Неравенство треугольника один из важнейших геометрических фактов

Вид материала

Документы

Содержание Несколько слов о неравенствах Неравенство треугольника BC отложим отрезок CD O внутри него. Обозначим вершины четырехугольника через A

Подобный материал:

• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 38.01kb.
• План урока: Организационный момент. Рассказ сказка о медианах, высотах и биссектрисах., 161.11kb.
• Понятие юридических фактов, 989.45kb.
• Понятие юридических фактов, 366.24kb.
• Социальное неравенство в условия современной России 4 Глава, 325.02kb.
• Проект «Социальное неравенство и публичная политика» (СНиПП) «Неравенство доходов как, 804.89kb.
• Лекция 13. Индивидуальный и рыночный спрос 3 От индивидуального спроса к рыночному, 147.34kb.
• Тема: Измерение углов, 29.65kb.
• Ема урока. Свойство медианы равнобедренного треугольника, 39.45kb.
• Урок сказка по математике 6 класс «Умножение одночлена на многочлен», 304kb.

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника – один из важнейших геометрических фактов. Представляя собой одно из интуитивных свойств расстояния, оно нередко помогает в решении непростых геометрических и текстовых задач. С помощью неравенства треугольника представляется возможным отсеять часть из возможных вариантов расположения каких-либо элементов в громоздких геометрических задачах. Часто именно невыполнение строгого неравенства треугольника (а именно – достижение в нем равенства) дает основание утверждать о принадлежности трех точек одной прямой.

Таким образом, неравенство треугольника является одновременно интуитивно понятным, даже очевидным, но весьма часто становится мощным инструментом при решении серьезных математических задач.


Несколько слов о неравенствах

В математике неравенство есть утверждение об относительной величине или порядке двух рассматриваемых объектов или о том, что они просто не одинаковы. Классическое неравенство как объект исследования можно также рассматривать как частный случай отношения порядка.

Различают строгие и нестрогие неравенства. Или же, переходя на язык отношений, строгое неравенство можно считать отношением строгого порядка на множестве действительных чисел (то есть отношением, которое обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности). Если же речь идет о нестрогом неравенстве, то можно говорить о нем как об отношении нестрогого порядка на том же множестве (то есть рассматривать вместо антирефлексивности рефлексивность).

Напомним, что об отношениях как математическом объекте и их свойствах мы уже упоминали в Лекции 7 (были рассмотрены свойства отношения делимости). Более подробное их изучение нам предстоит в будущем, поскольку они довольно успешно систематизируют и обобщают ряд элементарных математических понятий. Теперь же мы приведем несколько примеров неравенств каждого из названных типов.

Строгими неравенствами называют такие неравенства:

• a < b – означает, что a меньше b;
  
• a > b – означает, что a больше b;
  
• a ≠ b – означает, что a не равно b или же что a и b различны.
  

К нестрогим неравенствам относят следующие математические отношения:

• a ≤ b – означает, что a меньше либо равно b или, что то же самое, a не больше (не превосходит, не превышает) b;
  
• a ≥ b – означает, что a больше либо равно b или, что то же самое, a не меньше b.
  

Пока что мы не будем утруждать себя более глубоким исследованием неравенств. Сегодня нам вполне хватит уже устоявшихся представлений о неравенствах.


Неравенство треугольника

Теорема (неравенство треугольника):

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Замечание. Иногда используют также и несколько другую формулировку этой теоремы, подключая попутно и случай вырожденного треугольника:

Длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон.

Заметим, что разница между двумя приведенными формулировками столь незначительна, что нет смысла рассматривать их отдельно. В дальнейшем при решении задач мы будем использовать как первую формулировку теоремы, так и вторую, не оговаривая это отдельно.

Неравенство треугольника возникло, судя по всему, тогда же, когда человек научился ходить и хоть как-то мыслить. Известно, что одну из первых его формализаций приводит Евклид в знаменитых «Началах». Там он доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из нее выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. Вот такая вот непростая логическая цепочка для доказательства вполне очевидного, казалось бы, неравенства!

Рис. 1

Доказательство теоремы. Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB < AC + BC. При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления).

В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD, равный AC. В равнобедренном треугольнике ACD . В треугольнике ABD угол ADB меньше угла BAD, значит, BD > AB, или BC + CD > AB. Но CD = AC, значит, AC + BC > AB.

Замечание. Обратите внимание, что, исходя из формулировки теоремы, следует записать сразу три неравенства:

AB < AC + BC;

AC < AB + BC;

BC < AB + AC.

Нередко, записав одно неравенство, о двух других почему-то забывают. Помните, что это может привести к довольно неприятным ошибкам.

Неравенство треугольника может служить одним из простых критериев принадлежности трех точек одной прямой. Три точки будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольника достигается равенство. Естественно, равенство может достигаться лишь в одном из трех неравенств (см. замечание), поскольку одна из точек будет лежать четко между двумя другими.

Упражнение. Докажите, что в треугольнике каждая сторона больше разности двух других сторон.

Приведем в качестве примера использования неравенства треугольника несколько сравнительно несложных геометрических задач.

Задача 1. Докажите, что в произвольном четырехугольнике ABCD AB + CD < AC + BD.

Рис. 2

Решение. Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD (рис. 2). По неравенству треугольника:

AO + OB > AB;

CO + OD > CD.

Рассмотрим сумму AC + BD:

AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =

= (AO + BO) + (OC + OD) > AB + CD.

Задача 2. Докажите, что в треугольнике ABC выполнено неравенство (a, b, c – стороны треугольника ABC).

Решение. Воспользуемся следствием из неравенства треугольника (см. упражнение): (предполагаем, что ). Тогда, возведя в квадрат обе части неравенства, получим:

.

Аналогично:

;

.

Складывая все три неравенства, получим требуемое.

Упражнение. Докажите, что медиана AM в произвольном треугольнике ABC по длине меньше, чем .

Задача 3. На плоскости дан квадрат ABCD и точка O. Докажите, что расстояние от точки O до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от O до трех других вершин квадрата.

Решение. Сложите неравенства треугольника AC + OC > OA и OB + OD > BD. Так как AC = BD, то, сокращая, получаем требуемое.

Задача 4. Найдите внутри выпуклого четырехугольника точку, такую, что сумма расстояний от нее до вершин минимальна.

Решение. Так как четырехугольник выпуклый, то его диагонали пересекаются в точке O внутри него. Обозначим вершины четырехугольника через A, B, C и D (по часовой стрелке). Тогда сумма расстояний от O до вершин равна сумме длин диагоналей AC и BD. Но для любой другой точки P имеем, во-первых, что сумма расстояний от P до вершин не меньше AC + BD, а во-вторых, либо PA + PC > AC, либо PB + PD > BD. Значит, эта сумма равна AC + BD только если P совпадает с точкой O. Значит, точка O – искомая.

Неравенство треугольника успешно применяется и в довольно запутанных текстовых задачах. Что интересно, в таких задачах многое может зависеть от того, насколько удачно Вы построите геометрическую интерпретацию.

Задача 5. В некоторой стране расположены 4 города: A, B, C и D. Два самолета одновременно вылетели из города A. Маршрут первого самолета: A-B-D-C-A-D-B-C-A, а маршрут второго: A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D-A. Какой из самолетов раньше закончит свой маршрут, если их скорости одинаковы?

Не бойтесь экспериментировать! Если в задаче не задано конкретное расположение объектов, Вы вправе рисовать в своем решении всё, что не противоречит условию – оно ведь Ваше. В том числе, и города в Задаче 5 Вы можете расставить как угодно. Следует лишь помнить, что в некоторых задачах после разбора «нормального», общего случая, необходимо разобрать и некоторые «патологические», частные случаи. К примеру, в Задаче 5 может понадобиться рассмотрение случая, когда некоторые три города лежат на одной прямой – всё зависит от того, каково Ваше решение для общего случая.

Решение задачи 5. Запишем длины маршрутов каждого из самолетов в виде сумм расстояний между городами. Длина маршрута первого самолета будет равна

.

Второй же самолет пролетит расстояние

.

Рассмотрим разность между расстоянием, которое пролетел первый самолет, и расстоянием, которое преодолел второй.

.

Докажем, что независимо от расположения точек A, B, C, D на плоскости (городов A, B, C, D в стране) выражение будет неположительным.

Для этого следует рассмотреть два случая.

1. Предположим, что точки A, B, C, D создают на плоскости четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Тогда запишем последовательно неравенства треугольника для треугольников ABC, BCD, CDA и DAB (см. рис. 2):

AB + BC > AC;

BC + CD > BD;

CD + DA > CA;

DA + AB > DB.

Сложив все четыре неравенства, получим

;

;

.

2. Рассмотрим случай, когда точки A, B, C, D создают на плоскости четырехугольник ACBD с диагоналями AB и CD (нарисуйте себе соответствующий рисунок). Заметим, что неравенства треугольника выполняются для тех же треугольников, что и в первом случае.

Оказывается, что решение задачи останется тем же, несмотря на то, что расположение точек на плоскости существенно изменилось. Это можно считать еще одной характерной чертой многих решений задач, использующих неравенство треугольника.

Следовательно, первый самолет прилетит раньше, поскольку его маршрут короче маршрута второго.

Заметьте, что решение Задачи 5 требует небольшого анализа, что является непременным качеством всех олимпиадных задач. Будьте внимательны – Ваше решение задачи будет правильным лишь тогда, когда Вы рассмотрите все возможные случаи, подходящие под условие.

Следует также отметить, что зачастую на рисунке, изображающем условие задачи, не видно треугольника, применение неравенства треугольника для которого дало бы моментальное решение. В таком случае может помочь удачно подобранное геометрическое преобразование. Об этом мы поговорим несколько позже. Знакомство с неравенством треугольника на этом следует объявить законченным. Но новая встреча с ним уже не за горами.