Конспект лекций Математические методы и модели в экономике

Вид материала

Конспект

Содержание 2. Технологическая матрица и ее свойства. Технологической матрицей 3. Балансовое уравнение Леонтьева. Матрицей конечного продукта X=AX+Y (13) Решим систему (13) относительно Х. X-ax= еx-ax=(е-а)х 4. Продуктивность технологической матрицы. Если технологическая матрица А такова, что сумма элементов каждой строки не превосходит единицы и хотя бы для одной строки строг 5. Матрица полных затрат продукции. А продуктивна, то существует неотрицательная матрица полных затрат продукции В 6. Косвенные затраты. С можно выразить следующей формулой: С=A 7. Матрица прямых затрат ресурсов. W=RBY (30) Произведение матриц RB 8. Оптимизация конечного выпуска. 9. Учет изменения конечного выпуска.

Подобный материал:

• Рабочей программы учебной дисциплины математические методы и модели в экономике уровень, 37.32kb.
• Конспект лекций Математические методы и модели в экономике, 70.21kb.
• Конспект лекций Математические методы и модели в экономике, 153.92kb.
• Конспект лекций Математические методы и модели в экономике, 109.92kb.
• Конспект лекций Математические методы и модели в экономике, 52.86kb.
• Программа дисциплины «математические модели в экономике» Для направления, 156.79kb.
• Конспект лекций Математические методы и модели в экономике, 46.08kb.
• Учебная программа по дисциплине Математические методы и модели в управлении для специальности, 79.82kb.
• Программа производственной практики специальность: 080116. 65 Математические методы, 63.49kb.
• Магистерской программы «Математические методы в экономике» реализуемой на кафедре №31, 26.25kb.

Дмитриев Н.П. (НЭПИ). Конспект лекций


Математические методы и модели в экономике

Балансовые модели


Введение


Балансовые модели начали применяться в нашей стране еще в начале прошлого века. В середине 30-тых годов теория балансовых моделей была разработана американским ученым русского происхождения В.В.Леонтьевым. Однако отсутствие мощной вычислительной техники не позволило распространить балансовый метод в практику экономических вычислений в те годы. С появлением достаточно производительных ЭВМ в 60-тых годах работа по использованию балансовых моделей в экономике возобновилась. Большая заслуга в разработке новых балансовых моделей и внедрении их в практику принадлежит академикам В.С.Немчинову и А.Н.Ефимову. Балансовые модели широко применяются во многих странах мира в задачах экономического анализа, планирования и прогнозирования.


1. Таблица межотраслевого баланса. Модель межотраслевого баланса является основой многих линейных моделей производства. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из n отраслей, причем каждая отрасль производит только один продукт. В настоящее время под отраслью понимают экономическую абстракцию, не обязательно существующую реально в виде каких-то организационных форм, например, в виде треста, объединения и т.д. Такая идеализация позволяет провести достаточно подробный анализ сложившейся технологической структуры производства и распределения продукции.

Обозначим через x_ij (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, n) величину межотраслевых потоков, т.е. объем продукции i-той отрасли, используемой j-той отраслью, через x_j объем валового продукта j-той отрасли. Через y_i обозначим величину конечного продукта. Под конечной продукцией будем понимать продукцию, не подлежащую дальнейшей переработке, т.е. не предназначенную на текущее производственное потребление. Конечная продукция включает предметы личного и общественного непроизводственного потребления, а также инвестиционные средства. Через s_j обозначим величину условно-чистого продукта. Условно-чистая продукция включает амортизацию, оплату труда, прибавочный продукт. Эти величины заносятся в таблицу межотраслевого баланса.

Потребители Производители	1 2 n	Конечный выпуск	Валовой выпуск
1 2 .. n	x11 x12 x1n x 21 x22 x2n . . . . . . . . . . . . . . . . . x n1 xn2 xnn	y1 y2 yn	x1 x2 xn
Условно-чистый выпуск	s1 s2 sn	Σ	Σ
Валовой выпуск	x1 x2 xn	Σ

В зависимости от единиц измерения различают натуральный и стоимостной межотраслевой баланс.

Каждая строка этой таблицы соответствует балансу по производству, а именно, объем производства данного вида продукции складывается из текущего производственного потребления и конечного продукта. Система балансовых уравнений по производству имеет вид:

x₁₁ + x₁₂ + . . . + x_1n + y₁ = x₁

x₂₁ + x₂₂ + . . . + x_2n + y₂ = x₂ (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

x_n1 + x_n2 + . . . + x_nn + y_n = x_n

Каждый столбец этой таблицы соответствует балансу по потреблению, а именно, потребление отрасли складывается из затрат промежуточных продуктов и условно-чистой продукции. Система балансовых уравнений по потреблению имеет вид:

x₁₁ + x₂₁ + . . . + x_n1 + s₁ = x₁

x₁₂ + x₂₂ + . . . + x_n2 + s₂ = x₂ (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

x_1n + x_2n + . . . + x_nn + s_n = x_n

Развернутые системы линейных алгебраических уравнений (1) и (2) можно представить в следующей сокращенной форме:





В замкнутой экономической системе суммарный объем производства равен суммарному объему потребления. Таким образом,



Из этого соотношения сразу же вытекает следующее равенство:



Равенство (6) означает, что суммарный объем конечного продукта равен суммарному объему условно-чистого продукта.

2. Технологическая матрица и ее свойства. Сделаем предположение, что затраты отрасли пропорциональны ее объему производства:

x_ij=a_ijx_j (i, j=1, 2, …, n) (7)

Коэффициенты пропорциональности a_ij называются коэффициентами прямых затрат. Экономический смысл коэффициентов прямых затрат состоит в следующем: для производства j-той отраслью единицы j-того продукта требуется a_ij≥0 единиц i-того продукта, производимого i-той отраслью.

После подстановки (7) в (1) получаем:



В развернутой форме система (8) выглядит так:



Система (8) или (9) называется математической моделью межотраслевого баланса производства продукции. Из этой системы, например методом Жордана-Гаусса, можно рассчитать объем валового выпуска продукции каждой отрасли по известным коэффициентам прямых затрат и конечной продукции.

Технологической матрицей (матрицей прямых затрат продукции) называется матрица, составленная из коэффициентов прямых затрат:



Матрица А представляет собой сложившуюся структуру межотраслевых связей, существующую технологию общественного производства. Если сравнить технологические матрицы через определенные промежутки времени, то можно проследить направления изменения и развития технологии.

Свойства коэффициентов технологической матрицы:

1.

2.

Первое свойство вытекает из определения коэффициентов прямых затрат продукции. В самом деле, величина межотраслевого потока x_ij не может превосходить величину валового выпуска x_j, поэтому 0≤x_ij=a_ijx_j≤x_j, откуда и следует первое свойство.

Второе свойство вытекает из следующих соображений. Рассмотрим равенство (4)



и заменим в нем все межотраслевые потоки выражениями через коэффициенты прямых затрат по формулам (7). Получаем



После вынесения x_j за скобку имеем



Учитывая, что s_j>0, приходим к неравенству



откуда и следует требуемое свойство. Требование положительности условно-чистой продукции s_j>0 является естественным, т.к. одной из ее составляющих является заработная плата.

Если бы имело место противоположное неравенство, т.е.



то это бы означало, что затраты всех отраслей экономической системы на 1 рубль произведенной продукции составляют сумму, превосходящую 1 рубль. Такое производство нельзя считать рентабельным.

Итак, в силу свойства 2 сумма элементов каждого столбца технологической матрицы меньше единицы.

3. Балансовое уравнение Леонтьева. Матрицей валового выпуска называется вектор-столбец, составленный из величин валовых выпусков продукции каждой отрасли:



Матрицей конечного продукта называется вектор-столбец, составленный из величин конечной продукции каждой отрасли:



С учетом обозначений (10) –(12) система (9) примет следующую матричную форму:

X=AX+Y (13)

Решим систему (13) относительно Х. Для этого перепишем ее так:

X-AX=Y (14)

Вынесем матрицу Х за скобку. Для этого учтем, что Х=ЕХ, где Е - единичная матрица того же размера. Далее получаем

X-AX= ЕX-AX=(Е-А)Х

Таким образом,

(Е-А)Х=Y (15)

Уравнение (15) носит название балансового уравнения Леонтьева.

Всегда ли существует решение уравнения (15)? Для ответа на этот вопрос введем понятие продуктивности матрицы.

4. Продуктивность технологической матрицы. Матрица А называется продуктивной, если найдется такой вектор-столбец Х>0, для которого выполняется неравенство

AX (16)

Если А – технологическая матрица, то



Такая матрица выражает совокупные затраты в сфере производства. Неравенство (16) в этом случае означает, что существует вектор-столбец Х валового выпуска продукции отраслей рассматриваемой экономической системы, при котором каждого продукта выпускается больше, чем затрачивается на его производство. Следовательно, при такой технологии создается положительный прибавочный продукт X-AX, т.е. конечная продукция Y каждой отрасли.

На практике для проверки технологической матрицы на продуктивность удобно использовать следующий достаточный признак.

Если технологическая матрица А такова, что сумма элементов каждой строки не превосходит единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы,



то матрица А продуктивна.

В справедливости неравенства (17) можно убедиться, например, положив в системе (9) x₁=x₂= … =x_n=1. Тогда



и с учетом того, что y_i≥0, приходим к (17).

Так, матрица



продуктивна, а матрица



не является продуктивной. Однако обе матрицы не являются технологическими, так как сумма элементов второго столбца этих матриц не меньше единицы. Примером продуктивной технологической матрицы может служить матрица



Экономический смысл достаточного условия (17) состоит в следующем. Каждый элемент матрицы прямых затрат продукции показывает, какова стоимость продукции i-ой отрасли, расходуемой j-той отраслью в расчете на 1 рубль своей продукции. В этом случае величина



выражает суммарную величину расхода продукции i-той отрасли всеми отраслями при условии, что каждая их них выпускает объем продукции стоимостью 1 рубль. Условие r_i<1 (i=1,2,…n) означает, что i-тая отрасль способна удовлетворить запросы всех отраслей данной экономической системы.

5. Матрица полных затрат продукции. Из матричного уравнения (15) можно легко найти искомый вектор Х. Для этого обе его части умножим слева на матрицу (Е-А)^-1. Получаем

(Е-А)^-1 (Е-А)Х=(Е-А)^-1Y

Как известно, произведение взаимно обратных матриц дает единичную матрицу. А именно,

(Е-А)^-1 (Е-А)=Е.

Следовательно, ЕХ=(Е-А)^-1Y или

Х=(Е-А)^-1Y (20)

Матрицей полных затрат называется матрица

В=(Е-А)^-1 (21)

С помощью этой матрицы уравнение (20) запишется так:

X=BY (22)

В развернутой форме уравнение (22) примет вид:



Итак, зная матрицу полных затрат и матрицу конечной продукции, можно найти матрицу валовой продукции.

Имеет место следующее представление матрицы полных затрат продукции В в виде матричного ряда по степеням продуктивной технологической матрицы А:

B=E+A+A²+A³+…+Aⁿ+… (24)

Равенство (24) вытекает из следующих соображений. Справедливо следующее матричное равенство

(Е-А)(Е+А+А²+А³+…+А^n-1)=E-Aⁿ

Оно легко проверяется с помощью известных свойств матриц. Переходя здесь к пределу при n→∞ и используя очевидное предельное равенство

,

получаем

(Е-А)(Е+А+А²+А³+…+А^n-1…)=E

Из этого равенства следует, что матричный ряд Е+А+А²+А³+…+А^n-1… представляет собой матрицу, обратную по отношению к матрице Е-А. Таким образом,

E+A+A²+A³+…+Aⁿ+…=(Е-А)^-1 (25)

что и доказывает равенство (24).

Замечание. Матричное равенство (24) напоминает известное в математике равенство, выражающее сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии



Итак, если технологическая матрица А продуктивна, то существует неотрицательная матрица полных затрат продукции В, и, следовательно, балансовое уравнение Леонтьева (15) имеет решение.

Свойства коэффициентов матрицы полных затрат продукции:

1.

2.

Эти свойства немедленно вытекают из представления (24) матрицы полных затрат продукции в теореме 2. В частности, свойство 2 означает, что все элементы главной диагонали матрицы полных затрат продукции больше единицы.

Каков экономический смысл матрицы полных затрат?

Предположим, что произведена лишь одна единица конечной продукции первой отрасли, т.е.



Найдем, сколько продукции должна произвести каждая из отраслей, чтобы обеспечить выпуск лишь одной единицы конечной продукции первой отрасли. Подставим эти значения в систему (23). Тогда получим



В правой части этой системы стоят элементы первого столбца матрицы полных затрат продукции В. Они показывают количество валовой продукции, которое должна произвести каждая из отраслей, чтобы получить только одну единицу конечной продукции первой отрасли.

Далее предположим, что произведена лишь одна единица конечной продукции второй отрасли, т.е.



Найдем, сколько продукции должна произвести каждая из отраслей, чтобы обеспечить выпуск лишь одной единицы конечной продукции второй отрасли. Подставим эти значения в систему (23). Тогда получим



В правой части этой системы стоят элементы второго столбца матрицы полных затрат продукции В. Они показывают количество валовой продукции, которое должна произвести каждая из отраслей, чтобы получить только одну единицу конечной продукции второй отрасли.

Рассуждая по аналогии, можно выяснить экономический смысл других столбцов матрицы полных затрат продукции.

Итак, коэффициенты b_ij матрицы полных затрат продукции показывают потребность в валовой продукции i-той отрасли для производства единицы конечной продукции j-той отрасли.

6. Косвенные затраты. Полные затраты на производство продукции подразделяются на прямые и косвенные. Прямые затраты выражают количество средств производства, израсходованных непосредственно на производство продукции, а косвенные затраты выражают количество средств, относящихся к предшествующим стадиям производства.

В качестве примера рассмотрим затраты электроэнергии на производство проката. Количество электроэнергии, непосредственно израсходованное на прокатном стане, представляет собой прямые затраты. В процессе производства проката, кроме электроэнергии, используются сталь и другие средства производства, на выпуск которых также необходима электроэнергия. Далее, на выплавку стали расходуется определенное количество электроэнергии и чугуна. Для производства чугуна нужна руда и снова электроэнергия и т.д. Затраты электроэнергии при производстве стали представляют собой прямые затраты, но эти же затраты при производстве проката являются косвенными затратами первого порядка. Затраты электроэнергии при производстве чугуна представляют собой прямые затраты, но эти же затраты при производстве стали являются косвенными затратами первого порядка, а при производстве проката – косвенными затратами второго порядка.

Из матричного равенства (24) в теореме 2 следует, что косвенные затраты С можно выразить следующей формулой:

С=A²+A³+…+Aⁿ+… (26)

Таким образом, равенство (24) можно выразить так:

B=E+A+C (27)

Численный подсчет коэффициентов косвенных затрат можно осуществить по дереву затрат. Такое дерево неограниченно разветвляется, однако на практике ограничиваются лишь косвенными затратами первого или второго порядков.

7. Матрица прямых затрат ресурсов. Балансовая модель Леонтьева отражает потенциальные возможности, которые заложены в технологии экономической системы. Кроме внутрисистемного обеспечения технологического процесса, заключающегося в потреблении части продукции на производственные нужды, имеет место также потребление производственных ресурсов, не производящихся в системе.

Под ресурсами будем понимать необходимые по технологии данного производства продукты, которые непосредственно в системе не производятся. Обычно выделяют следующие типы ресурсов: сырье и материалы, комплектующие изделия, оборудование, трудовые ресурсы. Эти ресурсы используются в разной степени и отражают уровень зависимости экономической системы от внешней среды.

Пусть общее число разновидностей используемых ресурсов равно m. Обозначим через r_ij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) норму прямого использования i-того ресурса при производстве единицы продукции j-той отрасли. Матрица R, составленная из элементов r_ij, называется матрицей прямых затрат ресурсов:



Обозначим через W m-мерный вектор, выражающий потребность в ресурсах, и сделаем предположение, что уровень расхода ресурсов пропорционален уровню валового выпуска. Тогда

W=RX (29)

или



Заменим в (30) вектор Х через Y по формуле (22):

W=RBY (30)

Произведение матриц RB обозначим S

S=RB (31)

и назовем матрицей полных затрат ресурсов. Таким образом,

W=SY (32)



Из равенства (32) можно сделать следующий вывод об экономическом смысле коэффициентов матрицы полных затрат ресурсов: коэффициент s_ij выражает норму затрат i-того ресурса при производстве единицы конечной продукции j-той отрасли. На практике более часто исходят из необходимого уровня именно конечного выпуска продукции, предназначенной для отгрузки потребителям, а не валового выпуска. Необходимый конечный выпуск определяется на основе маркетинговых исследований и договоров на поставку продукции. При достаточной емкости рынка проводится оптимизация конечного выпуска по различным критериям.

Обозначим через С вектор цен ресурсов



Тогда себестоимость z_j (j=1,2,…,n) конечной продукции j-той отрасли можно выразить как суммарную стоимость полных затрат ресурсов на единицу конечной продукции по формуле:

z _j=c₁s_1j+c₂s_2j+…+c_ms_mj (j=1,2,…,n) (33)

В матричной форме систему (33) можно представить так:

Z=S^TC (34)

где S^T – матрица, транспонированная по отношению к матрице S.

8. Оптимизация конечного выпуска. С учетом производственных возможностей экономической системы, цен на ресурсы и оптовых цен на продукцию целесообразно проводить оптимизацию конечного выпуска продукции. Обозначим через Р вектор оптовых цен на продукцию:



Тогда прибыль с единицы конечной продукции можно определить как разность между оптовыми ценами и себестоимостью:

D=P-Z (35)

или



Далее обозначим через В вектор производственных возможностей системы:



Тогда ограничения на конечный выпуск продукции можно записать в виде матричного неравенства

SY≤B (36)

или в развернутой форме



Перемножая скалярно вектора D и Y, приходим к суммарной прибыли от реализации всей конечной продукции:

F=(D,Y)=d₁y₁+d₂y₂+ … d_ny_n (38)

Функцию F можно принять в качестве целевой функции, подлежащей максимизации.

Таким образом, оптимизация конечного выпуска свелась к типичной задаче линейного программирования:



9. Учет изменения конечного выпуска. Как изменится объем валового выпуска продукции при изменении конечного выпуска? Для ответа на этот вопрос введем в рассмотрение два вектор-столбца. Обозначим через Y^* оптимизированный вектор конечной продукции:



а через ∆Y – вектор изменений конечной продукции по сравнению с плановым вектором Y:



Следовательно,



Изменение вектора конечной продукции на ∆Y повлечет изменение вектора валовой продукции на некоторую величину ∆X:



Как найти оптимизированную величину X^*



валового выпуска продукции?

Уравнение (22) относительно оптимизированных величин X^* и Y^* примет вид

X^*=BY^*

или

X+∆X=B(Y+ ∆Y)

Раскрывая скобки, получаем

X+∆X=BY+В ∆Y

В силу уравнения (22) относительно плановых величин X и Y приходим к равенству

∆X=В ∆Y (41)

Подставляя (41) в (40), получаем оптимизированный вектор валовой продукции.