Geum.ru

Пособие разработано ст преп. Зубко Т. Я., доцентом Седовой С. М., доцентом Сулавко Т. С одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»

Вид материалаДокументы

Содержание


Исходное уравнение запишем в матричной форме
Исходное уравнение запишем в матричной форме
Индивидуальные задания
Подобный материал:

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




Матрицы и определители




Индивидуальные задания




Пособие разработано ст. преп. Зубко Т. Я., доцентом Седовой С. М., доцентом Сулавко Т. С..


Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»

© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ





Пермь 2007

Задание к работе


1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.

2. Вычислить определитель высшего порядка.

3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы.

4. Выполнить действия с матрицами.

5. Вычислить значение многочлена от матрицы .

6. Найти неизвестную матрицу из уравнения.


Образец решения варианта.


1.Вычислить определитель 3-го порядка 1) по правилу Саррюса (правило треугольников). Это правило заключается в равенстве


.

Таким образом,




2) Второе правило вычисления называется разложением по элементам некоторой строки (или столбца). Например, разложение по элементам первой строки имеет вид


.

Определитель



разложим по элементам третьего столбца, т.е.




.


Как видно из приведенных примеров, вычисление определителей значительно упрощается, если какой-нибудь ряд определителя имеет только один элемент, отличный от нуля. Это можно всегда достигнуть, используя свойства определителей. В определителе



умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, прибавим первую строку к третьей, получим

.


2. Вычислить определитель высшего порядка


.

Решение :

Используя свойства определителя, понизим порядок определителя. С этой целью прибавим пятый столбец к первому :


;


в полученном определителе 4-го порядка четвертый столбец умножим на 3 и прибавим к первому столбцу, затем умножим его на 2 и прибавим ко второму столбцу, умножим его на 8 и прибавим к третьему столбцу, получаем


.


Из приведенного примера очевидно, что вычисление определителей высших порядков значительно упрощается, если определитель привести к треугольному виду.


3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы


.

Решение.

Говорят, что квадратная матрица имеет ступенчатый вид, если ниже ее главной диагонали стоят нулевые элементы. Матрица приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований : а) перестановка строк, б) умножение строки на число, в) прибавление к одной строки другой, умноженной на некоторое число. Ранг матрицы , , равен количеству ненулевых строк эквивалентной ей матрицы ступенчатого вида.

В первом столбце данной матрицы ниже первого элемента получим нулевые элементы с помощью преобразования в). Последовательно умножим первую строку матрицы на (–2) и прибавим ко второй строке, умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

.


В полученной матрице во втором столбце во второй строке и ниже второй строки отсутствуют единицы. Единицу можно получить, умножив вторую строку на (), или поделив на (–5) , а затем во втором столбце ниже второго элемента получить нули с помощью преобразования в), при этом будут возникать дробные числа. Во избежание вычислений над дробями получим единицу во втором столбце второй строки иначе: ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (–1), результат запишем на месте второй строки. Далее, поделим третью строку на (–2), четвертую строку на (–1), имеем


.


Во втором столбце полученной матрицы ниже второго элемента получим нулевые элементы. Последовательно умножим вторую строку полученной матрицы на 2 и прибавим к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, затем третью строку поделим на 9 , четвертую строку поделим на 18. Во вновь полученной матрице в третьем столбце ниже третьего элемента получим нулевой элемент: третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, имеем


.


Отсюда заключаем, что .


4. Выполнить действия с матрицами


.


Решение. Обозначим


, , , .

Произведение имеет смысл, так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой , . Имеем




.


Произведение имеет смысл, так как тоже число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой , . Имеем




.


Разность имеет смысл, так как матрицы и имеют одинаковую размерность . Находим искомую матрицу , элементы которой , . Имеем



.


Ответ : Результатом действия данных матриц является матрица

.


5. Вычислить значение многочлена от матрицы , где


, .


Решение.

При вычислении значения многочлена от матрицы вместо подставляем данную матрицу , а свободный член многочлена записываем в матричной форме, т.е. в виде , где единичная матрица того же порядка, что и данная матрица . Таким образом,

,


1)


,


2) ,


3) .


Имеем


.


Ответ : .


6. 1) Найти неизвестную матрицу из уравнения


.

Решение.

Исходное уравнение запишем в матричной форме



, где , .


Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и – квадратные матрицы одинакового порядка и матрица – невырожденная, т.е. . В этом случае для матрицы существует обратная матрица . Умножая слева обе части уравнения на , получим

, где единичная матрица,

искомая матрица.

Для данной матрицы : . Следовательно, существует . Найдем ее по формуле , где алгебраическое дополнение элемента матрицы . Для данной матрицы : . Тогда

и




.

Ответ : .


2) Найти неизвестную матрицу из уравнения


.


Решение.

Исходное уравнение запишем в матричной форме



, где , .


Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и – квадратные матрицы одинакового порядка и , т.е. для матрицы существует обратная матрица . Умножая справа обе части уравнения на , получим , где единичная матрица, или , или

искомая матрица.

Для данной матрицы : . Следовательно, существует . Найдем ее по формуле, указанной в примере 1), имеем и

.

Тогда




.


Ответ : .


Индивидуальные задания



Вариант № 1


1.1. 1.2. 1.3.


1.4.


1.5. , 1.6.


Вариант № 2


2.1. 2.2. 2.3.


2.4.


2.5. , 2.6.


Вариант № 3


3.1 3.2. 3.3.


3.4.


3.5. , 3.6.


Вариант № 4


4. 1. 4.2. 4.3.


4.4.


4.5. , 4. 6.


Вариант № 5


5.1. 5.2. 5.3.


5.4.


5.5. , 5.6.


Вариант № 6


6.1. 6.2. 6.3.


6.4.


6.5. , 6.6.


Вариант № 7


7.1. 7.2. 7.3.


7.4.


7.5. , 7. 6.


Вариант № 8


8.1. 8.2. 8.3.


8.4.


8.5. , 8.6.


Вариант № 9


9.1. 9.2. 9.3.


9.4.


9.5. , 9.6.


Вариант № 10


10.1. 10.2. 10.3.


10.4.


10.5. , 10.6.


Вариант № 11


11.1. 11.2. 11.3.


11.4.


11.5. , 11. 6.


Вариант № 12


12.1. 12.2. 12.3.


12.4.


12.5. , 12.6.


Вариант № 13


13.1. 13.2. 13.3.


13.4.


13.5. , 13.6.


Вариант № 14


14.1. 14.2. 14.3.


14.4.


14.5. , 14.6.


Вариант № 15


15.1. 15.2. 15.3.


15.4.


15.5. , 15.6.


Вариант № 16


16.1. 16.2. 16.3.


16.4.


16.5. , 16.6.


Вариант № 17


17.1. 17.2. 17.3.


17.4.


17.5. , 17.6.


Вариант № 18


18.1. 18.2. 18.3.


18.4.


18.5. , 18.6.


Вариант № 19


19.1. 19.2. 19.3.


19.4.


19.5. , 19.6.


Вариант № 20


20.1. 20.2. 20.3.


20.4.


20.5. , 20.6.


Вариант № 21


21.1. 21.2. 21.3.


21.4.


21.5. , 21.6.


Вариант № 22


22.1. 22.2. 22.3.


22.4.


22.5. , 22.6.


Вариант № 23


23.1. 23.2. 23.3.


23.4.


23.5. , 23.6.


Вариант № 24


24.1. 24.2. 24.3.


24.4.


24.5. , 24.6.


Вариант № 25


25.1. 25.2. 25.3.


25.4.


25.5. , 25.6.


Вариант № 26


26.1. 26.2. 26.3.


26.4.


26.5. , 26.6.


Вариант № 27


27.1. 27.2. 27.3.


27.4.


27.5. , 27.6.


Вариант № 28


28.1. 28.2. 28.3.


28.4.


28.5. , 28.6.


Вариант № 29


29.1. 29.2. 29.3.


29.4.


29.5. , 29.6. .


Вариант № 30


30.1. 30.2. 30.3.


30.4.


30.5. , 30.6. .