Департамент образования города Москвы

Вид материала

Содержание

НИМ по проблемам качества подготовки учащихся по математике и методики его повышения.
В результате изучения математики на профильном уровне в старшей школе ученик должен
Числовые и буквенные выражения
Функции и графики
Начала математического анализа
Уравнения и неравенства
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Недостаточные вычислительные навыки и навыки выполнения тождественных преобразований алгебраических и тригонометрических выражен
Недостаточная развитость логического мышления, малый опыт проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов,

Подобный материал:

Департамент образования города Москвы

Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Национальный исследовательский университет

«МИЭТ»

Полное название вуза

Научно-информационный материал

по мероприятию «Проведение цикла занятий по математике для учащихся средних школ г. Москвы направленных на повышение качества подготовки с учетом требований образовательных стандартов».

Москва 2011 г.

НИМ по проблемам качества подготовки учащихся по математике и методики его повышения.

Федеральные государственные стандарты подготовки специалистов и бакалавров по техническим направлениям, в частности, по направлениям информатика, электроника, радиотехника, предусматривают значительную подготовку по математике, которая строится на базе школьной математической подготовки.

Приведем цели изучения математики на профильном уровне и требования к результатам обучения стандарта (проекта стандарта) среднего (полного) общего образования.

Изучение математики на профильном уровне направлено на достижение следующих целей:

 формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

 овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

 развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

 воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса.

В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными общеучебными умениями, навыками и способами деятельности.

 проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

 решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

 планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

 построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

 самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

В результате изучения математики на профильном уровне в старшей школе ученик должен

знать/понимать:

 значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

 значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки;

 идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;

 значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

 возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;

 универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

 различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

 роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики;

 вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.

Числовые и буквенные выражения

Уметь:

 выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

 применять понятия, связанные с делимостью целых чисел, при решении математических задач;

 находить корни многочленов с одной переменной, раскладывать многочлены на множители;

 выполнять действия с комплексными числами, пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел, в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами;

 проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

 для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, при необходимости используя справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Функции и графики

Уметь:

 определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

 строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков;

 описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

 решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства функций и их графические представления;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

 для описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов.

Начала математического анализа

Уметь:

 находить сумму бесконечно убывающей геометрический прогрессии;

 вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;

 исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

 решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

 решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

 вычислять площадь криволинейной трапеции;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

 для решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Уравнения и неравенства

Уметь:

 решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

 доказывать несложные неравенства;

 решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

 изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

 находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

 решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

 для построения и исследования простейших математических моделей.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

Уметь:

 решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;

 вычислять, в простейших случаях, вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

 для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера.

Геометрия

Уметь:

 соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур;

 изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;

 решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппараты;

 проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;

 вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;

 применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;

 строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

 для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

 вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Анализ сформулированных выше целей и требований к освоению школьного курса математики, а также содержания обучения, показывают, что освоение его на профильном уровне, то есть не менее 6 учебных часов в неделю в течение 10-11 классов, достаточно для успешного овладения дисциплинами курса высшей математики в вузе. Из опросов студентов и данных, получаемых со школ, следует, что подавляющее большинство выпускников профильных физико-математических классов продолжают изучение математики в вузах, 60-80 % из них – в технических вузах. И, наоборот, среди студентов технических вузов с повышенной математической подготовкой около 70 % составляют школьники, изучавшие математику на профильном уровне.

Вместе с тем, опыт работы со студентами показывает, что имеются значительные проблемы в качестве подготовки школьников к изучению математики в вузе при достаточно высоких баллах ЕГЭ. В 2011 году средний балл ЕГЭ по математике школьников, поступивших на факультет МПиТК МИЭТ составил 74 балла, ЭКТ- 70, ЭТМО – 65. Отметим, что в 2011 году более 63 баллов по математике получило лишь 10,4 % учащихся от общего числа школьников, писавших ЕГЭ по математике.

Недостаточные вычислительные навыки и навыки выполнения тождественных преобразований алгебраических и тригонометрических выражений.

Сформированность вычислительных навыков учащихся является критерием, характеризующим качество математической подготовки школьников. Наряду с этим она является одним из важных показателей учебных и личностных достижений школьников. Однако выпускники школ стали значительно хуже выполнять устно арифметические операции над числами, допускают часто ошибки в раскрытии скобок, преобразовании выражений, содержащих радикалы и рациональные степени.

В итоге, ухудшение вычислительных навыков, умений по преобразованию выражений ведет к увеличению времени, затрачиваемому на решение задач. Вместо сосредоточения внимания на содержательной стороне заданий по высшей математике (например, методов вычисления пределов функций, производных, интегралов, уравнений и систем уравнений и т.д.) большое время и внимание уделяется выполнению операций, которые должны быть освоены в школе. Кроме того, незначительные, «мелкие» (по сравнению с решаемой задачей) ошибки в раскрытии скобок, при выполнении арифметических операций и т.п. в процессе её решения, ведут не только к неправильному ответу, но и часто приводят к усложнению дальнейших рассуждений (вплоть до получения «не решаемых» уравнений, неравенств и т.д.). Например, если допущена вроде бы незначительная вычислительная ошибка при решении несложного логарифмического уравнения

при перемножении

и вместо уравнения

получено уравнение

, то дальнейший ход рассуждений существенно усложняется. Так как при правильном решении корни квадратного уравнения получаются целыми числами, их которых одно лишнее легко находится проверкой. Во втором случае корни представляют иррациональные выражения, и сделать проверку значительно сложнее.

Недостаточная развитость логического мышления, малый опыт проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, не критичность мышления.

Школьники, имеющие высокие баллы по ЕГЭ, часто успешно осваивают приемы, методы решения конкретных задач на вычисление величин, но допускают грубейшие ошибки при проведении простейших теоретических рассуждений, работе с математическими понятиями.

Например, при проверке качества усвоения студентами изученного теоретического материала (прочитанного на лекциях и разобранного на практических занятиях) можно получить такие ответы: функция является дифференцируемой в точке, если она дифференцируема; если

, то

и т.п. При этом студент не может самостоятельно обнаружить ошибку даже если ему указано, что приведенное им высказывание ошибочное или является тавтологией.

В последние годы большая часть школьников, поступивших в МИЭТ, не может объяснить, что означает, например, косинус (синус) двух радиан, хотя многие из них успешно решили задания с тригонометрическими уравнения из ЕГЭ.

Наблюдается также уменьшение критичности мышления вследствие отсутствия привычки к обоснованиям. Неумение оценить полученный результат, найти ошибку в своём решении негативно влияет на формирование мышления, затрудняет обучение в техническом вузе не только по математическим дисциплинам.

Ухудшение навыков теоретических рассуждений, путаница между определениями и утверждениями, причинно-следственными связями обуславливает трудности в освоении материала практически по любому предмету при дальнейшем обучении.

Наконец, та объективная реальность, с последствиями которой нужно научиться бороться – это так называемое «кликового» мышление и алгоритмизация обучения. Неумение продумывать решение задачи на несколько ходов вперёд, ожидание ответа, правильно или нет, на каждое своё действие, бездумное применение алгоритмов решения задач пагубно сказывается на формировании способности решать математические и инженерные задачи.

Многие школьники имеют существенные пробелы по планиметрии, стереометрии, связанных как с незнанием конкретных формул для вычисления площадей фигур, объемов тел и т.п., с умениями решать задачи на нахождение отдельных элементов треугольников, так и с плохими навыками изображения фигур и их взаимного расположения.

По нашему мнению, отмеченные проблемы в качестве подготовки школьников в основном порождены внедрением ЕГЭ и спецификой заданий и построением вариантов ЕГЭ.

Математические знания, умения, навыки, нехватка которых мешает усвоению программ высшей математики, в подавляющем большинстве, как отмечалось выше, предусмотрены программами средней школы профильного уровня, и уровень владения ими проверяется ЕГЭ. Поэтому при построении программ высшей математики вузы вправе рассчитывать на наличие у первокурсников этих знаний умений и навыков. Однако, по факту, несмотря на высокие (65-75) баллы по ЕГЭ, значительная часть первокурсников демонстрирует низкий уровень владения этими знаниями, умениями и навыками.

Одна из причин этого кроется в системе школьной подготовки старшеклассников, навязанной единым государственным экзаменом. Отличительная особенность ЕГЭ – жесткость структуры варианта. Эта особенность имеет как положительные, так и отрицательные стороны.

С одной стороны некоторые важные для преемственности средней и высшей школы знания и умения неплохо усваиваются учащимися при подготовке к сдаче ЕГЭ, поскольку проверяются задачами невысокого уровня сложности, рассматриваются преподавателями и школьниками как доступные для усвоения и потому хорошо отрабатываются.

С другой стороны проверка многих важных для преемственности обучения знаний и умений ведется исключительно заданиями высокой сложности. Учебные задачи, которыми эти знания и умения проверяются, встречаются в вариантах ЕГЭ только как подзадачи сложных задач. Будь такие учебные задачи самостоятельными, «наш» абитуриент вполне бы мог научиться их решать. Но ему практически не под силу, при тех ресурсах времени и возможностей, которыми он располагает во время обучения в школе, научиться самостоятельно, без подсказок, решать сложные эвристические задачи (хотя они и распадаются на последовательность посильных для него относительно несложных задач).

В результате при прагматичном подходе для получения 65-75 бального результата выпускнику оказывается выгодным искусственно сузить область подготовки к экзамену, сосредоточившись на отработке до автоматизма доступных ему задач. Как следствие этого имеет место сужение круга учебных задач средней сложности, которые умеют решать большинство первокурсников. А это, в свою очередь, ведет к тому, что у студентов возникают трудности при усвоении вузовской программы.

Отметим также, что почти все задания ЕГЭ направлены на решение конкретных примеров и не предназначены для проверки качества освоения понятий курса школьной математики, правильность решений заданий части В определяется на основании правильности ответа. Обоснование ответа не требуется. Поэтому задания ЕГЭ в малой степени направлены на достижение отмеченной выше основной цели обучения математике: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, овладение навыками проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства. Отметим, что пробелы школьной подготовки в этой части сложно устраняются в процессе обучения в вузе.

Кроме того, так как результат ЕГЭ имеет судьбоносное значение для школьника (и учителей), то по факту происходит сведение содержания обучения к материалам и задачам, предлагаемым на ЕГЭ.

Поэтому предлагаемые формы проведения дополнительных занятий, их содержание и применяемые методики направлены на решение следующих основных задач:

Повышение уровня вычислительных навыков школьников.
Развитие логического мышления, проведение доказательных рассуждений и обоснований, рассмотрение понятий, отношений между понятиями.
Решение задач, которым уделяется малое внимание в школьном курсе математики (рациональная степень и действия с выражениями, содержащими радикалы, преобразование выражений, содержащих модули, решение задач с параметром, решение большего числа задач по геометрии).

Отметим, что мы придаем особое значение работе с математическими понятиями, обоснованию методов и алгоритмов решения задач, анализу условий их применения. Это связано с тем, что развитие вычислительной техники, разработка и внедрение различных пакетов математических программ для решения уравнений, неравенств, вычисления геометрических величин, ведет, по мнению целого ряда преподавателей математики в вузах, к отрицанию необходимости развития вычислительных навыков. Мы не отрицаем такого подхода, но, считаем, что к его реализации необходимо отнестись с большой осторожностью. Неясно, что мы при его реализации можно потерять в развитии логического мышления. Например, активное внедрение некоторое время назад алгебраических методов решения арифметических задач в начальной школе привело к снижению уровня развития логического мышления школьников. И в настоящее время в начальной школе вернулись к решению арифметических задач «по вопросам». Использование пакетов программ требует понимания, что и каким методом вычисляет ЭВМ, при каких условиях может быть применена программа, следует ли доверять полученным результатам счета.

Blog

Департамент образования города Москвы

Содержание