Положение о городском физико-математическом турнире 4 «Никола Тесла»

Вид материала

Содержание

Научно-исследовательский проект сш № 23
Иваненко Дарья Болтаев Антон Стихеева Диана Хайролла Абай
Архимед и его эпоха
Биография Архимеда
Единственный в своём роде наблюдатель неба и звёзд

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ СШ № 23

Тема: «АРХИМЕД-ЧЕЛОВЕК ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЙ ГЕНИАЛЬНОСТИ».

Руководители: учитель физики Лукинова Е.Н..

учитель математики Янкина О.Ф.

Состав команды:

Иваненко Дарья

Болтаев Антон

Стихеева Диана

Хайролла Абай

Кто овладел творениями Архимеда, будет меньше удивляться открытиями самых великих людей нашего времени.

Г.Лейбниц

Содержание

Введение	4
Архимед и его эпоха	7
Биография Архимеда	11
Единственный в своём роде наблюдатель неба и звёзд	14
Инженерный гений	28
Родоначальник математической физики	41
Человек, одержимый математикой	55
Последние годы	75
Легенды о гибели Архимеда	76
Влияние Архимеда на развитие науки и техники	78
Заключение	80
Приложение	82

Введение

Человек с возвышенной душой и великим умом.

Идеи Архимеда почти на два тысячелетия опередили своё время. Только в XVII в. учёные смогли продолжить и развить труды великого греческого математика. Только тогда было раскрыто их подлинное значение.

Он жил так невообразимо давно, что память о нем, словно древняя галера, плывущая по океану времени, обросла ракушками вымыслов и легенд, и, наверное, за 2262 года легенд этих стало больше, чем правды.

Труды Архимеда в астрономии, геометрии, механике велики и многочисленны, но в нем неистребимо жила страсть к изобретательству, к материальному воплощению найденных теоретических закономерностей. Архимед — редчайшее в науке сочетание высокого теоретика с виртуозом инженером. Подход Архимеда к физическим проблемам основан на простых, но строгих геометрических доказательствах, так что его можно считать родоначальником математической физики, которой он посвятил трактаты «О равновесии плоских фигур», «О плавающих телах» и не дошедшую до нас фундаментальную работу по оптике «Катоптрика». В сочинении «О равновесии плоских фигур» Архимед обобщает эмпирические сведения своих предшественников о равновесии твердых тел, вводя эти сведения как аксиомы-постулаты. Полученные следствия он подвергает строгому геометрическому доказательству, строя теорию о центре тяжести, и в качестве примеров приводит вычисления этой замечательной точки для различных плоских фигур. В сочинении «О плавающих телах», состоящем из двух книг, изложен знаменитый закон Архимеда, до сих пор приводимый в любом школьном учебнике в качестве самого древнего физического закона. И здесь подход к проблеме тот же: на основании опытных наблюдений Архимед строит модель идеальной жидкости, с помощью которой получает ряд следствий, обосновывая их строгим геометрическим доказательством. Знаменитый римский архитектор Витрувий рассказал об истории открытия закона Архимеда, широко известной как легенда о золотой короне Гиерона. Восклицание озаренного найденным решением ученого: «Эврика!» («Нашел!») стало символом, означающим пик творческого процесса.

Ведь не случайно же Плутарх пишет: «Архимед имел возвышенную душу и глубокий ум, и, обладая громадными богатствами геометрических теорий, он не хотел оставить ни одного сочинения относительно тех машин, которые доставили ему славу знания, не только доступного человеку, но почти божественного...»

Архимед и его эпоха

Архимед (Archimedes) – великий механик и математик, основатель статики и гидростатики – жил и творил в эпоху эллинизма. В эту эпоху, длившуюся три последних века до новой эры, характер античной науки постепенно менялся: от натурфилософии времен афинской демократии ученые переходили к более конкретному исследованию отдельных областей знания, философские спекуляции и догадки уступали место более доказательным методам математики. Широкое развитие военной и строительной техники делало мышление ученых более прагматичным. Все отмеченные особенности эллинистической эпохи были присущи творчеству Архимеда.

Эллинизм.

Со времени Дройзена этим термином в современной науке обозначают культурные и политические образования, развившиеся из смешения элементов греческих с восточными на почве сначала единого, а затем ряда однородных государств, объединенных единой культурой, единым правом, единой государственностью.

Эллинистическая наука, искусство и литература — понятия хотя и делимые до бесконечности, но все же в достаточной мере определенные не только хронологическими рамками. Пышно расцвела наука почти во всех центрах эллинистической жизни. Число ученых было чрезвычайно велико, количество книг и научных работ необозримо. Грудами накопляется научный и quasi-научный материал, и в этом главная работа ученых. К услугам ученых имеется богатый материал, накопленный поколениями египетских и ассиро-вавилонских наблюдателей и регистраторов. Вместе с тем становится возможной в ряде наук (напр. в истории и географии) мировая точка зрения; сравнительный метод входит в общий обиход, (напр. в начатках этнографии), эмпиризму открывается широчайшее поле деятельности. В точных науках рядом с гениальными интуициями все прочнее ставится кропотливое научное исследование в области астрономии, механики, математики, медицины. Особое развитие приобретает применение научных открытий и научного метода к обыденной жизни в области техники. Остроумнейшие приборы и машины в значительной степени меняют жизненный уклад горожанина. Широкая фабрикация бумаги и пергамента дает книге такое распространение, какого она не могла иметь до того времени, а мировая торговля рассылает научные продукты по всем культурным центрам не одного только Средиземноморского бассейна. Наука, таким образом, становится ближе к жизни и вместе с тем все более и более дифференцируется и специализируется.

Это было время тонкой и умной лести, обаятельного заискивания, чистосердечного раболепства, когда желание нравиться Птолемею охватило не только склонный к восторгам ум поэтов, но и гений астрономов, физиков, геометров. Может быть, это изощренное в выражении верноподданнических чувств общество и заставило молодого ученого из Сиракуз расстаться с фолиантами богатейшей библиотеки мира и уплыть домой, в Сицилию

Биография Архимеда

Хотя слава Архимеда никогда не прекращалась, о жизни ученого сохранилось очень мало сведений.

Уроженец греческого города Сиракузы на острове Сицилия, Архимед был приближенным управлявшего городом царя Гиерона (и, вероятно, его родственником). Возможно, какое-то время Архимед жил в Александрии – знаменитом научном центре того времени. То, что сообщения о своих открытиях он адресовал математикам, связанным с Александрией, например Эратосфену, подтверждает мнение о том, что Архимед являлся одним из деятельных преемников Эвклида, развивавших математические традиции александрийской школы. Вернувшись в Сиракузы, Архимед находился там вплоть до своей гибели при захвате Сиракуз римлянами в 212 г. до н.э.

Кто были его родители, у кого он учился, где путешествовал, в каких условиях протекало его научное творчество - достоверно мы не знаем.

Известно, что он активно участвовал в обороне родных ему Сиракуз и созданные им машины сделали город неприступным; что он погиб при взятии города римлянами, происшедшего в результате предательства. Это случилось в 212 г. до н.э., и это единственная надежная дата в биографии Архимеда.

Византийский хронист конца XII в. Цеци, рассказывая о захвате Сиракуз, добавляет, что Архимеду в это время было около 75 лет. Отсюда вычисляется дата рождения ученого - 287г. до н.э. Правда, другому свидетельству Цеци - о применении Архимедом сжигающих зеркал - обычно не доверяют.

Сам Архимед в одной из работ о результатах определения расстояний до Луны и Солнца приводит значения этих расстояний, которые получил его отец, и называет имя отца - Фидий. Отсюда можно заключить, что отец ученого был астрономом.

Земляк Архимеда, историк I в. до н.э. Диодор Сицилийский пишет о водоподъемных винтах, изобретенных Архимедом Сиракузским во время его пребывания в Египте. Архимед получил хорошее образование, долгие годы пробыв в знаменитом Александрийском музее – уникальном научно-исследовательском центре античного мира, где правители Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали знаменитую, самую большую в мире библиотеку. О том, что Архимед учился математике в Александрии и связи с тамошними учеными не порывал, говорит также то, что большинство работ Архимеда написано в виде посланий александрийским математикам. После учебы в Александрии Архимед вновь вернулся в Сиракузы и унаследовал должность своего отца.

Греческий писатель I в. н.э. Плутарх вскользь упоминает, что Архимед был родственником царя Сиракуз Гиерона.

Источником сведений о жизни и деятельности Архимеда была в древности биография, составленная Гераклитом и, к сожалению, утраченная. Кто был этот Гераклит — мы точно не знаем... Писатели древности, сочинения которых дошли до нас, как-то: историк Тит Ливий, знаменитый римский писатель и оратор Цицерон, Диодор, Поливий, Плутарх и другие, сохранили нам ряд отрывочных данных, связать которые не представляется возможным, и, строго говоря, значительная часть этих рассказов анекдотического характера. Так как почти все они стали давно достоянием хрестоматий, учебников истории и популярных повествований, мы не будем здесь повторять их, считая достаточно известными.

Д

ревнегреческий историк Плутарх, выражая всеобщее уважение к личности Архимеда, рисует его гениальным и разносторонним ученым-одиночкой, далеко обогнавшим свою эпоху, горячим патриотом родины: «Во всей геометрии нельзя найти теорем более трудных и глубоких, чем те, которые Архимед решает самым простым и наглядным образом. Одни приписывают эту ясность его гениальному уму, другие — упорной работе, при которой самые трудные вещи делаются легкими... Он жил как бы околдованный какой-то домашнею сиреною, постоянной его спутницей, заставляющей его забывать пищу, питье, всякие заботы о своем теле. Иногда, приведенный в баню, он чертил пальцем на золе очага геометрические фигуры или проводил линии на умащенном маслом своем теле, подчиняясь страстно владычеству муз. Автор прекрасных открытий, он просил своих родственников поставить на его могиле цилиндр, включающий в себя шар, и подписать отношение их объемов».

Отец его был математиком и астрономом и состоял в близком родстве с Гиероном, тираном Сиракуз. Архимед с детства подружился с миром чисел и всю жизнь не переставал восхищаться строгой логикой их вечных законов, рядом с которыми законы мира людей так преходящи и несовершенны. Он чувствовал это особенно остро в Александрии, где всесильные Птолемеи, по словам одного странствующего философа, «откармливают легионы книжных червей ручных, что ведут бесконечные споры в птичнике муз...». «Ручные книжные черви» — цвет науки и поэзии той поры — были собраны здесь со всех берегов, дабы прославить своими трудами повелителей Египта.

А может быть, он покинул Александрию еще и потому, что не мог разделять модных там Аристотелевых воззрений на механику как на «ремесленный навык», достойный раба. Именно механика, прекрасная, не уступающая по красоте своей геометрии, влекла его к себе все более. Он понимает, что законы рычага — это поистине вселенские законы, и выстраивает цепь механических постулатов и теорем, которой позавицо-вал бы сам Евклид. Домой, в Сиракузы, он привез основы новой науки, которую потомки назовут статикой и на ней, как на незыблемом фундаменте, построят заоблачное здание механики.

В Сиракузах он живет без забот, он окружен почетом, вниманием и не нуждается в средствах. Впрочем, он мало думает о своем бытии, увлеченный вычислениями. Злые языки говорили, что Архимед забывал о пище, подолгу не бывал в бане и готов был чертить везде: в пыли, пепле, на песке, даже на собственном теле. В ванне вдруг осенила его мысль о выталкивающей силе, действующей на погруженное в жидкость тело, и, забыв обо всем, голый, бежал он по улицам Сиракуз с победным кличем: «Эврика!» («Я нашел!») Его мало заботит людская молва и суд потомков — увы, подчас чересчур мало. Некоторые озарения свои он даже не считает нужным записывать, и мы никогда не узнаем, как удалось ему извлекать квадратные корни из очень больших чисел до появления правила извлечения корней.

Вот то немногое, что известно потомкам об Архимеде. Из-за давности лет жизнь Архимеда тесно переплелась с легендами о нём.

Единственный в своём роде наблюдатель неба и звёзд

К

ак уже отмечалось, подход Архимеда к решению статических проблем был математическим. Хотя он и опирался на некоторые наблюдения, однако экспериментальным методом как таковым не пользовался, веря в непогрешимость одной лишь математики. Известен только один случай, когда Архимед с помощью сконструированного им прибора провел астрономическое наблюдение и экспериментально определил угловые размеры диска Солнца.

Тит Ливий, назвал Архимеда «единственным в своем роде наблюдателем неба и звезд». И хотя астрономические сочинения ученого до нас не дошли, можно не сомневаться, что эта характеристика не случайна. Через четыре столетия после Архимеда на него ссылается наряду с Гиппархом великий астроном античности Клавдий Птолемей (70-147г.) в связи с определением длины года. Значит, полученные Архимедом результаты были известны и оставались ценными для астрономов последующей эпохи. То, что осталось от астрономических сочинений Архимеда, разумеется, характеризует его вклад в астрономию далеко не полностью.

Мы знаем всего о трех астрономических работах ученого.

Во-первых, сам Архимед вскользь рассказал о своих измерениях углового диаметра Солнца и коснулся других астрономических вопросов в арифметическом сочинении «Псаммит». Во-вторых, христианский автор IIIв. Ипполит привел в своей книге «Опровержение всех ересей» значения расстояний между орбитами некоторых планет, взятых из какой-то утерянной позже работы Архимеда.

Наконец, в-третьих, сохранилось четыре разделенных столетиями упоминания о «небесном глобусе» Архимеда – своеобразном планетарии, который был одним из замечательных произведений античной механики.

«Числа Ипполита» и система мира Архимеда

Пожалуй, самым интересным в сохранившемся астрономическом наследии ученого являются приведенные в сочинении Ипполита двенадцать величин расстояний между планетами. Проделанный анализ этих чисел позволил частично восстановить примененную Архимедом методику определения размеров планетных орбит и воссоздать систему мира, которой он придерживался.

Ипполит был римским епископом и вел активную литературную полемику с различными «ересями», причем часто и подробно цитировал своих противников. Разбирая мнения разных астрономов о размерах мира, он привел величины межпланетных расстояний, вычисленных Архимедом.

Текст Ипполита, относящийся к Архимеду, можно условно разбить на три части. В первой приводятся восемь расстояний между орбитами небесных тел, причем не всегда ясно, от какой орбиты ведется отсчет: «Расстояние от поверхности Земли до лунной орбитам,.. Архимед (оценивает) в 554 мириады 4130 единиц стадий (1 стадий = 150-190 м. – Прим. ред.); от лунной до солнечной орбиты – стадий 5026 мириад 2065 единиц; от нее до орбиты Венеры – стадий 2027 мириад 2065 единиц, от нее до орбиты Меркурия...» (см. табл.).

Во второй части Ипполит говорит об архимедовых размерах «сферы неподвижных звезд». «Периметр же зодиака он принял четыре вторых числа 4731 мириада, таким образом получается, что расстояние от центра Земли до самой крайней поверхности будет шестой частью этого числа»... (Число я принимается равным трем.)

«Вторыми числами» в «Псаммите» Архимед называл мириады мириад, т.е. сотни миллионов. Это введенное им обозначение не прижилось, и поэтому упоминание «вторых чисел» подтверждает, что Ипполит привел данные, действительно принадлежащие Архимеду.

Наконец, в последней части отрывка приводятся архимедовы расстояния от трех планет до Земли: «От орбиты Сатурна до Земли, – как он говорит, – будет вторых чисел одна единица 2160 мириад 4454 единицы стадий; от Меркурия до Земли 5268 мириад 8259 единиц; от Венеры до Земли 5081 мириада 5160 единиц».

Эти числа представляются как бы «лишними», так как их, казалось бы, можно вычислить из предыдущих. Но именно «избыточность» информации, заключенная в них, является, как мы увидим, решающей при анализе всей группы чисел.

Эти двенадцать чудом сохранившихся архимедовых чисел позволяют воссоздать хотя бы приблизительно облик «вселенной Архимеда».

В группе чисел, сохраненных Ипполитом, действительно удалось найти ряд математических соотношений.

Во-первых, некоторые из вычисленных Архимедом межпланетных расстояний кратны какому-то «модулю», равному 2027 мириадам стадий, который, по-видимому, является радиусом орбиты Меркурия. Так, расстояние «до орбиты Марса» (е = 4054) вдвое больше «модуля», а расстояние «от орбиты Сатурна до Земли» (k = 12160) равно «модулю», взятому 6 раз (с точностью до двух мириад стадий).

Во-вторых, совершенно определенно очерчивается граница мира – небо недвижных звезд. Расчеты радиуса этой сферы двумя разными путями дают один и тот же результат. Действительно, если к радиусу орбиты Сатурна (числу k = 12160) прибавить расстояние до зодиака (h = 2008), то получится 14168. Если же поделить на π число i = 44731, считая его полупериметром зодиака, получится для радиуса сферы неподвижных звезд 14 180 мириад стадий, т.е. значение, близкое к первому.

Наконец, в-третьих, «модуль» (число с = 2027), расстояние от Земли до Солнца А и не совсем понятное расстояние от Меркурия до Земли (число l) подчиняются теореме Пифагора.

Расстояние от Земли до Солнца состоит из радиуса Земли (числа n=4), расстояния от ее поверхности до орбиты Луны (числа a = 554) и расстояния от лунной до солнечной орбиты, которым, видимо, является число d = 5081. Сумма этих чисел составляет А = 5640 мириад стадий.

Легко видеть, что

Действительно,

Для числа l в тексте приведено значение 5269. Таким образом, несовпадение составляет всего 5 мириад стадий.

Итак, если из отрезков А, с и l сложить треугольник, то он окажется прямоугольным, а угол между сторонами А и l будет равен 21°, что близко к углу наибольшего видимого отклонения Меркурия от Солнца. Найденное соотношение несомненно представляет собой след вычисления Архимедом радиуса орбиты Меркурия.

Е

сли считать планету обращающейся вокруг Солнца, то размер ее орбиты легко вычислить, воспользовавшись перпендикулярностью касательной и радиуса, проведенного из центра в точку касания (рис. 5). Действительно, луч зрения земного астронома, наблюдающего планету в момент ее наибольшего видимого удаления от Солнца, будет касательным к орбите. Зная расстояние от Земли до Солнца (катет) и угол между этим катетом и гипотенузой (его можно измерить), легко вычислить длину второго катета, который и будет искомым радиусом орбиты. Этот способ годится для определения радиусов орбит так называемых «нижних планет» – Меркурия и Венеры.

Рис. 5. Схема определения относительного радиуса орбиты планеты

Числа Ипполита дают возможность воссоздать облик «вселенной Архимеда» (рис. 6).

Рис. 6. Система мира Архимеда (указаны межпланетные расстояния в мириадах стадий). a= 554, d = 5081, A = 5640, c = 2027, h = 2007, n=4

В ее середине находится Земля, вокруг нее обращаются Луна и Солнце. Орбиты трех ближайших планет – Меркурия, Венеры и Марса – очерчены вокруг него. Радиусы планетных орбит кратны между собой и относятся как 1:2:4. Интересно, что эти соотношения близко отражают действительность. По данным Архимеда, относительное (по сравнению с расстоянием от Земли до Солнца) значение радиуса орбиты Меркурия составляет 0,36 (в действительности 0,39, ошибка 8%), орбиты Венеры 0,72 (совпадает с действительным), Марса 1,44 (в действительности 1,52, ошибка 5%). Такое совпадение не может быть случайным, ясно, что радиусы орбит этих планет получены на основе наблюдений с высокой по тем временам точностью. (Правда, расчеты Архимеда, относящиеся к другим планетам, оказались неверными.) Таким образом, числа Ипполита свидетельствуют о наиболее раннем из известных науке определении межпланетных расстояний. Оно удалось Архимеду потому, что он исходил из удачной модели, считая орбиты этих планет гелиоцентрическими.

Интересной особенностью системы мира Архимеда является пересечение орбит Сатурна и Юпитера с орбитой Марса. Это построение, хотя и является неверным, помогает нам судить о физических представлениях ученого. Такое пересечение орбит совершенно исключает гипотезу цельных сфер, несущих небесные тела, и определенно говорит о том, что Архимед представлял себе планеты как отдельные тела, летящие в пространстве.