Кузнецова Татьяна Алексеевна Цель: привлечь внимание учащихся к понятию четырёхмерного пространства, подготовить учащихся к изучению стереометрии в старших классах урок

Вид материала

Содержание

Проводится эксперимент.
Сообщение ученика на тему: «Объективное и субъективное время».
Сообщение ученика на тему: «Правильно ли течёт время?». (См. Приложение 2)
Практическая работа
Деятельность ученика
3 – мерный куб
4 – мерный куб или гиперкуб
Развертка трехмерного куба.
Развертка четырехмерного куба.

Подобный материал:

Математика, 9 класс.

Пространство и время. Четвёртое измерение

Составила учитель математики 1 категории

Кузнецова Татьяна Алексеевна

Цель: привлечь внимание учащихся к понятию четырёхмерного пространства, подготовить учащихся к изучению стереометрии в старших классах.

Урок интегрирует знания учащихся по геометрии, алгебре, физике и психологии.

Урок даёт возможность развивать пространственное воображение, формирует умение сравнивать, анализировать, делать выводы.

Ход урока

Мотивационный этап.

Вступительное слово учителя.

Время – самая загадочная и неуловимая категория, оно несёт нас и весь окружающий мир от прошлого к будущему. Многие великие философы пытались понять сущность времени, его значение для окружающего мира. Вот как трактуется время в Большой Советской Энциклопедии: « Время, основная ( наряду с пространством) форма существования материи, заключающаяся в закономерной координации сменяющих друг друга явлений». (Слайд №1)

Христианский теолог, виднейший представитель западной патристики св. Августин говорил:

« Что такое время? Если никто меня об этом не спрашивает, я знаю, что такое время. Если бы я захотел объяснить спрашивающему – нет, не знаю».

Действительно, что такое время? Одинаково ли оно течёт? Можно ли время «повернуть вспять»? Существует ли четвёртое измерение и что такое четырёхмерное пространство?

Все эти вопросы мы сегодня обсудим.

Тема нашего урока: « Пространство и время. Четвёртое измерение ». ( Слайд 2)

Операционный этап.

Эксперимент

Сейчас я предлагаю вам провести эксперимент. Пусть только ваша интуиция поможет вам определить, сколько длится полминуты. Для этого закройте по моему сигналу глаза и откройте их в тот момент, когда, на ваш взгляд, полминуты закончатся.

Проводится эксперимент.

Опыт показал, что для каждого из нас даже такой маленький промежуток времени длится по-разному. Значит, время зависит от чувств человека. Для нас иногда время «летит», иногда «тащится как черепаха», иногда останавливается.

Из курса физики вы знаете, что в классической механике считалось само собой разумеющимся, что время течёт одинаково во всех инерциальных системах. Ньютон о времени писал: « Абсолютное, истинное или математическое время само по себе и в силу своей внутренней природы течёт одинаково». Но в начале XX века Альберт Эйнштейн создал новую теорию. В специальной теории относительности пришлось отказаться от привычных для нашего мышления представлений о пространстве и времени. Потеряло смысл не только понятие абсолютного пространства, но и понятие абсолютного времени. Оказалось, что время тоже относительно, что об определенных моментах времени или промежутках времени можно говорить только в связи с определенной системой отсчета.

Сообщение ученика на тему: «Объективное и субъективное время».

(см. Приложение 1)

Решая математические задачи, мы часто при решении квадратного уравнения относительно времени t, получаем отрицательное и положительное значения величины t. Не задумываясь, отрицательное значение отбрасываем, так как наше сознание нам не позволяет думать, что время может быть отрицательным, двигаться от настоящего к прошлому, а не наоборот. А так ли это на самом деле?

Сообщение ученика на тему: «Правильно ли течёт время?». (См. Приложение 2)

Эвристическая лекция

Рассуждая о времени, правильней было бы говорить, согласно современным космологическим представлениям, что мы живём не в трехмерном пространстве, а в четырехмерном пространстве – времени, где есть три независимые пространственные координаты и одна временная координата.

Четвертое измерение – это именно пространственное измерение – время, перпендикулярное нашему трехмерному пространству и его можно измерить в единицах длины.

Сегодня мы с вами постараемся представить евклидово четырехмерное пространство.

Мы с вами трехмерные существа, то есть, знаем только три направления, перпендикулярные друг другу: длина, ширина и высота. (Слайд 3) Указать ещё одно направление, перпендикулярное этим трем одновременно, мы не сможем. Четвертого измерения мы не знаем, как не знали бы мы, что такое верх и низ, будь мы абсолютно плоскими двумерными существами. Чтобы было понятно, о чем идет речь, представим себе Землю, полностью покрытую гладким льдом, без каких бы то ни было возвышенностей, то есть с идеально плоской поверхностью. Пусть на этой поверхности будут проживать абсолютно плоские существа, которые будут иметь бесконечно малую толщину. В данном случае, они будут знать только два измерения: длину и ширину. О высоте, то есть что такое верх и низ, они не будут знать вовсе. Для них не будет существовать понятия объёма. Плоское существо никогда не сможет войти внутрь замкнутой окружности или выйти из нее, как вы не сможете войти внутрь полого замкнутого шара или выйти из него, не разрезая его сферическую поверхность. (Слайд 4) Если бы двумерному существу захотелось бы выйти за пределы замкнутой окружности, ему пришлось бы приподняться над плоскостью листа, то есть выйти в третье измерение, которого он не знает. (Показать на модели, как плоский предмет не может покинуть внутреннюю область кольца, не приподнимаясь над плоскостью кольца)

Если вы положите на плоскость какой-нибудь предмет, то его появление для двумерного существа будет выглядеть чудом. Плоскому существу казалось бы, что этот предмет (точнее, его плоское основание) появился из ничего, из пустого места! Он не сможет понять, что предмет появился сверху, ибо он не знает, что такое верх. Для него вы бы были всемогущим, поскольку вы могли бы внезапно исчезать из их двумерного мира в третьем измерении и внезапно появляться оттуда.

Мы с вами трехмерные существа, но плоские в четвертом измерении. Каким-то образом выйти за пределы нашей Вселенной мы не сможем. Представить себе четырехмерную сферу, то есть пространство, замкнутое во всех направлениях наш разум не в состоянии. Если бы вы могли свободно перемещаться в неведомом четвертом измерении, то беспрепятственно проникали бы в закрытые помещения. Вы могли бы неожиданно появляться в нашем трехмерном пространстве, и нам бы казалось это появлением из «пустого места». Четырехмерное существо может проникнуть куда угодно в нашем мире, так как в нашем мире все объекты трехмерны. К сожалению, четвертое измерение закрыто от нас, и найти его нам, трехмерным существам, практически невозможно, хотя, конечно, будущее человечества не предсказуемо.

Можно ли представить четырехмерное пространство и гиперкуб?

Полностью его представить нельзя, но можно приблизиться к пониманию, каков он.

Сейчас мы с вами будем рассматривать кубы различной размерности, считать у них количество вершин, ребер и граней. Для удобства результаты наблюдений мы будем фиксировать в выданную таблицу. (Слайд 6)

Характеристика кубов различной размерности^¹

Практическая работа

Номер слайда	Деятельность учителя	Деятельность ученика
Слайды 1 – 6	Рассказ учителя о четырехмерном пространстве.	Эвристическая лекция. Сообщения учащихся по проблеме. «Объективное и субъективное время», «Правильно ли «течет» время».
Слайд 7	Начнем с начала – с 0 - мерного куба. Этот куб содержит 0 взаимно перпендикулярных граней, то есть это просто точка. В одномерном пространстве у нас есть только одно направление. Сдвигаем точку в этом направлении и получаем отрезок. Это одномерный куб. У нас появляется второе измерение, сдвигаем наш одномерный куб (отрезок) в направлении второго измерения и получаем квадрат. Это куб в двумерном пространстве.	Рассматривая слайд, учащиеся считают количество вершин, ребер, граней и заносят в таблицу.
Слайд 8	3 – мерный куб С появлением третьего измерения поступаем аналогично: сдвигаем квадрат и получаем обычный трехмерный куб.	Рассматривая слайд, считают количество вершин, ребер, граней и заносят в таблицу.
Слайд 9	4 – мерный куб или гиперкуб Теперь у нас появилось четвертое измерение. То есть в нашем распоряжении имеется направление, перпендикулярное всем трем предыдущим. Воспользуемся им точно так же. Четырехмерный куб будет выглядеть так, как изображено на слайде. Естественно, трехмерный и четырехмерный кубы нельзя без искажений изобразить на двумерной плоскости.	Рассматривая слайд, считают количество вершин, ребер, граней и заносят в таблицу.
Слайд 10	Показывает правильно заполненную таблицу кроме последней строки.	Сравнивают свои результаты с таблицей на слайде.
Слайд 11	Предлагает увидеть закономерность в столбце «количество вершин» и вывести общую формулу.	2^N
Слайд 12	Предлагает увидеть закономерность в столбце «количество рёбер» и вывести общую формулу.	N·2^N-1
Слайд 13	Предлагает увидеть закономерность в столбце «количество граней» и вывести общую формулу.	2·N
Слайд 14	Стоит отметить, что все грани и ребра четырехмерного куба равны. На рисунке они получаются не равными только потому, что расположены под разными углами к направлению взгляда. Однако можно развернуть гиперкуб так, что все проекции будут иметь одинаковую длину.	Рассматривают рисунок

Слайд 15	Развертка трехмерного куба. Итак, житель четырехмерного пространства может увидеть трехмерный объект одновременно со всех сторон. Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трехмерный куб? Глазом – нет. Но люди придумали способ, как изобразить на плоском рисунке все грани трехмерного куба одновременно. Такое изображение называется разверткой. Как образуется развертка трехмерного куба, все, наверное, знают. Этот процесс показан при помощи анимации. Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.	Рассматривают слайд.
Слайд 16	Если рассмотреть фазы разворачивания с двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным и совсем не наглядным. Он выглядит, как постепенное появление сначала очертаний искаженных квадратов, а потом их расползание на свои места с одновременным принятием необходимой формы.	Рассматривают слайд, делают выводы.
Слайд 17	Развертка четырехмерного куба. Сделать анимированным процесс разворачивания гиперкуба просто невозможно. Этот процесс можно представить, если посмотреть на него глазами четырехмерного существа. Развертка гиперкуба представлена на слайде. Здесь видны все 8 кубов, ограничивающих гиперкуб. Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться при сворачивании. Серыми оставлены грани, для которых парных не видно. После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться с нижней гранью нижнего куба. После свёртки все грани восьми кубиков придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб.	Рассматривают слайд, стараются представить процесс сворачивания гиперкуба.
Слайд 18	Сальвадор Дали много раз изображал распятие, а кресты фигурируют в очень многих его картинах. На картине «Распятие» используется развертка гиперкуба.	Рассматривают картину.

Домашнее задание:

-Что такое вечность? Это связано с понятием «время»? (Ответы учащихся)

-Чем похожи понятия вечность и бесконечность? (Ответы учащихся)

Древнегреческий философ Платон утверждал, что время есть некое движущееся подобие вечности, вечный образ, движущийся от числа к числу. (Слайд 19)

Вам всем хорошо знаком математический знак бесконечности. Какова история возникновения знака бесконечности? Какой знак бесконечности могли бы придумать вы? (Слайд 20) Продумайте презентацию своего знака.

Рефлексия.

Наш урок подходит к завершению. Понравился ли вам урок? Узнали ли вы что-то новое?

Закройте глаза, вспомните, о чем мы говорили сегодня на уроке. Кому урок не понравился и он считает, что время потрачено зря, откройте глаза. А теперь все могут открыть глаза. Спасибо за урок! Желаю вам удачи вечно, а счастья бесконечного! (Слайд 20)

Приложение 1.

Объективное и субъективное время.

Такие понятия, как минута, час, год, век и тому подобное придуманы человеком, который начал измерять время. До появления разумной жизни время никем не измерялось, так как это было никому не нужно. Зачем, например, обезьяне такие понятия, как прошлое или будущее, если она живёт настоящим и о времени не задумывается? Человек - это единственное существо на земле, способное, как бы “улавливать” время и делить его на три составляющие: прошлое, настоящее и будущее. Наш мозг способен хранить информацию о прошлом, планировать или прогнозировать будущее на основе собранной информации и фиксировать настоящее, при помощи органов чувств. Ощущение темпа движения времени - это чисто субъективное понятие и зависит от того, в каком состоянии находится ваш мозг. Когда человек ночью спит, то эта ночь для него проходит намного быстрее, чем тогда, когда он не спит, как, например, добросовестный ночной сторож. То же самое происходит, когда вы смотрите интересный фильм или читаете интересную книгу.

Можно привести массу примеров того, что время в нашем сознании может растянуться или сжаться. Более того, согласно всё той же теории относительности А. Эйнштейна, время в различных системах отсчёта течёт по-разному. Например, на Земле оно идёт медленнее, чем, скажем, на Луне, так как Земля имеет более сильное гравитационное поле. Конечно, разница хода часов в приведённом примере ничтожна и зафиксировать её крайне проблематично, но если мы захотим сравнить темп движения времени на Земле и на какой-нибудь нейтронной звезде (сверхплотная звезда с сильным гравитационным полем), то эта разница будет очень заметна. На нейтронной звезде время течёт медленнее, не говоря уже о чёрных дырах, которые обладают таким мощным гравитационным полем, что время там практически останавливается. Даже если на Земле пройдёт ещё миллиард лет, в чёрной дыре не пройдет и секунды!

Такие объекты, как чёрные дыры, уже не ”улавливают” время и находятся вне времени. Человек же, пока он живой, “улавливает” время, то есть его мозг находится в неком временном поле и в зависимости от состояния этого мозга, наше сознание по своему воспринимает темп движения времени. В спящем состоянии наше сознание как бы подобно нейтронной звезде, нам кажется, что прошло всего, например, два часа или даже меньше, а прошла, на самом деле, целая ночь. В спящем сознании время замедляется, относительно внешнего мира, то есть относительно того, кто не спит. Ещё более “тяжёлый” случай это, так называемый, летаргический сон, когда человек засыпает на несколько лет. В медицине известны такие случаи. Здесь время в сознании замедляется ещё больше, относительно внешнего мира. В случае же смерти мозга, наше сознание выходит из временного поля и перестаёт “улавливать” время вовсе, то есть в этом случае сознание подобно чёрной дыре.

Вообще, говорить об осознании времени после смерти, вероятно, бессмысленно, поскольку само осознание времени вряд ли может происходить вне мозга. Нет мозга—нет ощущения движения времени. Так существует ли время вне человеческого сознания? Известный философ И.Кант писал: «Время есть ничто иное, как форма внутреннего чувства, то есть созерцания нас самих и нашего внутреннего состояния». Фактически, Кант отрицает время вне человеческого разума и по его убеждению, до появления человека разумного времени не было, ибо это плод человеческого воображения и не более того.

И в наши дни эта концепция находит немало сторонников. Конечно, измерять время в секундах, часах, годах и тому подобное это чисто человеческое «изобретение», но то, что время существовало задолго до человека, не вызывает сомнений. Задолго до человека, на Земле происходили какие-то события, которые сменяли друг друга. Не было бы времени, не было бы смысла говорить о смене тех или иных событий, той или иной эпохи, невозможным было бы движение, так как, чтобы переместиться из одной точки в другую, нужно время. Человек просто стал это время измерять, как ранее начал измерять пространство в определённых расстояниях.

Вообще, нужно иметь в виду, что существует два понятия времени, а именно: самого времени, которое существует вне человеческого сознания (объективность), и темпа движения времени, который воспринимает наш мозг или ощущение скорости “текучести” времени (субъективность). Конечно же, само время существовало задолго до появления человека, ибо время, как известно, один из атрибутов существования материи. Земля двигалась вокруг Солнца и два миллиарда лет назад и три. По этому движению можно было бы тоже отмерять время, только вот отмерять было тогда ещё некому. Что же касается темпа движения времени, то здесь всё зависит только от состояния нашего мозга. Вне мозга не имеет смысла говорить о том, много ли прошло времени с того или иного события или мало, так как в разных системах отсчёта время течёт по-разному.

Приложение 2.

Правильно ли «течёт» время?

Само время воспринимается человеком в виде незримой реки, текущей с постоянной скоростью и всегда в одном направлении, а именно из прошлого в будущее. Время нельзя ни растянуть, ни сжать, ни тем более обернуть вспять. И всё-таки, верно ли мы воспринимаем движение этой “реки”? Возможно ли движение времени в обратном направлении?

Для начала представим себе некую фантастическую ситуацию, когда все процессы во Вселенной (физические, химические, биологические и т.п.) вдруг неожиданно замедлились в 10 раз. Заметим ли мы эти изменения? Вряд ли. Дело в том, что если все процессы в мире действительно замедлятся, то и биохимические процессы нашего с вами головного мозга тоже должны замедлиться в 10 раз, то есть «думать» мозг будет в 10 раз медленнее. Короче говоря, если бы время во Вселенной вдруг замедлилось бы в несколько раз, то для нас с вами ничего бы не изменилось. Аналогично, если бы вся Вселенная вместе со всей своей материей, вплоть до кварков, увеличилась бы в 10 раз, то мы тоже бы этого не заметили, так как вместе со всей Вселенной увеличились бы и мы и вся окружающая нас материя. Но что произойдёт, если время вдруг изменит своё привычное направление и начнёт протекать из будущего в прошлое? Вы скажете, конечно, что это абсурд. Действительно, если вы прокрутите видеоплёнку какого-нибудь фильма в обратном направлении, то увидите массу абсурдов, которые невозможны в реальной жизни. Осколки стекла, беспорядочно разбросанные по полу, вдруг опять начинаю собираться и, противореча закону всемирного тяготения, восстановленный стакан или стеклянная ваза подпрыгивает вверх на стол. Так же очень бы странно и не вполне эстетично выглядел бы процесс принятия нами пищи. А как насчёт водопада, “падающего” снизу вверх?

Такие вещи нам кажутся нереальными, так как в реальной жизни мы никогда с ними не сталкивались. Но с другой стороны, при обратном течении времени соблюдается закон сохранения энергии, то есть процессы, протекающие в обратном порядке во времени, вполне могли бы иметь место в нашей жизни, так как любые физические процессы обратимы. Например, физические процессы, управляющие волновым движением, полностью обратимы. Отрицательное время получается иногда даже при решении задач о движении тел. Движение тела, свободно падающего на землю с ускорением g, описывается квадратичным уравнением: путь, пройденный каким-либо телом при свободном падении прямо пропорционален квадрату времени (h=h₀-gt²/2, где h₀—высота, с которой тело начало своё падение). Начальная же скорость падения тела пусть будет равна нулю. Выражая t(время падения) через h, мы получаем два значения времени: положительное и отрицательное. Второе значение мы, разумеется, отбрасываем, так как отрицательное время противоречит здравому смыслу.

Однако это отрицательное значение не противоречит приведённому выше уравнению движения падающего тела, но мы его отбрасываем потому, что положительное время воспринимается нами как нечто само собой разумеющееся с самого нашего рождения. Поскольку весь наш жизненный опыт показывает, что все события развиваются от прошлого к будущему, то это и позволяет нам отсекать отрицательные значения времени в различных формулах физики.

Но всё-таки, что было бы, если бы время шло вспять? Да ничего особенного. Мы бы так же воспринимали его, как само собой разумеющееся. Всё вокруг нам бы казалось разумным. Нас бы нисколько не удивляло, что осколки стекла могут сами собраться и принять форму стакана или вазы, что вода в водопаде поднимается вверх и вообще, что мы ходим спиной вперёд. Наше с вами сознание будет тоже “работать” наоборот, поэтому никаких “странностей” в этом мире мы не заметим. Нам бы казалось естественным, что все события развиваются от будущего к прошлому, и что следствие происходит раньше причины, порождающее это следствие.

На сегодняшний день, во Вселенной пока не были обнаружены объекты, на которых время двигалось бы вспять, хотя, конечно, кто его знает. Существует гипотеза, согласно которой элементарные античастицы (позитроны, антипротоны и т.п.) это такие же элементарные частицы (электроны, протоны и т.п.), но движущиеся в противоположном направлении во времени. Если вдруг время повернёт вспять, то все элементарные частицы во Вселенной превратятся в античастицы, а наш «антимозг» ничего и не заподозрит. То, что время сейчас течёт от прошлого к будущему, вовсе не означает, что это будет всегда.

Известно, что пространство и время неразрывно связаны друг с другом. Эти две формы существования материи составляют единый пространственно- -временной континуум. Вполне возможно, что пока пространство расширяется, вместе с ним расширяться и время, но как только Вселенная начнёт сжиматься, время начнёт сжиматься тоже, то есть, возможно, начнёт идти в обратном направлении.

Это одна из космогонических моделей развития Вселенной, где время представляет собой четвёртое пространственное измерение. Остаётся, правда, открытым вопрос о том, когда же Вселенная перестанет расширяться и начнёт сжиматься. Судя по сильному красному смещению спектра у далёких объектов во Вселенной (квазаров), эти объекты удаляются от нас почти со световой скоростью. Световая скорость, как известно, равна примерно 300 000 км/с. Однако, квазары находятся от нас на расстоянии более 15 миллиардов световых лет, то есть именно столько от них добирался до Земли световой луч. Мы видим эти объекты такими, какие они были более чем 15 миллиардов лет назад, а значит, расширение Вселенной с околосветовой скоростью происходило очень давно. Сейчас это расширение должно, естественно, происходить гораздо медленнее.

Так с какой же скоростью удаляются сейчас галактики друг от друга, то есть, как быстро сейчас расширяется пространство-время? Есть известная формула Хаббла, выражающая расстояние до какого-либо объекта во Вселенной через скорость удаления этого объекта от нас: V=H*R, где V—скорость удаления объекта от нас, H—постоянная Хаббла, R—расстояние до объекта, выраженное в мегапарсеках (мпс). Мегапарсек равен примерно 3,26*10⁶ световых лет. Значение постоянной Хаббла точно не известно, но считается, что оно лежит в пределах 50—75 км/с*мпс. Чем дальше объект, тем быстрее он от нас удаляется и это вполне естественно, ведь чем дальше объект, например, квазар, тем он «древнее», поскольку свет от него доходит до нас многие миллиарды лет. Страшно даже подумать, что когда свет от квазара «отправился» в путь, не было ещё ни нашего Солнца, ни нашей галактики. Сейчас, возможно, этих загадочных объектов уже нет во Вселенной, но мы видим их свет, испущенный ими в невообразимо далёком прошлом. Чем глубже мы уходим в космос при помощи телескопов, тем более далёкое прошлое мы видим, а значит, тем быстрее Вселенная расширяется.

Вполне возможно, что Вселенная, рано или поздно, опять начнёт сжиматься. Сжиматься начнёт не только пространство, но и время, так как эти две формы существования материи неразрывно связаны друг с другом. Если изменяются физические характеристики Вселенной (объём), то должны меняться и характеристики времени (темп движения, направление движения).

Источники:

Э. Кольман. Четвёртое измерение. Москва: Наука, 1970.
Большая Советская Энциклопедия.
ссылка скрыта.
ссылка скрыта.
ссылка скрыта.
.narod.ru

1 Пример заполненной таблицы см. в электронном приложении к уроку (Слайд 12).

Blog

Содержание