Математика

Вид материала

Документы

Содержание Некоторые статьи из энциклопедий Математическая лингвистика Знаки математические Знак языковой Знаковые теории языка Неевклидовы геометрии Лобачевского геометрия Риманова геометрия Относительности теория

Подобный материал:

• «Математика. Прикладная математика», 366.03kb.
• Программа подраздела «Философские проблемы математики», 94.9kb.
• Расшифровка : Математика, 146.94kb.
• Программа дисциплины "Математика и информатика" (раздел «Математика») (специальность:, 399.2kb.
• Пангеометризм и математическая мифология, 956.71kb.
• Вопросы к билетам по кандидатскому минимуму для аспирантов математиков по философским, 64.52kb.
• Аннатационная программа дисциплины теория вероятностей, случайные процессы направление, 46.02kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру по магистерской программе «Геометрия, 98.69kb.
• Сафонова Н. В. Что изучает математика?, 135.4kb.
• План Введение Древняя математика Греческая математика Средние века и возрождение Начало, 66.08kb.

Выучиться не значит знать; есть знающие и есть учёные, – одних создаёт память, других – философия.

Философии не научаются; философия есть сочетание приобретённых знаний и высокого ума, применяющего их... (А. Дюма. Граф Монте-Кристо. – аббат Фариа)

МАТЕМАТИКА

(из Энциклопедического словаря юного математика)

Математика – одна из древнейших наук. Дать краткое определение математики совсем не просто, его содержание будет очень сильно меняться в зависимости от уровня математического образования человека. Школьник начальных классов, только приступивший к изучению арифметики, скажет, что математика изучает правила счета предметов. И он будет прав, поскольку именно с этим он знакомится на первых порах. Школьники постарше добавят к сказанному, что в понятие математики входят алгебра и изучение геометрических объектов: линий, их пересечений, плоских фигур, геометрических тел, разного рода преобразований. Выпускники же средней школы включат в определение математики еще изучение функций и действие перехода к пределу, а также связанные с ним понятия производной и интеграла. Выпускников высших технических учебных заведений или естественнонаучных факультетов университетов и педагогических институтов уже не удовлетворят школьные определения, поскольку они знают, что в состав математики входят и другие дисциплины: теория вероятностей, математическая статистика, дифференциальное исчисление, программирование для ЭВМ, вычислительные методы, а также применения названных дисциплин для моделирования производственных процессов, обработки опытных данных, передачи и обработки информации. Однако и тем, что перечислено, не исчерпывается содержание математики. Теория множеств, математическая логика, оптимальное управление, теория случайных процессов и многое другое также входя г в ее состав.

Попытки определить математику путем перечисления составляющих ее ветвей уводят нас в сторону, поскольку не дают представления о том, что же именно изучает математика и каково ее отношение к окружающему нас миру. Если бы подобный вопрос был задан физику, биологу или астроному, то каждый из них дал бы весьма краткий ответ, не содержащий перечисления частей, из которых состоит изучаемая ими наука. Такой ответ содержал бы указание на явления природы, которые она исследует. Например, биолог заявил бы, то биология изучает различные проявления жизни. Пусть этот ответ не вполне закончен, поскольку в нем не говорится, что такое жизнь и жизненные явления, но тем не менее такое определение дало бы достаточно полное представление о содержании самой науки биологии и о разных уровнях этой науки. И это определение не изменилось бы с расширением наших знаний по биологии. Не существует таких явлений природы, технических или социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Каждая естественнонаучная дисциплина: биология и физика, химия и психология – определяется материальной особенностью своего предмета, специфическими чертами той области реального мира, которую она изучает. Сам предмет или явление может изучаться разными методами, в том числе и математическими, но, изменяя методы, мы все же остаемся в пределах данной дисциплины, поскольку содержанием данной науки является реальный предмет, а не метод исследования. Для математики же материальный предмет исследования не имеет решающего значения, важен применяемый метод. Например, тригонометрические функции можно использовать и для исследования колебательного движения, и для определения высоты недоступного предмета. А какие явления реального мира можно исследовать с помощью математического метода? Эти явления определяются не их материальной природой, а исключительно формальными структурными свойствами, и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они существуют.

Итак, математика изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта исследования, которые позволяют применять к нему некоторые операции (суммирование, дифференцирование и др.). Однако значительная часть математических проблем, понятий и теорий имеет своим первичным источником реальные явления и процессы. Например, арифметика и теория чисел выделились из первичной практической задачи-подсчета предметов. Элементарная геометрия имела своим источником проблемы, связанные со сравнением расстояний, вычислением площадей плоских фигур или же объемов пространственных тел. Все это требовалось находить, поскольку необходимо было перераспределять земельные участки между пользователями, вычислять размеры зернохранилищ или же объемы земляных работ при строительстве оборонных сооружений.

Математический результат обладает тем свойством, что его можно не только применять при изучении какого-то одного определенного явления или процесса, но и использовать для исследования других явлений, физическая природа которых принципиально отлична от ранее рассмотренных. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и в технических вопросах, и при решении задач сельского хозяйства, и в научных исследованиях. Арифметические правила были разработаны тысячелетия назад, но прикладную ценность они сохранили на вечные времена. Арифметика представляет собой составную часть математики, ее традиционная часть уже не подвергается творческому развитию в рамках математики, но она находит и будет в дальнейшем находить многочисленные новые применения. Эти применения могут иметь огромное значение для человечества, но вклада собственно в математику они уже не внесут.

Математика, как творческая сила, имеет своей целью разработку общих правил, которыми следует пользоваться в многочисленных частных случаях. Тот, кто создает эти правила, создает новое, творит. Тот, кто применяет уже готовые правила, в самой математике уже не творит, но, вполне возможно, создает с помощью математических правил новые ценности в других областях знания. Например, в наши дни данные дешифровки космических снимков, а также сведения о составе и возрасте горных пород, геохимических и геофизических аномалиях обрабатываются с помощью ЭВМ. Несомненно, что применение ЭВМ в геологических исследованиях оставляет эти исследования геологическими. Принципы же работы ЭВМ и их математическое обеспечение разрабатывались без учета возможности их использования в интересах геологической науки. Сама эта возможность определяется тем, что структурные свойства геологических данных находятся в соответствии с логикой определенных программ работы ЭВМ.

Получили широкое распространение два определения математики. Первое из них было дано Ф. Энгельсом в работе «Анти-Дюринг», другое – группой французских математиков, известной под именем Никола Бурбаки, в статье «Архитектура математики» (1948).

БУРБАКИ Никола – собирательный псевдоним, под которым группа математиков разных стран, преимущественно французских, выступ|ила с попыткой дать систематическое изложение современной математики на основе аксиоматического метода, примерно так, как Евклид систематически изложил математику своего времени в «Началах». Образовалась группа в 1937 из бывших питомцев Высшей нормальной школы. Численность и точный состав группы не разглашался, но известно, что в нее вводили такие известные математики, как А. Вейль, А. Картан, Ж. Дьедонне, К. Шевалье. В многотомном (и далеком от завершения) трактате «Элементы математики», выходящем с 1939, развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу авторов, должна охватить главнейшие разделы математики. Изложение носит сугубо абстрактный характер. Основу изложения составляют т. н. структуры, определяемые посредством аксиом, например: структуры порядка, группы, топологические структуры. Способ рассуждения – от общего к частному. Классификация математики, производимая по типам структур, значительно отличается от традиционной. Деятельность этого коллектива принесла существенные плоды в таких областях математики, как топология, топологическая алгебра, алгебра, теория алгебраических чисел, функциональный анализ и др. Во Франции написано более 40 книг этого трактата. С 1958 отдельные книги трактата начали переводить на русский язык. Задуманный трактат остался незаконченным ввиду того, что группа Бурбаки объявила о прекращении своей деятельности в ноябре 1968.

Книга исторических очерков Бурбаки – ценное введение в историю математики конца 19 в. – первой половины 20 в. На «Семинаре Бурбаки» помимо подготовки трактата заслушивались доклады ученых из разных стран. Бурбаки проявляли также интерес к работе международного общества по изучению и улучшению преподавания математики.

Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это определение не только описывает объект изучения математики, но и указывает его происхождение – действительный мир. Однако определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те ее новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием для ЭВМ. Поэтому определение Ф. Энгельса нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.

Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». Иначе говоря, математику следует определить как науку о математических структурах. Это определение в сущности является тавтологией, поскольку оно утверждает только одно: математика занимается теми объектами, которые она изучает. Другой дефект этого определения состоит в том, что оно не выясняет отношения математики к окружающему нас миру. Более того, Бурбаки подчеркивают, что математические структуры создаются независимо от реального мира и его явлений. Вот почему Бурбаки были вынуждены заявить, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, -это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого... и, быть может, мы их никогда не узнаем».

Из определения Ф. Энгельса не может возникнуть подобного разочаровывающего вывода, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира. Эти понятия берутся из реального мира и с ним связаны. В сущности, именно этим и объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, а вместе с тем и успех процесса математизации знаний. Здесь заслуживает упоминания высказывание В. И. Ленина, помещенное в «Философских тетрадях» и сделанное им в связи с изучением «Науки логики» Гегеля: «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий. законов etc., каковые понятия, законы etc. (мышление, наука – «логическая идея») и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы».

Математика не является исключением из всех областей знания – в ней также образуются понятия, возникающие из практических ситуаций и последующих абстрагировании; она позволяет изучать действительность также приближенно. Но при этом следует иметь в виду, что математика изучает не вещи реального мира, а абстрактные понятия и что логические ее выводы абсолютно строги и точны. Ее приближенность носит не внутренний характер, а связана с составлением математической модели явления. Заметим еще, что правила математики не обладают абсолютной применимостью, для них также существует ограниченная область применения, где они господствуют безраздельно. Поясним высказанную мысль примером: оказывается, что два и два не всегда равно четырем. Известно, что при смешивании 2 л спирта и 2 л воды получается меньше 4 л смеси. В этой смеси молекулы располагаются компактнее, и объем смеси оказывается меньше суммы объемов составляющих компонентов. Правило сложения арифметики нарушается. Можно еще привести примеры, в которых нарушаются другие истины арифметики, например при сложении некоторых объектов оказывается, что сумма зависит от порядка суммирования.

Советские математики рассматривают математические понятия не как создание чистого разума, а как абстракции от реально существующих вещей, явлений, процессов или же абстракции от уже сложившихся абстракций (абстракции высших порядков). В «Диалектике природы» Ф. Энгельс писал, что «... вся так называемая чистая математика занимается абстракциями... все ее величины суть, строго говоря, воображаемые величины...» Эти слова достаточно четко отражают мнение одного из основоположников марксистской философии о роли абстракций в математике. Нам только следует добавить, что все эти «воображаемые величины» берутся из реальной действительности, а не конструируются произвольно, свободным полетом мысли. Именно так вошло во всеобщее употребление понятие числа. Сначала это были числа в пределах единиц, и притом только целые положительные числа. Затем опыт заставил расширить арсенал чисел до десятков и сотен. Представление о неограниченности ряда целых чисел родилось уже в исторически близкую нам эпоху: Архимед в книге «Псаммит» («Исчисление песчинок») показал, как можно конструировать числа еще большие, чем заданные. Одновременно из практических нужд родилось понятие дробных чисел. Вычисления, связанные с простейшими геометрическими фигурами, привели человечество к новым числам – иррациональным. Так постепенно формировалось представление о множестве всех действительных чисел.

Тот же путь можно проследить для любых других понятий математики. Все они возникли из практических потребностей и постепенно сформировались в абстрактные понятия. При этом всегда следует помнить прекрасные слова Ф. Энгельса: «... чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности... Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т.е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого исторического развития, опирающегося на опыт. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры».

Рассмотрим, имеются ли в науке понятия, которые созданы без связи с прошлым прогрессом науки и текущим прогрессом практики. Мы прекрасно знаем, что научному математическому творчеству предшествует изучение многих предметов в школе, вузе, чтение книг, статей, беседы со специалистами как в собственной области, так и в других областях знания. Математик живет в обществе, и из книг, по радио, из других источников он узнает о проблемах, возникающих в науке, инженерном деле, общественной жизни. К тому же мышление исследователя находится под воздействием всей предшествовавшей эволюции научной мысли. Поэтому оно оказывается подготовленным к. решению определенных проблем, необходимых для прогресса науки. Вот почему ученый не может выдвигать проблемы по произволу, по прихоти, а должен создавать математические понятия и теории, которые были бы ценны для науки, для других исследователей, для человечества. А ведь математические теории сохраняют свое значение в условиях различных общественных формаций и исторических эпох. К тому же нередко одинаковые идеи возникают у ученых, которые никак не связаны между собой. Это является дополнительным аргументом против тех, кто придерживается концепции свободного творчества математических понятий.

Итак, мы рассказали, что же входит в понятие «математика». Но существует еще и такое понятие, как прикладная математика. Под ним понимают совокупность всех математических методов и дисциплин, находящих применения за пределами математики. В древности геометрия и арифметика представляли всю математику и, поскольку та и другая находили многочисленные применения при торговых обменах, измерении площадей и объемов, в вопросах навигации, вся математика была не только теоретической, но и прикладной. Позднее, в Древней Греции, возникло разделение на математику и на математику прикладную. Однако все выдающиеся математики занимались и применениями, а не только чисто теоретическими исследованиями.

Дальнейшее развитие математики было непрерывно связано с прогрессом естествознания, техники, с появлением новых общественных потребностей. К концу XVIII в. возникла необходимость (в первую очередь в связи с проблемами навигации и артиллерии) создания математической теории движения. Это сделали в своих работах Г. В. Лейбниц и И. Ньютон. Прикладная математика пополнилась новым очень мощным методом исследования математическим анализом. Почти одновременно потребности демографии, страхования привели к формированию начал теории вероятностей. XVIII и XIX вв. расширили содержание прикладной математики, добавив в нее теорию дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, уравнения математической физики, элементы математической статистики, дифференциальную геометрию. XX в. принес новые методы математического исследования практических задач: теорию случайных процессов, теорию графов, функциональный анализ, оптимальное управление, линейное и нелинейное программирование. Более того, выяснилось, что теория чисел и абстрактная алгебра нашли неожиданные применения к задачам физики. В результате стало складываться убеждение, что прикладной математики как отдельной дисциплины не существует и вся математика может считаться прикладной. Пожалуй, нужно говорить не о том, что математика бывает прикладная и теоретическая, а о том, что математики разделяются на прикладников и теоретиков. Для одних математика является методом познания окружающего мира и происходящих в нем явлений, именно для этой цели ученый развивает и расширяет математическое знание. Для других математика сама по себе представляет целый мир, достойный изучения и развития. Для прогресса науки нужны ученые и того, и другого плана.

Математика, прежде чем изучать своими методами какое-нибудь явление, создает его математическую модель, т.е. перечисляет все те особенности явления, которые будут приниматься во внимание. Модель принуждает исследователя выбирать те математические средства, которые позволят вполне адекватно передать особенности изучаемого явления и его эволюции. В качестве примера возьмем модель планетной системы: Солнце и планеты рассматриваются как материальные точки с соответствующими массами. Взаимодействие каждых двух точек определяется силой притяжения между ними



где m₁, и m₂ – массы взаимодействующих точек, r – расстояние между ними, а f – постоянная тяготения. Несмотря на всю простоту этой модели, она в течение вот уже трехсот лет с огромной точностью передает особенности движения планет Солнечной системы.

Конечно, каждая модель огрубляет действительность, и задача исследователя состоит в первую очередь в том, чтобы предложить модель, передающую, с одной стороны, наиболее полно фактическую сторону дела (как принято говорить, ее физические особенности), а с другой – дающую значительное приближение к действительности. Разумеется, для одного и того же явления можно предложить несколько математических моделей. Все они имеют право на существование до тех пор, пока не начнет сказываться существенное расхождение модели и действительности.

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. –352 с.
   

Некоторые статьи из энциклопедий

СЕМИОТИКА (от греч. semeion – знак, признак), наука, исследующая способы передачи информации, свойства знаков и знаковых систем в человеческом обществе (главным образом естественные и искусственные языки, а также некоторые явления культуры, системы мифа, ритуала), природе (коммуникация в мире животных) или в самом человеке (зрительное и слуховое восприятие и др.).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА, математическая дисциплина, предметом которой является разработка формального аппарата для описания строения естественных и некоторых искусственных языков.

ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, условные обозначения, служащие для записи математических понятий, предложений и выкладок. Напр., математические знаки +, –, =, > (больше), (знак корня), sin (синус), (интеграл) и т. д. Первыми знаками математическими, возникшими за 3¹/₂ тысячелетия до н. э., были знаки для изображения чисел – цифры. Создание современной математической символики относится к 14-18 вв.

ЗНАК, материальный, чувственно воспринимаемый предмет (явление, действие), который выступает как представитель другого предмета, свойства или отношения. Различают языковые и неязыковые знаки; последние делятся на знаки-копии, знаки-признаки и знаки-символы; понимание знаков невозможно без выяснения его значения. См. Семиотика.

ЗНАК ЯЗЫКОВОЙ, единица языка (морфема, слово, словосочетание, предложение), которая служит для обозначения предметов или явлений действительности и их отношений, для обозначения отношений между элементами языка в тексте. Большинство исследователей считают, что знак языковой двусторонен, состоит из означающего и означаемого.

ЗНАКОВЫЕ ТЕОРИИ ЯЗЫКА, совокупность теоретических положений (идей, гипотез) о строении языка, рассматриваемого как система знаков (см. Знак языковой). Понятие знака восходит к стоикам, определение знака как единства звуков и значения прошло через всю средневековую философию; большой вклад в разработку знаковых теорий языка внес В. Гумбольдт. Знаковые теории языка развиваются структурной лингвистикой, большое влияние на их формирование оказала семиотика.

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ, геометрические системы, отличные от евклидовой геометрии. Среди неевклидовых геометрий особое значение имеет Лобачевского геометрия.

ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ, построенная в 1826 Н. И. Лобачевским геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы (постулата) о параллельных. Евклидова аксиома гласит: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну, и только одну, прямую, параллельную данной, т. е. ее не пересекающую. В геометрии Лобачевского эта аксиома заменена следующей: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, не пересекающей данной. В геометрии Лобачевского многие теоремы отличны от аналогичных теорем евклидовой геометрии; напр., сумма углов треугольника меньше двух прямых, два подобных треугольника всегда равны между собой. Несмотря на внешнюю парадоксальность этих выводов, геометрия Лобачевского оказалась логически совершенно равноправной с евклидовой. Открытие неевклидовой геометрии Лобачевского внесло коренные изменения в представления о природе пространства.

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ, многомерное обобщение геометрии на поверхности (т. е. геометрии 2-мерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств, в малых областях которых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при этом все пространство может не быть евклидовым). Названа по имени Б. Римана, заложившего ее основы в 1854.

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ Эйнштейна, физическая теория, рассматривающая пространственно-временные свойства физических процессов. Т. к. закономерности, устанавливаемые теорией относительности, – общие для всех физических процессов, то обычно о них говорят просто как о свойствах пространства-времени. Эти свойства зависят от полей тяготения в данной области пространства-времени. Теория, описывающая свойства пространства-времени в приближении, когда полями тяготения можно пренебречь, называется специальной или частной теорией относительности, или просто теорией относительности (создана А. Эйнштейном в 1905). Свойства пространства-времени при наличии полей тяготения исследуются в общей теории относительности, называемой также теорией тяготения Эйнштейна (создана в 1915-16; см. Тяготение). Физические явления, описываемые теорией относительности, называются релятивистскими и проявляются при скоростях v движения тел, близких к скорости света в вакууме с.