность наведет в катушке, ориентированной перпендикулярно направлению вектора В₀ основного магнитного поля, э.д.с, которое можно записать как:


(1.28)


Раскроем эту формулу для рассмотрения случая, если ось приемной катушки ориентированна вдоль оси х лабораторной системы координат:


(1.29)


где S – площадь витков катушки. Из условия включения катушки индуктивности в настроенный на частоту резонанса контур, имеем:


(1.30)


Здесь Q – добротность контура, η – коэффициент, учитывающий степень заполнения катушки образцом (). При значении В₀ 5 кГс имеем ω₀ = 10⁸ рад/с и М₀ = 10^-6 эрг/Гс (для протонов воды), обычно S = 1 см, n = 10, Q = 50-100, η = 0.3. Тогда сигнал ЯМР составляет несколько милливольт и может быть легко зарегистрирован.

Затухание сигнала свободной индукции определяется процессом спин-спиновой релаксации и существованием неоднородности магнитного поля В₀ в пределах образца. При исследовании жидкостей вторая причина обычно преобладает, однако для твердых образцов характерна настолько большая ширина линии ядерного магнитного резонанса, что влиянием неоднородностей поля В₀ можно пренебречь.

6. 
   Фурье-спектроскопия ядерного магнитного резонанса
   

Запишем для начала табличный интеграл:


(1.31)


и обратим внимание, что подынтегральная функция совпадает по форме с функцией, описывающей спад сигнала свободной прецессии при условии синхронного детектирования и отличия в общем случае частоты генератора ω от резонансной частоты :





Произведем интегрирование выражения (131) в бесконечных пределах, учитывая, что интегральная функция включается в момент времени t=0 и что , Тогда





Данное выражение с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для формы линии





Таким образом, мы нашли связь между функцией, описывающей вид сигнала свободной прецессии, и функцией формы линии ядерного магнитного резонанса через Фурье-преобразование.


Фурье-спектроскопия имеет ряд преимуществ перед стационарными способами регистрации спектров ядерного магнитного резонанса, из которых наиболее существенными являются следующие:

1. 
   При регистрации спектра методом Фурье-спектроскопии получается большой выигрыш во времени, поскольку в этом случае сразу регистрируются сигналы от всех линий спектра, а не выполняется медленное последовательное прохождение по спектру.
   
2. Фурье-спектроскопия позволяет получить наряду со спектром информацию о скорости релаксационных процессов для парциальных намагниченностей.