О математических методах теории принятия решений рогов С. Ф

Вид материала

Содержание

Общая схема выбора решений из множества альтернатив.
Можно показать, что схема выбора на частично
Показатель определенности решения для схем выбора.

Подобный материал:

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Рогов С.Ф.

Московская финансово-юридическая академия

Введение

Изначально математика имела своей целью изучение возможностей использования методов вычислений для нужд общественных: торговли, работ строительных , целей военных .

Времена эллинов характеризуются в этом отношении многими усилиями к отчуждению этих методов от непосредственных потребностей в практической деятельности людей , в том числе возложению на математику попыток решения также проблем мировозрений людей и стараний познания разумом, что называется логического единства окружающего нас мира.

Аксиоматический подход в том числе весьма способствовал развитию этих направлений человеческой деятельности , также фактически безграничным возможностям расширения круга учеников основателей аксиоматического подхода среди многих стран и народов и на многие века.

Сам процесс принятия решений в процессе практической деятельности людей , также, ныне является предметом приложения метода аксиоматического.

В данной работе предлагается некоторый обзор предлагаемых автором схем выбора, также вычислительные методы для их реализации, в том числе дающие возможность достаточно эффективно решать и традиционные задачи поиска глобального экстремума для классов функций на дискретных множествах и для многих действительных переменных, также для функционалов на бесконечномерных пространствах, также многокритериальные задачи математического програмирования.

Общая схема выбора решений из множества альтернатив.

Обобщение аксиомы независимости несвязанных альтернатив для общих решающих схем.

Следующую тройку будем называть общей решающей схемой (Х,Е,) .

Х-генеральная совокупность всех альтернатив, для принятия решения

.Е- система подмножеств , которые могут быть представлены для выбора лицу принимающему решение.

-функция выбора, заданная на системе множеств Е.

(x)=(х+,х-,х0), х+х-=, х-,х+Х,х0=Х\(х-х+). (1.1)

х+ - множество хороших альтернатив из предьявленного подмножества.

х- - множество отвергнутых альтернатив из предьявленного подмножества.

х0 - область неопределенности из предьявленного подмножества.

х-Е-,х0Е0,х+Е+; Е-,Е0, Е+ - системы подмножеств Х.

В частности возможно Е=Е-=Е0=Е+.

Представляют особый интерес решающие схемы, для которых выполняется аксиома, которую мы по аналогии с аксиомой для арбитражных схем [1] будем называть аксиомой независимости несвязанных альтернатив.

Аксиома независимости . Если для решающей схемы (1.1)

~ ~ ~

хх, то х+(х)х+(х)(x\x).

Можно показать, что схема выбора на частично

max

упорядоченном множестве х+(х)=[х], x0= удовлетворяет условию

max

независимости, где множество [х], множество всех максимальных элементов множества х.

Аксиома независимости Нэша [1]для схем выбора, таких, что х+(х) =1 , х0(х)=  состоит в том , что добавление новых альтернатив в предьявленном множестве не меняет предпочтения на старых альтернативах.

~ ~ ~ ~

То есть, если хх, то или х+(х)= x+(x), или х+(х)х.\х . В обеих

~ ~

случаях x+(x)x+(x)(x\x).

Решающая схема в задаче позицирования товара на рыночном сегменте удовлетворяет условию независимости.

Можно показать, что выполнение аксиомы Нэша на дискретных множествах X и если Е- система всех подмножеств Х эквивалентно существованию единого числового показателя эффективности на всей генеральной совокупности альтернатив Х.

Показатель определенности решения для схем выбора.

Если тройка (Х,Е, ) такова, что система Е подмножеств на генеральной совокупности альтернатив Х представляет собой -алгебру (е), еЕ -аддитивная положительная ограниченная функция (мера) .[6].

При этом -алгебра Е согласована со схемой выбора и включает в себя также системы Е,Е+,Е-,Е0, иследуемой решающей схемы(все элементы из Е,Е+,Е-,Е0, также измеримы для (Х,Е, )).

То для каждого выбора х Е определим р=(х+)/(х), q=(х-)/(х)

s,s=p+q назовем показателем определенности решения.

Очевидно, что решение получающееся на основе выбора единственного максимального значения функции действительного переменного обладает максимальным значением определенности решения равным 1.

3.Алгоритмы построения монотонных последовательностей элементов и множеств для задач математического программирования.

Построение монотонной по значениям функций и оценок точности последовательности допустимых значений аргумента целевой функции основная схема алгоритмов нахождения глобального экстремума функций многих переменных с любой заданной по значениям функционалов точностью на дискретных и недискретных множествах, в том для числе метода ветвей и границ и метода построения последовательности планов [2], также см.[3,4].

Предлагаемые в [3,4], процедуры позволяют также производить более полное решение соответствующих задач , основанное на вышеуказаннх схемах выбора среди соответствующиего множества аргументов функции.

Например, для случая единого критерия F(x) на множестве альтернатив Х, можно находить три множества.

Х+={x:xX,F(x)SupF(x)- } Х-={x:xX,F(x) SupF(x)- }, X0=X\(X-+X+).

Cлучай , когда мера множеста Х0 равна 0, соответствует наиболее полному решению такой задачи. Всегда множество Х+ есть множество --оптимальных решений задачи отыскания глобального экстремума функции F(x) на всем множестве Х.

Для случая многих критериев , также как и для задачи определения множества максимальных элементов строятся монотонные последовательности доминирующих множеств . Такие алгоритмы также можно использовать получения вышеуказанных схем выбора среди множества альтернатив.

4.Нахождение глобального экстремума функций многих действительных переменных и приближенных решений операторных уравнений при известной мажоранте на приращение целевой функции.

Приведем пример классов функций, на которых возможно получать монотонные последовательности элементов для получения --оптимальных решений задач глобальной оптимизации функций многих действительных переменных, также получать схемы выбора , согласно вышеуказанным.

Это классы функций с ограниченной мажорантой на приращение функции

F(x)-F(y)K(x-y), в частности.

n

F(x)-F(y)ci*xi-yi.

I=1

F(x)-F(y)max ci*xi-yi, ci0.

in

Показано, что решение задачи возможно для любого 0 и получены оценки трудоемкости алгоритмов решения таких задач , когда множества допустимых элементов ограничено.

Для задачи определения всех комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами используется модификация мажоранты, вида K(х,x-y).

Также получена оценка точности решений на каждом шаге итерации по норме пространства значений многочлена и по норме пространства аргументов и гарантируемая трудоемкость алгоритма в зависимости от требуемой точности .

Рассматриваются оптимальные свойства используемых разбиений. для последовательных и пассивных алгоритмов поиска глобальных экстремумов функций многих действительных переменных.

Литература

Льюис и Райфа “Игры и решения”
Емеличев В.А., Комлик. В.И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. Москва Наука Главная редакция физико-математической литературы. 1981 г.
Ковалев М., С.Ф. Рогов С.Ф. Сложностной аспект метода частичных порядков. Изв АН БССР N 3 Mинск 1987 г.
Рогов С. Ф. Метод построения F- монотонной последовательностей при ассимптотическом подходе к решению линейной оптимизационной задачи и оптимизация на графах. с 19;25) Работы ЦПТБ Агроснаба Госагропрома по разработке и использованию методов решения оптимизационных задач в экономических и производственных целях (сборник) М.1989 г.55 с.библ.в конце статей (Рукопись депонирована во ВНИИТЭИ).

Blog

О математических методах теории принятия решений рогов С. Ф

Содержание

Московская финансово-юридическая академия

Можно показать, что схема выбора на частично

Литература