Уроки 3 Математическое моделирование Модель задачи

1. Модель задачи,
   

Пусть вам надо решить какую-либо задачу, и вы хотите воспользоваться для этого помощью ЭВМ. С чего начать? Прежде всего, нужно разобраться, что дано, что требуется получить, как связаны исходные данные и результаты. Предположения, которые позволяют в море информации об изучаемом явлении или объекте выудить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом, называют моделью задачи.

2. Понятие математической модели.

В моделировании есть два различных пути. Модель может быть копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Например, это игрушечный кораблик, самолетик, домик из кубиков и множество других известных вам натурных моделей. Модель может отображать реальность в абстрактной форме. В таком случае почти всегда привлекаются средства математики, и мы имеем дело с математической моделью.

Математическая модель выражает существенные черты, объекта или процесса языком уравнений и других математических средств.

Собственно говоря, в историческом аспекте сама математика обязана своим существованием тому, что пыталась отражать, т. е. моделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

Под математической моделью понимают систему математических соотношений — формул, уравнений, неравенств и т. д., отражающих существенные свойства объекта или процесса.

Математическое моделирование в наше время гораздо более всеобъемлюще, нежели моделирование натурное. Математический аппарат для моделирования объектов и процессов реального мира ученые использовали очень давно, но огромный толчок математическому моделированию дало появление ЭВМ, которые сегодня помогают в этой деятельности. Использование математического моделирования — это самый общий метод научных исследований.

При математическом моделировании исследование объекта осуществляет­ся посредством изучения модели, сформулированной на языке математики с использованием тех или иных методов.

Простой пример. Представьте себе, что нужно определить площадь поверхно­сти письменного стола. Как обычно поступают в таком случае? Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект — поверхность стола — заменяется абстрактной математиче­ской моделью — прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и считается искомой величиной.

Как видите, из всех свойств стола мы выделили три: форму поверхности (пря­моугольник) и длины двух сторон. Для нас не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как стол используется. (Если бы мы решали другую задачу о столе, например, сколько стоит его изготовление, то возможно, для нас важна была бы как раз эта информация.)

Предположив, что поверхность стола — прямоугольник, мы легко указываем исходные данные и результат. Они связаны соотношением S=a*b.

Сделанное предположение позволило «перевести» нашу задачу на язык чисел:

и исходные данные, и результат — числа, а соотношение между ними задается математической формулой.

Анализировать математические модели проще и быстрее, чем эксперименталь­но определять поведение реального объекта. Кроме того, анализ математической модели позволяет выделить наиболее существенные свойства данного объекта (про­цесса), на которые надо обратить особое внимание при принятии решения.

3. Этапы решения задач на компьютере.

1. Постановка задачи — точная формулировка условий и целей решения, опи­сание наиболее существенных свойств объекта.

2. Построение математической модели — описание наиболее существенных свойств объекта с помощью математических формул.

3. Разработка алгоритма.

4. Запись алгоритма на языке программирования.

5. Отладка и тестирование программы на компьютере.

6. Анализ полученных результатов.

Решение задачи с помощью ЭВМ начинается с точной формулировки условий и целей решения, описания наиболее существенных свойств объекта с помощью мате­матических формул. Для того чтобы ЭВМ произвела необходимые вычисления и получила ответ, нужно составить для нее четкую инструкцию, строго указать необ­ходимую последовательность действий, т. е. составить алгоритм решения задачи. Далее необходимо провести вычислительный эксперимент: составить программу, провести вычисления на ЭВМ, а также получить и проанализировать результаты.

Ведь сколько бы свойств мы ни учитывали, модель всегда основана на некото­ром упрощении, и трудно быть абсолютно уверенным, что модель соответствует реальной задаче. Такую уверенность можно обрести, лишь сопоставив результаты расчетов с экспериментальными фактами, теоретическими воззрениями и другой информацией об изучаемом объекте.

При этом может возникнуть необходимость уточнить математическую модель. Тогда исправляют алгоритм, проводят расчеты на ЭВМ и анализируют результаты. Так продолжается до тех пор, пока анализ результатов не покажет их приемлемое соответствие знаниям об объекте.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что такое математическое моделирование?

2. Дайте определение математической модели.

3. Перечислите этапы решения задачи на компьютере.

Задача 1

На научный семинар собрались ученые и обменялись друг с другом визитными карточками. Всего было роздано 210 визитных карточек. Сколько ученых приеха­ло на семинар, если известно, что их было не более 20?

Решение. Постановка задачи.

Пусть х — количество ученых, приехавших на семинар. Так как в процессе обмена каждый раздает по одной карточке всем, кроме себя, то он раздаст (х — 1) карточку. Следовательно, всего будет роздано п = х • (х — 1) карточек.

Математическая модель.

п = х(х - 1),

n =210,

х<=20,

х>=2,

х — целое.

Компьютерный эксперимент.

	А	В	С
1	Количество участников (х)	?
2
3	Количество карточек (п)	=В1*(В1-1)

Начнем эксперимент, последовательно вводя в ячейку В1 числа 2, 3, 4 и т. д. В результате проведенного эксперимента получим ответ: 15 человек.

Анализ полученных результатов.

Проверим результат, решив уравнение

х(х- 1) = 210.

х² -х- 210=0.

x=15; -14.

Удовлетворяющий условию задачи корень уравнения х = 15.

Ответ. 15 человек.

Задача 2 (для самостоятельного решения).

Участники шахматного турнира после окончания очередной партии обменива­лись друг с другом рукопожатиями. Всего сыграно 210 партий, значит, 210 раз противники жали друг другу руки. Сколько человек принимали участие в турнире, если каждый сыграл по одному разу со всеми остальными и известно, что участни­ков было не более 30?

Решение.

Указание. Данную задачу следует решать, используя таблицу задачи 2, испра­вив содержимое ячейки ВЗ.

Математическая модель.

Пусть п — количество рукопожатий, х — количество участников. Тогда

n=х(х-1)/2,

n =210,

х<=30,

х>=2,

х — целое.

Ответ. 21 человек.

Задача 3

Знаменатель правильной дроби на 2 больше числителя. Если числитель увели­чить в 5 раз, а к знаменателю прибавить 5 и сократить дробь, то в результате получится 3/2 . Найти исходную дробь.

Решение.

Постановка задачи.

Пусть х — числитель исходной дроби. Тогда

х + 2 — знаменатель исходной дроби,

х • 5 — новый числитель,

(х+2)+5=х+7 — новый знаменатель.

Так как по условию задачи новая дробь после сокращения равна 3/2 , составляем уравнение:

5х / х+7=3/ 2

Математическая модель.

5х / х+7=3 /2

х — целое.

Компьютерный эксперимент.

Реализуем нашу модель в ЭТ.

	А	В	С	d
1	Модель задачи	Дроби
2	Числитель	?	Новый числитель	=В2*5
3	Знаменатель	=В2+2	Новый знаменатель	=ВЗ+5
4
5	Проверка	=dЗ*3	=d2*2

В математической модели уравнение представляет собой пропорцию. Воспользу­емся основным свойством пропорции — произведение крайних членов равно произведению средних членов, т. е. 5х • 2 = (х + 7) • 3.

В ячейке В5 записано произведение средних членов, в ячейке С5 — произведение крайних членов. Решение задачи сводится к подбору в ячейке В2 такого числа, чтобы значения выражений в ячейках В5 и С5 совпадали. Как только это произойдет, ответ задачи получим в ячейках В2 и ВЗ.

	А	В	С	d
1	Модель задачи	Дроби
2	Числитель	3	Новый числитель	15
3	Знаменатель	5	Новый знаменатель	10
4
5	Проверка	30	30

Анализ полученных результатов.

Проверить правильность нашей модели можно, решив линейное уравнение

5х • 2 = (х + 7) • 3,

10х = Зх + 21,

7х=21.

х = 3 — это числитель исходной дроби, тогда ее знаменатель равен 5, т. е. исходная дробь 3/5 Ответ.3 /5

Задача 4

Через иллюминатор затонувшего корабля требуется вытащить сундук с драго­ценностями. Удастся ли это сделать?

Решение.

Постановка задачи. Математическая модель.

Иллюминатор корабля имеет форму круга. Будем считать, что сундук имеет форму параллелепипеда. Чтобы вытащить сундук, необходимо, чтобы диаметр иллюминатора был больше любой из трех диагоналей поверхности сундука.

Пусть г — радиус иллюминатора,

а, b, с — размеры сундука,

d1, d2, d3 — диагонали боковых поверхностей сундука.

Сундук можно вытаскивать через иллюминатор одной из трех боковых граней, следовательно, достаточно, чтобы диагональ иллюминатора оказалась меньше од­ной из трех диагоналей граней сундука, т. е. должно быть истинно хотя бы одно из условий:

ЕСЛИ((2*R>КОРЕНЬ(а*а + b*b)); 1; 0)

ЕСЛИ((2*R>KОРЕНЬ(а*а + с*с)); 1; 0)

ЕСЛИ((2*R>KОРЕНЬ(с*с + b*b)); 1; 0)

Компьютерный эксперимент.

В таблице находим сумму трех условий. Если сумма равна 0, делаем вывод «Со­кровища недоступны» иначе «Сокровища доступны».

Задача о сокровищах 1
Исходные данные
Радиус иллюминатора		20
Длина сундука		60
Ширина сундука		50
Высота сундука		40
Расчет
Промежуточные расчеты					Расчет
Радиус	Длина сундука		Ширина сундука	Высота сундука
20	60		50	40	0
					0
					0
				СУММА	0
				ОТВЕТ:	СОКРОВИЩА НЕДОСТУПНЫ

Задача о сокровищах 2
Исходные данные
Радиус иллюминатора	20
Длина сундука	60
Ширина сундука	50
Высота сундука	40
Расчет
Промежуточные расчеты				Расчет
Радиус	Длина сундука	Ширина сундука	Высота сундука
20	25	25	40	1
				0
				1
			СУММА	2
			ОТВЕТ:	СОКРОВИЩА ДОСТУПНЫ