Е. А. Куклев системное математическое моделирование в гражданской авиации тезисы

Вид материала

Тезисы

Содержание Методы математического 1. Характеристика системного подхода Модели системы  Технико-экономическое управление и организация воздушного транспорта. 2. Описание некоторых видов моделей в отс 3. Общесистемные модели управляемых

Подобный материал:

• Приказ от 31 июля 2009 г. N 128 об утверждении федеральных авиационных правил подготовка, 1672.68kb.
• Всоответствии с пунктом 9 Положения о Федеральной службе по надзору в сфере транспорта,, 4017.06kb.
• Учебное пособие для летных училищ гражданской авиации. М., «Транспорт», 1978 с иллюстрациями, 3370.89kb.
• Министерство транспорта, 4126.23kb.
• Математическое моделирование управляемого движения космических аппаратов, 213.72kb.
• Программа дисциплины имитационное моделирование в экономике для направления 080100., 228.47kb.
• Математическое моделирование многомерных квазистационарных электромагнитных полей, 380.28kb.
• Г. Я. Труханова «Математическое моделирование в естественнонаучных приложениях» Цель, 59.07kb.
• Правительстве Российской Федерации» (Финансовый университет) Кафедра «Математическое, 246.23kb.
• Математическое моделирование термомеханических процессов в системах армированных стержней, 259.01kb.

Федеральное агентство гражданской авиации

УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Е.А. КУКЛЕВ

СИСТЕМНОЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ


Тезисы

для аспирантов ГУГА 2006-го года


Тезисы из текстов лекций,

одобренных и рекомендованных к изданию в 1998 г.

методическим советом Академии ГА

Санкт-Петербург

- 2006 -

ВВЕДЕНИЕ


Рассматривается моделирование процессов (объектов) на основе системного подхода. При этом производится изучение явлений с позиции анализа и представления изучаемых объектов в виде совокупности множества взаимосвязанных и взаимодействующих элементов по схеме от верхнего уровня определений явления и до нижних по мере развертывания цепочек взаимосвязей. Взаимосвязь характеризуется структурой и сложностью и особенностями развития системы во времени.

Системный подход соответствует методу индукции, т.е. развертыванию причинно-следственных зависимостей сверху вниз - от крупных и общих определений к более частным.

В представленном учебном пособии главное внимание уделено изучению управляемых динамических систем ввиду особой важности этого класса систем для изучения процессов управления в авиатранспортных системах, в технико-экономических системах, в страховой деятельности, в управлении летной работой и в управлении "безопасностью полетов" и “управлении качеством”.

Возникли разнообразные объяснения таких понятий, как регулирование, планирование, руководство, управление экономикой, оптимизация, целевое управление и т.п., отражающих запросы практики в связи с углубленным изучением в гражданской авиации довольно сложных явлений технико-экономи-ческого характера.

Поэтому целью данного пособия является изложение основ классической теории управления, в которой достаточно четко разграничены различные понятия. Используемые в классической теории определения исключают многозначность толкований и позволяют распределять вопросы “управления” по разделам и “рубрикам” задач и теоретических методов анализа и синтеза управляемых систем на основе методов декомпозиции и композиции. В учебном пособии использован системный подход [1], получивший признание на основе публикаций отечественных [2, 3] и зарубежных авторов [6], упомянутых в библиографии.

При этом принята классификация из общей теории систем (ОТС) зарубежного автора Дж. Ван Гига [1].

Содержание и тематика данного пособия отражают содержание разделов и тем, рекомендованных обязательной программой ВАК РФ для подготовки аспирантов ВУЗ`ов очного обучения.


В работе используются некоторые общепринятые и специальные обозначения:

ОТС - общая теория систем (по [1]), ВС - воздушное судно, УВД - управление воздушным движением, АСУ - автоматизированная система управления, ОУ - объект управления, СУ - система управления (УС - управляемая система), ОС - обратная связь и т.д. по тексту; кроме того, принято по [2 - 6], ЦГВ – центральная гировертикаль.  - "соответствует";  "переходит", "стремится";  - "влечет", "вызывает следствие";  - "каждый", "каждому";  - "существует";  - "принадлежит";  - "входит", "является частью множества".


Основной источник:


Е.А. Куклев.

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

/Тексты лекций/

АГА. С.-Петербург. 1998


Издается в соответствии с Программой Министерства Высшего и Специального среднего образования РФ на основе рекомендаций ВАК к содержанию общей программы кандидатского минимума в объеме до 100 часов для аспирантов очного обучения в Высших учебных заведениях Российской Федерации.

Пособие содержит основные положения системного анализа с учетом случайных факторов и элементы общей теории управления большими системами, включая оптимизацию, с примерами из области авиатранспортных систем и динамики полета гражданской авиации. Отражает примерно 30% содержания общей программы ВАК.

Предназначено для аспирантов различных кафедр и студентов старших курсов Академии ГА, специализирующихся в области системного анализа состояния безопасности полетов в ГА, а также в области управления авиационным производством и автоматизированных систем управления.


Ил. 11, библ. 13

Рецензенты: д.т.н. проф. В.А. Сарычев, д.т.н. проф. Ю.М. Смирнов


 Академия гражданской авиации, 1998


1. ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМНОГО ПОДХОДА

И СИСТЕМНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ


1.1. Определения

1.1.1. Определение системы

Системой называется совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих элементов S_i, т.е.


S' = {S_i'| Условие}


где i – порядковый номер элемента, штрих (') обозначает, что здесь рассматривается некоторая первичная или исходная часть наблюдаемого явления [1 - 3].

В дальнейшем некоторые результаты преобразования описаний первичного явления трактуются c учетом степени достоверности описаний или точности как модель системы S' и индекс (значок (')) не используется. Элементами S_i' или S_i системы могут быть некоторые части системы в виде выделенных групп элементов, образующих "подсистемы". Так что S_i - это также и подсистемы S_i  S'.

В системе осуществляется преобразование воздействий сигналов или сообщений, которые связывают элементы. Таким образом, по обозначению система – множество элементов с дополнительными условиями, характеризующими функционирование или существование системы или подсистемы.

Условия могут быть следующими:

- характеристики взаимосвязи элементов, например, в форме структуры G, задающей степень и форму упорядоченности этих элементов [4];

- характеристики внешней среды – факторы Г в виде набора признаков воздействия;

- зависимость исследуемых процессов от времени t  [0, T], где Т – длительность периода работы наблюдения или эксплуатации.

Характеристики взаимосвязи элементов или групп элементов, образующих подсистемы, разбиваются на виды:

• цели или ресурсы (эффективность);
  
• результаты, эквивалентные заданию;
  
• Х – входы;
  
• Y – выходы.
  

Величины X и Y – векторы в геометрическом или алгебраическом смысле, т.е. в виде множества элементов.

Факторы могут быть разбиты на группы:


Г = (Г₁, Г₂, Г₃)

Вектор – множество элементов (координат), которые геометрически могли бы задать отрезок в некотором пространстве. Это набор упорядоченных пересчитанных величин, которые выбраны в силу удобства задания и определяют множество элементов, которые могут рассматриваться с символом X - вход или Y - выход:


X = (x₁; x₂; … x_n) – n-мерный вектор, (1.1.1)

Y = (y₁; y₂; … y_m) – m-мерный вектор,


где n, m – размерность пространства, в котором определены эти векторы.

Пример: ВС в 3-х мерном пространстве – материальная точка m с координатами положения


Y= (x, y, z).


Если ВС рассматривается как твердое тело, то вводятся определения координат, определяющих положение центра масс m в пространстве и углов Эйлера, дающих угловое положение осей связанной системы координат твердого тела:


Y = (x, y, z, , , )


где  - угол возвышения, - азимутальный угол,  - угол крена в теории динамики полета ВС [7].

Вектор как обозначение множества элементов нужен для удобства записи всего множества значений переменных, задающих движение в целом. Исходя из требований математического аппарата преобразований векторы в формулах (1.1.1) следует понимать как вектор-столбцы [5].

Различие векторов X, Y с учетом их обозначений следующее:

• X – (вход) переменные, которые могут влиять на внутренние изменения в системе и, определенным образом, на результат, т.е. некие внешние независимые входные воздействия;
  
• Y – (выход) переменные, характеризующие поведение системы, ее эффективность и некие наблюдаемые внешние (выходные) результаты. В конкретной трактовке задачи значение Y определяет результат преобразования X в рассматриваемой системе.
  

Таким образом, Y – всегда некоторая зависимость от Х, результат Y также как “выход” системы зависит от структуры [4]. Из теории физики явлений природы или теории экспериментального подхода к изучению процессов следует трактовать X и Y следующим образом:

X - аргумент (вход),

Y - функция или "отклик" на вход (функция "отклика").


В результате некую систему можно представить в виде:


S' = {S_i' | X; Y; G; Г; T} (1.1.2)


где S_i' – аргумент в данном множестве, т.е. те элементы, которыми удается манипулировать;

X, Y, G, Г, T - условия, при которых рассматривается аргумент в виде множества элементов S_i';

G – структура, заданная в форме некоторой иерархии элементов, задается различными способами, в частности в виде ориентированного графа; граф G – "картинка" в виде дерева или сети, связывающей элементы системы с помощью стрелок [4];

Т – период времени, например текущее время t, t  [0,T ], t_î = 0 – начало отсчета;

Г – набор факторов, характеризующих вид воздействия внешней среды, отличается от Х тем, что представляет собой набор дополнительных признаков воздействия на систему S'. Если принять обозначения для групп, но внести конкретные признаки, то будет


Г = (Г_; Г_; Г), (1.1.3)


где Г_ – признаки воздействия типа случайных величин [8];

Г_ – характеристики воздействия типа случайных функций [8];

Г_ – факторы неопределенности, не подчиняющиеся законам случайных величин и процессов и отображающие характеристики возможности появления воздействий с неопределенной информацией о месте и времени появления, это признаки игровой неопределенности.

Таким образом, Х - это физические воздействия, которые можно измерить, а Г - информационные признаки этих воздействий, их природы и в том числе свойства структуры системы.

Внутренние взаимосвязи в структуре G имеют вид двух форм [4, 6]:

1. Преобразования типа функциональных, отображений
   

y = f (x);


 - отображение описания соответствия или процедуры построения и конструирования модели.

По существу поиски S ~ S' это моделирование в форме решения задачи 1.

2. Управление - установление соответствия X  Y – входа по отношению к выходу, которое осуществляется в зависимости от некоторой цели или программы управления или на основе "задания" -Y*, как принято в теории управления [6, 7].
   

Следствие: S' – любая система может рассматриваться как преобразователь входов X в выходы Y:


S': X  Y


В случае, когда S' – управляемая система, то преобразование X в Y осуществляется на основании теории управления [2, 3, 5]:


П

Х  Y


где П - цель или программа управления в управляемых системах [7]:

Y – управляемая или регулируемая величина;

Х – как правило задает входы 2-х типов “цель” - Y_* и возмущения X_возм (помехи):


Х₁ = Y_* – цель и программа П;

Х₂ = Х _возм. – возмущения.


В системах общего вида структуры G обозначают схемы взаимосвязи элементов такие, что может осуществляться управление в технической системе, либо осуществляться управление с помощью "лица", принимающего решения (ЛПР).

Управляемая система может быть представлена в виде множества из 2-х подсистем


S = (S₀, S_u | , ),


где S₀ - управляемый объект, S_u - регулятор.


1.1.2. Классы задач в общей теории систем (ОТС)


В общей теории систем (ОТС) рассматриваются следующие главные задачи или этапы моделирования [1, 3, 6]:

Задача 0 – разработка или описание системы S' (предварительный анализ явления);

Задача 1 – моделирование S', т.е. поиск модели S ~ S', что обозначает поиск адекватных описаний.

Задача 2 - исследование свойств исходной системы S' путем испытаний модели S, что означает подмену исходного объекта исследований S' на ее "суррогат" - модель в форме S'.


Таким образом,



S  S',

где S' – исходная система, S – модель системы,  – некий показатель степени адекватности или точности модели, т.е. сформулирована задача 2, которая является более важной с точки зрения получения конечного результата моделирования [9].

Модели системы

Природные возмущения.

В общем виде модель S соответствует своему прототипу S', поэтому в модель входят все компоненты, отражающие влияние природы в форме входных воздействий и их информационных признаков Г. Дополнительно в модели выделяются подсистемы S₁, S₂ … и, соответственно этому, дополнительно в Х включены возмущения, влияющие на систему за счет воздействия природной среды на под систему.

Следует отметить, что воздействия Х (входы) появляются в системе как эквивалентная замена влияния "природы" или более "крупной и общей системы" на ту частную систему S', которая "вырезана" как локальная из общей системы для удобства изучения определенных процессов на основе моделирования.

В качестве примера применения этого подхода в работе [1] представлена модель системы уголовного делопроизводства в США. В этой системе отражены входные и выходные результаты, структура и обратные связи, которые позволяют трактовать эту систему как управляемую. В ней решаются задачи (цель) исправления социальных пороков общества.


1.2. Проблемы и научно-технические задачи моделирования


1.2.1. Формальные исходные определения


Модель S: некая конструкция из элементов, в которой наблюдается определенное соответствие между элементами изучаемой системы S' и конструируемой моделью S.

Классификация моделей по способу описания [2, 9, 10]:

- математические;

- физические;

- алгоритмические;

- функциональные;

- геометрические;

- логические;

- натурные (полунатурные, комбинированные).

Дополнительная классификация моделей вводится в ОТС с учетом способов решения задачи 2 и признаков самих систем или моделей, включающих такие признаки, как наличие случайных факторов, существования потоков случайных событий, использование моделей структуры множества результатов и т.п. Разновидности типовых моделей в рамках принятого подхода даются в следующем разделе 2 (в главе 2).


1.2.2. Определение моделирования


Моделирование:

 осознание явления, конструирование (описание) и поиск модели S ~ S’;

 проведение исследований или испытания сконструированной системы S, т.е. определение "истинной природы S'" на ее описание S.

Следствие: С помощью моделей «природа» подменяется на некоторую конструкцию, и при этом производится испытание модели вместо испытания природы. Таким образом, реальные процессы, явления и системы изучаются на основе моделей.

Недостаток: при неправильном критерии подобия  результаты, полученные на S, могут быть ошибочными.

Необходимость моделирования определяется его высокой эффективностью, например более низкими затратами на испытания моделей S  S вместо испытаний изучаемой «природной» системы S [8, 9].

Например, дешевле проводить тренировки экипажей ВС на тренажерах КТС, чем осуществлять тренировочные полеты на эксплуатируемых ВС.


1.3. Виды или способы моделирования


Виды моделирования определяют способ получения результатов на модели S, т.е. способ изучения свойств «природы» за счет применения и изучения свойств модели. Вид моделирования по признакам определяет вид, тип и класс модели, а также способ ее испытания.

Виды моделирования и моделей:

• статистические модели (в некоторых случаях стационарные, если средние результаты от времени не зависят), которые называются статическими преобразователями типа y = f (x) – отклонения стрелки прибора в зависимости от значения х и т.д.;
  
• динамические модели, когда имеется изменение величины от времени, в том числе определяются:
  

а) стационарные (динамические модели и процессы, когда средние характеристики постоянные);

б) нестационарные – динамические преобразователи начальных условий и воздействий на систему (например, с помощью дифференциальных уравнений);

 некоторые классы моделей типа неуправляемых систем – без вмешательства автоматики или оператора могут быть динамическими или статическими ("замороженная программа преобразований");

• управляемые модели – с автоматикой или ЛПР [1].
  

В последнем классе выделяются стохастические системы [9, 11], которые строятся с учетом случайных признаков природного воздействия или некоторых техногенных помех [10]. Могут быть игровые системы и модели с неопределенностью информации о внешнем воздействии или о структуре системы и ее внутренних связях. Может быть учтена неопределенность поведением ЛПР.


Примеры неопределенных (игровых) систем:

• СОИ (космическая система стратегического наблюдения и обороны в США);
  
• МХ (системы подвижного базирования ракетных комплексов в США);
  
• Бизнес;
  
• Страхование;
  

 Технико-экономическое управление и организация воздушного транспорта.

Способы описания моделей:

• аналитические;
  
• алгоритмические;
  
• лабораторные комплексы типа тренажеров;
  

Способы получения решений (испытания моделей):

• численные решения аналитических выражений;
  
• имитационное моделирование [8, 9] – правдоподобное полунатурное или математическое воспроизведение и повторение элементарных операций и всей последовательности действий в системе с учетом случайных исходов в каждой операции в реальной цепочке действий, связывающей «входы» с «выходами», в полном соответствии со структурой G взаимосвязи элементов в модели S или даже в системе S` с точностью до .
  

2. ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ МОДЕЛЕЙ В ОТС


2.1. Динамические модели


2.1.1. Однорежимные неагрегатные модели


Модели класса [3, 6, 7]

.

X = F (t, Y | f(t)_возм),

t  [0, T], х(0) = С₀,


где X – вектор, описывающий поведение системы, это по определению ОТС выход системы Y, но здесь принято обозначение выхода Y = Х, т.к. "вход" обозначен по другому, а именно f(t)_возм, С₀ и т.п.

f(t)_возм – внешнее воздействия среды на систему типа помех;

T – промежуток времени контроля системы с началом в t₀ = 0;

Ñ₀ – вектор начальных условий.

При системном описании систем и моделей в ОТС можно принять


S  S'

S' = {p_i | f_возм, F, Г},


f_возм - ступенчатая функция, значения которой неизвестны. Возмущения типа Г_ – случайная функция времени, при этом f _возм(t)  . Возмущение представляются в виде шумов на входе с признаками , дающими описание случайности

.

X = A(t)Х + B(t)  f_возм(t  ),

t  [0,T], X(0) = C₀.


Это аналог уравнений, определяющих движение материальных систем, согласно 2-му закону Ньютона: под действием произвольных сил. Действительно, после умножения слева и справа на обратную матрицу В^-1 получается

.

В^-1  Х = f_возм (t | ),

t  [0, T], X(0) = C₀.


Управление имеет реальный физический смысл, если, с одной стороны, управление формируется некоторым способом во времени,


u = u(t), u = u(x(t), t), u = u(x(t), y(t), t),


и с другой стороны, управляемая величина также меняется во времени, как в динамическом процессе.

Эти же определения должны быть перенесены и на модели технико-экономических объектов и систем, если вводится понятие управления. Только в этом случае использование понятий и методов теории управления и ОТС будет корректным.

Так, в [12] исследованы с позиций динамических процессов различные экономические объекты.

Кроме того, приходится учитывать специфику технико-экономических систем и объектов тогда, когда практически изменения характеристик во времени медленные или неявные., логические и т.д.


2.3. Постановка задачи оптимизации и схема ее решения


2.3.1. Общие положения


Решение задачи оптимизации обозначает поиск и достижение оптимального соотношения параметров системы или обеспечение свойств и вида некоторых функций системы, которые влияют на качество и результат функционирования системы [5, 6, 2].

Оптимальность, таким образом, обозначает существование в системе подходящих приемлемых или наилучших свойств в некотором смысле в соответствии с принятым критерием оптимальности.

За счет оптимизации необходимо преодолеть противоречивость действия или влияния некоторых факторов на выход системы при изменении одного и того же аргумента.

Например, в системе авиаперевозок всего лишь один такой аргумент, как тариф (цена) на билеты, на самолет противоречиво влияет на общий доход или прибыль через число перевозимых пассажиров. При уменьшении тарифа число перевозимых пассажиров (наполняемость самолета) возрастает, но доход может падать. И наоборот, увеличение тарифа приводит к росту доходов, если наполняемость постоянная. Однако из-за увеличения тарифа эта наполняемость падает в обратной зависимости.

Критерий оптимальности в такой системе состоит в обеспечении максимальной прибыли.

При постановке задачи оптимизации должны быть определены или названы и иметь смысл следующие характеристики или условия задач:

• Критерии оптимизации в виде показателя качества системы и свойств этого показателя;
  
• Алгоритмы и расчетные схемы для оценки показателя качества и проверки оптимальности;
  
• Определение показателя качества и свойств системы при изменении аргументов, влияющих на изменение значения показателя качества.
  

Условия корректной постановки задачи оптимизации:

1. Задается система в любой форме, но так что может быть вычислен показатель К_ качества системы как функция некоторых аргументов системы


r = (r₁, r₂, ..., к_n).


2. Задан (выявлен) и определен в смысле области допустимых изменений набор (перечень) аргументов или свободных параметров или произвольных функций системы, свободно варьируемых в пределах заданных ограничений и противоречиво влияющих на изменение показателя качества системы.

Аргументами могут быть параметры в виде конструктивного вектора к


к = (к₁, к₂, ..., к_n)


или в виде множества варьируемых функций (вектор функции) [5],


f(z) = f_i(z).


При этом выход системы Y зависит от данных аргументов к или f.

3. Задан функционал качества J как интегральный показатель качества в виде функции от аргументов к или f(z) с оговоренными экстремальными свойствами (extr: min, max) и зависящий от значений выхода:


J = Ф(Y (k, f), k, f)  Ф(k, f)  extr.


Формально этот функционал J тот же самый показатель качества системы К_, но с оговоренными свойствами экстремума и выделенной зависимостью от аргументов и от самого выхода. Это также обозначает, что J - это указанная в виде формулы или алгоритма форма или схема вычисления К_ для заданной системы и конкретных свойств этого J, отражающего критерий оптимальности. (Как известно [1], критерий оптимальности - это показатель, его свойства и правила проверки существования выделенного свойства, например min, max).

Далее, если оптимум отыскивается на множестве произвольных функций f(z) = f_i(z), то это оптимизация на основе вариационного исчисления. При этом [5]


J = Ф (f(z))  extr по f_i(z) при f_i(z)  f(z),


где индекс (*) - обозначает достигнутую оптимальность.

В том случае, когда J и К_ функции от аргументов - параметров в виде конструктивного вектора к, то это параметрическая оптимизация [6]

J = Ф(к)  extr J по к  J = Ф(К)


где к - оптимальный (наилучший среди возможных) вектор, доставляющий экстремум J  J  К(к).

Различия 2-х рассмотренных подходов к оптимизации систем поясняются следующим образом:

Если заданный функционал качества J


J = Ф (y(к, f), к, f) = Ф(к, f)


имеет вид интеграла от функций - аргументов f_i(z) и экстремум интеграла достигается путем подбора функции f_i*(z) из множества D(f(z))  f_i(z). Это обозначает процедуру


J  J* =  (f(Z))df(z)  еxtr, при f*(z),

D

Это вариационный метод оптимизации.

Если экстремум J, даже если это интеграл, достигается за счет выбора наилучшего сочетания компонентов конструктивного вектора

к  к*

J  J* = f (K*),  extr,


где к* – оптимальный конструктивный вектор, тогда это - параметрическая оптимизация.

2.3.2. Алгоритмы и расчетные процедуры оптимизации


Вариационное исчисление. Основано на вариационных уравнениях Эйлера, позволяющих найти экстремальное значение J = (f(z)) для J = (f(z)) за счет подбора оптимальной (наилучшей) функции f (z) [5].

Например, f (z) будет оптимальная функция поведения ЛПР: это может быть оптимальная траектория движения ВС, выбранная ЛПР в условиях, например, неопределенности информации и т.д.

Параметрическая оптимизация. Основана главным образом (для сложных задач) на численных методах и алгоритмах подбора конструктивного вектора к путем пошагового перебора значений этого вектора и сравнения возможных значений показателя качества К_ на каждом шаге. Используются градиентные методы поиска К_ по методу "наискорейшего спуска" или "подъема". Известен метод "стохастатической параметрической оптимизации системы" [2, 6].


3. ОБЩЕСИСТЕМНЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМЫХ

КОМЛЕКСОВ И СИСТЕМ


Управляемость и управление - всеоблемлющие свойства сложных систем. Эти свойства определяются структурой управляющих систем и соответственно их моделей. При кибернетическом подходе вводится понятие обратной связи в управляемых и саморегулируемых системах общего вида (ОС).


3.1. Определения и классификация управляемых систем


3.1.1. Общие определения


Управляемость - всеобъемлющее свойство сложных, организованных систем, оно включает определёние действия как технических средств, звеньев и цепей, так и руководителей и лиц, принимающих решения (ЛПР). Управляемость следует понимать как свойство системы изменять (с определенной мерой) некоторые характеристики выходных процессов (выходов Y) под действием управляющих воздействий [1].

Мера управляемости - степень изменения свойства выходного (регулируемого) процесса (регулируемой величины) под действием управления.

В математических моделях существует строгое определение меры управляемости, вычисляемой на основе величины расхождения или некоторой ошибки Y.

Управление - способ целенаправленного воздействия на систему для обеспечения необходимых свойств регулируемой величины. Общее определение управляемости сводится к обеспечению существования некоторого эталонного поведения Y_*(t) системы общего вида (ОС)


Y_* ~ Y_*(t), t  [0, T]. (3.1.1.)


Это определение априорно и отражает цель или задачи, решаемые в этой системе:


Y_* ~ Y |определена цель

или программа


Поведение общей системы, LQWE оцениваемое по результатам наблюдения, характеризуется выходом Y(t). Тогда можно полагать, что Y(t) - это то, что есть, то, что наблюдается, а Y_* - то, что необходимо достичь, обеспечить. При этом, если существует некоторое, такое свободное (аргумент) входное воздействие Х - вход, что можно его принять за управление X = U, так что под действием этого управления U выход Y будет стремится к эталону, тогда в этом случае система считается управляемой


Y(t)  Y_*. (3.1.2)


Степень несовпадения Y(t) и Y_* оценивается величиной Y,


Y = Y_*(t) - Y, (3.1.3)


где Y - невязка или ошибка управления, или рассогласование.

Если имеет место (3.1.2.) т.е. выход "поддаётся" изменению под действием управления U, то система в каком то смысле, в какой то мере, управляемая, а Y(t) есть регулируемая, контролируемая величина.

Одна из задач теории управления общей системой состоит в поисках и построении управлений U, которые бы обеспечивали (3.1.2). Вспомогательной задачей является задача выявления некоторой функции управления так, чтобы было заметно изменение выхода от входа Х  U, через скорость изменения dY/dt, т.е.


Y: Y = f(U)    (dy/dt)dt  dy/dt = f(u), (3.1.4)

D


где  - знак соответствия, D - область интегрирования.

Мера качества управления (), определяет степень достижения цели в зависимости от вида управления (U) и интенсивности возмущений по (1.1.2.). Возмущения могут препятствовать достижению цели, и управление может быть незаметно. Поэтому постановка задачи о создании системы управления имеет смысл, если найдено реально, а не теоретически, существующее входное воздействие x = U, которое изменяет Y(t) и влияет на скорость (dy/dt) по схеме (3.1.4). Классификация управляемых систем рассмотрена ниже в п.п. 3.1.2. и представлена далее на рис. 3.5.1, 3.5.5 на примерах линейных динамических моделей систем.


3.1.2. Виды или классы управляемых систем


В кибернетике выделяются следующие два класса:

1–ый класс - управляемые системы, в которых управляющие воздействия формируются техническими устройствами либо лицами, принимающими решения (объёктами, субъектами системы). К ним могут относиться следующие системы: конструируемые, проектируемые, улучшаемые.

2-ой класс - саморегулирующие (саморегулируемые), равновесные системы. К ним могут относиться такие, как системы с “естественной” саморегуляцией, природное комплексы, живые, неживые системы.

Кибернетика изучает взаимосвязь управления, поведения системы и структуры системы управления.

В эти классы могут быть включены динамические модели экономических объектов и технико-экономических систем [12], если в этих системах осуществляется управление в корректном понимании этого термина и при соответствующей организации структуры контура регулирования. (Часть этих вопросов освещена далее в п.п. 3.7).


3.1.3. Принцип обратной связи при управлении и саморегулировании


Обратная связь (для управляемых и равновесных систем) - связь, соединяющая выход со входом. При этом "значения наблюдаемой выходной величины через вход влияют на поведение системы на выходе", (“выход подать на вход”).

Виды обратной связи (ОС) в системах:

- отрицательная обратная связь (ООС);

- положительная обратная связь (ПОС);

- жесткая обратная связь (ЖОС);

- жесткая отрицательная обратная связь (ЖООС);

- гибкая обратная связь (ГОС).

Формирование обратной связи происходит уже на уровне конструирования управляющих воздействии в виде управления U. Более точно и, в более общем случае, обратная связь создается на уровне оценки рассогласования или невязки (3.1.3) при контролировании и измерении значений выхода,


Y = Y_* - Y. (3.1.5)


Здесь Y - характеризует отличие эталона от наблюдаемой величины, поскольку Y_* - вход, эталон системы. Величина Y - формируется на входе и эквивалентна входу U ~ Y поскольку управление выбирается согласно Y.

Соотношение (3.1.5.) - формирование новой входной величины в управляемой и кибернетической системе. Из этого соотношения следует, что Y подаётся на вход для вычисления на входе Y, величина Y есть сигнал или информация обратной связи.

Если на вход "приходит Y", т.е. сама регулируемая величина, то обратная связь считается жёсткой (ЖОС).

Пример (для воздушного судна, рассмотренного выше):

Управление высотой (Н) - жёсткая обратная связь по отношению к эталону Н_*, т.к. без жёсткой обратной связи нельзя произвести сравнение Н с эталоном.

Если Y - регулируемая, контролируемая, управляемая величина, которая подаётся на вход со знаком “минус” по отношению к эталону - то это и есть отрицательная жёсткая обратная связь (ЖООС) [7, 6].

Если Y подаётся со знаком “плюс” по отношению к эталону, то это есть положительная жёсткая обратная связь (ПОС).

В зависимости от типа (положительной или отрицательной) жёсткая обратная связь оказывает различное влияние на систему:

- отрицательная ОС является стабилизирующей;

- положительная ОС является раскачивающей.

Гибкая обратная связь - это введение в управление (на вход) в множество входов не только Y(+) ("жёстко"), но и производных от этой величины

. .

Y, Y_*.

Свойство системы “поддаваться” управлению или не реагировать на него оценивается на основе (3.1.5) по степени приближения t)  _, причем Yt_*) - степень управляемости или ошибка управления на избранный момент времени t_*).

Только при наличии жёсткой отрицательной обратной связи (ЖООС) достижимо целенаправленное управление системы, гибкие ОС лишь изменяют характер движения (затухание, LC - контур и т.д.). В саморегулирующих системах существует жёсткая отрицательная обратная связь (ЖООС) естественная, природная, т.е. существует (-Y) по отношению к эталону или некоторому плану поведения.

Примеры:

- маятник, (сила восстановления  (-Y) всегда противоположна направлению движения);

- самолёт (статически устойчив);

- пружина (сила упругости действует в сторону равновесия);

- общество (религия, смертная казнь - предусмотрена для усмирения населения);

- техногенные системы.

Отрицательная обратная связь в технических управляемых системах осуществляется с помощью средств измерения самой величины , которой приписывается знак “-” и технически реализуется при помощи "инвертора" в контуре управления.


3.1.4. Общесистемные модели


Общесистемная модель управляемой системы может быть представлена в 2-х видах в зависимости от акцентов на ее отличительные черты при постановке задач управления, и главное, при поиске законов управления или регулирования.

Первый вид - это функциональная системная модель с выделением подсистем как главных отличительных компонентов:


S = (S₀, S_u | G_u, ₁, ₂)

или S = (S₀, S_u | G_u, ₁, ₂, , Г ),


где выделены объект регулирования (управления) So и регулятор в форме блока S_u - формирование закона управления (БФЗ).

Главным для систем управления является определение 2-х целевых функций качества:

₁, ₂ - первого и второго ряда соответственно.

Функция цели первого рода ₁ - это функция, задающая в аналитической, алгебраической или табличной форме цель управления.

Цель управления для динамических управляемых систем это всегда эталонное или желаемое изменение _*(t) выходной величины - выходного процесса (t).

Таким образом, цель управления ₁ - это _*(t) такое, что

₁  _*(t): (t)  _*(t)


Целевая функция качества ₂ второго рода - это функция требований к системе, к ее свойствам, обеспечивающим определенный характер или качество процесса достижения цели, т.е. качество (t)  ^*(t).

Функция ₂ - это и показатель качества, и критерии качества или критерий оптимальности управляемой системы:


₂ = К_.


Второй вид записи обозначений системы базируется на выделении свойств структуры и видов входных и выходных воздействий. Для этого используется представление,


S = ( Х, Y | G_u, Y_*(₁), ₂, , Г ),

где структура G_u включает регулятор, формирующий управление U на основе известных принципов регулирования. Отмеченные принципы изучаются в дальнейшем.

Физические предпосылки возможности создания систем управления базируются на трактовках явлений в динамических системах. Физические основы особого поведения управляемых систем в смысле (t)  _*(t), а именно в этом заключается целенаправленное (₁) воздействие на систему, определяются двумя факторами ₁ и ₂. Фактор ₁ - проявление "ньютоновской" инерционности, в простейшем случае проявляющейся через массу системы m на основе 1-го и 2-го законов Ньютона. В соответствии с проявлением фактора ₁, любая динамическая система ведет себя произвольно,


т.е. выход (t)  (t_*), t  , t_*  


под действием произвольных нецеленаправленных воздействий X типа "сил" в ньютоновской механике выход изменяется произвольно и не связан никак с эталоном Y_*(t):

Фактор ₂ обозначает существование в системе восстанавливающих свойств, обеспечивающих целенаправленное изменение (t)  _*(t), где _*(t) - можно назвать позицией или точкой равновесного состояния. Факторы ₂ в форме восстанавливающих сил или моментов обеспечивают целенаправленное изменение "выхода" (t) системы и отражают работу подсистемы системы управления S_u или регулятора. Данная формализация позволяет достаточно корректно разграничивать по обозначению, но не по существу, сходные целенаправленные воздействия на различные системы следующего вида:

- планирование, оптимальное планирование;

- руководство;

- распределение ресурсов, оптимальное распределение ресурсов;

- законодательное регулирование деятельности производственных подразделений;

- управление кадрами, управление кадровой деятельностью, управление финансами, инвестициями, управление аэропортами, управление "безопасностью полетов воздушных судов", управление качеством, и т.п..


3.5. Постулаты теории управления


3.5.1.Определения постулатов


Здесь представляются некоторые утверждения, принимаемые как правила для теории управления и вытекающие из свойств управляемых систем и общей теории управления.

Постулат 1

Об управляемости (дополнительная трактовка) и управляющих воздействиях.

В динамических управляемых системах при обеспечении режима стабилизации (управляемости) в окрестности точки равновесия имеют место соотношения


Y  "0", "";

 (Y)  "0" ;


где "0", "" - предельные допустимые значения ошибки.

При этом необходимо обеспечить следующие условия:

- обеспечить зависимость скорости dY/dt изменения выходной величины Y от управляющего воздействия U  Xупр.

Это обозначает, что некоторая выходная величина Y системы может быть принята за регулируемую, если найдется входное воздействие X = U, способное изменить скорость dY/dt = VY этой величины Y.

если Y = f (U),

.

то Y  0  Y(t)  Y_* при Y 0, .

Следствие 1.1

T₀ - входное воздействие Х_вх, которое эквивалентно управляющему воздействию U, должно быть таким, чтобы управление “U“ вызвало изменение скорости V_y = (dY/dt),

.

Х_вх ~ U: U  Y  V_y = (dY/dt). .

.

Надо искать Y =  (U), которое является некоторой функцией от U. Например, в линейной системе обнаружена зависимость.

Y = кU = кХ_вх,


тогда Х_вх считается управляющим воздействием на систему. В данном случае входное воздействие считается управляющим, т.к. оно влияет на скорость изменения регулируемой (выходной) величины.

Следствие 1.2. (дополнение к следствию 1)

В динамических управляемых системах выходной результат - величина Y (выход - регулируемая величина) связана с управляющим воздействием (U) через интегральные соотношения того или иного порядка:


Y ~   (U) dt, (3.5.2.)

D(u)


где D(u) - область изменения U и некоторая область интегрирования.

Выражение (3.5.2.) - некоторый определённый интеграл, возможно кратный интеграл. Эта зависимость вытекает из (3.5.1) и не равна соотношению Y = кU, которое является вырожденным уравнением управления в смысле следствия 2.


3.7.1. Схема и уровни системного анализа управляемых систем


Согласно положениям ОТС [1], необходимыми являются 3.7. Построение моделей управляемых технико-экономических систем, на примере управления авиакомпаниями и другими объектами гражданской авиации

В данном подразделе дается краткая иллюстрация схемы применения методов теории ОТС и некоторых постулатов управления для описания примера модели процессов управления авиакомпаниями. Рассматриваемый класс систем назван для простоты технико-экономическим, поскольку здесь изучаются процессы целенаправленного воздействия на объекты и множество субъектов, для которых главные показатели эффективности базируются на экономических понятиях.

Дополнительно рассмотрен пример построения управления в некоторой системе обучения, чтобы показать общность используемых понятий.

Сущность исследуемых процессов отличается от процессов автопилотирования, фильтрации, слежения и стабилизации в динамических системах таких, как “воздушное судно с автопилотом”, технологический робот, телеуправляемый самоходный комический аппарат и т.д.

В технико-экономических системах управление объектами и субъектами системы осуществляется в форме некоторых руководящих или директивных указаний, идущих из руководящего центра (Совета директоров) или от лица, принимающего решение (ЛПР).

Специфика подобных систем также и в том, что в понятие “управления” обычно вкладывается и подготовка решений, и планирование операций, и распределение ресурсов. Поэтому на практике в силу специфики этих систем описание их дается на эвристическом уровне - в форме функциональных схем, диаграмм, таблиц.

Это отражает первый уровень системного анализа.

В связи с этим предлагается применить, тем не менее, понятия общей теории систем и ввести однообразие подхода к описанию моделей систем и управлений. Главным здесь является разделение того, что непосредственно относится к управлению оттого, что включается в понятие, например, планирования и оптимизации.

Ниже показано и утверждается, что системный подход ОТС является в этом смысле универсальным. Смешения различных понятий можно избежать.

В дальнейшем было бы целесообразно последовательно рассмотреть модели систем управления при ОВД, управление на транспорте, управление страховой деятельностью, инвестициями и т.д.

Однако следует также отметить, что в ряде случаев все же достаточно останавливаться на первом уровне системного анализа и ограничиваться рассмотрением эвристических моделей.


3.7.2. Построение системной модели управления авиакомпаниями

по методу декомпозиции


3.7.2.1. Системная модель 1-го уровня


Главной задачей построения системной модели на первом уровне системного анализа является ЛОКАЛИЗАЦИЯ ОБЪЕКТОВ ПОДСИСТЕМ И ЭЛЕМЕНТОВ в соответствии с понятиями “УПРАВЛЕНИЯ” в ОТС [1].

Из этого следует, что “управление” следует первоначально изучать во времени, t[0, Т] и вводить т.е. локализовать необходимые объекты и процессы.

Поэтому следует принять, что управление авиакомпаниями обозначает, что имеется некоторый объект управления и “управляющий орган”.

Управление действительно ведется во времени, т.к. деятельность авиакомпании, которой предстоит управлять, и состоит в том, что в течение некоторых промежутков времени с длительностью Т (1 месяц, 1 год и т.д.) осуществляются перевозки грузов и пассажиров, вылетают, перемещаются и совершается посадка ВС в хороших и плохих метеоусловиях, осуществляется контроль деятельности авиакомпаний. Выдаются и отнимаются лицензии на перевозки, даются сертификаты самолетам и авиационным специалистам, проводится проверка госавианадзоров и т.п. для обеспеченности безопасности полетов.

Поэтому, в силу метода декомпозиции из п.п. 3.4.3, рассматриваемая система S типа (3.3.8) локализуется или представляется в виде (3.4.3), (3.4.5).

Допустим, что целью управления ₁ является обеспечение полетов ВС только исправных, удовлетворяющих ТУ по формам ремонта авиатехники, по числу сертифицированных экипажей ВС и т.д.

Тогда необходимо задать некоторый показатель (критерий) качества первого рода к по типу целевой функции 1-го рода ₁, (3.4.1), (3.4.2), (3.4.5). Далее необходимо найти подсистему управления S_u для (3.4.3).

Следует заметить, что в данной постановке задачи использование понятия "управление качеством" или "управление безопасностью" некорректно с позиций теории систем [1].

3.7.2.2. Определение управлений и управляемой величины – выхода

в системной модели 2-го уровня


На этом этапе необходимо конкретно определить и описать введенные характеристики локализованных элементов и величин.

При этом задать единицы измерения или оценивания целевых функций 1-го и 2-го рода. Необходимо также объяснить физический смысл и единицу измерения физических величин, характеризующих обратную связь и управляющее воздействие. Все это определяется конкретным содержанием решаемой задачи.

На первом этапе (уровне) осуществляется локализация подсистем и звеньев, на втором – выбор и использование логико-математического аппарата описания закономерностей и взаимосвязей процессов в локализованных элементах. Третий уровень и соответственно расчетная модель обеспечивает вычисление и оценивание показателей эффективности, качества или оптимальности системы.

Расчетные методы и процедуры обобщают понятие первых 2-х уровней системного анализа и обеспечивает на системном уровне интегральную связь некоторого независимого входного воздействия типа Y_* выходом Y через показатели, например качества К_ в зависимости от набора значений компонентов конструктивного вектора К.

Так, при планировании боевых действий создается схема взаимосвязи тактических и стратегических операций, схема их развертывания во времени и пространстве (уровни 1, 2).

Окончательная расчетная процедура для этого случая завершается оцениванием вероятностей достижения благоприятных результатов или оцениванием ущерба, потерь, выигрыша и пр.

В случае управляемых систем можно считать целесообразным применение на первом уровне системного анализа метод декомпозиции из п.п. 3.5.6.


3.7.3. Построение по методу композиции модели системы обучения

как системы управления


Ввиду широкого распространения компьютерных систем обучения (КСО) в разных областях профессиональной подготовки специалистов возникают задачи построения моделей таких систем.

С помощью математических моделей возможно осуществить оптимальное проектирование структуры (КСО) для повышения эффективности использования их учебном процессе.

Важной деталью обучающих систем является использование обратной связи, назначение которой в обеспечении контроля обученности и определения момента завершения обучающего процесса.

Однако при построении моделей таких систем могут возникать трудности математического описания объектов обучения, математической обратной связи и прочих элементов обучающих систем.

Преодоление отмеченных трудностей возможно путем использования формальных приемов теории управления и методов ОТС.

В связи с этим для иллюстрации положений ОТС и постулатов теории управления предлагается применить метод композиции для построения структурной схемы обучающей системы.

Главным при этом является выявление физического смысла таких величин, как входное воздействие и выходное, рассогласование и т.п.


Литература

1. Дж. Ван Гиг. Прикладная общая теория систем. - “Мир”, М.: 1985;
   
2. Коршунов Ю.И. Техническая кибернетика, - Высшая школа - М.: 1989 (2-е издание);
   
3. Советов Б.Я. Моделирование сложных систем (пособие по курсовому проектированию). Часть 1,2. ЛЭТИ. “Высшая школа”1986;
   
4. Поспелов Г. Д. Теория графов и конечных автоматов. – Машиностроение. М.: 1966;
   
5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Физмат, 1961.;
   
6. Леондес Д. Современная теория управления. М., "МИР ", 1971;
   
7. Кейн В.М., Красов А.И., Федоров С.М., Теория управления в гражданской авиации. Л. ОЛАГА, 1976.;
   
8. Палагин Ю.И., Шалыгин А.С. Стохастическое моделирование;
   
9. Бусленко Н.П. Теория имитационного моделирования, Ф.М.-М.:1981.;
   
10. Куклев Е.А. и др. Теория систем со скачкообразными управлениями, изд. АН БССР, - Минск: 1985;
    
11. Климов Г.Я. Стохастические системы. Сов радио- М.: 1978;
    
12. Сиразетдинов Т.К. Динамическое моделирование экономических объектов. – Академия наук ТР – "ФЭН", Казань: 1996.
    
13. Д. Кокс, Л. Льюс. Теория очередей (Теория восстановления). Сов. радио, М.:1976.
    
14. Крылова Г.В. Основы стандартизации, сертификации метрологии. Учебник ВУЗов. – Издательское объдинение "ЮНИТИ", Москва "Аудит": 1998;
    
15. British Standart. Quality management and quality assurance – Vocabulary. BS EN ISO 8402: 1992.
    
16. Бондаренко Н.И. Методология системного подхода к решению проблем (история – теория – практика) – Издательство С. Петербург: 1998.
    

17. Хяркянен К.В. (Финляндия), Совершенствование управления дорожной сетью Финляндии. Вестник АТР – С.Петербург – Москва: 1992 (94 с).