Кемеровский Государственный Университет Химический факультет утверждаю декан химического факультета профессор Денисов В. Я. " " 2010 г рабочая программа

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО «Кемеровский Государственный Университет»

Химический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Декан химического факультета
профессор Денисов В.Я.

_______________________

"_____"__________2010 г.

Рабочая программа дисциплины

“КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ”

Направление подготовки

020100 Химия, Б.2.ДВ.1_1

Профиль подготовки

Химия

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

Кемерово 2010

1. Цели освоения дисциплины

Одними из важнейших качеств специалиста в области Химии являются: умение а) использования компьютерных баз химических данных средств телекоммуникационого доступа к источникам научной информации, сети Internet в обучении и научной работе; б) применения методов математического моделирования в химических исследованиях;

наличие навыков построения эмпирических моделей с использованием пакетов программ статистической обработки данных, имитационного моделирования при решении проблем химической технологии и экологии.

Основная цель освоения дисциплины «Компьютерное моделирование» - дать студентам химических специальностей базовые представления о современных способах применения компьютеров в обучении и научных исследованиях, фундаментальных основах информатики и пользования вычислительной техникой, научить использовать программное обеспечение компьютеров для планирования химических исследований, анализа экспериментальных данных и подготовки научных публикаций.

Задачи:

Овладеть навыками форматирования текста и обработки экспериментальных данных;

Научиться использовать компьютерные базы данных (химических) в научной работе;

Изучить теорию информации и информационные технологии.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Компьютерное моделирование» относится к базовой части учебного цикла «Математический и естественнонаучный цикл»

Для успешного освоения дисциплины необходимо хорошо владеть знаниями следующих дисциплин, относящихся к различным циклам учебной программы: информатика, основы математического анализа, линейная алгебр и аналитическая геометрия, общая химия, неорганическая химия, общая физика, теория вероятности и математическая статистика, неорганическая химия.

Освоение дисциплины «Компьютерное моделирование» способствует лучшему усвоению некоторых разделов дисциплин Аналитическая химия, Органическая химия, Физическая химия, Химические основы биологических процессов, Высокомолекулярные соединения, Химическая технология, относящихся к базовой части общепрофессиональных дисциплин.

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Компьютерное моделирование»:

использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-6);
умеет работать с компьютером на уровне пользователя и способен применять навыки работы с компьютерами как в социальной сфере, так и в области познавательной и профессиональной деятельности (ОК-7);
способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-8);
владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-9);
владеет одним из иностранных языков (преимущественно английским) на уровне чтения научной литературы и навыков разговорной речи (ОК-12);
настойчив в достижении цели с учетом моральных и правовых норм и обязанностей (ОК-13).
умеет работать в коллективе, готов к сотрудничеству с коллегами, способен к разрешению конфликтов и социальной адаптации (ОК-14);

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности (ОК-7),
Уметь: применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования, работать с компьютером на уровне пользователя в области познавательной и профессиональной деятельности (ОК-6,)
Владеть: основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, навыками работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-9).

4. Структура и содержание дисциплины «Компьютерное моделирование»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 2,1 зачетных единиц 72 часа.

4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах)

4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом

Вид учебной работы	Всего часов
Общая трудоемкость базового модуля дисциплины	72
Аудиторные занятия (всего)	36
В том числе:
Лекции	-
Семинары	-
Лабораторные работы	36
Самостоятельная работа	36
В том числе:
Творческая работа (эссе)	-
И (или) другие виды самостоятельной работы	36
Вид промежуточного контроля	Защита лабораторных работ, индивидуальные расчетные задания, коллоквиум, контрольная работа, тест
Вид итогового контроля	зачет

4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по видам занятий (в часах)

Таблица 1

№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Общая трудоёмкость (часах)	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)			Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Общая трудоёмкость (часах)	Учебная работа	В.т.ч. активных форм	Самостоятельная работа
				всего	Лаб. работы	В.т.ч. активных форм	Самостоятельная работа
1	Математическая модель	3	1,2	8	4	2	4	Защита лабораторной работы
2	Виды математического моделирования	3	3,4	8	4	2	4	Защита лабораторной работы
3	Минимизация функции	3	5,6	8	4	2	4	Защита лабораторной работы
4	Обработка экспериментальных данных	3	7,8	8	4	3	4	Защита лабораторной работы, индивидуальные расчетные задания
5	Решение обыкновенных дифференциальных уравнений	3	9,10	8	4	3	4	Защита лабораторной работы, индивидуальные расчетные задания
6	Схемы интегрирования	3	11,12	8	4	2	4	Защита лабораторной работы
7	Моделирование кинетики химической реакции	3	13,14	8	4	3	4	Защита лабораторной работы, контрольная работа
8	Моделирование тепло- и массопереноса	3	15,16	8	4	3	4	Защита лабораторной работы, тест
9	Математические задачи в химии	3	17,18	8	4	2	4	коллоквиум, индивидуальные расчетные задания
10	Зачет		18

4.2 Содержание дисциплины

Таблица 2

Содержание разделов базового обязательного модуля дисциплины

№	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела дисциплины	Результат обучения, формируемые компетенции
1	Математическая модель	Цель и задачи курса, его структура. Значение курса в университетском образовании для формирования экологического мировоззрения химиков-исследователей. Математическая модель. Эмпирические, феноменологические и детальные модели. Параметры модели. Прямая и обратная задачи. Особенности численного (компьютерного) моделирования. Методы визуализации результатов моделирования, наиболее часто применяемым на практике: построение графиков. Примеры построения двух и трех мерных графиков, графиков в полярной системе координат.	ОК-6 ОК-8 Знать определения математической, эмпирической и феноменологической моделей. Уметь применять методы математического анализа и моделирования. Владеть методами визуализации результатов моделирования.
2	Виды математического моделирования	Виды и цели математического моделирования. Моделирование как способ проверки гипотез. Упрощение наблюдаемого явления для устранения аспектов считающихся не существенными. Создание гипотезы, касающейся физической природы системы, применение научных теорий к рассматриваемому явлению. Обработка данных эксперимента как решение обратной задачи математического моделирования. Имитационное моделирование (вычислительный эксперимент)	ОК-6 ОК-7 Знать определение и этапы создания научных гипотез. Уметь применять методы математического анализа и моделирования для проверки гипотез. Владеть методами обработки данных эксперимента.
3	Минимизация функции	Поиск минимума функции одной переменной. Методы золотого сечения и квадратичной интерполяции. Общее представление о методах сопряженных направлений и переменной метрики. Частный случай минимизации суммы квадратов: метод Гаусса - Ньютона. Составление блок схемы программы решения химической задачи. Поиск базы операторов, используемых в программе, написание программы в системе MATLAB, компилирование программы.	ОК-6 ОК-7 ОК-12 ОК-13 Знать основные этапы и методы поиска минимума функции. Уметь применять методы поиска минимума функции для обработки эксперимента. Владеть методами составления блок схемы программы решения химической задачи.
4	Обработка экспериментальных данных	Первичный результат эксперимента, набор пар значений исследуемого свойства и варьируемого параметра (параметров). Примеры. Аппроксимация экспериментальных данных некоторой аналитической зависимостью. Методы «наложения» функциональной зависимости на экспериментальные данные. Критерии наилучшего согласия экспериментальной и функциональной зависимостей. Обработка данных методом наименьших квадратов (МНК). Линейный МНК. Минимизация суммы квадратов методом Гаусса - Ньютона. Статистические характеристики оценок параметров модели. Используя формулы линейного МНК составить программу вычисления коэффициентов линейной зависимости, описывающей первый набор экспериментальных данных. Отладить программу. Построить график экспериментальной и теоретической зависимостей, записать значения варьируемых параметров. Используя оператор fminsearch, написать программу поиска минимума функции суммы квадратов отклонений теоретической нелинейной зависимости от зависимости, заданной вторым набором экспериментальных данных. Отладить программу и построить график экспериментальной и теоретической зависимости. Оформить отчет по работе в виде Word-файла, в который включить тексты программ с комментариями и все построенные графики.	ОК-6 ОК-7 ОК-9 ПК-8 Знать основные этапы и методы обработки экспериментальных данных. Уметь применять методы поиска минимума функции для обработки эксперимента. Владеть методами «наложения» функциональной зависимости на экспериментальные данные.
5	Решение обыкновенных дифференциальных уравнений	Формы записи математических моделей, запись модели физико-химического процесса в виде дифференциального уравнения Примеры процессов, описываемых обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Численное интегрирование ОДУ: решение задачи Коши. Краевая задача. Задача Штурма-Лиувиля. Метод Эйлера. Написание программы, решающей ОДУ методом Эйлера. Отладить программу. Используя оператор ode15s, написать программу интегрирующую то же уравнение. Отладить программу. Построить и сравнить графики функции-решения уравнения, полученные по двум методам. Сравнить полученные численные решения с аналитическим решением уравнения. Оформить отчет по работе в виде Word-файла, в который включить тексты программ с комментариями и все построенные графики.	ОК-6 ОК-8 ОК-12 ОК-13 Знать основные этапы и методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Уметь применять методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета кинетических закономерностей химических реакций. Владеть методами численного интегрирования ОДУ.
6	Схемы интегрирования	Явные и неявные схемы интегрирования их устойчивость. "Жесткие" уравнения. Количественный критерий жесткости. Методы Рунге-Кутта, прогноза и коррекции. Написание программы, решающей ОДУ методом Рунге-Кутта 2 порядка точности. Отладить программу. Написание программы, решающей методом Рунге-Кутта 4 порядка точности то же уравнение. Отладить программу. Построить и сравнить графики функции-решения уравнения, полученные по двум методам. Сравнить полученные численные решения с аналитическим решением уравнения. Оформить отчет по работе в виде Word-файла, в который включить тексты программ с комментариями и все построенные графики.	ОК-6 ОК-14 Знать основные схемы интегрирования их устойчивость. Уметь применять методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета кинетических закономерностей химических реакций. Владеть методами численного интегрирования ОДУ.
7	Моделирование кинетики химической реакции	Способы деления химических реакций, простые (элементарные) и сложные химические реакции. Реакции окисления алифатических соединений. Усложнение динамического поведения системы. Примеры колебания концентрации реагентов, самоускоряющиеся режимы (например, цепной взрыв). Анализ сложных процессов, методы компьютерного моделирования. Компьютерное моделирование при оценке константы скорости. механизм реакции, константы скоростей стадий и начальные условия. Запись системы кинетических уравнений (математическая модель процесса) в соответствии с заданным механизмом реакции. Написать программу, интегрирующую систему кинетических уравнений, используя метод Рунге-Кутта 4 порядка точности, Отладить программу. Построить кинетические зависимости концентрации реагирующих веществ. Описать основные особенности полученных зависимостей. Оформить отчет по работе в виде Word-файла, в который включить тексты программ с комментариями и все построенные графики.	ОК-6 ОК-7 ПК-13 Знать основные этапы формулирования механизма химических реакций. Уметь применять методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета кинетических закономерностей химических реакций, в том числе протекающих во взрывном режиме. Владеть методами численного интегрирования ОДУ.
8	Моделирование тепло- и массопереноса	Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП), функции нескольких переменных и их частные производные. Примеры физико-химических процессов описываемых ДУЧП. Необходимость использования ДУЧП в химической кинетике для описания реагирующей системы. Рассмотрение гетерогенного катализа, цепного или теплового взрыва, распространения волны горения. Используя механизм реакции записать систему ДУЧП, далее соответствующую ей систему ОДУ, описывающие изменение концентрации и химических веществ в каждой ячейке. Используя функцию ode15s, написать программу интегрирующую полученную систему обыкновенных ДУ. Отладить программу. Построить графики функций распределения реагентов и/или температуры (в соответствии с заданием) в различные моменты времени. Оформить отчет по работе в виде Word-файла, в который включить тексты программ с комментариями и все построенные графики.	ОК-6 ОК-7 Знать основные этапы формулирования механизма химических реакций с учетом тепло- и массопереноса. Уметь применять методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений для расчета кинетических закономерностей химических реакций с учетом тепло- и массопереноса. Владеть методами численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.
9	Математические задачи в химии	Основы теории элементарного акта химической реакции. Первая стадия исследования элементарного акта химической реакции - эксперимент, в ходе которого измеряются и регистрируются характеристики изучаемого процесса. Вторая стадия кинетического исследования - создание физической, а затем и математической модели. В ходе этой стадии исследователь определяет набор параметров и переменных, которые в достаточной степени описывают изучаемое явление, выбирает физические процессы, которые в совокупности объясняют поведение системы, наблюдающееся в эксперименте, и по возможности предлагает математические выражения, количественно описывающие исследуемое явление. Третья стадия кинетического исследования - расчет экспериментального поведения системы на основе имеющейся модели - имеет название "прямая кинетическая задача". Результаты расчета затем сравниваются с результатами имеющегося или нового эксперимента. В ходе такого сравнения проверяется жизнеспособность принятой гипотетической модели.	ОК-6 ОК-7 ОК- 14 Знать: сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности. Уметь: применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования, работать с компьютером на уровне пользователя в области познавательной и профессиональной деятельности. Владеть: основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, навыками работы с компьютером как средством управления информацией.

5. Образовательные технологии

Для эффективной реализации целей и задач ФГОС ВПО, для воплощения компетентностного подхода в преподавании используются следующие образовательные технологии и методы обучения (табл.3).

Таблица 3.

Вид занятия	Технология	Цель	Формы и методы обучения
1	2	3	4
Лабораторные работы	Технология проблемного и активного и дифференцированного обучения, тестовая технология, деловой игры.	Усвоение теоретических знаний, развитие мышления, формирование профессионального интереса к будущей деятельности. Развитие творческой и познавательной самостоятельности, обеспечение индивидуального подхода с учетом базовой подготовки Организация активности студентов в условиях, близких к будущей профессиональной деятельности, обеспечение личностно деятельного характера усвоения знаний, приобретения навыков, умений.	Постановка проблемных познавательных задач, индивидуальный темп обучения, учитывающий динамику работоспособности студента. Репродуктивные, творчески репродуктивные методы активного обучения.
Самостоятельная работа	Технологии концентрированного, дифференцированного обучения	Развитие познавательной самостоятельности, обеспечение гибкости обучения, развитие навыков работы с различными источниками информации, развитие умений, творческих способностей.	Индивидуальные, групповые

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

Таблица 4.

№	Виды самостоятельной работы	Формы контроля	Сроки контрольно-зачетных мероприятий, неделя семестра	Учебно-методическое обеспечение*
1	Подготовка к выполнению лабораторных работ	Отчет и защита лабораторных работ	1-18	1-11
2	выполнение индивидуальных расчетных заданий	Индивидуальные расчетные задания	7, 10, 17	6,8
3	Подготовка к сдаче коллоквиумов	Коллоквиум	18	1-11
4	Подготовка к решению контрольной работы	Контрольная работа	13	8
5	Подготовка к сдаче теста	Тест	15	1-8
6	Подготовка к сдаче зачета	Зачет	18	1-11

* список литературы

Темы рефератов

1. Основные языки программирования (исторический обзор).

2. Решение задач массопереноса в химии.

3. Статистическая обработка экспериментальных данных.

4. Параллельное и последовательное программирование.

5. Элементы кластерного решения химических задач.

6. Основные пакеты программ для квантово-химического моделирования.

Задание контрольной работы

Контрольная работа проводится по 12 вариантам. Задания отличаются массивами экспериментальных точек и заданными в условии задач экстраполирующими функциями.

Пример Варианта:

Карточка №1

1. Методом МНК (по формуле) найти параметры линейной зависимости при значениях X[1 2 3 4 5] и Y[1.1 3.2 3.8 5.7 7.4].

2. Методом МНК (по формуле) найти параметры линейной зависимости при значениях X[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5] и Y[1.1 1.2 1.4 1.1 1.4].

3. Определить параметры функции y=f(x)=exp(к1*x(i))+к2*x(i)2+к3*x(i)+к4, наилучшим образом описывающим экспериментальную зависимость х = [1 2 3 4 5 6]; y = [1.1 3.2 3.8 5.7 7.4 9], построить график, сделать комментарии к программе

Вопросы к коллоквиуму и зачету

1. Алгоритм. Языки низкого и высокого уровня.

2. Математическая модель.

3. Эмпирические, феноменологические и детальные модели.

4. Параметры модели. Прямая и обратная задачи.

5. Виды и цели математического моделирования. Моделирование как способ проверки гипотез.

6. Обработка данных эксперимента как решение обратной задачи математического моделирования.

7. Особенности выполнения вычислений на ЭВМ. Диапазон и точность представления чисел.

8. Поиск минимума функции одной переменной. Методы золотого сечения и квадратичной интерполяции.

9. Минимизация функции нескольких переменных: метод прямого поиска Хука - Дживса, метод скорейшего спуска, метод Ньютона.

10. Частный случай минимизации суммы квадратов: метод Гаусса - Ньютона.

11. Обработка данных методом наименьших квадратов (МНК). Линейный МНК.

12. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): решение задачи Коши.

13. Понятие устойчивости решения. Явные и неявные схемы интегрирования (на примере метода Эйлера).

14. "Жесткие" уравнения. Количественный критерий жесткости. Общее представление о принципах построения методов для интегрирования жестких систем ОДУ.

15. Скорость реакции, константа скорости реакции, порядок реакции.

16. Реакции нулевого, первого и второго порядка.

17. Кинетический анализ сложной химической реакции с учетом массо и теплообмена с окружающей средой.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1 Информатика: Учебник / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. – М.: Финансы и статистика. – 1997. – 768 с.

2. Самарский, А. А. Численные методы. / А. А. Самарский, А. В. Гулин – М.: Наука. – 1989. – 429 с.

3 Банди, Б. Методы оптимизации: Вводный курс. / Б. Банди – М.: Радио и связь. – 1988. – 154 с.

4. Аладьев, В. З. Основы информатики. Учебное пособие. Издание 2-е. / В.З. Аладьев, Ю.Л. Хукон. –М.: – 1999. – 544 с.

5. Брич, З. С. Фортран 77 ЕС ЭВМ/3. / З. С. Брич, О. Н. Гулецкая, Д. В. Капилевич и др. – М.: Финансы и статистика. – 1989. – 351 с.

6 Дьяконов, В. MATLAB 6: учебный курс. / В. Дьяконов – СПб.: Питер. – 2001. – 592 с.

7. Каймин, В.А. Основы компьютерной технологии. В. А. Каймин – М.: Финансы и статистика. – 1992. – 245 c.

8 Кригер, В. Г. Численные методы и программирование. Методическое пособие для студентов химического факультета КемГУ/ В. Г. Кригер, А. В. Каленский, М. В. Ананьева, Боровикова А. П., Звеков А. А. – Кемерово: КемГУ. – 2008. – 63 с.

б) дополнительная литература:

9 Джонсон, К. Численные методы в химии. / К. Джонсон – М.: Мир. – 1983. – 503 с.

10 Александров, В. В. Информатика: энциклопедический словарь для начинающих / В. В. Александров, А. В. Анисимов и др. – М.: Педагогика. – 1994. – 349 с.

11 Калиткин, Н. Н. Численные методы. Учебное пособие для вузов / Н. Н. Калиткин, А. А. Самарский. – М.: Наука. – 1978. – 512 с.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Учебная дисциплина «Компьютерное моделирование» обеспечена учебно-методической документацией и материалами, указанными в разделе 7 данной рабочей программы. Ее содержание представлено в сети Интернет и сети КемГУ, компьютерным классом (в стандартной комплектации) для проведения теоретических лабораторных работ, решения контрольной работы, выполнение индивидуальных расчетных заданий и тренинга студентов по прохождению тестовых заданий и самостоятельной работы, доступом к сети Интернет (во время самостоятельной подготовки).

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 020100-химия

Приложение

1.Используемые сокращения.

МНК – метод наименьших квадратов;

ОДУ – обыкновенных дифференциальных уравнений;

ДУЧП – дифференциальные уравнения в частных производных;

ГОУ – государственное образовательное учреждение;

ВПО – высшее профессиональное образование;

ООП – основная образовательная программа;

ФГОС – федеральный государственный образовательный стандарт;

ОК – общекультурные компетенции;

Пк – профессиональные компетенции.

2.Некоторые компетентностные характеристики, формируемые при изучении дисциплины «компьютерное моделирование».

Согласно требованиям ФГОС ВПО (проект) по направлению подготовки 020100, квалификация «бакалавр» выпускник должен обладать рядом общекультурных и профессиональных компетенций. При изучении дисциплины «компьютерное моделирование» «АХ», модуль «ЭМА» формируются следующие компетенции:

ОК-6 – использование основных законов естественно-научных дисциплин, применение методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;

ОК-7 – умеет работать с компьютером на уровне пользователя и способен применять навыки работы с компьютерами как в социальной сфере, так и в области познавательной и профессиональной деятельности;

ОК-8 – способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны;

ОК-9 – владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией;

ОК-12 – владеет одним из иностранных языков (преимущественно английским) на уровне чтения научной литературы и навыков разговорной речи;

ОК-13 – настойчив в достижении цели с учетом моральных и правовых норм и обязанностей.

ОК-14 – умеет работать в коллективе, готов к сотрудничеству с коллегами, способен к разрешению конфликтов и социальной адаптации

Освоивший дисциплину выпускник

- владеет методами регистрации и обработки результатов химических экспериментов (ПК-8).

Авторы

Кригер В.Г.

Каленский А.В.

Звеков А.А.

Рецензент (ы) _________________________

Рабочая программа дисциплины
обсуждена на заседании кафедры

Протокол №

от «

201

г.

Зав. кафедрой ________________________ Захаров Ю.А.
(подпись)

Одобрено методической комиссией факультета