Сухин Игорь Георгиевич, старший научный сотрудник Института теории и истории педагогики Российской академии образования, г. Москва. E-mail: suhin i@mail ru Сайты: и Тема доклад
| Вид материала | Доклад |
- Событие воспитания и воспитание как событие, 169.62kb.
- Арушанова Алла Генриховна к п. н., ведущий научный сотрудник, лауреат премии правительства, 164.19kb.
- Барг Анастасия Олеговна Заявка Старший научный сотрудник лаборатории методов анализа, 51.93kb.
- Мнение ветеринарного врача со стажем об иммуномодуляторах и иммуностимуляторах для, 354.58kb.
- Библиотека программы воспитания и обучения в детском саду Светлана Николаевна Теплюк, 2192.96kb.
- М. Г. Масевич доктор юридических наук, профессор Российского университета Дружбы народов,, 3719.62kb.
- Развитие образования и педагогической мысли на территории беларуси в 60-е гг. ХIХ начале, 1279.26kb.
- Д. А. Губайдуллин имм казнц ран. Россия, 420111, Казань, ул. Лобачевского, 2/31 e-mail:, 668.7kb.
- Тема «А. С. Макаренко советский? Несоветский? Или…?», 6.09kb.
- Теоретическое осмысление и практика использования зарубежных педагогических систем, 1056.88kb.
Сухин Игорь Георгиевич, старший научный сотрудник Института теории и истории педагогики Российской академии образования, г. Москва. E-mail: suhin_i@mail.ru Сайты: ссылка скрыта и ссылка скрыта
Тема доклада: "Когда Математика становится Волшебницей"
Тезисы:
Математика – наука непростая. Это, если преподавать и изучать её формально. А если – занимательно? В докладе на примере одного из видов математических головоломок и указывается возможный путь приобщения школьников к математике. Путь, при котором в одной связке действуют Занимательная математика, Сказка и Тайна. Рассматривается класс задач «Дележи», прослеживаются его исторические корни, предлагаются для решения хрестоматийные примеры с подробным указанием источников. А в заключительной части доклада приводятся авторские разработки подобных задач, которые растворены в небольшой фантастической Сказке.
Когда Математика становится Волшебницей
Математика - замечательный учебный предмет. Тем не менее, в школьные годы далеко не все дети оценивают его по достоинству. Полагаем, отчасти это объясняется тем, что на занятиях царит атмосфера скуки, мысль учеников не воспламеняется.
Как изменить существующее положение дел? На наш взгляд, с помощью широкого использования разнообразных занимательных задач на уроках. Полагаем, что не менее 50% времени урока должно отдаваться именно под занимательные задания.
Я недавно написал на форуме Всероссийского интернет-педсовета, озаглавленном "Зачем нужно учить математику?", следующее: "Остаётся в памяти ребёнка то, что поражает воображение. Задача учителя - обладать банком подобного материала, привязанного к теме. Это не есть пустая развлекательность, а материал, который помогает быстрее освоить и понять тему любого конкретного урока. Главная задача - постараться избежать малейшей рутины" org/forum/index.php?showtopic=1485&pid=26333&st=0&#entry26333
Ведь ещё Ж.-Ж. Руссо отмечал: «Возбудите интерес ребёнка к тому, чтобы избегать излишних или недостаточных усилий».
А позднее Д.Дьюи и Э.Дьюи в работе «Школы будущего» (М., 1922) писали: "Отгадывание арифметических загадок, ребусов, арифметические игры и арифметические состязания между классами и классными группами превращают арифметику в очень увлекательный предмет школьной программы".
Рассмотрим в рамках данного доклада один из видов математических головоломок, чтобы на его примере показать возможный путь приобщения учеников к математике.
Сразу же отметим, что все последующие исторические разыскания выполнены именно нами.
Практически ни один классический сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без раздела "Дележи", причём заметное место в нём занимают задачи о переливании жидкостей из сосуда в сосуд.
К сожалению, большинство подобных старинных головоломок сложны, и не подходят для первичного изучения проблемы.
Как это ни удивительно, но в отечественных учебных пособиях сравнительно простых заданий данного класса практически нет. Лишь одну простую задачу находим в пособии для учителей М.Б.Балка "Организация и содержание внеклассных занятий по математике" (М.: Учпедгиз, 1956, с.45):
"Имея 2 бидона на 4 и 5л, можно ли налить из водопроводного крана в ведро 3л воды? (Ёмкость ведра не меньше 3л.) Ответ: можно".
Наши пояснения. Быстрейшим путём задача решается так:
Заполняется водой четырёхлитровый бидон, затем вода из него переливается в пятилитровый, снова вода доверху наливается в меньшую ёмкость, и из меньшей 1л отливается в большую (ведь там не хватает 1л до полного заполнения 5л – 4л = 1л). В результате в четырёхлитровом бидоне останется 3 литра воды (4л – 1л = 3л).
Ещё две "водяные" головоломки приводятся в разделе "Задачи-смекалки" пособия для учителей I-III классов А.А.Свечникова и П.И.Сорокина "Числа, фигуры, задачи во внеклассной работе" (М.: Просвещение, 1977, с.87, 108):
"111. Как набрать из водопровода 6л воды, пользуясь двухлитровой банкой и чайником, в который входит 5л?
Решение: Наливаем в банку 2 раза по 2л и переливаем в чайник, затем ещё раз наливаем в банку 2л.
136. Как, имея банку вместимостью 4л и бидон – 9л, набрать из реки точно 7л воды?"
Наши пояснения. Оптимальное решение второй задачи в пособии не даётся. Вот оно: Два раза заполняем банку водой и переливаем по 4л воды из банки в бидон, снова наполняем банку и добавляем 1л из неё в бидон, после этого все 9л воды из чайника выливаем в раковину, и в бидон переливаем оставшиеся в банке 3л, снова заполняем четырёхлитровую банку водой из реки и получаем требуемые (суммарные) 7л = 3л + 4л.
Непросто определить, в каком старинном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей. Пожалуй, самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней:
"В одном средневековом сочинении восходящим к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача:
Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. "Сколько у тебя вина?" – спрашивает второй слуга. "8 мер", – отвечает тот. "Мне тоже нужно купить вина". "Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет", – заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов?" (В.Аренс. Математические игры и развлечения. – СПб.: Физика, 1911, с.127).
Т.е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина.
Приведём ход кратчайшего решения, включающего 7 операций переливания, обозначив "трёхмерный" сосуд, как первый, "пятимерный" назовём вторым, а "восьмимерный" – третьим.
Итак: 1. Из третьего во второй отливаем 5 мер. 2. Из второго в первый – 3 меры. 3. Из первого в третий переливаем 3 миры. 4. Из второго в первый – 2 меры. 5. Из третьего во второй – 5 мер. 6. Из второго в первый – 1 меру. 7. Из первого в третий – 3 меры. В результате во втором и третьем сосудах получается по 4 меры вина.
Широкую известность эта задача получила после публикации двумя изданиями сочинения К.Баше "Игры и задачи, основанные на математике" (C-G.Bachet. Problems plaisans et delectables. 1612, 1624). На русском языке книга К.Баше была издана лишь в XIX веке, да и то в сокращенном виде (СПб.-М.: Издание М.О.Вольфа, 1877). Рассматриваемая задача в данном издании расположена на с.134.
Безусловно, и до 1877 года задача о сосудах встречалась на страницах отечественных книг. Указанную головоломку встречаем в сочинении "Гадательная арифметика для забавы и удовольствия" (СПб.: Издание И.Краснопольского, 1789, с.36). Задача №24 имеет следующий вид:
"Сосуд, наполненный восьмью кружками вина, разлить без меры на две равные части по сосудам, из коих в один входит 5 кружек вина, а в другой 3".
Немного позднее задачу привели в книге "Библиотека учёная, економическая, нравоучительная, историческая и увеселительная в пользу и удовольствие всякого звания читателей: Часть I" (Тобольск: Типография В.Корнильева, 1793). В разделе "Математические и физические увеселения на с.261 читаем:
"Некто, имея бутыль, наполненную 8 галенками хорошего вина..." и т.д.
Данная задача есть и в книге И.Буттера "Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером" (М.: типография Августа Семёна при Императорской Медико-Хирургической Академии, 1831, с.7-8, задача №16). Усложнённые варианты головоломки находим в задачах №№18-22.
Публиковались ли в старину более простые задачи данной тематики? Ответ на этот вопрос проливают следующие строки из работы У.Болла и Г.Коксетера "Математические эссе и развлечения" (М.: Мир, 1986, с.39): "...Упомянем ещё несколько задач, которые веками входили в почти каждое собрание математических развлечений... Первый пример даёт хорошее представление о целом классе подобных задач. Некто отправился к источнику за водой с двумя кувшинами ёмкостью в 3 и 5 пинт. Как сможет он принести домой ровно 4 пинты воды? Решение здесь не составляет никакого труда".
Наши пояснения. Решение задачи в книге не приводится. С помощью наименьшего количества переливаний цели можно добиться следующим образом: Заполняется водой из источника больший кувшин, 3л из него переливаются в меньший и выливаются. 2л воды, оставшиеся в пятилитровом сосуде, перемещаются в трёхлитровый. Больший кувшин вновь наполняется водой из источника, 1л из него отливается в меньший кувшин. Теперь в пятилитровом сосуде находится ровно 4л воды.
Отметим, что именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С.Д.Пуассона. В задаче, предложенной юному Пуассону, ёмкость сосудов в отличие от хрестоматийной задачи составляла не 3, 5, 8 (мер), а 5, 8, 12 (пинт; пинта – мера жидкости):
"Некто имеет двенадцать пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него два сосуда, один в 8, другой в 5 пинт; спрашивается: каким образом налить шесть пинт в сосуд в восемь пинт" (Г.Н.Попов. Сборник исторических задач по элементарной математике. – М.-Л.: ОНТИ, Главная редакция научно-популярной и юношеской литературы, 1938, с.60).
Быть может, в Вашем классе учится будущий выдающийся математик? Его решение?
Итак, проведённый ними анализ математической литературы (пусть и не полный) показал, что простых задач на переливание в книгах приводится немного. Поэтому представлялось важным разработать не одну-две, а минимум 40-50 подобных задач, что и было сделано. Но в какую форму облечь данный материал, чтобы ребятам не было скучно? Показалось логичным призвать на помощь Сказку и Тайну. И теперь хотелось бы предложить вашему вниманию наш вариант первоначального знакомства с данных классом задач, при котором, Сказка и Тайна приходят на помощь Математике. Учитель на уроке читает следующую сказку (с продолжением), в которой и растворены данные задачи.
Страна Волшебных Рек
Однажды Юра пускал в ручейке кораблики и нашёл на дне странный камешек-кубик. На каждой из его граней было высечено одно или два слова.
Буквы оказались маленькими и бледными. Некоторые из них едва различимы, видно кубик долго пролежал в воде. Знаки препинания вообще не видны.
На одной из сторон было написано: "ОКАЖЕТСЯ".
На другой: "В СТРАНЕ".
На третьей: "В РУЧЕЙ".
На четвёртой: "ТОТ КТО".
На пятой: "ВОЛШЕБНЫХ РЕК".
На шестой: "БРОСИТ МЕНЯ".
– Ага, всё ясно, – сообразил Юра. – Надписи надо прочитать в определённом порядке. Но в каком?
Задание: попробуйте расшифровать загадочное послание самостоятельно.
Мальчик повертел в руках таинственный кубик и хлопнул себя по лбу:
– Ну, конечно! Читать нужно так: "Тот, кто окажется в Стране Волшебных Рек, бросит меня в ручей". Что же выходит? Тот, кто называет наши края Страной Волшебных Рек, бросил камешек в этот ручей. Так? Вряд ли. Нет у нас волшебных рек. Значит, мне надо отправиться в Страну Волшебных Рек и там бросить камень в ручей. Но где находится такая страна? Да, и не поеду я туда. Не люблю приключения.
В задумчивости Юра подбросил кубик в руке, но поймать не смог. Камешек проскочил между пальцами и упал в ручей.
Тут среди ясного неба прогремел гром, какая-то неведомая сила подхватила Юру, завертела и понесла, понесла, понесла. Раздался ещё один раскат грома, и в тот же миг мальчик сообразил, что он неправильно расшифровал надпись.
"Тот, кто бросит меня в ручей, окажется в Стране Волшебных Рек", – вот как следовало читать!
Но камень уже попал в ручей и ничего не изменишь.
Прозвучал третий удар грома, и Юра потерял сознание...
Очнулся мальчик в незнакомом месте, неподалеку от реки, вода в которой оказалась на удивление белой. На берегу стоял столб с прибитой табличкой:
"Молочная река. Если хочешь перебраться на другую сторону, то реши десять задач. Вот первая. Возьми две стеклянные банки. В одну из них, наполненную до краёв, помещается ровно один литр молока, а в другую – два. Как сделать так, чтобы в двухлитровой банке оказался точно один литр?
Если сделаешь это двумя различными способами, можешь выпить молока".
| | | 2л |
| 1л | | |
Задание: помогите Юре
– Вот ещё, буду я задачи решать! Я и в школе-то голову не ломаю, у товарищей списываю! Да и ни к чему мне на другую сторону, – фыркнул Юра и пошёл прочь от берега.
Но в стороне от реки везде, сколько мог охватить взгляд, тянулась гряда непроходимых гор. Не поверил Юра, что нигде не сможет найти дороги, и побрёл вдоль горной гряды. Долго шёл и, в конце концов, достиг места, где путь ему преградили отвесные скалы. Нет прохода.
Отправился Юра в противоположную сторону, но и там попал в тупик.
Делать нечего, пришлось вернуться к столбу с табличкой, тем более что мальчик проголодался.
– Всё равно не буду задачу решать, так молока напьюсь, – пробурчал Юра, взял маленькую банку, наполнил её молоком из реки и поднёс ко рту.
Но тут молоко непонятным образом исчезло! Ещё трижды пытался мальчик сделать глоток из банки, но не получилось.
Тогда он отставил её в сторону и склонился над рекой. Но и тут испить не удалось. Поднялась волна и больно шлёпнула мальчика по губам, при этом не оставив ни одной капли молока на лице.
Юра был ошеломлён.
– Вот уж действительно меня ОЗАДАЧИЛИ, – вздохнул мальчик и снова подошёл к столбу.
| | | 2л |
| 1л | | |
Размышлять над задачей Юре было лень, а выпить молока очень хотелось.
– Литр молока надо налить в большую банку? Попробую зачерпнуть ею из реки так, чтобы заполнилась половина банки.
Сказано – сделано. Зачерпнул. Но получился ровно один литр или нет? Юра поднёс банку по рту – молоко исчезло.
Значит, не литр. Опять зачерпнул. Опять поднёс. Снова молоко пропало. И так – раз за разом… Скоро у Юры заболела правая рука, которой он вначале наливал молоко, а потом и левая.
– Трудная задача досталась, – проворчал мальчик. – Вот если бы нужно было налить один литр молока в литровую банку, я бы сразу догадался, как поступить! Я бы опустил в реку маленькую банку и наполнил её молоком. Вот так.
| 1л |
Юра набрал молока в литровую банку, вздохнул и вылил обратно в реку. Опять набрал, снова вылил. Налил в третий раз. Эх, жаль выливать молоко в реку, и Юра перелил его в двухлитровую банку.
| | | |
| | | |
Вдруг молоко в ней вспыхнуло золотым пламенем, словно пронзённое множеством солнечных лучей.
– Ух, ты! А ведь я нечаянно решил задачу! – удивился Юра. – Она совсем лёгкая. Как же я сразу не сообразил.
Удача подстегнула мальчика, и вскоре он нашёл второй способ: требовалось всего-навсего заполнить молоком двухлитровую банку,
| |
| |
а затем из неё налить молока до краёв в литровую.
| | | |
| | | |
Тогда в двухлитровой остался ровно один литр молока. Тут молоко снова вспыхнуло золотым пламенем, Юра с трепетом поднёс банку с молоком ко рту и с наслаждением отпил.
Нужно ли писать о том, что вскоре двухлитровая банка была пуста?
Юра вернулся к столбу и с удивлением обнаружил, что на табличке появилась новая надпись:
"Молодец! Взгляни на банки, двухлитровая превратилась в трёхлитровую. Теперь на берегу реки ты видишь банки вместимостью 1 литр и 3 литра. Внимательно прочитай условие второй задачи и реши её.
Задача 2. Перед тобой литровая и трёхлитровая банки. Добейся того, чтобы в одной из них оказалось ровно два литра молока и затрать на это наименьшее количество переливаний".
| | | |
| | | 3л |
| 1л | | |
Задание: решите задачу раньше Юры
– В меньшей банке два литра не поместятся, только в большей, – сам себе сказал Юра. – Ага, всё ясно. Первое действие: из реки наполняю молоком литровую банку. Второе – переливаю один литр в трёхлитровую банку. Третье – снова набираю молока в литровую. И четвёртое – опять переливаю его из меньшей банки в большую. За четыре переливания в трёхлитровой банке окажется два литра молока! Ой, ведь можно быстрее – из реки наполнить доверху большую банку, и из неё налить молоко в меньшую. Также доверху. Тогда всего за две операции наливания-переливания в большей банке будет ровно два литра молока, ведь 3 – 1 = 2.
| | | |
| | | |
| | | |
Когда мальчик всё это проделал, молоко в трёхлитровой банке заискрилось в солнечных лучах. От радости Юра захлопал в ладоши, а затем взглянул на столб: что там новенького?
На табличке появились условия остальных задач:
"Теперь реши остальные восемь задач. Запомни: они будут считаться решёнными правильно, если ты используешь как можно меньшее количество переливаний!
Задача 3. Опять ты располагаешь литровой и трёхлитровой банками. Как налить во вторую из них ровно один молока?
Задача 4. Сейчас трёхлитровая банка превратится в четырёхлитровую. Располагая литровой и четырёхлитровой банками, сделай так, чтобы в большей из них оказался ровно один литр молока.
Задача 5. Перед тобой те же банки вместимостью 1 литр и 4 литра. Как налить во вторую из них два литра? Реши задачу двумя способами.
Задача 6. С помощью тех же банок налей в одну из них ровно 3 литра.
Задача 7. Четырёхлитровая банка превращается в пятилитровую. Имея под рукой литровую и пятилитровую банки, добейся того, чтобы в одной из них находилось два литра молока.
Задача 8. С помощью тех же банок налей в одну из них 3 литра молока.
Задача 9. Пятилитровая банка превращается в шестилитровую. Располагая банками вместимостью 1 литр и 6 литров, помести в большую из них четыре литра молока.
Задача 10. С помощью тех же банок налей в одну из них 3 литра молока. Сообрази, сколькими способами можно решить данную задачу".
Задание: решите все данные задачи
Нелегко пришлось Юре. Восемь задач правильно решить – не одну!
Долго провозился с банками мальчик, но, в конце концов, решил все головоломки. Многие из них имели больше одного решения, и чтобы найти кратчайшее из них, требовалось безошибочно считать количество переливаний. Если первые задачи Юра решал больше с помощью практических действий – сначала делал, а потом думал, то последние головоломки пришлось разгадывать в уме, так как банки с молоком становились всё тяжелее, и лишний раз поднимать их не хотелось.
Вот как решаются данные математические задания:
Задача 3. Наполняем литровую банку молоком из реки и переливаем молоко в трёхлитровую (2 операции).
Задача 4. Заполняем меньшую банку молоком из реки и переливаем молоко в банку большего объёма (2 операции).
Задача 5. Первый способ. Набираем молока в большую банку, отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из большей (4 операции). Второй способ. Набираем из реки молока в меньшую банку и переливаем в большую, затем те же действия повторяем (также 4 операции).
Задача 6. Выливаем "лишнее" молоко из заполненной банки большего объёма в меньшую (2 операции).
Задача 7. Набираем молока в меньшую банку и переливаем в большую. Затем те же действия повторяем (4 операции).
Задача 8. Заполняем молоком большую банку, отливаем литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из большей (4 операции).
Задача 9. Набираем молока в шестилитровую банку, отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из больше. (4 операции).
Задача 10. Первый способ. Три раза повторяем такие действия – набираем молока из реки в меньшую банку и переливаем в большую. Второй способ. Набираем молока в большую банку, затем трижды повторяем следующую операцию – отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку (в последний раз выливать молоко нет необходимости). В обоих случаях потребуется 6 переливаний.
Как только Юра осилил последнюю задачу, то увидел перекинутый через реку мостик, сотканный из солнечных лучей. Мальчик с опаской ступил на него, но, почувствовав под ногами твёрдую поверхность, быстро побежал на противоположный берег. Ему почему-то казалось, что там, на другой стороне, стоит его дом, а на пороге ждёт мама. Но чудеса случаются не всегда. Дальше текла другая река, компотная. Это Юра узнал из надписи на новой табличке:
"Компотная река. Если хочешь перебраться на другую сторону, то реши двадцать пять задач. Они будут считаться решёнными правильно, если ты используешь как можно меньшее количество переливаний. Внимательно изучи условие заданий, иногда в них указано, в какой именно сосуд (больший или меньший) нужно налить компот.
Задача 1. Взгляни на берег – там ты увидишь два кувшина. В один из них, наполненный до краёв, помещается ровно два литра компота, а в другой – три. Как налить в двухлитровый кувшин точно один литр? Укажи два способа.
| | | |
| | | 3л |
| 2л | | |
Задача 2. Налей в те же кувшины четыре литра компота.
Задача 3. Сейчас трёхлитровый кувшин превратится в пятилитровый. Располагая двухлитровым и пятилитровым кувшинами, сделай так, чтобы в одном из них оказался ровно литр компота.
Задача 4. Опять ты располагаешь теми же кувшинами. Как налить в один из них три литра компота?
Задача 5. Перед тобой те же кувшины вместимостью 2 литра и 5 литров. Как налить в один из них 4 литра?
Задача 6. Налей в те же кувшины шесть литров компота.
Задача 7. Пятилитровый кувшин превращается в шестилитровый. Располагая кувшинами вместимостью 2 литра и 6 литров, налей в один из них четыре литра компота.
Задача 8. Шестилитровый кувшин превращается в семилитровый. Имея под рукой двухлитровый и семилитровый кувшины, добейся того, чтобы в одном из них находился один литр компота.
Задача 9. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 3 литра компота.
Задача 10. Располагая кувшин вместимостью 2 литра и 7 литров, помести в один из них четыре литра компота.
Задача 11. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 5 литров компота.
Задача 12. Опять ты располагаешь теми же кувшинами. Как налить в один из них шесть литров компота?
Задача 13. Налей в кувшины ёмкостью 2 литра и 7 литров восемь литров компота.
Задача 14. Семилитровый кувшин превращается в восьмилитровый. Имея под рукой двухлитровый и восьмилитровый кувшины, добейся, чтобы в одном из них находилось четыре литра компота.
Задача 15. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 6 литров компота.
Задача 16. Восьмилитровый кувшин превращается в девятилитровый. Имея под рукой двухлитровый и девятилитровый кувшины, добейся того, чтобы в одном из них находился один литр компота.
Задача 17. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 3 литра компота.
Задача 18. Располагая кувшином вместимостью 2 литра и 9 литров, помести в один из них четыре литра компота.
Задача 19. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 5 литров компота.
Задача 20. Снова у тебя те же кувшины. Как налить в один из них шесть литров компота?
Задача 21. Девятилитровый кувшин превращается в четырёхлитровый. Можно ли с помощью двухлитрового и четырёхлитрового кувшинов налить один литр компота? А три литра? А пять литров?
Задача 22. Четырёхлитровый кувшин превращается в шестилитровый. Удастся ли тебе, располагая кувшинами вместимостью 2 литра и 6 литров, налить в них один литр компота? Три литра? Пять? Семь?
Задача 23. Шестилитровый кувшин превращается в восьмилитровый. Можно ли с помощью двухлитрового и восьмилитрового кувшинов добиться того, чтобы в них находился один литра компота? Три? Пять? Семь? Девять?
Задача-шутка 24. Восьмилитровый кувшин превращается в четырёхлитровый. Вдобавок на берегу появляется очень тяжёлая бочка, которую тебе не удастся даже сдвинуть с места. В каком случае с помощью кувшинов вместимостью два литра и четыре литра можно налить в бочку ровно три литра компота? Приведи хотя бы один вариант решения.
Задача-шутка 25. Перед тобой снова двухлитровый и трёхлитровый кувшины, а также девятилитровая тяжёлая бочка. Как бы ты не старался с помощью кувшинов налить в неё ровно один литр компота, у тебя ничего не получится. Как думаешь, почему? Дай хотя бы один верный ответ".
Задание для читателей:
решите все приведённые задачи
Юра упал духом. Он-то уже рассчитывал очутиться дома, а нужно снова задачки решать!
Волей неволей пришлось мальчику брать в руки кувшины и заняться тяжёлым умственным и физическим трудом.
Долго Юра манипулировал кувшинами и, наконец, раскрыл секреты всех задач. Труднее всего мальчику пришлось с двумя последними задачами.
– Ну и шуточки! – недовольно бурчал Юра, но, в конце концов, ответил и на них.
Вот как решаются данные математические задания:
Задача 1. Первый способ. Компот нужно зачерпнуть большим кувшином, два литра перелить в меньший кувшин, из меньшего всё вылить в реку и перелить оставшийся один литр компота из большего кувшина в меньший (4 операции). Второй способ. Наполняем двухлитровый кувшин компотом из реки, и переливаем компот в трёхлитровый. Снова заполняем меньший кувшин компотом и отливаем "излишек" в больший (также 4 операции).
Задача 2. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем вкусную жидкость в трёхлитровый. Снова заполняем меньший кувшин компотом (3 операции): 2 + 2 = 4.
Задача 3. Окунаем пятилитровый кувшин в реку и заполняем его компотом. Переливаем два литра компота в меньший кувшин. Опорожняем двухлитровый кувшин. Снова отливаем два литра компота в меньший кувшин. В большем кувшине останется один литр компота (4 операции).
Задача 4. Заполняем пятилитровый кувшин компотом из реки и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).
Задача 5. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем жидкость в пятилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).
Задача 6. Начало решения такое же, как и в предыдущей задаче. В конце двухлитровый кувшин в третий раз заполняется компотом из реки (5 операций): 4 + 2 = 6.
Задача 7. Заполняем больший кувшин компотом и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции). Другой путь длиннее.
Задача 8. Наполняем жидкостью больший кувшин и трижды отливаем по два литра в меньший, дважды его опорожняя (6 операций).
Задача 9. Набираем компот в семилитровый кувшин и дважды переливаем в двухлитровый, из которого в первый раз компот выливается в реку (4 операции).
Задача 10. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем его в семилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).
Задача 11. Заполняем семилитровый кувшин компотом и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).
Задача 12. Трижды спускаемся с двухлитровым кувшином к реке за компотом и переливаем жидкость в семилитровый (6 операций).
Задача 13. Начало решения такое же, как в предыдущей задаче, а в конце двухлитровый кувшин в четвёртый раз заполняется компотом из реки (7 операций).
Задача 14. Дважды набираем компот из реки в двухлитровый кувшин и переливаем в восьмилитровый (4 операции).
Задача 15. Заполняем восьмилитровый кувшин компотом и отливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).
Задача 16. Наполняем жидкостью девятилитровый кувшин и четырежды отливаем по два литра в меньший, трижды его опорожняя (8 операций).
Задача 17. Набираем компот из реки в девятилитровый кувшин и трижды переливаем в двухлитровый, из которого дважды жидкость выливается в реку (6 операций).
Задача 18. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем его в девятилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).
Задача 19. Окунаем больший кувшин в реку и заполняем его компотом. Переливаем два литра в меньший кувшин и опорожняем его. Снова отливаем два литра компота из большего кувшина в меньший (4 операции).
Задача 20. Трижды спускаемся с двухлитровым кувшином к реке за компотом и переливаем жидкость в девятилитровый (6 операций).
Задачи 21, 22, 23. Нельзя, не удастся.
Задача 24. Правильные варианты ответа: а) в том случае, если ёмкость бочки составляет три литра, б) если внутри бочки есть разметка и др.
Задача 25. Правильные варианты ответа: а) в бочке дырка, б) бочка без дна, в) бочка очень высокая и др.
Итак, Юра расправился с последним заданием и вздохнул:
– Сейчас через речку перекинется мост. Я по нему пробегу и увижу новую реку. На её берегу опять будут вкопан столб с новыми задачами.
Все, конечно же, так и случилось. На новой табличке значилось:
"Лимонадная река. Если хочешь вернуться домой, то реши одну единственную задачу. Представь, что перед тобой две неодинаковые ёмкости с лимонадом. В каждой из них помещается однозначное нечетное количество литров этого напитка. Также известно, что с помощью данных ёмкостей ни одну из них нельзя наполнить ровно одним литром лимонада. Сообрази, какова вместимость данных сосудов".
Сердце мальчика готово было выпрыгнуть из груди. Наконец-то он попадёт домой! Но сначала вновь следовало заняться математикой. Немного успокоившись, Юра принялся размышлять. Он думал очень долго, но всё же решил последнюю задачу и оказался дома.
А вы решите её?
ОТВЕТ на последнюю задачу: 3л и 9л.
Вот такая тема.
Вот такие задачи.
Казалось бы, очень похожие на уже набившие оскомину многим поколениям школьников, где «из одной трубы выливается, а в другую вливается».
Но – иные.
И формы подачи материала иные.
Надеемся, что и результат будет иным.
Литература
Аренс В. Математические игры и развлечения. – СПб.: Физика, 1911.
Балк М.Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике. М.: Учпедгиз, 1956.
Баше К. Игры и задачи, основанные на математике. СПб.-М.: Издание М.О.Вольфа, 1877.
Библиотека учёная, економическая, нравоучительная, историческая и увеселительная в пользу и удовольствие всякого звания читателей: Часть I. Тобольск: Типография В.Корнильева, 1793.
Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М.: Мир, 1986.
Гадательная арифметика для забавы и удовольствия. СПб.: Издание И.Краснопольского, 1789.
Дьюи Д., Дьюи Э. Школы будущего. М., 1922.
Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером. М.: типография Августа Семёна при Императорской Медико-Хирургической Академии, 1831.
Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. – М.-Л.: ОНТИ, Главная редакция научно-популярной и юношеской литературы, 1938.
Свечников А.А., Сорокин П.И. Числа, фигуры, задачи во внеклассной работе. М.: Просвещение, 1977.
Сухин И.Г. Весёлая математика: 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга: 1-7 класс. – М.: ТЦ "Сфера", 2003.
Сухин И.Г. 800 новых логических и математических головоломок. – СПб: Союз, 2001; М.: Астрель, АСТ, 2003, 2004, 2005.
Сухин И.Г. 200 школьных кроссвордов. М., 2002.
Сухин И.Г. Занимательные материалы: Начальная школа. – М. ВАКО, 2004, 2005.
Сухин И.Г. Книга затей для учеников и учителей: Загадки, скороговорки, кроссворды, литературные и математические задания: 1-4 классы. - Тула: Родничок; М.: Астрель, АСТ, 2004.
Сухин И.Г. 1200 головоломок с неповторяющимися цифрами. – М.: Астрель, АСТ, Ермак, 2003, 2005.
Bachet C-G. Problems plaisans et delectables. 1612, 1624.
Конкурсные доклады Всероссийского интернет-педсовета – 2006
© 2006 Сухин И.Г. Все права защищены.